中考数学压轴题专题旋转的经典综合题附答案
中考数学压轴题之旋转(中考题型整理,突破提升)含答案解析
![中考数学压轴题之旋转(中考题型整理,突破提升)含答案解析](https://img.taocdn.com/s3/m/7cf3cc76d15abe23492f4d24.png)
一、旋转 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.在△ABC 中,AB=AC ,∠BAC=α(︒<<︒600α),将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD 。
(1)如图1,直接写出∠ABD 的大小(用含α的式子表示); (2)如图2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE 的形状并加以证明; (3)在(2)的条件下,连结DE ,若∠DEC=45°,求α的值。
【答案】(1)1302α︒-(2)见解析(3)30α=︒【解析】解:(1)1302α︒-。
(2)△ABE 为等边三角形。
证明如下:连接AD ,CD ,ED ,∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD , ∴BC=BD ,∠DBC=60°。
又∵∠ABE=60°,∴1ABD 60DBE EBC 302α∠=︒-∠=∠=︒-且△BCD 为等边三角形。
在△ABD 与△ACD 中,∵AB=AC ,AD=AD ,BD=CD ,∴△ABD ≌△ACD (SSS )。
∴11BAD CAD BAC 22α∠=∠=∠=。
∵∠BCE=150°,∴11BEC 180(30)15022αα∠=︒-︒--︒=。
∴BEC BAD ∠=∠。
在△ABD 和△EBC 中,∵BEC BAD ∠=∠,EBC ABD ∠=∠,BC=BD , ∴△ABD ≌△EBC (AAS )。
∴AB=BE 。
∴△ABE 为等边三角形。
(3)∵∠BCD=60°,∠BCE=150°,∴DCE 1506090∠=︒-︒=︒。
又∵∠DEC=45°,∴△DCE 为等腰直角三角形。
∴DC=CE=BC 。
∵∠BCE=150°,∴(180150)EBC 152︒-︒∠==︒。
而1EBC 30152α∠=︒-=︒。
∴30α=︒。
(1)∵AB=AC ,∠BAC=α,∴180ABC 2α︒-∠=。
中考数学压轴题之旋转(中考题型整理,突破提升)及详细答案
![中考数学压轴题之旋转(中考题型整理,突破提升)及详细答案](https://img.taocdn.com/s3/m/1aacd68faaea998fcd220e18.png)
在△ DAG 与△ DCG 中, ∵ AD=CD,∠ ADG=∠ CDG,DG=DG, ∴ △ DAG≌ △ DCG. ∴ AG=CG. 在△ DMG 与△ FNG 中, ∵ ∠ DGM=∠ FGN,FG=DG,∠ MDG=∠ NFG, ∴ △ DMG≌ △ FNG. ∴ MG=NG 在矩形 AENM 中,AM=EN. 在 Rt△ AMG 与 Rt△ ENG 中, ∵ AM=EN, MG=NG, ∴ △ AMG≌ △ ENG. ∴ AG=EG ∴ EG=CG. (3)(1)中的结论仍然成立.
4.如图(1)所示,将一个腰长为 2 等腰直角△ BCD 和直角边长为 2、宽为 1 的直角△ CED 拼在一起.现将△ CED 绕点 C 顺时针旋转至△ CE’D’,旋转角为 a. (1)如图(2),旋转角 a=30°时,点 D′到 CD 边的距离 D’A=______.求证:四边形 ACED′ 为矩形; (2)如图(1),△ CED 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中,在 BC 上如何取点 G,使得 GD’=E’D;并说明理由.
【答案】(1)详见解析;(2)FE·sin( -90°) 【解析】 【分析】 (1)由四边形 ABCD 是平行四边形得 AF∥ BE,所以∠ FAE=∠ BEA,由折叠的性质得 ∠ BAE=∠ FAE,∠ BEA=∠ FEA,所以∠ BAE=∠ FEA,故有 AB∥ FE,因此四边形 ABEF 是平行四 边形,又 BE=EF,因此可得结论; (2)根据点 M 在线段 BE 上和 EC 上两种情况证明∠ ENG=90°- ,利用菱形的性质得到
中考数学——初中数学 旋转的综合压轴题专题复习含详细答案
![中考数学——初中数学 旋转的综合压轴题专题复习含详细答案](https://img.taocdn.com/s3/m/84507e2648d7c1c708a14570.png)
中考数学——初中数学旋转的综合压轴题专题复习含详细答案一、旋转1.在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且∠EAF=∠CEF=45°.(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG(如图①),求证:△AEG≌△AEF;(2)若直线EF与AB,AD的延长线分别交于点M,N(如图②),求证:EF2=ME2+NF2;(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形,若其余条件不变(如图③),请你直接写出线段EF,BE,DF之间的数量关系.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)EF2=2BE2+2DF2.【解析】试题分析:(1)根据旋转的性质可知AF=AG,∠EAF=∠GAE=45°,故可证△AEG≌△AEF;(2)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,连结GM.由(1)知△AEG≌△AEF,则EG=EF.再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形,得出CE=CF,BE=BM,NF=DF,然后证明∠GME=90°,MG=NF,利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2,等量代换即可证明EF2=ME2+NF2;(3)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,根据旋转的性质可以得到△ADF≌△ABG,则DF=BG,再证明△AEG≌△AEF,得出EG=EF,由EG=BG+BE,等量代换得到EF=BE+DF.试题解析:(1)∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,∴AF=AG,∠FAG=90°,∵∠EAF=45°,∴∠GAE=45°,在△AGE与△AFE中,,∴△AGE≌△AFE(SAS);(2)设正方形ABCD的边长为a.将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,连结GM.则△ADF≌△ABG,DF=BG.由(1)知△AEG≌△AEF,∴EG=EF.∵∠CEF=45°,∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形,∴CE=CF ,BE=BM,NF=DF,∴a﹣BE=a﹣DF,∴BE=DF,∴BE=BM=DF=BG,∴∠BMG=45°,∴∠GME=45°+45°=90°,∴EG2=ME2+MG2,∵EG=EF,MG=BM=DF=NF,∴EF2=ME2+NF2;(3)EF2=2BE2+2DF2.