《高等数学下》期中试题参考答案

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(整理)厦门大学年下学期高等数学期中考试卷及答案

-------------1. (10分) 求抛物线2=2y x与其上一点1(,1)2A 处的法线围成的平面图形的面积. 解：先求出抛物线2=2y x 在点1(,1)2A 处的法线方程.2=1=11()=12y y dx d y dydy =， ---------2分所求的法线方程为11=(1)()2y x ---，即3=2y x -. ---------3分则法线与抛物线的两个交点分别为19(,1)(3)22-，， ---------2分于是所围平面图形的面积为112233-33131116[()]d =()=222263S y y y y y y -=----⎰. ---------3分 2. (10分) 半径为R (单位为：米)的半球形水池充满了水(单位为：吨)，要把池内的水全部吸尽，需作多少功？解：取坐标系如图，考察区间[,+d ]x x x 所对应的小薄层，此薄层水重为22()d R x x π-(吨)，将此层水提高到水池外面的距离是x ，因此所作的微功为22d ()d W R x x x π=-， ---------6要将水池内的水全部吸尽，所作的总功为22401()d 4R W R x x x R ππ=-=⎰(吨.米) ---------4分 3. (10分) 某战斗机型在机场降落时，为了缩短滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开降落伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。

现有一质量为9000kg(公斤)的飞机，着陆时的水平速度为700km/h （千米/时）.假设减速伞厦门大学《高等数学》课程期中试卷答案 (2011.4.16)主考教师：理工类教学组试卷类型：（A 卷）打开后飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6.0⨯106 kg/h).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？解：由题设知 m=9000 kg ，着陆时的水平速度0=700v km/h ，从飞机接触跑道开始计时，设t 时刻飞机滑行的距离为x(t )，速度为v(t )。

高等数学(下)期中考试题及答案

2010 年4月高数A （下）期中考试试题答案班级姓名学号一、填空题（每空3分，共30分）1．设()2,z x y f x y =++-且当1y =时，23z x =+，则()f x =21x +。

2．设()222z y f x y =+-，其中()f u 可微，则z zyx x y∂∂+=∂∂2xy 。

3．设z u xy =，则()1,2,2d u =4d 4d 4ln 2d x y z ++。

4．设(),z z x y =由222x x y z yf y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭所确定，其中f 为可微函数，则zy∂=∂'22x x x f f y y y y z ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

5．曲面222315x y z ++=在点()1,1,2-处的切平面方程是412290x y z -++-=。

6．设函数cos u xy z =，则在点()2,1,0M -处的()div grad u = 2 。

7．设曲面222236,x y z n ++=是曲面上点()1,1,1P 处指向外侧的法线向量，函数u =P 点处沿方向n的方向导数 117 。

8．若交换积分次序，则()1320d ,d y y f x y x -=⎰()()()21133201d ,d d ,d x x x f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰⎰。

9．设L 为封闭曲线22143x y +=，其周长为a ，则()22234d L x y s ++=⎰ 14a 。

10. 设()()222d 23d 3d z xy x x x y y =+++，则z =233x y x y C +++。

二、(10分 ) 设()2ln ,,z f x y x y f =-具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂。

解：()''''1212'2""""111122122'"""1111222ln ,2,ln 221ln 2ln 2.z z xf y f f yf x y yf z x x y f f y f yf x y y y y x y x f f y y f yf y y y ∂∂=+=-∂∂⎡⎤∂=++-+-⎢⎥∂∂⎣⎦⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭三、（10分）计算()2d x y z S ∑++⎰⎰, 其中∑是球面2222R z y x =++中满足0,0x y ≥≥及0z ≥的那部分曲面块，R 为正数。

高等数学(下)期中考试题及答案

f ( x, y ) d x + ∫ d y ∫ y 2 f ( x, y ) d x ．
0 2
v
2
2
二、记 x − y = u ， ln x = v ，则 x = e ， y = e − u ，代入右端，得
f (u , v ) =
即
u u −2 v e ， v
x x −2 y e ． y ∂f 1 + x x −2 y ∂f x(1 + 2 y ) x−2 y = e ， =− e ． y y2 ∂x ∂y
五、设 F ( x, y, z ) = xyz + λ ( x + y + z − 5r ) ，令
3 2 2 2 2
Fx = yz 3 + 2λ x = 0 , Fy = xz 3 + 2λ y = 0 , Fz = 3 xyz 2 + 2λ z = 0 , x 2 + y 2 + z 2 = 5r 2 ,
x +1 y − 3 z = = 相交 1 1 2
参考答案
一、
⎡ ⎤ 2x 2y 1． d z |(1,2) = ⎢ dx+ d y⎥ 2 2 2 2 1+ x + y ⎣1 + x + y ⎦ 1 2 = dx+ d y． 3 3
2 2
3 2 a ．因此 4
M = ∫∫∫ z d V = ∫∫ d x d y ∫
Ω
D
a2 − x2 − y 2 a− a2 − x2 − y2
zdz =
1 [ 2a a 2 − x 2 − y 2 − a 2 ] d x d y ∫∫ 2 D
a 5 1 2π d θ ∫ 2 [ 2 a a 2 − ρ 2 − a 2 ] ρ d ρ = πa 4 ． ∫ 0 2 0 24 G G 2 八、(1) τ = 1,−2t ,3t ， n = (0 , 3 , 2 ) ． G G 令 τ ⋅ n = 0 ，得 t1 = 0 ， t 2 = 1 ，即 G G τ 1 = (1 , 0 , 0 ) ， τ 2 = (1 , − 2 , 3 ) ．

大一下学期高等数学期中考试试卷及答案

大一下学期高等数学期中考试试卷及答案一、选择题（共40题，每题2分，共80分）1. 计算∫(4x-3)dx的结果是：A. 2x^2 - 3x + CB. 2x^2 - 3x + 4C. 2x^2 - 3x + 1D. 2x^2 - 3x答案：A2. 曲线y = 2x^3 经过点(1, 2)，则函数y = 2x^3的导数为：A. 2x^2B. 6x^2C. 6xD. 2x答案：D3. 若a,b为实数，且a ≠ 0，则 |a|b 的值等于：A. aB. abC. 1D. b答案：B4. 设函数f(x) = x^2 + 2x + 1，g(x) = 2x - 1，则f(g(-2))的值为：A. 19B. 17C. 16D. 15答案：C5. 已知√2是无理数，则2-√2是：A. 有理数B. 无理数C. 整数D. 分数答案：A二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1. 设函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，则f'(1)的值为____。

