扩展有限元的基本原理

1 引言
有限元法是科学研究和工程分析中使用最多的一种数值分析方法，其数学理论基础和误差估计理论都 十分成熟。然而，有限元采用连续函数作为形函数，对于处理像裂纹这样的不连续问题时，需要将裂纹面 设置为单元的边、裂尖设置为单元的结点、在裂尖附近不连续体的奇异场内进行高密度网格划分以及在模 拟裂纹扩展时需要不断的进行网格的重新划分，使得有限元程序计算相当复杂，且效率极低[1]。边界元法 研究裂纹扩展方面有较成熟的应用，但它不便于处理非线性、多介质等复杂问题。无单元法将整个求解域 离散为独立的结点，无需将结点连成单元，因而在裂纹扩展数值模拟中得到了广泛的应用[2,3]。但是现有的 各种无单元法存在缺少坚实的理论基础和严格的数学证明； 计算时间长、 效率低； 存在一些未确定的参数， 如插值域的大小，背景积分域的大小等；解决复杂的工程和科学问题的研究不够； 没有成熟的商业软件包， 限制了其实际应用和推广等不足。 1999 年，以美国西北大学 Belytschko 教授为代表的研究组首先提出用扩展有限元（XFEM）来解决不 连续问题[4]。XFEM 是基于单位分解的方法（PUM）对单元的形函数加以改进，从而考虑所研究问题的不 连续、奇异性和边界层等特性。XFEM 所使用的网格与结构内部几何或物理界面无关，从而克服了裂纹尖 端等高应力和变形集中区网格划分的困难，使得模拟裂纹生长也无需对网格进行重新划分。自 XFEM 问世 以来，在国际上得到了很快的发展和广泛的应用。 在最初的 XFEM 中，位移模式中加进的是裂尖渐进位移场函数的主要项，且围绕裂尖加强结点的相应 系数是相互独立的，这样加强位移场并不是真实的裂尖附近的渐进位移场，因此，局部位移场的精度仍不 能令人满意，应力强度因子必须经过后处理才能求出。文[5][6]提出了一种改进的 XFEM，提高了局部位移 场的精度，且不需要经过后处理就可以直接求出应力强度因子，从而为分析裂纹扩展提供了方便。 文中首先简要介绍了改进扩展有限元的基本原理，然后详细分析了采用该方法分析不连续力学问题需 要注意的问题，包括：积分方案、裂纹闭合时的接触问题和裂纹扩展的分析。
2 XFEM 基本原理
有限元计算网格中有一任意的裂缝（图 1） ，为了在常规有限元位移模式中考虑裂缝对位移的影响，对 裂缝周围的结点自由度进行加强。任意一点的位移可以通过以下插值函数求得[6]。
u h ( x ) ui h = ∑ N i ( x ) + vi v ( x) i∈Ω
tip tip
r θ y’ x’
图 1.
含有一任意裂缝的网格
图 2. 局部坐标系 Figure 2. The local coordinate system
Figure 1. A mesh with an arbitrary crack
对于混合模式裂纹，在局部坐标系下，裂尖渐进位移场的一般表达式为（截取前 M 项）[7]
θ：
θ = 2 tan −1 (

K 1 KΙ ± ( Ι ) 2 + 8) 4 K K
（4）
若周向应力强度因子达到临界值 σ θ max ，则材料开裂。式中 θ 的方向为前段裂纹延伸线逆时针方向量起。
图 3.
Ω Γ 区单元子区域的形成 ΩΓ
图 4.
Ω ∧ 区单元子区域的形成 Ω∧
Figure 3. Partitioning of element in
参 考 文 献 1 N.Sukumar,J.H.Prevost.Modeling quasi-static crack growth with the extend finite element method.International Journal of Solids and Structures.2003(40):7513-7537 2 李卧东,王元汉,陈晓波.无单元法在断裂力学中的应用.岩石力学与工程学报. 2001,20(4):462-466 3 寇晓东,周维垣.应用无单元法追踪裂纹扩展.岩石力学与工程学报,2001,19(1):18-23 4 Nicolas Moes, John Dolbow and Ted Belytschko. A finite element method for crack growth without remeshing. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1999, 46,131-150 5 Xiao QZ, Karihaloo BL Direct evaluation of accurate coefficients of the linear elastic cracks using X-FEM International Journal for Numerical Methods in Engineering 2003 56:1151～1173 6 X.Y.Liu, Q.Z.Xiao, B.L.Karihaloo.XFEM for direct evaluation of mixed mode SIFs In homogeneous and bi-materials International Journal for Numerical Methods in Engineering 2004;59:1103～1118 7 Rice JR. Elastic fracture mechanics concepts for interfacial cracks. Journal of applied mechanics,1988,55,98103. 8 张 行. 断裂力学[M]. 北京：中国宇航出版社，1990. 9 John Dolbow,Nicolas Moes,Ted Belytschko.An extended finite element for modeling crack growth with frictional puter methods in applied mechanics and engineering190(2001)6825-6846 10 C. Blanze, L. Champaney, J.-Y. Cognard and P. Ladevèze. A modular approach to structure assembly computations Application to contact problems. Engineering Computations,1996,Vol.13,No.1,15-32.