如图所示,延长EF交AB延长线于M点,交AD延长线于N点,将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△AGH,连结HM,HE.由(1)知△AEH≌△AEF,则由勾股定理有(GH+BE)2+BG2=EH2,即(GH+BE)2+(BM﹣GM)2=EH2又∴EF=HE,DF=GH=GM,BE=BM,所以有(GH+BE)2+(BE﹣GH)2=EF2,即2(DF2+BE2)=EF2考点:四边形综合题2.平面上,Rt △ABC 与直径为CE 的半圆O 如图1摆放,∠B =90°,AC =2CE =m ,BC =n ,半圆O 交BC 边于点D ,将半圆O 绕点C 按逆时针方向旋转,点D 随半圆O 旋转且∠ECD 始终等于∠ACB ,旋转角记为α(0°≤α≤180°)(1)当α=0°时,连接DE ,则∠CDE = °,CD = ;(2)试判断:旋转过程中BDAE的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明; (3)若m =10,n =8,当α=∠ACB 时,求线段BD 的长;(4)若m =6,n =2,当半圆O 旋转至与△ABC 的边相切时,直接写出线段BD 的长.【答案】(1)90°,2n ;(2)无变化;(3125;(4)BD=102114. 【解析】试题分析:(1)①根据直径的性质,由DE ∥AB 得CD CECB CA=即可解决问题.②求出BD 、AE 即可解决问题.(2)只要证明△ACE ∽△BCD 即可.(3)求出AB 、AE ,利用△ACE ∽△BCD 即可解决问题.(4)分类讨论:①如图5中,当α=90°时,半圆与AC 相切,②如图6中,当α=90°+∠ACB 时,半圆与BC 相切,分别求出BD 即可. 试题解析:(1)解:①如图1中,当α=0时,连接DE ,则∠CDE =90°.∵∠CDE =∠B =90°,∴DE ∥AB ,∴CE CD AC CB ==12.∵BC =n ,∴CD =12n .故答案为90°,12n . ②如图2中,当α=180°时,BD =BC +CD =32n ,AE =AC +CE =32m ,∴BD AE =n m.故答案为nm. (2)如图3中,∵∠ACB =∠DCE ,∴∠ACE =∠BCD .∵CD BC nCE AC m==,∴△ACE ∽△BCD ,∴BD BC nAE AC m==.(3)如图4中,当α=∠ACB 时.在Rt △ABC 中,∵AC =10,BC =8,∴AB =22AC BC -=6.在Rt △ABE 中,∵AB =6,BE =BC ﹣CE =3,∴AE =22AB BE +=2263+=35,由(2)可知△ACE ∽△BCD ,∴BD BCAE AC=,∴35=810,∴BD =125.故答案为125. (4)∵m =6,n =42,∴CE =3,CD =22,AB =22CA BC -=2,①如图5中,当α=90°时,半圆与AC 相切.在Rt △DBC 中,BD =22BC CD +=224222+()()=210. ②如图6中,当α=90°+∠ACB 时,半圆与BC 相切,作EM ⊥AB 于M .∵∠M =∠CBM =∠BCE =90°,∴四边形BCEM 是矩形,∴342BM EC ME ===,,∴AM =5,AE =22AM ME +=57,由(2)可知DB AE =223,∴BD =2114. 故答案为210或2114.点睛:本题考查了圆的有关知识,相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识,正确画出图形是解决问题的关键,学会分类讨论的思想,本题综合性比较强,属于中考压轴题.3.如图,矩形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上,顶点C 在y 轴正半轴上,点B 的坐标为(4,m )(5≤m≤7),反比例函数y =16x(x >0)的图象交边AB 于点D . (1)用m 的代数式表示BD 的长;(2)设点P 在该函数图象上,且它的横坐标为m ,连结PB ,PD①记矩形OABC面积与△PBD面积之差为S,求当m为何值时,S取到最大值;②将点D绕点P逆时针旋转90°得到点E,当点E恰好落在x轴上时,求m的值.【答案】(1)BD=m﹣4(2)①m=7时,S取到最大值②m=5【解析】【分析】(1)先确定出点D横坐标为4,代入反比例函数解析式中求出点D横坐标,即可得出结论;(2)①先求出矩形OABC的面积和三角形PBD的面积得出S=﹣12(m﹣8)2+24,即可得出结论;②利用一线三直角判断出DG=PF,进而求出点P的坐标,即可得出结论.【详解】解:(1)∵四边形OABC是矩形,∴AB⊥x轴上,∵点B(4,m),∴点D的横坐标为4,∵点D在反比例函数y=16x上,∴D(4,4),∴BD=m﹣4;(2)①如图1,∵矩形OABC的顶点B的坐标为(4,m),∴S矩形OABC=4m,由(1)知,D(4,4),∴S△PBD=12(m﹣4)(m﹣4)=12(m﹣4)2,∴S=S矩形OABC﹣S△PBD=4m﹣12(m﹣4)2=﹣12(m﹣8)2+24,∴抛物线的对称轴为m=8,∵a<0,5≤m≤7,∴m=7时,S取到最大值;②如图2,过点P作PF⊥x轴于F,过点D作DG⊥FP交FP的延长线于G,∴∠DGP=∠PFE=90°,∴∠DPG+∠PDG=90°,由旋转知,PD=PE,∠DPE=90°,∴∠DPG+∠EPF=90°,∴∠PDG=∠EPF,∴△PDG≌△EPF(AAS),∴DG=PF,∵DG=AF=m﹣4,∴P(m,m﹣4),∵点P在反比例函数y=16,x∴m(m﹣4)=16,∴m=2+25或m=2﹣25(舍).【点睛】此题是反比例函数综合题,主要考查了待定系数法,矩形的性质,三角形的面积公式,全等三角形的判定,构造出全等三角形是解本题的关键.4.如图l,在AABC中,∠ACB=90°,点P为ΔABC内一点.(1)连接PB,PC,将ABCP沿射线CA方向平移,得到ΔDAE,点B,C,P的对应点分别为点D、A、E,连接CE.①依题意,请在图2中补全图形;②如果BP⊥CE,BP=3,AB=6,求CE的长(2)如图3,以点A为旋转中心,将ΔABP顺时针旋转60°得到△AMN,连接PA、PB、PC,当AC=3,AB=6时,根据此图求PA+PB+PC的最小值.【答案】(1)①补图见解析;②;(2)【解析】(1)①连接PB、PC,将△BCP沿射线CA方向平移,得到△DAE,点B、C、P的对应点分别为点D、A、E,连接CE,据此画图即可;②连接BD、CD,构造矩形ACBD和Rt△CDE,根据矩形的对角线相等以及勾股定理进行计算,即可求得CE的长;(2)以点A为旋转中心,将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN,连接BN,根据△PAM、△ABN都是等边三角形,可得PA+PB+PC=CP+PM+MN,最后根据当C、P、M、N四点共射线,PA+PB+PC的值最小,此时△CBN是直角三角形,利用勾股定理即可解决问题.