答案：42. 已知函数f(x) = 4x^2 + ax + 3，若其图像与x轴有两个交点，则a的取值范围是____。

答案：(-∞, 9/4) ∪ (9/4, +∞)3. 三角形ABC中，AB = AC，角A的度数为α，则角B的度数为____。

答案：(180°-α)/24. 若函数y = f(x)在点x = 2处的导数存在，则f(x)在点x = 2处____。

答案：连续5. 若直线y = kx + 2与曲线y = x^2交于两个点，则k的取值范围是____。

答案：(-∞, 1) ∪ (1, +∞)三、解答题（共5题，每题20分，共100分）1. 计算∫(e^x+1)/(e^x-1)dx。

解：令u = e^x-1，则du = e^xdx。

原积分变为∫(1/u)du = ln|u| + C = ln|e^x-1| + C。

2. 求函数y = x^3 + 2x^2 - 5x的驻点和拐点。

【必考题】高三数学下期中试卷附答案

【必考题】高三数学下期中试卷附答案一、选择题1．若直线()100,0ax by a b ++=>>把圆()()224116x y +++=分成面积相等的两部分，则122a b+的最小值为( ) A ．10B ．8C ．5D ．42．设,x y 满足约束条件3002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩, 则3z x y =+的最小值是 A ．5-B ．4C ．3-D ．113．已知x ，y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，z ＝2x +y 的最大值为m ，若正数a ，b 满足a +b ＝m ，则14a b+的最小值为（） A ．3B ．32C ．2D ．524．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（） A ．138B ．135C ．95D ．235．已知,,a b R +∈且115a b a b+++=,则+a b 的取值范围是（） A ．[1,4]B ．[)2,+∞C ．(2,4)D ．(4,)+∞6．数列{}n a 为等比数列，若11a =，748a a =，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则5(S = )A ．3116B ．158C ．7D ．317．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为2a +，则实数a 的取值范围是（）.A ．(,7]-∞-B ．[3,1]-C ．[1,)+∞D ．[7,3]--8．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（）A ．0B ．1C ．2D ．39．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（） A ．12B ．10C．D．10．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （）A ．18B ．34C ．23 D ．1611．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（） A ．5B ．25CD．12．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（） A ．2B ．92 C ．143D ．5二、填空题13．要使关于x 的方程()22120x a x a +-+-=的一根比1大且另一根比1小，则a 的取值范围是__________．14．已知等比数列{}n a 的公比为2,前n 项和为n S ,则42S a =______. 15．已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.16．若ABC ∆的三个内角45A =︒，75B =︒，60C =︒，且面积6S =+形的外接圆半径是______17．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=L ，且13k a =,则k =_________．18．已知实数x y ，满足2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩则2z x y =-的最大值是____．19．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？ 20．设等差数列{}na 的前n 项和为n S ．若35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列，则数列{}n a 的通项公式n a =____．三、解答题21．已知000a b c ＞，＞，＞，函数().f x a x x b c =-+++ (1)当1a b c ===时,求不等式()3f x ＞的解集；(2)当()f x 的最小值为3时,求111a b c++的最小值. 22．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin tan cos sin tan cos b B C b B a A C a A -=-．（1）求证：A B =；（2）若c =3cos 4C =，求ABC ∆的周长．23．已知角A ，B ，C 为等腰ABC ∆的内角，设向量(2sin sin ,sin )m A C B =-r，(cos ,cos )n C B =r，且//m n r r，BC =（1）求角B ；（2）在ABC ∆的外接圆的劣弧»AC 上取一点D ，使得1AD =，求sin DAC ∠及四边形ABCD 的面积．24．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且4cos 5A =．（1）求2sincos 22B CA ++的值；（2）若2b =，ABC ∆的面积3S =，求a 的值． 25．已知数列{}n a 满足：121n n a a n +=-+，13a =.（1）设数列{}n b 满足：n n b a n =-，求证:数列{}n b 是等比数列；（2）求出数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S .26．D 为ABC V 的边BC 的中点．222AB AC AD ===．（1）求BC 的长；（2）若ACB ∠的平分线交AB 于E ，求ACE S V ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】【分析】由于直线将圆平分，故直线过圆的圆心，将圆心坐标代入直线方程，利用“1”的代换的方法以及基本不等式，求得所求和的最小值. 【详解】圆的圆心为()4,1--，由于直线将圆平分，故直线过圆心，即410a b --+=，即41a b +=，故()121288444282222b a b a a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当82b aa b =，即11,82a b ==时，取得最小值为8.故选B. 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用“1”的代换和基本不等式求解和式的最小值问题.直线能将圆平分成面积相等的两个部分，则这条直线是经过圆心的.要注意的是，圆的标准方程是()()222x a y b r -+-=，圆心是(),a b ，所以本题的圆心是()4,1--，而不是()4,1.2．C解析：C 【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．由3z x y =+可得3y x z =-+．平移直线3y x z =-+，结合图形可得，当直线3y x z =-+经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 也取得最小值．由300x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得3232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点A 的坐标为33(,)22-．∴min 333()322z =⨯-+=-．选C ． 3．B解析：B 【解析】【分析】作出可行域，求出m ，然后用“1”的代换配凑出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值．【详解】作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，平移该直线，当直线l 过点(3,0)A 时，2x y +取得最大值6，所以6m =．1411414143()()(5)(5)6662b a b a a b a b a b a b a b +=++=++≥+⨯=，当且仅当4b a a b =，即12,33a b ==时等号成立，即14a b +的最小值为32．故选：B. 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值．4．C解析：C 【解析】试题分析：∵24354{10a a a a +=+=，∴1122{35a d a d +=+=，∴14{3a d =-=， ∴1011091040135952S a d ⨯=+⨯=-+=．考点：等差数列的通项公式和前n 项和公式．5．A解析：A 【解析】分析：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，可得()214ab a b ≥+，又115a b a b +++=，可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭，化简整理即可得出.详解：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，可得()214ab a b ≥+，又115a b a b+++=，可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭，化为()()2540a b a b +-++≤，解得14a b ≤+≤，则+a b 的取值范围是[]1,4. 故选：A.点睛：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.6．A解析：A 【解析】【分析】先求等比数列通项公式，再根据等比数列求和公式求结果. 【详解】Q 数列{}n a 为等比数列，11a =，748a a =，638q q ∴=，解得2q =， 1112n n n a a q --∴==， Q 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ， 55111111131211248161612S ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭∴=++++==-．故选A ．【点睛】本题考查等比数列通项公式与求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.7．B解析：B 【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值. 【详解】作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域（如图阴影部分），目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距，即y ax z =-+，（1）当0a <时，直线z ax y =+的斜率为正，要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得，则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率，即3a -≤，30a ∴-≤<.（2）当0a >时，直线z ax y =+的斜率为负，易知最小值在A 处取得，要使得z 的最大值在C 处取得，则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率1a -≥-， 01a ∴<≤.（3）当0a =时，显然满足题意. 综上：31a -≤….故选：B . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.8．D解析：D 【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数z x y =+经过(3,0)A 时z 取得最大值，故max 303z =+=，故选D ．点睛:本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．9．A解析：A 【解析】由已知24356a a q q +=+=，∴22q =，∴25735()2612a a q a a +=+=⨯=，故选A.10．A解析：A 【解析】【分析】利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos bC C a=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =，利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=则22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅即：2sin 4sin cos 3sin 222C C CC ==()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴= 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.11．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得c =．由余弦定理可得：5b ===． 12．B解析：B 【解析】【分析】由1x y +=得(1)2x y ++=，再将代数式(1)x y ++与141x y++相乘，利用基本不等式可求出141x y++的最小值．【详解】1x y +=Q ，所以，(1)2x y++=，则1414412()[(1)]()559111x y x y x y x y y x ++=+++=++=+++…，所以，14912x y ++…，当且仅当4111x y y x x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，即当2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，因此，141x y ++的最小值为92，故选B ．【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．