安徽省毛坦厂中学2019届高三5月联考试题+数学(理)+Word版含答案

高三年级五月份联考
数学(理科)
考生注意:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填在试卷后面的答题卡上.
3.本试卷主要考试内容:高考全部内容.
第Ⅰ卷
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A={x|x2<5},B={x|1<x<4},则A∪B=
A.{x|1<x<5}
B.{x|-<x<4}
C.{x|1<x<}
D.{x|-5<x<4}
2.若复数z=-
-
,则=
A.3+2i
B.-3+2i
C.-3-2i
D.3-2i
3.设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的实轴长与焦距分别为2,4,则双曲线C的渐近线方程为
A.y=±x
B.y=±x
C.y=±x
D.y=±3x
4.函数f(x)=-
的零点之和为
A.-1
B.1
C.-2
D.2
5.函数f(x)=cos(3x+)的单调递增区间为
A.[+,+](k∈Z)
B.[+,+](k∈Z)
C.[-+,+](k∈Z)
D.[-+,+](k∈Z)
6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
A.24π-6
B.8π-6
C.24π+6
D.8π+6
7.已知两个单位向量e1,e2的夹角为60°,向量m=te1+2e2(t<0),则
A.的最大值为-
B.的最小值为-2
C.的最小值为-
D.的最大值为-2
8.某图形由一个等腰直角三角形,一个矩形(矩形中的阴影部分为半圆),一个半圆组成,从该图内随机取一点,则该点取自阴影部分的概率为
A.B.
C.D.
9.已知不等式组-
-
-
表示的平面区域为等边三角形,则z=x+3y的最小值为
A.2+3
B.1+3
C.2+
D.1+
10.若函数f(x)=a·()x(≤x≤1)的值域是函数g(x)=-(x∈R)的值域的子集,则正数a的取值范围为
A.(0,2]
B.(0,1]
C.(0,2]
D.(0,]
11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知10sin A-5sin C=2,cos B=,则=
A.B.C.D.
12.在正方形BCDF中,A,E分别为边BF与DF上一点,且AF=EF=1,AB=2,将三角形AFE沿AE折起,使得平面AEF⊥平面ABCDE(如图所示).点M,N分别在线段DE,BC上,若沿直线MN将四边形MNCD 向上翻折,D与F恰好重合,则线段BM的长为
A.B.4 C.D.
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.已知tan(α+)=6,则tanα=▲.
14.若(a+)5的展开式中的系数为1,则|a|=▲.
15.斜率为k(k<0)的直线l过点F(0,1),且与曲线y=x2(x≥0)及直线y=-1分别交于A,B两点,若|FB|=6|FA|,则k=▲.
16.若曲线y=x3-ax2存在平行于直线y=-3x+1的切线,则a的取值范围为▲.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.(12分)
已知数列{a n}满足-=1,且a1=1.
(1)证明:数列{+1}为等比数列.
(2)求数列{+2n}的前n项和S n.
18.(12分)
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB=2,AC=AA1=2BC=4,且D为线段AB的中点.
(1)证明:BC⊥A1D.
(2)求平面A1CD与平面BCC1B1所成锐二面角的余弦值.
19.(12分)
某大型工厂有5台大型机器,在1个月中,1台机器至多出现1次故障,且每台机器是否出现故障是相互独立的,出现故障时需1名工人进行维修.每台机器出现故障的概率为.已知1名工人每月只有维修1台机器的能力,每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修,就能使该厂获得10万元的利润,否则将亏损3万元.该工厂每月需支付给每名维修工人1.5万元的工资.
(1)若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修,则称工厂能正常运行.若该厂只有2名维修工人,求工厂每月能正常运行的概率;
(2)已知该厂现有4名维修工人.
(ⅰ)记该厂每月获利为X万元,求X的分布列与数学期望;
(ⅱ)以工厂每月获利的数学期望为决策依据,试问该厂是否应再招聘1名维修工人?
20.(12分)
已知P(2,3)是椭圆C:+=1(a>b>0)上一点,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,且a=2b.
(1)证明:|PF2|,|F1F2|,|PF1|成等差数列.
(2)直线l与PF1垂直,且与椭圆C相交于A,B两点,l与线段F1F2有公共点,若四边形AF1BF2的面积为,求l的方程.
21.(12分)
已知函数f(x)=e2x-3-2x.
(1)求f(x)的单调区间与最小值.
(2)是否存在实数x,y,使得f(x)+2x≤(x+y+1)(x-y-2)(x>)?若存在,求x,y的值;若不存在,请说明理由.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
(t为参数),圆C的参数方程为
在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为
-
(θ为参数).