解:(1)①补全图形如图所示;②如图,连接BD、CD∵△BCP沿射线CA方向平移,得到△DAE,∴BC∥AD且BC=AD,∵∠ACB=90°,∴四边形BCAD是矩形,∴CD=AB=6,∵BP=3,∴DE=BP=3,∵BP⊥CE,BP∥DE,∴DE⊥CE,∴在Rt△DCE中,;(2)证明:如图所示,当C、P、M、N四点共线时,PA+PB+PC最小由旋转可得,△AMN≌△APB,∴PB=MN易得△APM、△ABN都是等边三角形,∴PA=PM∴PA+PB+PC=PM+MN+PC=CN,∴BN=AB=6,∠BNA=60°,∠PAM=60°∴∠CAN=∠CAB+∠BAN=60°+60°=120°,∴∠CBN=90°在Rt△ABC中,易得∴在Rt△BCN中,“点睛”本题属于几何变换综合题,主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质以及勾股定理的综合应用,解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和全等三角形,依据图形的性质进行计算求解.5.在等边△AOB中,将扇形COD按图1摆放,使扇形的半径OC、OD分别与OA、OB重合,OA=OB=2,OC=OD=1,固定等边△AOB不动,让扇形COD绕点O逆时针旋转,线段AC、BD也随之变化,设旋转角为α.(0<α≤360°)(1)当OC∥AB时,旋转角α=度;发现:(2)线段AC与BD有何数量关系,请仅就图2给出证明.应用:(3)当A、C、D三点共线时,求BD的长.拓展:(4)P是线段AB上任意一点,在扇形COD的旋转过程中,请直接写出线段PC的最大值与最小值.【答案】(1)60或240;(2) AC=BD,理由见解析;(3)13+1 2或1312-;(4)PC的最大值=3,PC的最小值=3﹣1.【解析】分析:(1)如图1中,易知当点D在线段AD和线段AD的延长线上时,OC∥AB,此时旋转角α=60°或240°.(2)结论:AC=BD.只要证明△AOC≌△BOD即可.(3)在图3、图4中,分别求解即可.(4)如图5中,由题意,点C在以O为圆心,1为半径的⊙O上运动,过点O作OH⊥AB于H,直线OH交⊙O于C′、C″,线段CB的长即为PC的最大值,线段C″H的长即为PC的最小值.易知PC的最大值=3,PC的最小值=3﹣1.详解:(1)如图1中,∵△ABC是等边三角形,∴∠AOB=∠COD=60°,∴当点D在线段AD和线段AD的延长线上时,OC∥AB,此时旋转角α=60°或240°.故答案为60或240;(2)结论:AC=BD,理由如下:如图2中,∵∠COD=∠AOB=60°,∴∠COA=∠DOB.在△AOC和△BOD中,OA OBCOA DOBCO OD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AOC≌△BOD,∴AC=BD;(3)①如图3中,当A、C、D共线时,作OH⊥AC于H.在Rt△COH中,∵OC=1,∠COH=30°,∴CH=HD=12,OH3Rt△AOH中,AH22OA OH-13,∴BD=AC=CH+AH113+.如图4中,当A、C、D共线时,作OH⊥AC于H.易知AC=BD=AH﹣CH=131-.综上所述:当A、C、D三点共线时,BD的长为131+或131-;(4)如图5中,由题意,点C在以O为圆心,1为半径的⊙O上运动,过点O作OH⊥AB于H,直线OH交⊙O于C′、C″,线段CB的长即为PC的最大值,线段C″H的长即为PC的最小值.易知PC的最大值=3,PC的最小值=3﹣1.点睛:本题考查了圆综合题、旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆上的点到直线的距离的最值问题等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,利用辅助圆解决最值问题,属于中考压轴题.6.(12分)如图1,在等边△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接BE,CD,点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点.(1)观察猜想:图1中,△PMN的形状是;(2)探究证明:把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,△PMN的形状是否发生改变?并说明理由;(3)拓展延伸:把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=1,AB=3,请直接写出△PMN 的周长的最大值.【答案】(1) 等边三角形;(2) △PMN的形状不发生改变,仍然为等边三角形,理由见解析;(3)6【解析】分析:(1)如图1,先根据等边三角形的性质得到AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°,则BD=CE,再根据三角形中位线性质得PM∥CE,PM=12CE,PN∥AD,PN=12BD,从而得到PM=PN,∠MPN=60°,从而可判断△PMN为等边三角形;(2)连接CE、BD,如图2,先利用旋转的定义,把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△CAE,则BD=CE,∠ABD=∠ACE,与(1)一样可得PM=PN,∠BPM=∠BCE,∠CPN=∠CBD,则计算出∠BPM+∠CPN=120°,从而得到∠MPN=60°,于是可判断△PMN为等边三角形.(3)利用AB﹣AD≤BD≤AB+AD(当且仅当点B、A、D共线时取等号)得到BD的最大值为4,则PN的最大值为2,然后可确定△PMN的周长的最大值.详解:(1)如图1.∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°.∵AD=AE,∴BD=CE.∵点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点,∴PM∥CE,PM=12CE,PN∥AD,PN=12BD,∴PM=PN,∠BPM=∠BCA=60°,∠CPN=∠CBA=60°,∴∠MPN=60°,∴△PMN为等边三角形;故答案为等边三角形;(2)△PMN的形状不发生改变,仍然为等边三角形.理由如下:连接CE、BD,如图2.∵AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠DAE=60°,∴把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△CAE,∴BD=CE,∠ABD=∠ACE,与(1)一样可得PM∥CE,PM=12CE,PN∥AD,PN=12BD,∴PM=PN,∠BPM=∠BCE,∠CPN=∠CBD,∴∠BPM+∠CPN=∠CBD+∠CBD=∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE=60°+60°=120°,∴∠MPN=60°,∴△PMN为等边三角形.(3)∵PN=12BD,∴当BD的值最大时,PN的值最大.∵AB﹣AD≤BD≤AB+AD(当且仅当点B、A、D共线时取等号)∴BD的最大值为1+3=4,∴PN的最大值为2,∴△PMN的周长的最大值为6.点睛:本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了等边三角形的判定与性质和三角形中位线性质.7.