二、填空题13．【解析】【分析】设要使得关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小转化为即可求解【详解】由题意设要使得关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小根据二次函数的图象与性质则满足即即解得即实数的取值范围是【点睛解析：21a -<<【解析】【分析】设()22(1)2f x x a x a =+-+-，要使得关于x 的方程22(1)20x a x a +-+-=的一根笔译1大且另一根比1小，转化为()10f <，即可求解. 【详解】由题意，设()22(1)2f x x a x a =+-+-，要使得关于x 的方程22(1)20x a x a +-+-=的一根笔译1大且另一根比1小，根据二次函数的图象与性质，则满足()10f <，即220a a +-<，即(1)(2)0a a -+<，解得21a -<<，即实数a 的取值范围是21a -<<. 【点睛】本题主要考查了一元二次函数的图象与性质的应用问题，其中解答中把关于x 的方程22(1)20x a x a +-+-=的一根笔译1大且另一根比1小，转化为(1)0f <是解得的关键，着重考查了转化思想，以及推理运算能力.14．【解析】由等比数列的定义S4=a1＋a2＋a3＋a4=＋a2＋a2q ＋a2q2得＋1＋q ＋q2=解析：152【解析】由等比数列的定义，S 4=a 1＋a 2＋a 3＋a 4=2a q＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得42S a =1q ＋1＋q ＋q 2=152. 15．5【解析】【分析】画出不等式表示的可行域利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)化直线为当直线平移过点A 时z 取得最大值联立直线得A （解析：5 【解析】【分析】画出不等式表示的可行域，利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)，化直线2z x y =+为122z y x =-+ 当直线平移过点A 时，z 取得最大值，联立直线3010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得A （1,2），故max 145z =+=故答案为：5【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，是基础题16．【解析】【分析】设三角形外接圆半径R 由三角形面积公式解方程即可得解【详解】由题：设三角形外接圆半径为R （）根据正弦定理和三角形面积公式：即解得：故答案为：【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应解析：2【解析】【分析】设三角形外接圆半径R ，由三角形面积公式21sin 2sin sin sin 2S ab C R A B C ==解方程即可得解. 【详解】由题：232162sin sin 75sin(4530)22224B =︒=︒+︒=+=设三角形外接圆半径为R （0R >），根据正弦定理和三角形面积公式：211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅= 即2236232226R +⨯+=，解得：R =故答案为：【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应用，利用正弦定理对面积公式进行转化求出相关量，需要对相关公式十分熟练.17．18【解析】观察下标发现4710成等差数列所以同理解析：18 【解析】471017a a a ++=，观察下标发现4，7，10成等差数列，所以74710317a a a a =++=，7173a ∴=同理94561213141177a a a a a a a =++++++=L ，97a ∴=423d ∴=，23d =91376k a a -=-=2693÷=9918k ∴=+=18．7【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域得到△ABC 及其内部其中A （53）B （﹣13）C （20）然后利用直线平移法可得当x=5y=3时z=2x ﹣y 有最大值并且可以得到这个最大值详解：根据约束条件画解析：7 【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域，得到△ABC 及其内部，其中A （5，3），B （﹣1，3），C （2，0）．然后利用直线平移法，可得当x=5，y=3时，z=2x ﹣y 有最大值，并且可以得到这个最大值．详解：根据约束条件2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩画出可行域如图，得到△ABC 及其内部，其中A （5，3），B （﹣1，3），C （2，0）平移直线l ：z=2x ﹣y ，得当l 经过点A （5，3）时， ∴Z 最大为2×5﹣3=7．故答案为7．点睛：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．19．9【解析】解：由题意可知：良马与驽马第天跑的路程都是等差数列设路程为由题意有：故：满足题意时数列的前n 项和为由等差数列前n 项和公式可得：解得：即二马相逢需9日相逢点睛：本题考查数列的实际应用题(1)解析：9 【解析】解：由题意可知：良马与驽马第n 天跑的路程都是等差数列，设路程为{}{},n n a b ，由题意有：()()1111031131390,97197222n n a n n b n n ⎛⎫=+-⨯=+=+-⨯-=-+ ⎪⎝⎭，故：111871222n n n c a b n =+=+ ，满足题意时，数列{}n c 的前n 项和为112522250n S =⨯= ，由等差数列前n 项和公式可得：11111871218712222222502n n ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯= ，解得：9n = . 即二马相逢，需9日相逢点睛：本题考查数列的实际应用题. (1)解决数列应用题的基本步骤是：①根据实际问题的要求，识别是等差数列还是等比数列，用数列表示问题的已知； ②根据等差数列和等比数列的知识以及实际问题的要求建立数学模型； ③求出数学模型，根据求解结果对实际问题作出结论． (2)数列应用题常见模型：①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型是等差数列模型，增加(或减少)的量就是公差；②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比；③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n 与a n －1的递推关系，或前n 项和S n 与S n －1之间的递推关系．20．【解析】设等差数列的公差为d ∵且成等差数列∴解得 ∴ 解析：21n -【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列， ∴111125,7211020a d a a d a d +=⎧⎨++=+⎩解得11,2a d =⎧⎨=⎩ ∴21n a n =-三、解答题21．（1）{|11}x x x <->或；（2）3 【解析】【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）先用绝对值不等式的性质求出最小值为a +b +c ＝3，然后用基本不等式可得．【详解】（1）()111f x x x =-+++， ∴1123x x ≤-⎧⎨->⎩或1133x -<<⎧⎨>⎩或1213x x ≥⎧⎨+>⎩，解得{|11}x x x 或-.（2）f x x a x b c =-+++ a x x b c a b c ≥-+++=++ 3a b c =++=，()11111113a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 133b a c a c b a b a c b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1322233≥+++=. 当且仅当1a b c ===时取得最小值3. 【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 22．（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求in 0()s A B -=，可得()A B k k Z π-=∈，结合范围A ，(0,)B π∈，即可得证A B =．（2）由（1）可得a b =，进而根据余弦定理可求a b ==ABC ∆的周长．【详解】（1）sin tan cos sin tan cos b B C b B a A C a A -=-Q ，∴sin sin sin sin cos cos cos cos b B C a A Cb B a A C C-=-，sin sin cos cos sin sin cos cos b B C b B C a A C a A C ∴-=-， cos()cos()a A C b B C ∴+=+，又A B C π++=Q ，cos cos a B b A ∴-=-，sin cos sin cos A B B A ∴-=-， sin()0A B ∴-=，()A B k k Z π∴-=∈，又A Q ，(0,)B π∈，A B ∴=．（2）Q 由（1）可知A B =，可得a b =，又c =Q 3cos 4C =，∴2232342a a-==，226a b ∴==，可得a b ==ABC ∆∴的周长a b c ++=【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用、余弦定理在解三角形中的综合应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意三角函数求值时，要先写出角的范围．23．（1）3B π=（2 【解析】【分析】（1）利用向量共线的条件，结合诱导公式，求得角B 的余弦值，即可得答案；（2）求出CD ，23ADC ∠=π，由正弦定理可得sin DAC ∠，即可求出四边形ABCD 的面积．【详解】（1）Q 向量(2sin sin ,sin )m A C B =-r ，(cos ,cos )n C B =r，且//m n r r，(2sin sin )cos sin cos A C B B C ∴-=，2sin cos sin()A B B C ∴=+，2sin cos sin A B A ∴=，1cos 2B ∴=， 0B Q π<<，3B π∴=；（2）根据题意及（1）可得ABC ∆是等边三角形，23ADC ∠=π， ADC ∆中，由余弦定理可得22222cos3AC AD CD AD CD π=+-⋅⋅， 260CD CD ∴+-=，2CD ∴=，由正弦定理可得sin 21sin 7CD ADC DAC AC ∠∠==， ∴四边形ABCD 的面积．119317sin 77sin 22S DAC ABC =⨯⨯∠+⨯⨯∠=．【点睛】本题考查向量共线条件的运用、诱导公式、余弦定理、正弦定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将四边形的面积分割成两个三角形的面积和. 24．（Ⅰ）5950（Ⅱ）a =13 【解析】【分析】【详解】222221131sin cos 2cos 12sin cos 12sin cos 2sin 222222 B C A A A A A A A ++=+-=++-=+-⋅3sin 5A =,4cos 5A ∴= 2231314959sin cos 2cos 2sin 2222225 5 250B C A A A ++=+-=+⨯-⨯= （2）133sin ,2,sin 25bc A b A ===25．⑴见证明；⑵()11222n n n ++-+【解析】【分析】（1）由递推公式计算可得12n nb b +=，且1112b a =-=，据此可得数列{}n b 是等比数列. （2）由（1）可得2n n b =，则2nn a n =+，分组求和可得()11222n n n n S ++=-+.【详解】（1）()()()11121122n n n n n n n n a n a n n a n b b a n a n a n++-+-+-+-====---，又111312b a =-=-={}n b ∴是以2为首项，2为公比的等比数列，（2）由（1）得2n n b =，2nn a n ∴=+，()()()()()12122122...222...2123...n n n S n n ∴=++++++=++++++++()()()121211221222nn n n n n +-++=+=-+-.【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 26．（1）=BC 2）20【解析】【分析】（1）由题意知21AB AC AD ===，．设BD DC m ==，在ADB △与ADC V 中，由余弦定理即可解得m 的值．（2）在ACE △与BCE V 中，由正弦定理，角平分线的性质可得6AE AC BE BC ==．可求BE =，215AE =（）．利用余弦定理可求cos BAC ∠的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin BAC ∠的值，利用三角形的面积公式即可计算得解．【详解】解：（1）由题意知21AB AC AD ===，．设BD DC m ==．在ADB V 与ADC V 中，由余弦定理得：2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．即：212cos 4m m ADB +-∠=，①212cos 1m m ADB ++∠=．②由①+②，得：232m =，所以m =BC = （2）在ACE V 与BCE V 中，由正弦定理得：,sin sin sin sin AE EC BE ECACE EAC BCE CBE==∠∠∠∠，由于ACE BCE ∠=∠，且sin sin BC ACBAC CBA=∠∠，所以AE AC BE BC ==所以BE =，所以215AE =（）．又222222121cos 22214AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===-⋅⨯⨯，所以sin BAC ∠=，所以11211225ACE S AC AE sin BAC =⋅⋅∠=⨯⨯=V （）．【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，角平分线的性质，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．。