-
(1)求l和C的普通方程;
(2)将l向左平移m(m>0)个单位长度后,得到直线l',若圆C上只有一个点到l'的距离为1,求m.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
设函数f(x)=|x-a|+|x-4|(a≠0).
(1)当a=1时,求不等式f(x)<x的解集;
(2)若f(x)≥-1恒成立,求a的取值范围.
高三年级五月份联考
数学参考答案(理科) 1.B∵A={x|-<x<},∴A∪B={x|-<x<4}.
2.D z=-
==3+2i,=3-2i.
3.C因为2a=2,2c=4,所以a=1,c=2,b=,所以C的渐近线方程为y=±x.
4.A函数f(x)=-
的零点为log62,-log612,
故零点之和为log62-log612=-log66=-1.
5.A因为f(x)=-sin3x,所以只要求y=sin3x的递减区间.令+2kπ≤3x≤+2kπ(k∈Z),解得
+≤x≤+(k∈Z).
6.B由三视图可知该几何体是在一个圆锥中挖掉一个长方体得到的,其中圆锥的底面圆的半径为2,高为6,挖掉的长方体的底面是边长为的正方形,高为3.故该几何体的体积为π×22×6-2×3=8π-6.
7.A因为t<0,所以===
=-=-,当=-,即t=-4时,取得最大值,且最大值为-.
8.C设矩形的长为2a,则宽为a,所以该图形的面积为a×2a+×2a×2a+π×(a)2=(4+π)a2,阴影部分的面积为×2a×2a+π×a2=(2+)a2,故该点取自阴影部分的概率为P==.
9.D依题意可得k=,作出不等式组表示的平面区域如图所示,
当直线z=x+3y经过点(1,)时,z取得最小值1+.
10.A令y=g(x),则(y-1)x2+yx+y+1=0,
当y=1时,x=-2;当y≠1时,Δ=y2-4(y-1)(y+1)≥0,则y2≤.
所以g(x)的值域为[-,].
因为a>0,所以f(x)的值域为[,],从而0<≤,则0<a≤2.
11.C∵cos B=,∴sin B=.又10sin A-5sin C=2,
∴2sin A-sin C=sin B,由正弦定理,得2a-c=b,
由余弦定理,得(2a-c)2=a2+c2-2ac×,
整理得5a=6c,即=.
12.D取AE的中点H,连接FH,∵AF=EF,∴FH⊥AE,又平面AEF⊥平面ABCDE,
∴FH⊥平面ABCDE.如图,以B为坐标原点建立空间直角坐标系B-xyz,则D(3,3,0),F(,,).
设EM=x(0<x<2),则M(1+x,3,0).∵翻折后D与F重合,∴DM=FM,
则(x-2)2=(x+)2+()2+,解得x=,从而,=(,3,0),||=.
=6,解得x=.
13.设tanα=x,则
-
14.因为(a+)5的展开式中的项为a2()3=,所以10a2=1,则|a|=.
15.-易知曲线y=x2(x≥0)是抛物线C:x2=4y的右半部分,如图,其焦点为F(0,1),准线为y=-1.过A作AH⊥准线,垂足为H,则|AH|=|AF|,因为|FB|=6|FA|,所以|AB|=5|AH|,tan∠ABH===,故直线l的斜率为-.
16.(-∞,-3]∪(3,+∞)设平行于直线y=-3x+1的切线的切点为(m,m3-am2),
∵y'=3x2-2ax,∴3m2-2am=-3,Δ=4a2-36≥0,解得a∈(-∞,-3]∪[3,+∞).
若切点在直线y=-3x+1上,则m3-am2=-3m+1,又3m2-2am=-3,
从而m3-3m+2=(m-1)2(m+2)=0,解得m=1或m=-2.
当m=1时,a=3,此时方程3m2-6m+3=0有两个相等的实根,曲线y=x3-ax2不存在平行于直线y=-3x+1的切线;
当m=-2时,a=-,此时方程2m2+5m+2=0有两个不等的实根,曲线y=x3-ax2仅存在一条平行于直线y=-3x+1的切线.
综上,a的取值范围为(-∞,-3]∪(3,+∞).