如图:在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∠PCQ=45°,把∠PCQ绕点C旋转,在整个旋转过程中,过点A作AD⊥CP,垂足为D,直线AD交CQ于E.(1)如图①,当∠PCQ在∠ACB内部时,求证:AD+BE=DE;(2)如图②,当CQ在∠ACB外部时,则线段AD、BE与DE的关系为_____;(3)在(1)的条件下,若CD=6,S△BCE=2S△ACD,求AE的长.【答案】(1)见解析(2)AD=BE+DE (3)8【解析】试题分析:(1)延长DA到F,使DF=DE,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF,再求出∠ACF=∠BCE,然后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等,根据全等三角形的即可证明AF=BE,从而得证;(2)在AD上截取DF=DE,然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF,再求出∠ACF=∠BCE,然后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等,根据全等三角形的即可证明AF=BE,从而得到AD=BE+DE;(3)根据等腰直角三角形的性质求出CD=DF=DE,再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出AF=2AD,然后求出AD的长,再根据AE=AD+DE代入数据进行计算即可得解.试题解析:(1)证明:如图①,延长DA到F,使DF=DE.∵CD⊥AE,∴CE=CF,∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°,∴∠ACD+∠ACF=∠DCF=45°.又∵∠ACB=90°,∠PCQ=45°,∴∠ACD+∠BCE=90°﹣45°=45°,∴∠ACF=∠BCE.在△ACF和△BCE中,∵CE CF ACF BCE AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACF ≌△BCE (SAS ),∴AF =BE ,∴AD +BE =AD +AF =DF =DE ,即AD +BE =DE ;(2)解:如图②,在AD 上截取DF =DE .∵CD ⊥AE ,∴CE =CF ,∴∠DCE =∠DCF =∠PCQ =45°,∴∠ECF =∠DCE +∠DCF =90°,∴∠BCE +∠BCF =∠ECF =90°.又∵∠ACB =90°,∴∠ACF +∠BCF =90°,∴∠ACF =∠BCE .在△ACF 和△BCE 中,∵CE CF ACF BCE AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACF ≌△BCE (SAS ),∴AF =BE ,∴AD =AF +DF =BE +DE ,即AD =BE +DE ;故答案为:AD =BE +DE .(3)∵∠DCE =∠DCF =∠PCQ =45°,∴∠ECF =45°+45°=90°,∴△ECF 是等腰直角三角形,∴CD =DF =DE =6.∵S △BCE =2S △ACD ,∴AF =2AD ,∴AD=112+×6=2,∴AE =AD +DE =2+6=8.点睛:本题考查了全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,等腰直角三角形的性质,综合性较强,但难度不是很大,作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.8.如图1,菱形ABCD ,AB 4=,ADC 120∠=o ,连接对角线AC 、BD 交于点O ,()1如图2,将AOD V 沿DB 平移,使点D 与点O 重合,求平移后的A'BO V 与菱形ABCD重合部分的面积.()2如图3,将A'BO V 绕点O 逆时针旋转交AB 于点E',交BC 于点F ,①求证:BE'BF 2+=; ②求出四边形OE'BF 的面积.【答案】()() 13?2①证明见解析3② 【解析】 【分析】(1)先判断出△ABD 是等边三角形,进而判断出△EOB 是等边三角形,即可得出结论; (2)先判断出 ≌△OBF ,再利用等式的性质即可得出结论; (3)借助①的结论即可得出结论. 【详解】()1Q 四边形为菱形,ADC 120∠=o ,ADO 60∠∴=o ,ABD ∴V 为等边三角形,DAO 30∠∴=o ,ABO 60∠=o ,∵AD//A′O , ∴∠A′OB=60°,EOB ∴V 为等边三角形,边长OB 2=,∴重合部分的面积:343⨯=,()2①在图3中,取AB 中点E ,由()1知,∠EOB=60°,∠E′OF=60°, ∴∠EOE′=∠BOF ,又∵EO=BO ,∴∠OEE′=∠OBF=60°, ∴△OEE′≌△OBF , ∴EE′=BF ,∴BE′+BF=BE′+EE′=BE=2;②由①知,在旋转过程中始终有△OEE′≌△OBF ,∴S△OEE′=S△OBF,∴S四边形OE′BF =OEBS3=V.【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,综合性较强,熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题的关键.9.如图,点P是正方形ABCD内的一点,连接PA,PB,PC.将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P'CB的位置.(1)设AB的长为a,PB的长为b(b<a),求△PAB旋转到△P'CB的过程中边PA所扫过区域(图中阴影部分)的面积;(2)若PA=2,PB=4,∠APB=135°,求PC的长.【答案】(1) S阴影=(a2-b2);(2)PC=6.【解析】试题分析:(1)依题意,将△P′CB逆时针旋转90°可与△PAB重合,此时阴影部分面积=扇形BAC的面积-扇形BPP'的面积,根据旋转的性质可知,两个扇形的中心角都是90°,可据此求出阴影部分的面积.(2)连接PP',根据旋转的性质可知:BP=BP',旋转角∠PBP'=90°,则△PBP'是等腰直角三角形,∠BP'C=∠BPA=135°,∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°,可推出△PP'C是直角三角形,进而可根据勾股定理求出PC的长.试题解析:(1)∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置,∴△PAB≌△P'CB,∴S△PAB=S△P'CB,S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP′=(a2-b2);(2)连接PP′,根据旋转的性质可知:△APB≌△C P′B,∴BP=BP′=4,P′C=PA=2,∠PBP′=90°,∴△PBP'是等腰直角三角形,P'P2=PB2+P'B2=32;又∵∠BP′C=∠BPA=135°,∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°,即△PP′C是直角三角形.PC==6.