2023-2024学年河北省石家庄市高一下册期中数学试题(含解析)

2023-2024学年河北省石家庄市高一下册期中数学试题一、单选题1．复数12i 55z =--的虚部为（）A ．2i5B ．2i5-C ．25D ．25-【正确答案】D【分析】根据复数虚部的定义即可得解.【详解】复数12i 55z =--的虚部为25-.故选：D.2．已知幂函数()y f x =的图象经过点，则13log (3)f 的值是（）A ．13-B ．1C ．13D ．-1【正确答案】A【分析】设()a f x x =，代入点的坐标求得a ，然后再计算函数值．【详解】()a f x x =，则由题意和13(3)33a f ===，13a =，∴1311133311log (3)log 3log 333f ===-．故选：A ．本题考查幂函数的定义，考查对数的运算，属于基础题．3．在ABC ∆中，sin sin A B =是ABC ∆为等腰三角形的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【详解】因为ABC ∆中，sin sin A B =，则A=B ，那么ABC ∆为等腰三角形，反之，不一定成立，故sin sin A B =是ABC ∆为等腰三角形的充分不必要条件，选A4．四边形ADEH 由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令EAD α=∠，FAD β∠=，则()tan βα-=（）A ．1B ．43C ．17D ．76【正确答案】C【分析】由正切函数的定义即可求得11tan ,tan 32αβ==，再根据正切的和差公式即可求解.【详解】依题意，设正方形的边长为1，根据正切函数的定义有：11tan ,tan 32αβ==，所以()11tan tan 123tan 111tan tan 7132βαβααβ---===++⨯.故选：C.5．如图是函数()H x 图像的一部分，设函数()cos f x x =，()1g x x =+，则()H x 可以表示为（）A ．()()f x g x +B ．()()f x g x -C ．()()⋅f x g xD ．()()f xg x 【正确答案】D【分析】根据图象特征取特值分析排除.【详解】由图象可得：()01H =，但()()10100f g =-=-，故B 不符合；()π0H <，但()()ππ1π1π0f g =-++=>+，故A 不符合；()2π1H <，但()()()12π21πππ2121f g =⨯+=+>，故C 不符合；故选：D.6．2023年3月25日，石家庄市第一中学科研综合楼建筑工地中的基坑己基本竣工，“基坑”是在基础设计位置按基底标高和基础平面尺寸所开挖的土坑.如图，某同学为测量深9m 基坑中塔吊的高度MN ，在塔吊的正北方向为星华楼，其高AB 约为17m ，在地面上点C 处（,,B C D 三点位于地平线处）测得星华楼顶部A 、塔吊项部M 的仰角分别为30︒和45︒，在A 处测得塔吊顶部M 的仰角为15︒，则塔吊的高度MN 约为（）A ．34mB ．43mC ．52mD ．74m【正确答案】B【分析】在Rt ABC △中，求出AC ，在ACM △中，利用正弦定理求出MC ，再在Rt MCD △中，求出MD 即可.【详解】由题意，在Rt ABC △中，30,17ACB AB ∠=︒=，则34AC =，在ACM △中，105,45ACM CAM ∠=︒∠=︒，则30AMC ∠=︒，因为sin sin AC MCAMN CAM=∠∠，所以34212MC ==在Rt MCD △中，45MCD ∠=︒，则sin 342MD MC MCD =⋅∠==，所以43m MN MD DN =+=.故选：B.7．如图在ABC 中，90ABC ∠=︒，F 为AB 中点，3CE =，8CB =，12AB =，则EA EB ⋅=（）A ．15-B ．13-C ．13D ．15【正确答案】C【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积；【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则(12,0)A ，(0,0)B ，(0,8)C ，(6,0)F ，又3CE =，8CB =，12AB =，则10CF ，即310CE FC =，即710FE FC =，则()()9286,67710100,8,55BE BF FC ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭，则,552851EA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，928,55EB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，则25281355951EA EB ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选：C ．8．已知锐角ABC 的内角,,A B C的对边分别为,,a b c ，若a 223b c bc +-=，则ABC 面积的取值范围是（）A ．⎝⎦B ．⎝⎭C ．⎝⎭D ．⎝⎦【正确答案】A【分析】结合式子223b c bc +-=的特点，联系余弦定理，以及a =ABC的面积，sin(2)264ABC S B π=-+，结合三角函数的图像求出范围.【详解】由于a =，223b c bc +-=，2221cos 22b c a A bc +-==，且(0,)A π∈，所以3A π=，那么外接圆半径为112=，2121sin 2sin 2sin()(cos sin )243223311sin cos sin 2cos 2)2422122))26ABC S bc A B B B B B B B B B B B B B ππ==⋅⋅-=+=+=+-=-+-+ 由于02262032B B B πππππ⎧<<⎪⎪⇒<<⎨⎪<-<⎪⎩，所以52666B πππ<-<，1sin(2126B π<-≤，故24ABC S <≤△.故选：A.二、多选题9．已知i 是虚数单位，则下列说法正确的有（）A ．3i i=-B ．“0a =”是“复数i(,R)a b a b +∈是纯虚数”的必要不充分条件C ．若复数i(R)z a a =+∈，且||2z =，则a =D ．若复数z 满足232i z z +=-，则复数12z i =-【正确答案】ABD【分析】根据虚数单位的幂的性质运算可得A 正确；根据纯虚数的定义，结合充分、必要条件的概念可判定B 正确；利用复数的模的计算公式求解，可判定C 错误；根据共轭复数的概念和复数相等的条件可以求解，得到D 正确.【详解】32i i i i =⋅=-,故A 正确；当0a =时，若0b =复数i=0a b +是实数，不是虚数，更不是纯虚数，故充分性不成立；当i(,R)a b a b +∈是纯虚数，则0a =且0b ≠，故必要性成立，所以B 正确；复数i(R)z a a =+∈，且||2z ==，则a =，故C 错误；设i(,R)z a b a b =+∈，则i z a b =-，所以由232i z z +=-得()2i i 3i 32i a b a b a b ++-=+=-，∴1,2a b ==-，则复数12z i =-，故D 正确.故选：ABD10．已知2()sin 22cos 1f x x x =+-，下列结论错误的是（）A ．函数()f x 在区间3ππ,88⎡⎤-⎢⎣⎦上是减函数B ．点3π,08⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心C ．函数()f x的图象可以由函数2y x =的图象向左平移π4个单位长度得到D ．若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的值域为⎡-⎣【正确答案】BD【分析】根据降幂公式及辅助角公式化简()f x 的解析式，再根据三角函数单调性、对称性、三角函数图象变换、值域逐一分析判断即可.【详解】2()sin 22cos o πsin 2c s 2241f x x x x x x ⎛⎫=++ ⎪=+-⎝⎭，对于A ，3πππππ288242x x -≤≤⇒-≤+≤，所以()f x 在区间3ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，A 错误；对于B ，因为3π3ππsin sin π0844f ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点3π,08⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心，B 正确；对于C ，2y x =的图象向左平移π4个单位长度得到：()ππ22242y x x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，C 选项错误；对于D ，由πππ5π0,2,2444x x ⎡⎤⎡⎤∈⇒+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则()ππsin 2,2424x f x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡+∈=+∈-⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎝⎭⎝⎭⎣⎦，D 选项正确.故选：BD.11．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S 现有△ABC 满足sin :sin :sin 2:3:A B C =，且ABC S =△，请判断下列命题正确的是（）A ．△ABC 周长为5B ．3C π=C ．△ABC 的外接圆半径为3D ．△ABC 中线CD 的长为2【正确答案】BC【分析】由题设及正弦定理得::2:a b c =a 、b 、c 判断A 的正误；应用余弦定理求角C ，正弦定理求外接圆的半径，作DE AC ⊥应用勾股定理求CD .【详解】由题设及正弦定理知：::2:a b c =2,3,a x b x c ===且0x >，26S ==2x =，所以4,6,a b c ===ABC 周长为10+A 错误；2221cos 22a b c C ab +-==，又0C π<<，则3C π=，B 正确；△ABC 的外接圆半径为2sin c R C ==C 正确；如下图，过D 作DE AC ⊥，由题设知：162ADC S DE ==⨯⋅ ，则DE =又2cAD =，可得2AE =，故4CE =，所以CD ==D 错误.故选：BC12．已知函数()()2ln 1,143,1x x f x x x x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 在[]0,2上单调递减B ．函数()f x 的值域是[)1,-+∞C ．若方程()f x a =有5个解，则a 的取值范围为()0,3D ．若函数()f x a -有3个不同的零点()123123,,x x x x x x <<，则12311x x x ++的取值范围为(),3-∞-【正确答案】BCD【分析】AB 选项，画出()f x 的图象，数形结合得到函数的单调性和值域，得到A 错误，B 正确；C 选项，方程()f x a =有5个解，转化为()y f x =与y a =有5个交点，数形结合得到a 的取值范围；D 选项，由零点个数得到14x <-，由对数函数的性质得到()23230x x x x -+=，从而求出12311x x x ++的取值范围.【详解】()()()()222ln 1,2ln 1,12ln 1,143,143,0143,0x x x x x x f x x x x x x x x x x ⎧-≥⎪⎧--<<->⎪⎪==⎨⎨-+≤-+<≤⎪⎪⎩⎪++≤⎩，画出()f x 的图象，如下：A 选项，函数()f x 在[]0,1和(]1,2上单调递减，不能说在[]0,2上单调递减，A 错误；B 选项，函数()f x 在2x =-处取得最小值为1-，故值域是[)1,-+∞，B 正确；C 选项，若方程()f x a =有5个解，则要满足()y f x =与y a =有5个交点，故0<<3a ，所以a 的取值范围为()0,3，C 正确；D 选项，若函数()f x a -有3个不同的零点()123123,,x x x x x x <<，则()3,a ∈+∞，令211433x x ++>，解得：14x <-，又()()23ln 1ln 1x x --=-，因为ln y x =在()0,∞+上单调递增，解得：32111x x =--，即()23230x x x x -+=，()231112323111,3x x x x x x x x x ++-=++∈∞+-=，故12311x x x ++的取值范围为(),3-∞-.故选：BCD 方法点睛：函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.