函数双变量问题处理技巧

函数双变量问题处理技巧
【策略1】改变主元（又叫：反客为主）
对于题目所涉及的两个变元，已知其中一个变元在题设给定范围内任意变动，求另一个变元的取值范围问题，这类问题我们称之为“假”双变元问题，这种“假”双变元问题，往往会利用我们习以常的x 字母为变量的惯性“误区”来设计，其实无论怎样设计，只要我们抓住“任意变动的量”为主变量，“所要求范围的量”为常数，便可找到问题所隐含的自变量，而使问题快速获解。

【例１】已知2()1f x x mx m =+-≥在2m ≤时恒成立，求实数x 的取值范围.
【例2】对任意n N +∈恒有221
(1)n a e ++≤，求实数a 的最大值。

【解析】21(1)n n ++1
1ln(1)
n n
-+，设1(1)ln x =-+
【策略2】指定主元
有些问题虽然有两个变量，只要把其中一个当常数，另一个看成自变量，便可使问题得以解决，我们称这种思想方法为：指定主元。

【例3】已知0m n ≤<，试比较ln(1)n m e m -++与1ln(1)n ++的大小，并给出证明.
【例4】求证：2223
2()21x x e t e x x t -++++≥。

【策略3】化归为函数单调性问题
【例5】已知a b e >>，试比较b a 1()f x '=ln b
b
，ln b ∴【例6】已知函数2()ln ,(1)x f x a x x a a =+->，对1212,[1,1],()()1x x f x f x e ∀∈--≤-，求实数a 的取值范围。

()f x 在区间[1,1]-上的最大值与最小值的差，因此该问题便可化归为求函数()f x 在区间[1,1]-上的
最大值与最小值问题。

【解析】由()ln 2ln (1)ln 2x x f x a a x a a a x '=+-=-+，
(0)0f '=，当[1,0]x ∈-时，
10,ln 0,20x a a x -≤>≤，()0f x '∴≤，即()f x 在[1,0]-上递减；当]1,0[∈x 时，10x
a -≥，
，()1h a '=(1),f >-∴12max ,)|()x x f x ∀∈≤需ln a a -成立便可，于是构造(a φ()a φ∴在上递增，又()0e φ=，a 的取值范围为【例7】已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++(1a <-),若对任意,(0,)m n ∈+∞，
()()4f m f n m n -≥-，求实数a 的取值范围。

,0,ax x a ><()f m f -n （*），因此，构造函数)40x +≤⇔
12a x ++上恒成立，于是再次构造函数2
1)48x x +=,0,ax x a ><，∴()f m n （*）
，因此，构造函数
【例8】已知函数()ln k
f x x x
=+，对120x x ∀>>都有1212()()f x f x x x -<-恒成立，求实数k 的取值范围。

【解析】由题可知，对120x x ∀>>都有1212()()f x f x x x -<-恒成立，即对120x x ∀>>都有
1122()()f x x f x x -<-恒成立，设()()ln ,(0)k g x f x x x x x x =-=+
->，则21'()10k
g x x x
=--≤在(0,)+∞恒成立，易得2211()24k x x x ≥-+=--+在(0,)+∞恒成立，即1
4k ≥。

【例9】已知函数2()ln 3f x x ax x =+-。

⑴函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为2y =-，求函数()f x 的极值; ⑵当1a =时，对于[]12,1,10x
x ∀∈，当21x x >时，不等式211212
()
()()m x x f x f x x x -->恒成立，求实数m
的取值范围。

⑴讨论()f x 的单调性;
⑵记函数()f x 的两个零点为12,x x 且12x x <，已知0λ>，若不等式121ln ln x x λλ+<+恒成立，求实数λ的取值范围。

内单调递减，(1)0,h =∴【策略4】整体代换，变量归－
【例11】已知函数1ln 2)(2
-+=x x x f ，若21,x x 是两个不相等的正数，且12()()0f x f x +=，试比较12x x +与2的大小，并说明理由。

【解析】
22
2121212121212()()022ln()()222ln()
f x f x x x x x x x x x x x +=⇔+=-⇔+=+-①，设
【例12】已知函数2
()ln 2(0)G x x a x bx a =--+>有两个零点21,x x ，且201,,x x x 成等差数列，
试探究)(0x G '值的符号。

【解析】依题意得12()0()0G x G x =⎧⎨=⎩得21112222ln 20(1)ln 20(2)
x bx a x x bx a x ⎧--+=⎪
⎨--+=⎪⎩，21x x ≠ ，不妨设210x x <<，由⑴
]
1
②，构造函数上恒成立。

∴(h 0()G x x '=【证明】由题可知，
12x x >>22ln 1x +，从而原不等式即证0，令x t =。