考点:1.扇形面积的计算;2.正方形的性质;3.旋转的性质.10.如图1,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连接BG,DE.(1)①猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系,不必证明;②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α,得到如图2情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并证明你的判断.(2)将原题中正方形改为矩形(如图3、4),且AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb (a≠b,k>0),第(1)题①中得到的结论哪些成立,哪些不成立?若成立,以图4为例简要说明理由.(3)在第(2)题图4中,连接DG、BE,且a=3,b=2,k=12,求BE2+DG2的值.【答案】(1)①BG⊥DE,BG=DE;②BG⊥DE,证明见解析;(2)BG⊥DE,证明见解析;(3)16.25.【解析】分析:(1)①根据正方形的性质,显然三角形BCG顺时针旋转90°即可得到三角形DCE,从而判断两条直线之间的关系;②结合正方形的性质,根据SAS仍然能够判定△BCG≌△DCE,从而证明结论;(2)根据两条对应边的比相等,且夹角相等可以判定上述两个三角形相似,从而可以得到(1)中的位置关系仍然成立;(3)连接BE、DG.根据勾股定理即可把BE2+DG2转换为两个矩形的长、宽平方和.详解:(1)①BG⊥DE,BG=DE;②∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形,∴BC=DC,CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°,∴∠BCG=∠DCE,∴△BCG≌△DCE,∴BG=DE,∠CBG=∠CDE,又∵∠CBG+∠BHC=90°,∴∠CDE+∠DHG=90°,∴BG⊥DE.(2)∵AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb,∴BC CG b==,DC CE a又∵∠BCG=∠DCE,∴△BCG∽△DCE,∴∠CBG=∠CDE,又∵∠CBG+∠BHC=90°,∴∠CDE+∠DHG=90°,∴BG⊥DE.(3)连接BE、DG.根据题意,得AB=3,BC=2,CE=1.5,CG=1,∵BG⊥DE,∠BCD=∠ECG=90°∴BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25.点睛:此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理.11.已知Rt△DAB中,∠ADB=90°,扇形DEF中,∠EDF=30°,且DA=DB=DE,将Rt△ADB 的边与扇形DEF的半径DE重合,拼接成图1所示的图形,现将扇形DEF绕点D按顺时针方向旋转,得到扇形DE′F′,设旋转角为α(0°<α<180°)(1)如图2,当0°<α<90°,且DF′∥AB时,求α;(2)如图3,当α=120°,求证:AF′=BE′.【答案】(1)15°;(2)见解析.【解析】试题分析:(1)∵∠ADB=90°,DA=DB,∴∠BAD=45°,∵DF′∥AB,∴∠ADF′=∠BAD=45°,∴α=45°﹣30°=15°;(2)∵α=120°,∴∠ADE′=120°,∴∠ADF′=120°+30°=150°,∠BDE′=360°﹣90°﹣120°=150°,∴∠ADF′=∠BDE′,在△ADF′和△BDE′中,,∴△ADF′≌△BDE′,∴AF′=BE′.考点:①旋转性质;②全等三角形的判定和性质.12.已知:一次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为A、B,以B为旋转中心,将△BOA逆时针旋转,得△BCD(其中O与C、A与D是对应的顶点).(1)求AB的长;(2)当∠BAD=45°时,求D点的坐标;(3)当点C在线段AB上时,求直线BD的关系式.【答案】(1)5;(2)D(4,7)或(-4,1);(3)【解析】试题分析:(1)先分别求得一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标,再根据勾股定理求解即可;(2)根据旋转的性质结合△BOA的特征求解即可;(3)先根据点C在线段AB上判断出点D的坐标,再根据待定系数法列方程组求解即可.(1)在时,当时,,当时,∴;(2)由题意得D(4,7)或(-4,1);(2)由题意得D点坐标为(4,)设直线BD 的关系式为∵图象过点B (0,4),D (4,)∴,解得∴直线BD 的关系式为.考点:动点的综合题点评:此类问题综合性强,难度较大,在中考中比较常见,一般作为压轴题,题目比较典型.13.我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”。
最新九年级数学中考复习:旋转综合压轴题(角度问题)含答案
![最新九年级数学中考复习:旋转综合压轴题(角度问题)含答案](https://img.taocdn.com/s3/m/d45c2714effdc8d376eeaeaad1f34693daef10cb.png)
2023年九年级数学中考复习:旋转综合压轴题(角度问题)1.如图① ,在①ABC 中,AB =AC =4,①BAC =90°,AD ①BC ,垂足为D .(1)S △ABD = .(直接写出结果)(2)如图①,将①ABD 绕点D 按顺时针方向旋转得到①A′B′D ,设旋转角为α (α<90°),在旋转过程中: 探究一:四边形APDQ 的面积是否随旋转而变化?说明理由; 探究二:当α=________时,四边形APDQ 是正方形.2.如图,在等腰Rt ABC 和等腰Rt CDE 中,90ACB DCE ∠=∠=︒.(1)观察猜想:如图1,点E 在BC 上,线段AE 与BD 的关系是_________;(2)探究证明:把CDE △绕直角顶点C 旋转到图2的位置,(1)中的结论还成立吗?说明理由; (3)拓展延伸:把CDE △绕点C 在平面内转动一周,若10AC BC ==,5CE CD ==,AE 、BD 交于点P 时,连接CP ,直接写出BCP 最大面积_________.3.如图1,在Rt △ABC 中,①A =90°,AB =AC ,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,AD =AE ,连接DC ,点M ,P ,N 分别为DE ,DC ,BC 的中点.(1)观察猜想:图1中,请判断线段PM 与PN 的数量关系和位置关系,并说明理由;(2)探究证明:把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN ,BD ,CE ,判断△PMN 的形状,并说明理由;(3)拓展延伸:把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转,若AD =3,AB =7,请直接写出△PMN 面积的最大值.4.