17.(1)证明:因为-=1,
所以+1=2(+1), ....................................................................... 2分又+1=2, ................................................................................ 3分所以数列{+1}为等比数列,且首项为2,公比为2................................................ 4分(2)解:由(1)知+1=2n,....................................................................... 6分所以+2n=2n+2n-1......................................................................... 7分
所以S n=-
-
+
-
=2n+1+n2-2.......................................................... 12分
18.(1)证明:因为AA1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,
所以AA1⊥BC.............................................................................. 1分因为AB=2,AC=2BC=4,
所以AB2+BC2=AC2,所以BC⊥AB................................................................ 3分因为AB∩AA1=A,所以BC⊥平面ABB1A1.......................................................... 4分又A1D⊂平面ABB1A1,所以BC⊥A1D............................................................. 5分
(2)解:以B为坐标原点,建立空间直角坐标系B-xyz,如图所示,
则C(0,0,2),D(,0,0),A1(2,4,0)............................................................. 6分设平面A1CD的法向量为n=(x,y,z),
........................................................... 8分则
-
令x=4,则n=(4,-,2). .................................................................. 9分易知平面BCC1B1的一个法向量为m=(1,0,0),.................................................... 10分则cos<m,n>==..................................................................... 11分故所求锐二面角的余弦值为............................................................ 12分19.解:(1)因为该厂只有2名维修工人,
所以要使工厂正常运行,最多只能出现2台大型机器出现故障, .................................... 1分故该工厂能正常运行的概率为(1-)5+××(1-)4+()2(1-)3=. ............................... 4分(2)(ⅰ)X的可能取值为31,44, ................................................................ 6分P(X=31)=()5=, ........................................................................... 7分P(X=44)=1-=,.......................................................................... 8分则X的分布列为
......................................................................................... 9分故EX=31×+44×=................................................................. 10分(ⅱ)若该厂有5名维修工人,则该厂获利的数学期望为5×10-1.5×5=42.5万元,.................... 11分因为>42.5,所以该厂不应再招聘1名维修工人............................................. 12分20.(1)证明:依题意可得,解得, ........................................... 2分则c2=4,c=2,F1(-2,0),F2(2,0),.................................................................. 3分从而|PF2|=3,|F1F2|=4,|PF1|=5, ............................................................... 4分故|PF2|,|F1F2|,|PF1|成等差数列.............................................................. 5分(2)解:因为直线PF1的斜率为,所以可设l的方程为x=-y+m. ..................................... 6分
将l的方程代入+=1消去x,得y2-my+3m2-48=0, ........................................... 7分
设A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=,y1y2=-
,.................................................. 8分
则|y1-y2|=-=-,.............................................. 9分所以四边形AF1BF2的面积S=|F1F2|·|y1-y2|=-=, ........................... 10分解得m=0,................................................................................ 11分故l的方程为x=-y,即4x+3y=0............................................................. 12分21.解:(1)f'(x)=2e2x-3-2,..................................................................... 1分令f'(x)=0,得x=;.......................................................................... 2分令f'(x)<0,得x<;令f'(x)>0,得x>........................................................... 3分故f(x)的单调递减区间为(-∞,),单调递增区间为(,+∞),......................................... 4分从而f(x)min=f()=-2. ....................................................................... 5分
(2)易证mn≤()2,则(x+y+1)(x-y-2)≤(--
)2=
-
,
当且仅当x+y+1=x-y-2,即y=-时,取等号...................................................... 7分
f(x)+2x=e2x-3,则e2x-3≤-
, ................................................................ 8分
令t=2x-1(t>0),则e t-2≤t2,即t-2≤2ln t-2ln2. ................................................ 9分
设g(t)=t-2-(2ln t-2ln2)(t>0),则g'(t)=-,
当0<t<2时,g'(t)<0,g(t)单调递减;当t>2时,g'(t)>0,g(t)单调递增. ............................... 10分故g(t)min=g(2)=0,则g(t)≥0,又t-2≤2ln t-2ln2,即g(t)≤0,
从而g(t)=0,即t=2........................................................................ 11分综上,x=,y=-............................................................................ 12分22.解:(1)由题意可得|a|=1,.................................................................. 1分故l的参数方程为-(t为参数),圆C的参数方程为-(θ为参数),
消去参数t,得l的普通方程为3x-4y-7=0,..................................................... 3分消去参数θ,得C的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=1.................................................. 5分
(2)l'的方程为y=(x+m)-,即3x-4y+3m-7=0,.................................................... 6分
因为圆C只有一个点到l'的距离为1,圆C的半径为1,
所以C(1,-2)到l'的距离为2,................................................................ 8分
即-
=2,解得m=2(m=-<0舍去)...................................................... 10分
23.解:(1)当a=1时,f(x)=
-
-
,....................................................... 3分
故不等式f(x)<x的解集为(3,5)............................................................... 5分(2)∵f(x)=|x-a|+|x-4|≥|(x-a)-(x-4)|=|a-4|, ................................................. 6分
∴|a-4|≥-1=-,......................................................................... 7分
当a<0或a≥4时,不等式显然成立;........................................................... 8分当0<a<4时,≤1,则1≤a<4.................................................................. 9分故a的取值范围为(-∞,0)∪[1,+∞)........................................................... 10分。