计量经济学课件53设定误差.

§5.3 模型设定偏误问题

到目前为止，经典计量经济模型的回归分析，都是对模型的估计以及对基本假设的相关检验，而较少关注模型的具体设定形式。如果模型通过了所有相关检验，就认为得到了一个“满意”的模型估计结果，从而可以进一步用于经济分析与预测。然而，如果我们设定了一个“错误的”或者说是“有偏误的”模型，即使所有的基本假设都满足，得到的估计结果也会与“实际”有偏误，这种偏误称为模型设定偏误。

一、模型设定偏误的类型

模型设定偏误主要有两大类，一类是关于解释变量选取的偏误，主要包括漏选相关变量和多选无关变量，另一类是关于模型函数形式选取的偏误。

1、相关变量的遗漏（omitting relevant variables ）

在建立模型时，由于人们认识上的偏差、理论分析的缺陷、或者是有关统计数据的限制，可能有意或无意地忽略了某些重要变量。例如，如果“正确”的模型为

μβββ+++=22110X X Y （5.3.1）

而我们将模型设定为

v X Y ++=110αα （5.3.2）

也就是说，设定模型时漏掉了一个相关的解释变量。这类错误称为遗漏相关变量。

由于“正确”模型可能包含有被解释变量Y 与解释变量X 的滞后项，即为自回归分布滞后模型，因此，遗漏相关变量可能表现为对Y 或X 滞后项的遗漏。这类模型设定偏误也称为动态设定偏误（dynamic mis-specification ）。

2、无关变量的误选(including irrevelant variables)

无关变量的误选是指在设定模型时，包括了无关解释变量。例如，如果（5.3.1）仍为“真”，但我们将模型设定为

v X X X Y ++++=3322110αααα （5.3.3）

也就是说，设定模型时，多选了一个无关解释变量。

3、错误的函数形式(wrong functional form )

错误的函数形式是指在设定模型时，选取了不正确的函数形式。最常见的就是当“真实”的函数形式为非线性时，却选取了线性的函数形式。例如，如果“真实”的回归函数为

μ

ββe X AX Y 2121= （5.3.4）

但却将模型设定为

v X X Y +++=22110βββ （5.3.5）

二、模型设定偏误的后果

当模型设定出现偏误时，模型估计结果也会与“实际”有偏差。这种偏差的性质与程度与模型设定偏误的类型密切相关。

1、遗漏相关变量偏误

采用遗漏相关变量的模型进行估计而带来的偏误称为遗漏相关变量偏误（omitting relevant variable bias ）。设正确的模型为（5.3.1）式，而我们却对（5.3.2）式进行回归，1X 的参数估计为：

∑∑=2

111ˆi i i

x y

x α （5.3.6）

将正确模型（5.3.1）式的离差形式

μμββ-++=i i i i x x y 2211

代入（5.3.6）式得：

∑∑∑∑∑∑∑∑-++=-++==2

112

1212121221112

111)()

(ˆi i

i i i i

i i i i i i i i

x x x x x x x x x x y x μμββμμββα （5.3.7）

（1）如果漏掉的2X 与1X 相关，则（5.3.7）中的第二项在小样本下求期望与大样本下求概率极限都不会为零，从而使得普通最小二乘估计量在小样本下是有偏的，在大样本下也是非一致的。

事实上，在正确模型为（5.3.1）的情况下对（5.3.2）式进行回归，则（5.3.2）式的随机扰动项就包括了2X ，即μβ+=22X v ，从而1X 与v 是同期相关的。 因此，如果2β>0，且2X 与1X 正相关，则1X 与v 正相关，导致1X 的参数被高估，而常数项被低估。

（2）如果2X 与1X 不相关，则由（5.3.7）式易知1α的估计满足无偏性与一致性；但这时0α的估计却是有偏的。

（3）随机扰动项的方差估计2

ˆσ

也是有偏的。 在同样的样本下，（5.3.2）式给出的样本残差与（5.3.1）式给出的样本残差也不相同，因此，由两组样本残差估计的随机扰动项的方差也会不同。如果（5.3.1）式是正确的估计，（5.3.2）式的估计则是有偏误的。 （4）1ˆα的方差是真实估计量1

ˆβ的方差的有偏估计。 由（5.3.2）与（5.3.1）式估计的1X 的参数的方差分别为

∑=212

1)ˆ(i x Var σα (5.3.8)

∑∑∑∑∑-=-=)1()()ˆ(22122212221222121x x i i i i i i r x x x x x x Var σσβ （5.3.9）

其中，22

1x x r 为1X 与2X 的相关系数的平方。如果2X 与1X 相关，显然有)ˆ()ˆ(11βαVar Var ≠，即使2X 与1X 不相关，由于由（5.3.2）与（5.3.1）式估计的随机扰动项的方差不同，估计的1X 的参数的方差也会不同。

2、包含无关变量偏误

采用包含无关解释变量的模型进行估计带来的偏误，称为包含无关变量偏误（including irrelevant variable bias ）。

设正确的模型为（5.3.2），而我们却对（5.3.1）进行估计。对于（5.3.1）式，如果02=β，则与（5.3.2）式相同，因此，可将（5.3.1）式视为正确模型（5.3.2）式以02=β为约束的特殊形式。由于所有的基本假设都满足，因此对（5.3.1）式进行普通最小二乘估计，可得到无偏且

一致的估计量。由于02=β，因此，0)ˆ(2

=βE 。 尽管在包含无关变量的情况下，OLS 估计量是无偏的，但却不具有最小方差性。事实上，对1X 前的参数的方差而言，正确模型（5.3.2）式与错误模型（5.3.1）式估计的方差分别由（5.3.8）式与（5.3.9）式给出。显然，当1X 与2X 完全线性无关时，两模型参数估计的方差相同，否则，

包含无关变量的模型参数的方差大于正确模型参数估计的方差，即)ˆ()ˆ(11

αβVar Var >。 可以证明，在多选无关解释变量的情形下，普通最小二乘估计量仍是无偏的、一致的，随