如图1,①ABC 为等腰直角三角形,①BAC =90°,AB =AC ,点D 在AB 边上,点E 在AC 边上,AD =AE ,连接DE ,取BC 边的中点O ,连接DO 并延长到点F ,使OF =OD ,连接CF . (1)请判断①CEF 的形状,并说明理由;(2)将(1)中①ADE 绕点A 旋转,连接CE ,(1)中的结论是否仍然成立,若成立,请仅就图2所示情况给出证明,若不成立,请说明理由;(3)若AB =6,AD =4,将①ADE 由图1位置绕点A 旋转,当点B ,E ,D 三点共线时,请直接写出①CEF 的面积.5.如图,在Rt ABC 中,90BAC ∠=︒,AB AC =,点D 是AB 外一动点,连接AD ,把AD 绕点A 逆时针旋转90°,得到AE ,连接CE ,DE ,BC 与DE 交于点F ,且AB BD ⊥.(1)如图1,若CB =6CE =,求DE 的长;(2)如图2,若点H 、G 分别为线段CF 、AE 的中点,连接HG ,求证:12HG BF =;(3)如图3,在(2)的条件下,若CE =4CF =,将BDF 绕点F 顺时针旋转角3(060)αα︒<≤︒,得到B D F '',连接B G ',取B G '中点Q ,连接BQ ,当线段BQ 最小时,请直接写出BQB '的面积.6.如图1,矩形ABCD 中,15,20AB BC ==,将矩形ABCD 绕着点A 顺时针旋转,得到矩形BEFG .(1)当点E 落在BD 上时,则线段DE 的长度等于________; (2)如图2,当点E 落在AC 上时,求BCE 的面积;(3)如图3,连接AE CE AG CG 、、、,判断线段AE 与CG 的位置关系且说明理由,并求22CE AG +的值;(4)在旋转过程中,请直接写出BCE ABG S S +△△的最大值.7.在平面直角坐标系中,O 为原点,点(4,0)A -,点(0,3),B ABO 绕点B 顺时针旋转,得A BO ''△,点A O 、旋转后的对应点为A O ''、,记旋转角为α.(1)如图①,90α=︒,边OA 上的一点M 旋转后的对应点为N ,当1OM =时,点N 的坐标为_____; (2)90α=︒,边OA 上的一点M 旋转后的对应点为N ,当O M BN '+取得最小值时,在图①中画出点M 的位置,并求出点N 的坐标.(3)如图①,P 为AB 上一点,且:2:1PA PB =,连接PO PA ''、,在ABO 绕点B 顺时针旋转一周的过程中,PO A ''的面积是否存在最大值和最小值,若存在,请求出;若不存在,请说明理由.8.如图1,①ABC 和①DEC 均为等腰三角形,且①ACB =①DCE =90°,连接BE ,AD ,两条线段所在的直线交于点P .(1)线段BE 与AD 有何数量关系和位置关系,请说明理由. (2)若已知BC =12,DC =5,①DEC 绕点C 顺时针旋转, ①如图2,当点D 恰好落在BC 的延长线上时,求AP 的长;①在旋转一周的过程中,设①P AB 的面积为S ,求S 的最值.9.如图,在菱形ABCD 中,2AB =,60BAD ∠=,过点D 作DE AB ⊥于点E ,DF BC ⊥于点F .()1如图1,连接AC 分别交DE 、DF 于点M 、N ,求证:13MN AC =; ()2如图2,将EDF 以点D 为旋转中心旋转,其两边'DE 、'DF 分别与直线AB 、BC 相交于点G 、P ,连接GP ,当DGP 的面积等于10.如图1,一副直角三角板满足AB=BC ,AC=DE ,①ABC=①DEF=90°,①EDF=30°操作:将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上,再将三角板DEF 绕点E 旋转,并使边DE 与边AB 交于点P ,边EF 与边BC 于点Q . 探究一:在旋转过程中, (1)如图2,当1CEEA=时,EP 与EQ 满足怎样的数量关系?并给出证明; (2)如图3,当2CEEA=时,EP 与EQ 满足怎样的数量关系?并说明理由; (3)根据你对(1)、(2)的探究结果,试写出当CEm EA=时,EP 与EQ 满足的数量关系式为 ,其中m 的取值范围是 .(直接写出结论,不必证明) 探究二:若2CEEA=且AC=30cm ,连接PQ ,设△EPQ 的面积为S (cm 2),在旋转过程中: (1)S 是否存在最大值或最小值?若存在,求出最大值或最小值;若不存在,说明理由. (2)随着S 取不同的值,对应△EPQ 的个数有哪些变化,求出相应S 的值或取值范围.11.如图1,在①ABC中,①BAC=90°,AB=AC,点D在边AC上,CD①DE,且CD=DE,连接BE,取BE的中点F,连接DF.(1)请直接写出①ADF的度数及线段AD与DF的数量关系;(2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转,①如图2,(1)中①ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立?请说明理由;①如图3,连接AF,若AC=3,CD=1,求S△ADF的取值范围.12.已知点E是正方形ABCD的边AB上一点,AB=BE=2.以BE为边向右侧作正方形BEFG,将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α度(0≤α≤90°),连结AE,CG(如图).(1)求证:①ABE①①CBG.(2)当点E在BD上时,求CG的长.(3)当90∠时,正方形BEFG停止旋转,求在旋转过程中线段AE扫过的面积.(参考数据:AEB=︒sin28︒≈,sin62︒≈tan28︒≈tan62︒≈)13.如图,矩形ABCD 中,5,6,==AB BC BCG 为等边三角形.点E ,F 分别为,AD BC 边上的动点,且EF AB ∥,P 为EF 上一动点,连接BP ,将线段BP 绕点B 顺时针旋转60︒至BM ,连接,,,PA PC PM GM .(1)求证:=GM PC ;(2)当,,PB PC PE 三条线段的和最小时,求PF 的长;(3)若点E 以每秒2个单位的速度由A 点向D 点运动,点P 以每秒1个单位的速度由E 点向F 点运动.E ,P 两点同时出发,点E 到达点D 时停止,点P 到达点F 时停止,设点P 的运动时间为t 秒. ①求t 为何值时,AEP △与CFP 相似; ①求BMP 的面积S 的最小值.14.如图1,在Rt ABC 中,90,5∠=︒==C AC BC ,点D 是边BC 上的一点,且BD =,过点D 做BC 边的垂线,交AB 边于点E ,将BDE 绕点B 顺时针方向旋转,记旋转角为()0360αα︒≤<︒.(1)【问题发现】当0α=︒时,AECD的值为________,直线,AE CD 相交形成的较小角的度数为________; (2)【拓展探究】试判断:在旋转过程中,(1)中的两个结论有无变化?请仅就图2的情况给出证明; (3)【问题解决】当BDE 旋转至A ,D ,E 三点在同一条直线上时,请直接写出ACD △的面积.15.在中Rt ABC △中.90ABC ∠=︒,AB BC =,点E 在射线CB 上运动.连接AE ,将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°得到EF ,连接CF .(1)如图1,点E在点B的左侧运动;①当2BE=,BC=EAB∠=_________°;①猜想线段CA,CF与CE之间的数量关系为_________.