三角、反三角函数图像及性质与三角公式

三角、反三角函数图像
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）
1.六个三角函数值在每个象限的符号：
sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα
2.三角函数的图像和性质：
1-1y=sinx
-3π2
-5π2
-7π2
7π2
5π
2
3π2
π2
-π2
-4π-3π
-2π4π
3π
2ππ
-π
o
y x
1-1y=cosx
-3π
2
-5π2
-7π
2
7π2
5π2
3π2
π2
-π2
-4π-3π-2π4π
3π
2π
π
-π
o
y
x
y=tanx
3π2
π
π2
-
3π2
-π
-
π2
o
y
x
y=cotx
3π2
π
π2
2π
-π
-
π2
o
y
x
函数 y=sinx y=cosx y=tanx
y=cotx
定义域
R
R
｛x ｜x ∈R 且x≠kπ+
2
π
,k ∈Z ｝ ｛x ｜x ∈R 且x≠kπ,k ∈Z ｝
值域
［-1，1］x=2kπ+
2π 时
y max =1
x=2kπ-2
π
时y min =-1
［-1,1］ x=2kπ时y max =1 x=2kπ+π时
y min =-1
R 无最大值 无最小值
R
无最大值 无最小值 周期性 周期为2π 周期为2π 周期为π 周期为π 奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
单调性在［2kπ-
2
π
,2kπ+
2
π
］
上都是增函数；在
［2kπ+
2
π
,2kπ+
3
2
π］
上都是减函数(k∈Z)
在［2kπ-π，2kπ
］
上都是增函数；
在［2kπ，2kπ+π］
上都是减函数
(k∈Z)
在(kπ-
2
π
，
kπ+
2
π
)内都是增
函数(k∈Z)
在(kπ，kπ+π)内
都是减函数
(k∈Z)
3.反三角函数的图像和性质：
arcsinx arccosx
arctanx arccotx
名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数
定义
y=sinx(x∈
〔-
2
π
,
2
π
〕的反函
数，叫做反正弦函
数，记作x=arsiny
y=cosx(x∈
〔0,π〕)的反函
数，叫做反余弦
函数，记作
x=arccosy
y=tanx(x∈(-
2
π
,
2
π
)的反函数，叫
做反正切函数，记作
x=arctany
y=cotx(x∈(0,π))
的反函数，叫做
反余切函数，记
作x=arccoty
理解
arcsinx表示属于
［-
2
π
,
2
π
］
且正弦值等于x的
角
arccosx表示属
于［0，π］，且
余弦值等于x的
角
arctanx表示属于
(-
2
π
,
2
π
)，且正切值
等于x的角
arccotx表示属于
(0，π)且余切值等
于x的角
性
质
定义域［-1，1］［-1，1］(-∞，+∞)(-∞，+∞)
值域［-
2
π
，
2
π
］［0，π］(-
2
π
，
2
π
) (0，π)单调性
在〔-1，1〕上是增
函数
在［-1，1］上是
减函数
在(-∞，+∞)上是增
数
在(-∞，+∞)上是
减函数奇偶性
arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-ar
ccosx
arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π-arc
cotx 周期性都不是周期函数
arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-arccosx
arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π-arccotx
arcsinx+arccosx=arctanx+arccotx=π/2
sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x
当 x∈[-π/2, π/2] arcsin(sinx)=x
x∈[0,π] arccos(cosx)=x
x∈(-π/2, π/2) arctan(tanx)=x
x∈(0, π) arccot(cotx)=x
三角公式总表
1.正弦定理：
A a sin =
B b sin =C
c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径）
2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2
-2ab C cos
bc
a c
b A 2cos 2
22-+=
3.S ⊿=21a a h ⋅=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2
A sin
B sin
C sin
=A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C
B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p ---
(其中)(2
1
c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径)
4.同角关系：
⑴商的关系：①θtg =θθ
cos sin =θθsec sin ⋅ ②θθθ
θθcsc cos sin cos ⋅==ctg ③θθθtg ⋅=cos sin ④θθθθcsc cos 1
sec ⋅==
tg ⑤θθθctg ⋅=sin cos ⑥θθθ
θsec sin 1
csc ⋅==ctg
⑵倒数关系：1sec cos csc sin =⋅=⋅=⋅θθθθθθctg tg
⑶平方关系：1csc sec cos sin 2
22222=-=-=+θθθθθθctg tg
⑷)sin(cos sin 22ϕθθθ++=
+b a b a （其中辅助角ϕ与点（a,b ）在同一象限，且
a
b
tg =
ϕ）
5.和差角公式
①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos(
=± ③β
αβ
αβαtg tg tg tg tg ⋅±=± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±
⑤γ
βγαβαγ
βαγβαγβαtg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg ⋅-⋅-⋅-⋅⋅-++=++1)( 其中当A+B+C=π时,有:
i).tgC tgB tgA tgC tgB tgA ⋅⋅=++ ii).12
22222=++C
tg B tg C tg A tg B tg A tg
6.二倍角公式：(含万能公式)
①θ
θ
θθθ2
12cos sin 22sin tg tg +=
= ②θ
θ
θθθθθ2
22
2
2
2
11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθ
θ2122tg tg tg -=
④22cos 11sin 222
θθθθ-=+=tg tg ⑤2
2cos 1cos 2
θθ+=
7.半角公式：（符号的选择由
2
θ
所在的象限确定） ①2
cos 12sin θθ-±= ②2cos 12sin 2θθ-= ③2
cos 12cos θθ+±= ④2cos 12cos 2θθ+= ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2cos 2cos 12θθ=+ ⑦2
sin 2cos )2sin 2(cos sin 12θ
θθθθ±=±=±
⑧θθ
θθθθθsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg
8.积化和差公式：
①[])sin()sin(21
cos sin βαβαβα-++=
②[])sin()sin(21
sin cos βαβαβα--+=
③[])cos()cos(21
cos cos βαβαβα-++= ④()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2
1
sin sin
9.和差化积公式：
①2cos
2sin
2sin sin β
αβ
αβα-+=+
②2sin 2cos 2sin sin β
αβαβα-+=- ③2cos 2cos 2cos cos β
αβαβα-+=+ ④2
sin
2sin 2cos cos β
αβαβα-+-=-。