u 'tip M f11n tip = ∑ v' n =1 f 21n f12 n K1n f 22 n K 2n
（3）
K 1n ， K 2 n 为系数， K 11 ， K 21 为均匀各向同性材料的 I 型和 II 型应力强度因子， f11n 、 f12 n 、 f 21n 和 f 22 n
Figure 4. Partitioning of element in
3.3 裂纹接触问题 XFEM 中不连续面与计算网格能相互独立是由于 XFEM 在常规有限元位移模式中加进了跳跃函数和裂 尖渐进位移场，因此 XFEM 分析闭合型裂缝时必须考虑裂缝面间的接触问题，否则裂缝面两部分间会发生 [9] 相互的嵌入现象。 John Dolbow 等 通过对完全接触和单边摩擦接触的例子证明了运用传统的 XFEM 和 LATIN 迭代法解决非线性接触问题的可行性。裂缝面间接触问题的考虑和常规有限元分析接触问题类似，此处不 再详细给出其内容，建议采用文[10]提出的大时间增量法—LATIN 求解接触非线性。此处仅给出接触面的 积分方案。 为了在裂纹 Γc 上进行数值积分， 高斯积分点排列在一维子单元的每边上。 裂纹上的应力 t 和位移场 w 通过在高斯点上内插值离散得到。如图（5）示
扩展有限元的基本原理
丁晶
*
(河海大学土木工程学院
南京 210098)
摘 要：扩展有限元（XFEM）是一种在常规有限元位移模式中基于单位分解的思想加进一个跳跃函数和裂尖渐进位移场以 反映位移不连续性的新型数值方法。在扩展有限元中，裂纹独立于计算网格，因此能方便地分析裂纹扩展。文中首先简要介 绍了一种改进扩展有限元的基本原理， 然后讨论了采用该方法分析不连续力学问题的一些关键问题。 关键词：扩展有限元，跳跃函数，裂尖渐近位移场，裂纹扩展
的具体表达式见文献[7]。 位移模式构造后，就可以和常规有限元方法一样，由虚功原理推导其有限元求解的基本控制方程。采 用罚函数法求解基本控制方程，迫使裂尖第一层加强结点的加强自由度相等，这样就可以直接得到缝尖的 应力强度因子。
3 一些关键问题的讨论
3.1 积分方案 为了保证积分的精度，对于不包含改进结点的单元使用标准的 2×2 个高斯积分点；对于裂纹所在的 [5] 单元由于应力场的奇异性，在包含改进点但没有被裂纹切割的单元采用 7×7 个高斯积分点 ；在被裂纹分 割但不包含裂尖的单元，将被裂纹分割为两个子域，将每个子域的形心点与该子域各结点相连，由此将该 子域划成几个三角形单元，分别在每个三角形单元内采用 13×13 个高斯积分点（图 3） ，这些三角形仅满 足积分的目的，不需要附加自由度；在裂尖单元，将裂尖延长，单元分为两个子域，将每个子域的形心点 与该子域各结点相连，由此将该子域划成几个三角形单元（图 4） ，分别将每个三角形单元形心点与各边中 点相连，从而将每个三角形单元分为 3 个四边形单元，在每个四边形单元内采用 15 × 15 个高斯点积分。 3.2 裂纹的扩展 复合型裂纹一般不沿着原裂纹方向开裂与扩展。对于复合型裂纹扩展常用的准则有：最大周向拉应力 强度因子理论、最大周向拉应变强度因子理论、最小应变能密度强度因子理论、等应变能密度线上最大周 向拉应力理论，能量释放率理论等。最大周向拉应力理论计算应力强度因子最为简便，在工程上最常被采 用。最大周向拉应力强度因子理论：裂纹沿最大周向应力 σ θ max 方向开裂，当此方向的周向应力达到临界 值，裂纹失稳[8]。在复合型裂纹情况下，利用改进的 XFEM 直接求出 KI 和 KII，然后由 KI 和 KII 决定开裂角