(2)如图2,点E在线段CB上运动时,第(1)间中线段CA,CF与CE之间的数量关系是否仍然成立如果成立,请说明理由;如果不成立,请求出它们之间新的数量关系.=,以A,E,C,F为顶点的四边形面积为y,请直接写出(3)点E在射线CB上运动,BC=,设BE xy与x之间的函数关系式(不用写出x的取值范围).16.如图,在①ABC中,AB=,①A=45°,AC=C作直线平行AB,将①ABC绕点A顺时针旋转得到①AB C''(点B,C的对应点分别为B',C'),射线AB',AC'分别交直线l于点P、Q.(1)如图1,求BC的长;(2)如图2,当点C为PQ中点时,求tan①APQ;(3)如图3,当点P,Q分别在线段AB',AC'上时,试探究四边形PQC B''的面积是否存在最大值.若存在,求出其最大值;若不存在,请说明理由.17.已知Rt△ABC中,AC=BC,①C=90°,D为AB边的中点,①EDF=90°,①EDF绕D点旋转,它的两边分别交AC、CB(或它们的延长线)于E、F.(1)如图1,当①EDF 绕D 点旋转到DE ①AC 于E 时,易证S △DEF +S △CEF 与S △ABC 的数量关系为__________;(2)如图2,当①EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时,上述结论是否成立?若成立,请给予证明; (3)如图3,这种情况下,请猜想S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 的数量关系,不需证明.18.面直角坐标系中,O 为原点,点(12,0)A ,点(0,5)B ,线段AB 的中点为点C .将ABO 绕着点B 逆时针旋转,点O 对应点为1O ,点A 的对应点为1A .(1)如图①,当点1O 恰好落在AB 上时, ①此时1CO 的长为__________;①点P 是线段OA 上的动点,旋转后的对应点为1P ,连接11,BP PO ,试求11BP PO +最小时点P 的坐标; (2)如图①,连接11,CA CO ,则在旋转过程中,11CAO △的面积是否存在最大值?若存在,直接写出最大值,若不存在,说明理由.19.如图,在Rt ABC 中,90C ∠=︒,5AB =,3sin 5A =.点P 从点A 出发,以每秒4个单位长度的速度向终点B 匀速运动,过点P 作PD AB ⊥交折线AC ,CB 于点D ,连结BD ,将DBP 绕点D 逆时针旋转90︒得到DEF .设点P 的运动时间为t (秒).(1)用含t 的代数式表示线段PD 的长. (2)当点E 落在AB 边上时,求AD 的长. (3)当点F 在ABC 内部时,求t 的取值范围.(4)当线段DP 将ABC 的面积分成1:2 的两部分时,直接写出t 的值.20.如图1,在Rt ABC △中,90B ∠=︒,AB BC =,AO 是BC 边上的中线,点D 是AO 上一点,DE EO ⊥,E 是垂足,DEO 可绕着点O 旋转,点F 是点E 关于点O 的对称点,连接AD 和CF .(1)问题发现:如图2,当1ADDO=时,则下列结论正确的是_______.(填序号)①BE CF =;①点F 是OC 的中点:①AO 是BAC ∠的角平分线;①AD .(2)数学思考:将图2中DEO 绕点O 旋转,如图3,则AD 和CF 具有怎样的数量关系?请给出证明过程;(3)拓展应用:在图1中,若ADx DO=,将DEO 绕着点O 旋转. ①则AD =_______CF ;①若4AB =,1x =,在DEO 旋转过程中,如图4,当点D 落在AB 上时,连结BE ,EC ,求四边形ABEC 的面积.答案21.(1)4(2)四边形APDQ 的面积不会随旋转而变化,理由见详解;当45α=︒时,四边形APDQ 是正方形.22.(1)AE BD =,AE BD ⊥; (2)结论仍成立23.(1)PM =PN ,PM ①PN . (2)△PMN 是等腰直角三角形. (3)S △PMN 最大=25224.(1) ①CEF 是等腰直角三角形;(2)成立,(3)18-18+25.(1)(3)8 26.(1)10;(2)42;(3) AE ①CG 221250CE AG =+;(4)30027.(1)(-3,4);(2)N (-3,92);(3)最大值为283,最小值为8328.(1)BE =AD ,BE 与AD 互相垂直,(2)①AP =8413;①最小47,最大72 29.(2)顺时针或逆时针旋转60.30.探究一:(1)EP=EQ ;证明见解析;(2)1:2,(3)EP :EQ=1:m ,①0<(1)当50cm 2;当75cm 2.(2)50<S≤62.5时,这样的三角形有2个;当S=50或62.5<S≤75时,这样的三角形有一个.31.(1)①ADF =45°,AD (2)①成立,;①1≤S △ADF ≤4.32.(3)3145S π=33.(3)①73;①34.,45︒;(2)无变化(3)121235.(1)①30;①AC +CF CE ;(2)CA -CF;(3)当点E 在点B 左侧运动时,y =21322x +;当点E 在点B 右侧运动时,y 32+.36.(3)存在;21-37.(1)S △DEF +S △CEF =12S △ABC(2)上述结论S △DEF +S △CEF =12S △ABC 成立(3)S △DEF -S △CEF =12S △ABC38.(1)①1.5 ①20,07⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)存在最大值,最大值为6939.(1)3t (2)258 (3)355374t ≤≤40.(1)①①①(2)AD =,①465。
中考数学压轴题专题旋转的经典综合题及答案解析
![中考数学压轴题专题旋转的经典综合题及答案解析](https://img.taocdn.com/s3/m/bd366b7b195f312b3169a5dd.png)
一、旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图所示,(1)正方形ABCD及等腰Rt△AEF有公共顶点A,∠EAF=90°,连接BE、DF.将Rt△AEF绕点A旋转,在旋转过程中,BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系?结合图(1)给予证明;(2)将(1)中的正方形ABCD变为矩形ABCD,等腰Rt△AEF变为Rt△AEF,且AD=kAB,AF=kAE,其他条件不变.(1)中的结论是否发生变化?结合图(2)说明理由;(3)将(2)中的矩形ABCD变为平行四边形ABCD,将Rt△AEF变为△AEF,且∠BAD=∠EAF=a,其他条件不变.(2)中的结论是否发生变化?结合图(3),如果不变,直接写出结论;如果变化,直接用k表示出线段BE、DF的数量关系,用a表示出直线BE、DF 形成的锐角β.