三、填空题13．已知tan 3α=，则cos cos()22sin πααπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=______.【正确答案】13【分析】先根据诱导公式化简，再弦化切，即可求解.【详解】解：因为tan 3α=，所以cos cos()sin cos tan 1122sin 2sin 2tan 3πααπαααααα⎛⎫-++ ⎪--⎝⎭===，故1314．已知△ABC 是边长为3的正三角形，则AB BC ⋅=______．【正确答案】92-/ 4.5-【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.【详解】()2AB BC AB AC AB AB AC AB⋅=⋅-=⋅- 299cos 60922AB AB AC =⋅⋅︒-=-=- .故92-15．已知复数z 满足(2i)34i z +=+（i 为虚数单位），则z =______．【分析】根据复数的除法运算和模的定义求解.【详解】由(2i)34i z +=+得()()()()34i 2i 34i 105i2i 2i 2i 2i 5z +-++====+++-，所以z =故答案为:16．如图，ABC 中点,D E 是线段BC 上两个动点，且AD AE xAB y AC +=+ ，则9x yxy+的最小值为______．【正确答案】8【分析】设AD mAB nAC =+uuu r uu u r uuu r ，AE AB AC λμ=+ ，由B ，D ，E ，C 共线可得2x y +=，再利用乘“1”法求解最值.【详解】设AD mAB nAC =+uuu r uu u r uuu r ，AE AB AC λμ=+ ，B ，D ，E ，C 共线，1m n ∴+=，1λμ+=．AD AE xAB y AC +=+，则2x y +=，点D ，E 是线段BC 上两个动点，0x ∴>，0y >．∴991191191()()(10)(1028222x y y x x y xy x y x y x y +=+=++=+++则9x y xy+的最小值为8．故8．由向量共线定理的推论得到2x y +=是解题关键，乘“1”法求解最值是基本不等式求最值的常用方法..四、解答题17．已知复数()22341i z a a a =+-+-，其中i 为虚数单位，a ∈R .(1)若z 为纯虚数，求a 的值；(2)若z 在复平面内对应的点在第二象限，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)4-(2)(4-，1)-【分析】（1）根据纯虚数的定义列方程组求解；（2）利用复数对应点所在的象限得到复数的实部和虚部的正负，得到不等式组求解即可.【详解】（1）由()22341i z a a a =+-+-是纯虚数，可得2234010a a a ⎧+-=⎨-≠⎩，解得4a =-.（2）由已知得2234010a a a ⎧+-<⎨->⎩，解得41a -<<-，实数a 的取值范围是(4-，1)-.18．已知向量,a b 满足||1,||2a b == .(1)若||a b +=，求|23|a b - 的值；(2)若()0a a b ⋅-= ，求,a b 的夹角.【正确答案】(1)(2)π3【分析】（1）将条件平方后，利用向量的数量积的运算求得向量,a b 的数量积，进而求得223a b - ，从而得到|23|a b - 的值；（2）根据条件利用向量的数量积的运算求得1cos ,2a b =，进而得解.【详解】（1）由||a b += 两边平方得2225a b a b ++⋅= ，又||1,||2a b == ，代入得0a b ⋅= ，所以222234912a b a b a b -=+-⋅ 4194040=⨯+⨯-=，所以|23|a b -= （2）2()cos ,12cos ,0a a b a a b a b a b ⋅-=-⋅=-= ，∴1cos ,2a b =，又∵[],0,π∈ a b ，∴π,3a b = .19．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量(1,)m a = ，(,cos cos )n a b C c B =+ ，且m n ∥.(1)求a ；(2)若π,3A ABC = ABC 的周长.【正确答案】(1)1(2)3【分析】(1)根据向量平行，再结合正弦定理，即可求出a.(2)先根据面积公式求出1bc =，再结合余弦定理，即可求解.【详解】（1）解：因为m n ∥，所以2cos cos b C c B a +=，根据正弦定理得，sin cos sin cos sin B C C B a A +=,即()sin sin B C a A +=，即sin sin A a A =,又()0,π,sin 0A A ∈≠，所以1a =.（2）1πsin 234ABC S bc == ,所以1bc =根据余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-,即()()2222133b c bc b c bc b c =+-=+-=+-，所以2b c +=，所以ABC 的周长为3a b c ++=.20．某企业新研发了一款产品，通过对这款产品的销售情况调查发现：该产品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格()R x （单位：元）与时间x （单位：天）的函数关系近似满足10()10R x x =+，该产品的日销售量()P x （单位：个）与时间x 部分数据如下表所示：x51015202530()P x 105110115120115110(1)现提供两种函数模型：①()e bx P x a =；②()20P x a x b =-+，请你根据上表中的数据特征，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该产品的日销售量()P x 与时间x 的函数关系，并求出该函数的解析式；(2)求该产品的日销售总收入()()*130,Q x x x ≤≤∈N （单位：元）的最小值.（注：日销售总收入=日销售价格⨯日销售量）【正确答案】(1)()20P x a x b =-+，()*()2012130,0P x x x x =-+≤≤∈-N (2)34103元【分析】（1）根据表格数据，()P x 的函数值关于20x =对称，故选择()20P x a x b =-+合适，代入值求出参数a 、b 的值，即可得解；（2）首先求出()Q x 的解析式，再分*120,N x x ≤≤∈、*2030,N x x <≤∈两种情况讨论，利用基本不等式及函数的单调性求出函数的最小值.【详解】（1）解：根据表格数据，()P x 的函数值关于20x =对称，故选择()20P x a x b =-+合适，又(5)52015105P a b a b =-+=+=，(10)102010110P a b a b =-+=+=，解得1,120a b =-=，故()20120P x x =--+，验证均满足，所以()*()2012130,0P x x x x =-+≤≤∈-N .（2）解：()10()()()(1020120Q x P x R x x x=⋅=+⋅--+**1000101010,120,N 1400101390,2030,N x x x x x x x x ⎧++≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-++<≤∈⎪⎩，当*120,N x x ≤≤∈时，1000()10101010101210Q x x x =++=≥，当且仅当100010x x=，即10x =时等号成立；当*2030,N x x <≤∈时，140010139()0Q x x x -++=在(]20,30上单调递减，故最小值为14003410300139030(30)3Q -++==.综上所述：当30x =时，()Q x 有最小值为34103元.21．已知函数211()sin cos 1)cos cos 222f x x x x x =⋅---.(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)将函数()f x 的图象上每一点的横坐标伸长原来的两倍，纵坐标保持不变，得到函数()g x 的图象，若方程()02m g x +=在[0,π]x ∈上有两个不相等的实数解12,x x ，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.(2)(2,m ∈-【分析】(1)利用三角恒等变换化简()f x 的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，求得()f x 的单调增区间；(2)由函数()sin y A ωx φ=+的图像伸缩变换求得()g x 的解析式，再利用正弦函数化简，求出m 的取值范围.【详解】（1）())21sin cos sin 21cos 222f x x x x x x =⋅=-+1πsin 22sin 222232x x x ⎛⎫=---- ⎪⎝⎭因此()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，Z k ∈，解得()f x 的单调递增区间为：π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.（2）由题意得()π3sin 32g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则方程()302m g x ++=可化简为π33πsin sin 032232m m x x +⎛⎫⎛⎫--+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即πsin 32m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，令π3t x =-，[]0,πx ∈ ，则π2π,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，设sin y t =，由图像可知，方程()302m g x ++=在[]0,πx ∈上要有两个不相等的实数解1x ，2x 3122m ⇔≤-<即23m -<≤-,即(2,3m ∈-22．已知定义在R 上的奇函数12()2x x m f x n+-+=+，（其中,m n 为常数）.(1)求实数,m n 的值；(2)求不等式()1()04f f x f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的解集.【正确答案】(1)1m =，2n =(2)()2,log 3-∞【分析】（1）根据函数是定义在R 上的奇函数，可得()00f =，()()11f f -=-，即可得解；（2）先利用定义法判断函数的单调性，再根据函数的奇偶性及单调性解不等式即可.【详解】（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，即102m n-+=+，所以1m =，经检验符合题意，故121()2x x f x n+-+=+，由()()11f f -=-，得1121214n n-+-+=-++，解得2n =，经检验，符合题意，所以1m =，2n =；（2）由（1）得12111()22221x x x f x +-+==-+++，令12x x <，则()()()()12211221112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++，因为12x x <，所以12120,10,102222x x x x -<+>+>，所以()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，所以函数()f x 在R 上为减函数，由函数为奇函数，得不等式()1()04f f x f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即为()1()4f f x f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，所以()14f x >-，即1211224x x +-+>-+，整理得23x <，所以2log 3x <，所以不等式()1()04f f x f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的解集为()2,log 3-∞.关键点点睛：根据函数为奇函数，将不等式()1()04f f x f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭转化为()1()4f f x f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭是解决本题的关键.。

