组合数学

26103891

组合数学期末重点

第一章：7 11 14 25 26

7.n 个男n 个女排成一男女相间的队伍，试问有多少种不同的方案？若围成一圆桌坐下，又有多少种不同的方案？

[解].(1)若第1个位置是男，有n ⋅n ⋅(n-1)⋅(n-1)⋅⋯⋅3⋅3⋅2⋅2⋅1⋅1=(n!)2种排法；

若第1个位置是女，也有(n!)2种排法；

故n 个男n 个女排成一男女相间的队伍，有2(n!)2种不同的排法。

因为若不记座位的差别，只记人与人之间的相对位置的变化，则每一种坐法可产生2n

个男女相间的排列，从而坐法为

22

])!1[()!1(!2)!(2-=-=n n n n n

n 种， 若不记顺、逆时针则有坐法

22])!1[(2

1

)!1(!2122)!(2-=-=⋅n n n n n n 种。 (2)若第1个座位坐男，有n 个可能，则第2个坐女为n 个可能，……，根据乘法原理，故有n ⋅n ⋅(n-1)⋅(n-1)⋅⋯⋅3⋅3⋅2⋅2⋅1⋅1=(n!)2种方案。同理，第1个座位坐女，也有(n!)2种方案。故有2(n!)2种方案。

11.凸10边形的任意三条对角线不共点。试求这凸10边形的对角线交于多少个点？又把所有的对角线分割成多少段？

[解].(参见柯召《组合数学》上册。P 34 例1.6.1)

(1)从一个顶点可引出7条线和第一条（从右到左）交的有1⋅7，和第二条交的有2⋅6条

故和一个顶点引出的7条线相交的点为： 1⋅7+2⋅6+3⋅5+4⋅4+5⋅3+6⋅2+7⋅1=84

故和从10点引出的对角线交的点有个84⨯10=840，但每个点重复了四次（因为每个点在两条线上，而每条线有两个端点）。故凸10 边形（这样

的）对角线交于2104

840

=个点。

故也可为2101

2347

89104

10=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=

C

(2)从上。一个点引出的7条线中第一条线上有7个点，故将该线段分成8段；第二条线上有12个点，故将该线段分成13段，故从一个点出发的7条线上的段数为

第11题图1

第11题图2

8+13+16+17+16+13+8=91

故有10个点。故总的段数可为91⨯10=910。但有重复，重复数为2（因为每条线有两个端点）。故总的段数为

4552

910

=。

14.从26个英文字母中取出6个字母组成一字,若其中有2或3个母音.问分别可构成多少个字(不允许重复)?

[解].英语中有6个元音字母a,e.i,(y),o,u,其余20个是辅音。

(1)若取出6个字母组成一字,其中有2个元音,可构成

1234561256123417181920!626420⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⋅⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=52 326 000 (2)若有三个元音,可构成

123456123456123181920!636320⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⋅⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=16 416 000； 另一种解法认为有5个元音，其余21个是辅音

(1)若取出6个字母组成一字,其中有2个元音,可构成

1234561245123418192021!625421⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⋅⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=43 092 000 (2)若有三个元音,可构成

1234561245123192021!635321⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⋅⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=9 576 000。

25.5台教学机器m 个学生使用，使用第1台和第2台的人数相等，有多少种使用方案？ [解].先从m 个学生中选取k 个使用第1台机器，再从剩下的m-k 个学生中选取k 个使用第2台机器，其余m-2k 个学生可以任意使用剩下的3台机器，按乘法原理，其组合数为C (m,k)

C (m -k ,k )⋅3(m -2k )。这里k=0,1,2,⋯,q (⎥⎦

⎥

⎢⎣⎢=2m q )，于是，按加法原理，共有

)

2(q

k 3

),(),(k m k k m C k m C -=⋅-∑种使用方案。

26.在由n 个0及n 个1构成的字符串中，任意前k 个字符中，0的个数不少于1的个数的字符串有多少？

[解].转化为格路问题（弱领先条件—参见P36例4该例是强领先条件）。即从(0,0)到(n,n)，只能从对角

线上方走，但可以碰到对角线。它可看作是从(0,1)到(n,n+1)的强领先条件（只能从对角线上方走，但不可以碰到对角线）的格路问题。更进一步的，它

可看作是从(0,0)到(n,n+1)的强领先条件的格路问题

(因为此种格路第一步必到(0,1)格点)。故这样的字符串有

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-n n n 1)1(0-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--++-10)1(1n n n =C (2n,n)-C (2n,n-1)个。

第二章：2.42 2.43 2.44 4 5 6

2.42.设{a n }满足a n -a n -1- a n -2 = 0，{b n }满足b n - 2b n -1- b n -2 = 0，c n = a n + b n ，n =0, 1, 2, 3, ⋯，试证序列{c n }满足一个四阶线性常系数齐次递推关系。 [解]方法一：(特征系数法)

由于序列{a n }满足递推关系：a n -a n -1- a n -2 = 0 故显然也满足递推关系：

(a n -a n -1- a n -2) + A 1(a n -1-a n -2- a n -3) + A 2(a n -2-a n -3- a n -4) = 0 这里A 1，A 2为任意常数

整理为：a n + (A 1- 1)a n -1+(A 2-A 1- 1)a n -2- (A 1+ A 2)a n -3-A 2a n -4 = 0 由于序列{b n }满足递推关系：b n - 2b n -1- b n -2 = 0 故显然也满足递推关系：

(b n - 2b n -1- b n -2) + B 1(b n -1- 2b n -2- b n -3) + B 2(b n -2- 2b n -3- b n -4) = 0 这里B 1，B 1为任意常数

整理为：b n + (B 1- 2)b n -1+(B 2- 2B 1- 1)b n -2- (B 1+ 2B 2)b n -3-B 2b n -4 = 0 ●

令：⎪⎪⎩⎪⎪

⎨⎧=+=+--=---=-2

22121121211212121B A B B A A B B A A B A

解之得：⎩⎨⎧-=-=1221A A ，⎩⎨⎧-=-=112

1B B

将此解代入 和●，有：a n - 3a n -1+ 3a n -3 + a n -4 = 0 ❍

b n - 3b n -1+ 3b n -3 + b n -4 = 0 ⏹ 将❍+⏹，并注意到

c n = a n + b n ，我们有：

c n -3c n -1+ 3c n -3 + c n -4 = 0 ☐ 这就是序列{c n }所满足的四阶线性常系数齐次递推关系。 方法二：(特征根法)

序列{a n }的递推关系：a n -a n -1- a n -2 = 0 特征方程：γ2-γ- 1 = 0 特征根：γ1=

25

1+，γ2=2

51- 故其通解为：b n = A ⋅(

251+)n

+ B ⋅(2

51-)n 序列{b n }的递推关系：b n - 2b n -1- b n -2 = 0

特征方程：γ2- 2γ- 1 = 0