《高等数学下》期中试题参考答案

《高等数学下》期中试题参考答案

一．填空题 (每小题3分，共21分)

1．lim x →0⎰ 0x 2sin 2tdt x 4 = lim x →02xsin 2x 4x 3 = lim x →0sin 2x 2x 2 = 12

. 2．⎰-11 x 2+sinx 1+x 2

dx = ⎰-11x 21+x 2dx +⎰-11sinx 1+x 2dx = 2⎰01x 21+x 2dx +0=2⎰01(1-11+x 2)dx=2-2arctanx|01=2-π/2 3．⎰-∞+∞dx x 2+2x+2 = ⎰-∞+∞d(x+1)(x+1)2+1

= arctan(x+1)|-∞+∞ =π/2 – (-π/2) = π 4．空间曲线 ⎩⎨⎧ z=2-x 2-y 2 z=x 2+y 2

在XOY 平面上的投影为 ⎩⎨⎧x 2+y 2=1z=0 5．设z = ln(x+lny) , 则 1y ∂z ∂x - ∂z ∂y = 1y •1x+lny - 1/y x+lny

= 0 6．交换 ⎰ 04 dy ⎰y 2 f (x,y)dx 积分次序得 ⎰02 dx ⎰0x 2

f (x,y)dx

7．设f(x)是连续函数，且⎰ 0x 3-1f (t)dt =x ，则 f (7) = 。

两边求导得到 f(x 3-1)3x 2=1， 将x=2代入得到 f(7)=1/12

二。单项选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题中的括号内。每小题3分，共18分。）

8. 下列等式正确的是 （C ） Ａ、d dx ⎰a b f(x)dx=f(x) Ｂ、d dx ⎰f(t)dt=f(x) Ｃ、d dx ⎰a

x f(t)dt=f(x) Ｄ、⎰f '(x)dx=f(x) 正确的关系式为：

Ａ、d dx ⎰a b f(x)dx=0 Ｂ、d dx ⎰f(t)dt=0 Ｃ、d dx

⎰a x f(t)dt=f(x) Ｄ、⎰f '(x)dx=f(x)+C 9. 设⎰0x f(t)dt = 12f(x)- 12

，且f(0)=1，则 f(x)= （ A ） A 、e 2x B 、12e x C 、e x 2 D 、12

e 2x 两边求导得到f(x)= 12

f '(x) , 只有 f(x)= e 2x 10. 已知函数 f (x+y, xy) = x 2+y 2 ，则 ∂f(x,y)∂x + ∂f(x,y)∂y

= （ B ） A 、2x+2y B 、2x – 2 C 、2x – 2y

D 、2x + 2

f (x+y, xy) = (x+y)2-2xy , f(u,v)=u 2-2v, 所以 f(x,y)=x 2-2y=x 2+y 2 ∂f(x,y)∂x + ∂f(x,y)∂y

=2x-2 11. 二元函数 z = x 2 +y 2+4(x-y)的极小值为 ( D )

A 、8

B 、-12

C 、16

D 、-8

∂z ∂x =2x+4, ∂z ∂y

=2y-4, z 的极小值点为(-2,2)，z = x 2 +y 2+4(x-y)的极小值为 –8 12. 下列广义积分收敛的是 （ C ）

Ａ、⎰1+∞—— dx 4x 3 Ｂ、⎰e +∞lnx x dx Ｃ、⎰ 01—— dx 3x

Ｄ、⎰e +∞dx x lnx 利用常用广义积分的指数判别法 ⎰ 01

—— dx

3x 收敛

13. f(x,y)=ln x 2 -y 2 则 ∂2

f(x,y)

∂x ∂y =

（

C ） A 、x 2-y 2(x 2-y 2)2 B 、y 2-x 2(x 2-y 2)2 C 、2xy (x 2-y 2)2

D 、- 2xy (x 2-y 2)2 因为 ∂f(x,y)

∂x =1x 2 -y 2 •2x 2x 2 -y 2 =x x 2-y 2 ， 所以 ∂2f(x,y)∂x ∂y =2xy

(x 2-y 2)2

三。计算题 (每小题6分，共36分) 14. 计算定积分 ⎰ 04 e 2x+1

dx

[解]：原积分I ======2x+1 = t

x=(t 2-1)/2 ⎰ 13

t e t dt = te t |13 - ⎰ 13

e t dt =3e 3-e – (e 3-e) =2e 3

15. 计算定积分⎰ 13

———— arctan x

x(1+x) dx

[解]：原积分I ======x = t x=t 2 ⎰ 13

———— arctant t(1+t 2) 2tdt = 2⎰ 13

arctant d(arctant)

= [(arctant)2]13 = (π3)2- (π4)2

= 7π2/144

16. 已知 z = f(x 2y, x - 2y)，求 ∂z

∂x , ∂z

∂y , .

[解]：∂z

∂x = f 1'2xy+ f 2' ∂z

∂y = f 1'x 2 -2f 2'

∂2z

∂x ∂y = (f 11"x 2 -2f 12" )2xy+2xf 1' +f 21"x 2 –2f 22"

=2x 3y f 11" + (x 2-4xy) f 12"–2f 22"+2xf 1'

17. z=z(x,y) 由方程 2xz – 2xyz + ln(xyz) = 0确定，求(1,1)点处的全微分。

[解]：x=1,y=1 ⇒ z=1

F x '|(1,1,1)= [2z - 2yz +yz/xyz]|(1,1,1) = 1

F z '|(1,1,1)= [2x – 2xy +xy/xyz]|(1,1,1) = 1

F y '|(1,1,1)= [ - 2xz +xz/xyz]|(1,1,1) = -1

∂z

∂x |(1,1) = - F x '

F z '|(1,1) = -1, ∂z ∂y |(1,1) = - F y '

F z '|(1,1) = 1