06-07高数(下)期中考试C卷参考答案

（B）处处有极限，但不连续
（C）仅在（0，0）点连续
（D）除（0，0）点外处处连续
8．曲面 z f (x, y) 上对应于点 (x0 , y0 , z0 ) 处与 z 轴正向成锐角的法向量 n 可取为
（D ）．
（A）． (1, fx(x0, y0), fy(x0, y0)) ；（B）． ( fx(x0, y0), fy(x0, y0),1) ；
1x 3x2 y2dy ；
00
（B）．
1
dx
1x2 3x2 y2dy ；
0
0
（C）．
1 y
dx
13x2 y2dy ；
0
0
（D）．
1
dx
1x2 3x2 y2dy
0
0
10．设 D 是以 A(1,1), B(1,1) 和 C(1, 1) 为顶点的三角形区域， D1 是 D 在第一象
解: x e y 3xz
y ez 3xy
z e y 3xz
13．设
f
具有二阶连续偏导数， z

f
( x sin
y,
x),
求
z x
,
2z x2
.
解:
z x

f1sin
y

f2,
2z x2

f11 sin2
y

2 f12 sin
y

f22.
14．求函数 z 2x2 3xy 2y2 4x 3y 1的极值．
6．设有三非零向量 a,b,c ．若 a b 0,a c 0 ，则 b c （B
）．
（A）-1；
（B）0；

高数下期中试题及答案

高数下期中试题及答案高数下期中试题及答案高数的选择题，在推导和演算的基础上对选项做出选择。

下面是小编收集整理的高数下期中试题及答案，希望对您有所帮助！高数下期末试题《高等数学》试卷结构(一)考试内容与要求执行全国高校网络教育考试委员会于2010年制定的考试大纲相应部分，见《高等数学》(2010年修订版)。

(二)试卷分值试卷满分为100分。

(三)试题类型试题的类型全部为选择题，在推导和演算的基础上对选项做出选择。

每套试卷为20小题，每小题均为5分。

其中“二选一”共10道题，对命题作“正确”或“不正确”的选择。

“四选一”共10道题，在四个备选答案中选出一个符合题目要求的答案。

“四选一”的题目包括对运算结果的选择、对运算过程正确性的判定等多种形式。

(四)试题难度试题难度分为容易题、中等题和较难题，其分值比例为5:4:1。

(五)试题内容比例一元函数微积分约90%，常微分方程约10%。

(六)考试方式与时间考试方式为机考、闭卷。

考试时间为90分钟。

答卷时应该注意以下一些问题：1、要认真阅读试卷和试题的指导语，弄清答题的要求和方式。

要正确解答二选一的题，首先必须把有关知识弄清楚，其次还有必要掌握一定的解题方法。

以下是几种比较常用的解答二选一的`题的方法。

分析推理：即根据有关的数学知识，通过分析推理，作出判断。

计算求解：即根据题目的条件，通过计算等过程，求出正确答案，再作判断。

寻找反例：即从反面思考，看看是否存在与题目所说相反的情况。

如有，只要找出一个相反的例子，就能断定原题是错的。

假设验证：有些二选一的题，如果直接判断有困难，有时可以假设一个或几个具体的数，验证结论是否成立，再作出判断。

在实际解答二选一的题时，究竟选用哪种方法，要根据题目的具体特点来决定。

有些题目可以用不同的方法来判断，又有些题目可以把某两种方法结合起来判断。

四选一的题常用的方法有淘汰法和直接法：淘汰法的特点是，根据已学知识经过判断去掉不合题意者，剩下的一个就是正确的答案;直接法的特点是，根据已学知识经过推论或计算得出答案，以此答案对照各备选答案，相同者为正确答案，解题时找到一个正确答案后，剩下部分可以不再考虑。

高等数学第二学期期中考试试卷及答案(优选.)

卷号：（A ）（年月日）机密学年第2学期2010级计算机专业《高等数学》期中考试试卷A 卷一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1.下列方程所示曲面是双叶旋转双曲面的是( )(A) 1222=++z y x (B) z y x 422=+(C) 14222=+-z y x (D) 1164222-=-+z y x 2.二元函数 222214y x y x z +++=arcsin ln的定义域是( )(A) 4122≤+≤y x (B) 4122≤+<y x (C) 4122<+≤y x (D) 4122<+<y x3.已知),(y x f 在点),(00y x 处连续,且两个偏导数),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是),(y x f 在该点可微的( )(A) 充分条件,但不是必要条件; (B) 必要条件,但不是充分条件;(C) 充分必要条件 ; (D) 既不是充分条件,也不是必要条件. 4. 下列直线中平行xOy 坐标面的是________ ．（A ）．233211+=+=-z y x ；（B ）．⎩⎨⎧=--=--04044z x y x ；（C ）．10101zy x =-=+；（D ）．3221=+=+=z t y t x ，，． 5.函数z y x u sin sin sin =满足),,(0002>>>=++z y x z y x π的条件极值是( )(A) 1 ; (B) 0 ; (C) 61 ; (D) 81 . 二、填空题（本大题共10个填空题，每空3分，共30分）1.已知52==||,||b a 且,),(3π=∠b a则_______)()(=+⋅-b a b a 32.2.通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0562222222y z x z y x ,且母线平行于y 轴的柱面方程是_________________. 3.若),ln(222z y x u ++=则._________________=du4. 已知球面的一直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________________．.5. 函数2223u x y z z =++-在点()01,1,2M -的梯度为___________及沿梯度方向上函数的方向导数为_________.6．设二元函数y x xy z 32+=，则=∂∂∂yx z2_______________． 7．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 00 , ),(2222222y x y x y x y x y x f ,求),(y x f x =___________________________.8.xy y x y x +→)2,1(),(lim=___________.y xy y x )tan(lim )0,2(),(→=___________.三、解下列微分方程（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 1．给定一阶微分方程dydx= 3x （1）求它的通解；（2）求过点（2，5）的特解；（3）求出与直线y = 2x – 1 相切的曲线方程。

大学高等数学统考卷下13届期中考试附加答案

大学高等数学统考卷下 13届期中考试附加答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则下列极限存在的是（）A. lim(x→0) [f(x)/x]B. lim(x→0) [f(x)/x^2]C. lim(x→0) [f(x)/x^3]D. lim(x→0) [f(x)/x^4]2. 设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足0≤f(x)≤1，则下列不等式中正确的是（）A. ∫(0,1) f(x)dx ≤ 1B. ∫(0,1) f(x)dx ≥ 1C. ∫(0,1) f(x)dx = 0D. ∫(0,1) f(x)dx = 13. 设函数f(x)在区间[0,1]上可导，且f'(x) > 0，则下列结论正确的是（）A. f(0) > f(1)B. f(0) < f(1)C. f(0) = f(1)D. 无法判断4. 设行列式D=|a11 a12 a13|，则D的值等于（）A. a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32B. a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32C. a11a22a33 + a12a23a31 a13a21a32D. a11a22a33 a12a23a31 + a13a21a325. 设向量组α1, α2, α3线性相关，则下列结论正确的是（）A. α1, α2, α3线性无关B. α1, α2线性相关C. α2, α3线性相关D. α1, α2, α3线性独立二、填空题（每题4分，共40分）1. 设函数f(x) = x^3 3x，则f'(x) = ________。

2. 设函数f(x) = e^x，则lim(x→+∞) f(x) = ________。

3. 设行列式D=|a11 a12 a13|，若a11=a12=a13=0，则D=________。

4. 设矩阵A为3阶方阵，若|A|=0，则A的行列式等于 ________。

西南交通大学2018-2019学年第2学期《高等数学(下)》期中考试试卷(A卷)及标准答案

西南交通大学2018-2019学年第2学期《高等数学（下）》期中考试试卷（A卷）及标准答案一、选择题（共30题，每题4分，共120分）1.在极坐标系中，曲线 $r=2\\cos \\theta$ 的极坐标方程为（）A.$r = 2\\sin \\theta$B.$r = 2\\cos^2 \\theta$C.$r = 2\\cos \\theta$D.$r = 2\\sin^2 \\theta$ 答案：C2.由函数 $f(x) = \\frac{2x+3}{x-1}$ 在点x=1处的极限存在，则 $\\lim_{x \\to 1} f(x)$ 的值为（）A.5B.1C.2D. 3 答案：B（省略选项及答案）二、填空题（共10题，每题6分，共60分）1.设第x项为x x=3+(−1)x的等差数列的前x项和为x x，则x x= ___ 。

答案：$S_n = \\begin{cases} 2n+1, & n \\text{为奇数} \\\\ 2n+3, & n \\text{为偶数}\\end{cases}$2.设向量 $\\vec{a} = 2\\vec{i} - \\vec{j} + 3\\vec{k}$，$\\vec{b} = \\vec{i} + 2\\vec{j} - 2\\vec{k}$，则 $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} =$ ___ 。

答案：$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = (2)(1) + (-1)(2) + (3)(-2) = -5$（省略答案）三、解答题（共4题，每题20分，共80分）1.求下列不定积分：$\\int \\frac{\\sin^3x}{\\cos^2x} \\, dx$。

解：首先，利用恒等式 $\\sin^2x + \\cos^2x =1$，将被积函数中的 $\\sin^3x$ 变形为 $\\sin^2x \\cdot \\sin x = (1-\\cos^2x)\\sin x$。

高数期中考试(下)(A)参考答案

由实际问题的最小值存在，故点 (− （本题也可用几何方法求解）七、令 f x ( x, y ) = λ (e − 1) cos x + sin x cos 2 y = 0
y
2 14
,
1 14
,
6 14
) 即为所求点
f y ( x, y ) = λe y sin x + 2 cos x sin 2 y = 0
π
8
（也可以用柱坐标）
广东工业大学试卷用纸，共
页，第
页
五、
∫∫ x[1 + yf (x
D
2
+ y 2 dxdy = ∫∫ xdxdy + ∫∫ xyf ( x 2 + y 2 )dxdy
D
1 1
)]
D
1 1 1 xdx ∫ 3 f ( x 2 + y 2 )d ( x 2 + y 2 ) x 2 ∫−1
D −1
)]
2 dy ＝ − （本题也可以用挖补法求解） 5
六、设曲面上点 ( x, y , z ) 到平面的距离为 d ，则 d =
x − 2 y + 3z − 1 14
14d 2 = ( x − 2 y + 3 z − 1) 2 ，且 z = 2 + x 2 + 4 y 2
令 F = ( x − 2 y + 3 z − 1) + λ ( 2 + x + 4 y − z )
3．（用球坐标） Ω ： 0 ≤ θ ≤ 2π 由对称性
π
4
0 ≤ r ≤1
∫∫∫ (x + z )dV ＝ ∫∫∫ zdxdydz
Ω Ω

2020级高等数学(下)期中试卷含答案

2020级高等数学（下）期中试卷一、单项选择题在以下级数或反常积分后的括号内填入适当的字母，各字母的含义是：（A ）绝对收敛；（B ）条件收敛；（C ）发散；（D ）可能收敛，可能发散。

1．∑∞=-2ln )1(n n nn （）； 2．设∑∞=1n n u 条件收敛，则∑∞=12n n u （）；3．3sin 313π∑∞=n n n n （）； 4．设为任意实数 P ，则⎰∞+0p x dx（）。

二、单项选择题（6144'=⨯'）1．设π 平面：01472=-++z y x 及1L 直线：32 ,1 ,3-=+==t z t y t x ，2L ：332111--=+=--z y x ，则（）（A ）π∥1L ；（B ）1L ⊥π；（C ）π∥2L ；（D ）2L ⊥π。

2．曲线12222=+by ax ，0=z 绕轴旋转而成 x 的曲面方程为（）（A ）122222=++bz y ax ；（B ）122222=++by az x ；（C ）2222by ax z +=；（D ）12222-+=by ax z 。

3．设}1 ,2 ,1{--=a ，}2 ,1 ,1{-=b ，}5 ,4 ,3{-=c，则（）（A ）b a ⊥；（B ）c b ⊥；（C ）a c⊥；（D ）共面 , ,c b a 。

4．两非零向量γ'β'α'γβα , , , , 及的方向角分别为及b a ，则=) ,cos(b a（）（A ）γ'β'α'+γβαcos cos cos cos cos cos ；（B ）γ'γ+β'β+α'αcos cos cos cos cos cos ；（C ）)cos()cos()cos(γ'+γ+β'+β+α'+α；（D ）)cos()cos()cos(γ'-γ+β'-β+α'-α。

高等数学下册期中考试题(答案)

K b
= 19 ，
K a
+
K b
= 24 ，则
K a
−K b=． Nhomakorabea2、设 x2 + 2xy + y + zez = 1，则 dz =
.
(0,1)
∫ ∫ e
ln x
3、设 f (x, y) 为连续函数，交换积分次序： dx f (x, y)dy =
1
0
.
y
4、函数 f (x, y, z) = x z 的梯度为 grad f (x, y, z) =
所求的最大值为 f (1, 0) = 4 ，最小值为 f (−1, 0) = −4 ……………….………..….【12】
2
2009－2010 学年第二学期华侨大学 09 级高等数学 A(下册)期中考试试题参考解答与评分标准
3
六、【9 分】解：由 ∂z = x , ∂z = y 得 1+ ( ∂z )2 + ( ∂z )2 = 2 ….….….….….【3】
.
∫∫ 5、设 D = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 4 } ，则 ( x2 + y2 )dxdy =
D2 3
.
※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：班级、姓名、学号。
二．试解下列各题：（本题共 5 小题，每小题 7 分，满分 35 分）
1、【7
分】已知直线
2
５、解： lim (x, y)→(0,0)
xy 2 − exy
= lim xy( −1 (x,y)→(0,0)
2 − exy 1− exy
+ 1)
……………….....

高数下期中试卷及参考答案

福建师范大学协和学院09－10学年第二学期09级高数Ⅰ 期中试卷试卷类别：闭卷考试时间：120分钟一、单项选择题（每小题3分，共18分）1、设直线方程为1111111122220,0A x B y C z D A B C D A D A x D +++=⎧⎨+=⎩、、、、、均不为零，则直线( C ). （A ）过原点（B ）平行x 轴（C ）垂直x 轴（D ）平行z 轴2、平面,a b为共线的单位向量，则它们的数量积a b ⋅= ( D )．（A ）1（B ）-1 （C ） 0 （D ）cos(,)a b ∧3、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处连续且偏导数存在是它在该点可微的( A ).（A ）必要而非充分条件（B ）充分而非必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件4、设函数(,)f x y 在点()0,0的某邻域内有定义，且(0,0)3,(0,0)1x y f f ==-，则曲线(,)z f x y =在点()()0,0,0,0f 的一个法向量为( B ).（A ）()3,1,1- （B ）()3,1,1-- （C ）()1,0,3 （D ）()3,0,15、3322(,)339f x y x y x y y =+++-的极小值点是（ B ）.（A ）（-2，1）（B ）（0，1）（C ）（0，-3）（D ）（-2，-3） 6、设平面区域{}(,),,D x y a x a x y a =-≤≤≤≤{}1(,)0,D x y x a x y a =≤≤≤≤,则(cos sin )Dxy x y dxdy +=⎰⎰（ C ）.（A ）14cos sin D x ydxdy ⎰⎰ （B ）14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰（C ）12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ （D ）0二、填空题（每题3分，共21分）1、极限00x y →→= 16- 2、函数2yz xe =在点(1,0)P 处沿东北方向的方向导数为23、直线 3212x ty t z t=+⎧⎪=-⎨⎪=+⎩与平面250x y z ++-=的夹角为 6π.4、设ln x z z y =，则dz = ()2z z dx dy x z y x z +++5、过点(3,1,2)-且与直线11211-+==-z y x 垂直相交的直线方程为31274x y z --==+－ 6、星形线33cos ,sin x a t y a t ==的全长为 6a7、交换二次积分1(,)dy f x y dx ⎰⎰的次序得2121(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy +⎰⎰⎰三、计算题（每小题8分,共56分）解 [][]210,2,(1cos )2dA a d θπθθ∈=+，从而 []()222220011(1cos )12cos cos 22A a d a d ππθθθθθ=+=++⎰⎰22220022211cos213112cos 2cos cos22222213132sin sin 22242a d a d a a πππθθθθθθθθθπ+⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤=⋅++=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 解设平面束方程：()540x y z x z λ+++-+=，即()()15140x y z λλλ+++-+=，从而()11,5,1n λλ+=-又平面48120x y z --+=的法线向量()21,4,8n --=从而 1212cos 42n n n n π⋅====⋅ 所以()2223131612225022724λλλλλ-=⇒-+=⇒=-+ 即平面：207120x y z ++-=又平面4x z -+的一个法线向量()31,0,1n =-则平面4x z -+与平面48120x y z --+=的夹角的余弦为32322n n n n ⋅==⋅ 即平面4x z -+满足条件. 所以，求过直线5040x y z x z ++=⎧⎨-+=⎩且与平面48120x y z --+=成4π角的平面为（１）207120x y z ++-= （２）4x z -+解 12yz f e f x ∂''=⋅+∂，()212121y y y z z f f f e f e f e x y y x y y y''∂∂∂∂∂∂⎛⎫'''==⋅+=⋅+⋅+ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭()12111321232111312123,,yy y y y y f f f xe f f xe f y yzf xe f e f e f xe f x y''∂∂''''''''=⋅+=⋅+∂∂∂'''''''''∴=⋅+⋅+⋅+⋅+∂∂ 解设切点为()000,,M x y z ，取切向量12,,12n x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，则0012,,12M n x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由已知，切平面平行于平面02=++z y x ，从而0012,,12Mnx y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭平行于平面02=++z y x 的法线向量()12,1,1n =所以 00000121211,23211y x x y z -===-⇒=-=-⇒=所以，切点()1,2,3--，()2,1,1Mn =---切平面方程：()()()21230x y z -+-+--=，即：210x y z +++= 法线方程：123211x y z ++-==---，即：1232x y z +=+=-解1 设(,,)x y z 为曲面22z x y =+上任一点，则目标函数：d ==；约束条件：22z x y =+将约束条件代入目标函数，化为无条件极值： d ==将绝对值内配方得，22222x x y y -+-+222211111117222222162164444x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+-+=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，22117722x yd⎛⎫⎛⎫-+-+⎪ ⎪=≥=14x y==时取等号从而，求曲面22z x y=+与平面220x y z+--=之间的最短距离24d=解２设000(,,)x y z为曲面22z x y=+上任一点，则过该点的曲面的一个法向量()002,2,1n x y=-，当过该点的切平面与平面220x y z+--=平行时，可得最短距离即：()()002,2,1//1,1,2n x y=--000002211111248x yx y z-⇒==⇒==⇒=-，从而，所求的点为111,,448⎛⎫⎪⎝⎭则所求的最短距离7d====解曲线22z x=绕x轴旋转得旋转曲面：()222222y z x x y z+=⇔=+222224;510x y z x y z=⇒+==⇒+=投影法：将Ω投影在yOz面上，22:41002,25yzDy z r xθπ≤+≤⇔≤≤≤≤≤≤所以()522222()yzDy z dv y z dx dydzΩ⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰()2222233126yzDy zdydz d rdrπθπ=+=⋅=⎰⎰⎰解2xyDA=，其中曲面方程：z=则x x z z ===()2222:211,02c o s22xy D x y x x yr ππθθ+≤⇔-+≤⇔-≤≤≤≤所以，2cos 20224816xyD A d rdr πθπθπ-===-⎰⎰⎰⎰分) 分析函数(,)f x y 在()00,x y 处可微()()()()()()00000000,,,,x y z f x x y y f x y dz O f x y x f x y y O ρρ⇔∆=+∆+∆-=+=∆+∆+ ()()()()0lim,,,,limx y x y z dzf x x y y f x y f x y x f x y y ρ∆→∆→∆→∆→∆-⇔+∆+∆--∆+∆== 证明 ()()()()()()22001sin 0,00,010,0limlim lim sin0x x x x x f xf x f x xxx ∆→∆→∆→∆+∆-∆===∆⋅=∆∆∆同理，()0,00y f =()()()()002222lim,0,00,00,0lim1sinlim1limx y x y x y x y z dzf x y f f x f y x y x y x y ρ∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆-∴∆∆--∆+∆=⎡⎤∆+∆⎣⎦∆+∆===∆+∆ 证毕.。