【答案】(1)DF=BE且DF⊥BE,证明见解析;(2)数量关系改变,位置关系不变,即DF=kBE,DF⊥BE;(3)不改变.DF=kBE,β=180°-α【解析】【分析】(1)根据旋转的过程中线段的长度不变,得到AF=AE,又∠BAE与∠DAF都与∠BAF互余,所以∠BAE=∠DAF,所以△FAD≌△EAB,因此BE与DF相等,延长DF交BE于G,根据全等三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EGF=90°,所以DF⊥BE;(2)等同(1)的方法,因为矩形的邻边不相等,但根据题意,可以得到对应边成比例,所以△FAD∽△EAB,所以DF=kBE,同理,根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EHF=90°,所以DF⊥BE;(3)与(2)的证明方法相同,但根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EAF+∠EHF=180°,所以DF与BE的夹角β=180°﹣α.【详解】(1)DF与BE互相垂直且相等.证明:延长DF分别交AB、BE于点P、G在正方形ABCD和等腰直角△AEF中AD=AB,AF=AE,∠BAD=∠EAF=90°∴∠FAD =∠EAB ∴△FAD ≌△EAB ∴∠AFD =∠AEB ,DF =BE ∵∠AFD+∠AFG =180°, ∴∠AEG+∠AFG =180°, ∵∠EAF =90°,∴∠EGF =180°﹣90°=90°, ∴DF ⊥BE(2)数量关系改变,位置关系不变.DF =kBE ,DF ⊥BE . 延长DF 交EB 于点H ,∵AD =kAB ,AF =kAE ∴AD k AB =,AFk AE= ∴AD AFAB AE= ∵∠BAD =∠EAF =a ∴∠FAD =∠EAB ∴△FAD ∽△EAB∴DF AFk BE AE == ∴DF =kBE∵△FAD ∽△EAB , ∴∠AFD =∠AEB , ∵∠AFD+∠AFH =180°, ∴∠AEH+∠AFH =180°, ∵∠EAF =90°,∴∠EHF =180°﹣90°=90°, ∴DF ⊥BE(3)不改变.DF =kBE ,β=180°﹣a . 延长DF 交EB 的延长线于点H ,∵AD =kAB ,AF =kAE ∴AD k AB =,AFk AE = ∴AD AFAB AE= ∵∠BAD =∠EAF =a ∴∠FAD =∠EAB ∴△FAD ∽△EAB∴DF AFk BE AE == ∴DF =kBE由△FAD ∽△EAB 得∠AFD =∠AEB ∵∠AFD+∠AFH =180° ∴∠AEB+∠AFH =180°∵四边形AEHF 的内角和为360°, ∴∠EAF+∠EHF =180° ∵∠EAF =α,∠EHF =β ∴a+β=180°∴β=180°﹣a 【点睛】本题(1)中主要利用三角形全等的判定和性质以及正方形的性质进行证明;(2)(3)利用相似三角形的判定和性质证明,要解决本题,证明三角形全等和三角相似是解题的关键,也是难点所在.2.如图1,在□ABCD 中,AB =6,∠B = (60°<≤90°). 点E 在BC 上,连接AE ,把△ABE 沿AE 折叠,使点B 与AD 上的点F 重合,连接EF . (1)求证:四边形ABEF 是菱形;(2)如图2,点M 是BC 上的动点,连接AM ,把线段AM 绕点M 顺时针旋转得到线段MN ,连接FN ,求FN 的最小值(用含的代数式表示).【答案】(1)详见解析;(2)FE·sin(-90°)【解析】【分析】(1)由四边形ABCD是平行四边形得AF∥BE,所以∠FAE=∠BEA,由折叠的性质得∠BAE=∠FAE,∠BEA=∠FEA,所以∠BAE=∠FEA,故有AB∥FE,因此四边形ABEF是平行四边形,又BE=EF,因此可得结论;(2)根据点M在线段BE上和EC上两种情况证明∠ENG=90°-,利用菱形的性质得到∠FEN=-90°,再根据垂线段最短,求出FN的最小值即可.【详解】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠FAE=∠BEA,由折叠的性质得∠BAE=∠FAE,∠BEA=∠FEA, BE=EF,∴∠BAE=∠FEA,∴AB∥FE,∴四边形ABEF是平行四边形,又BE=EF,∴四边形ABEF是菱形;(2)①如图1,当点M在线段BE上时,在射线MC上取点G,使MG=AB,连接GN、EN.∵∠AMN=∠B=,∠AMN+∠2=∠1+∠B∴∠1=∠2又AM=NM,AB=MG∴△ABM≌△MGN∴∠B=∠3,NG=BM∵MG=AB=BE∴EG=AB=NG∴∠4=∠ENG= (180°-)=90°-又在菱形ABEF中,AB∥EF∴∠FEC=∠B=∴∠FEN=∠FEC-∠4=- (90°-)=-90°②如图2,当点M在线段EC上时,在BC延长线上截取MG=AB,连接GN、EN.同理可得:∠FEN=∠FEC-∠4=- (90°-)=-90°综上所述,∠FEN=-90°∴当点M在BC上运动时,点N在射线EH上运动(如图3)当FN⊥EH时,FN最小,其最小值为FE·sin(-90°)【点睛】本题考查了菱形的判定与性质以及求最短距离的问题,解题的关键是分类讨论得出∠FEN =-90°,再运用垂线段最短求出FN的最小值.3.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.点D、E分别在AC、BC边上,DC=EC,连接DE、AE、BD.点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点,连接PM、PN、MN.(1)PM与BE的数量关系是,BE与MN的数量关系是.(2)将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置,判断(1)中BE与MN的数量关系结论是否仍然成立,如果成立,请写出证明过程,若不成立,请说明理由;(3)若CB =6.CE =2,在将图1中的△DEC 绕点C 逆时针旋转一周的过程中,当B 、E 、D 三点在一条直线上时,求MN 的长度. 【答案】(1)1,22PM BE BE MN ==;(2)成立,理由见解析;(3)MN =17﹣1或17+1 【解析】 【分析】(1)如图1中,只要证明PMN 的等腰直角三角形,再利用三角形的中位线定理即可解决问题;(2)如图2中,结论仍然成立,连接AD 、延长BE 交AD 于点H .由ECB DCA ≅,推出BE AD =,DAC EBC ∠=∠,即可推出BH AD ⊥,由M 、N 、P 分别AE 、BD 、AB 的中点,推出//PM BE ,12PM BE =,//PN AD ,12PN AD =,推出PM PN =,90MPN ∠=︒,可得22222BE PM MN MN ==⨯=; (3)有两种情形分别求解即可. 【详解】 (1)如图1中,∵AM =ME ,AP =PB ,∴PM ∥BE ,12PM BE =, ∵BN =DN ,AP =PB ,∴PN ∥AD ,12PN AD =, ∵AC =BC ,CD =CE , ∴AD =BE , ∴PM =PN , ∵∠ACB =90°, ∴AC ⊥BC ,∴∵PM ∥BC ,PN ∥AC , ∴PM ⊥PN ,∴△PMN 的等腰直角三角形, ∴2MN PM =,∴122MN BE =⋅, ∴2BE MN =,故答案为12PM BE =,2BE MN =. (2)如图2中,结论仍然成立.理由:连接AD 、延长BE 交AD 于点H . ∵△ABC 和△CDE 是等腰直角三角形, ∴CD =CE ,CA =CB ,∠ACB =∠DCE =90°, ∵∠ACB ﹣∠ACE =∠DCE ﹣∠ACE , ∴∠ACD =∠ECB , ∴△ECB ≌△DCA , ∴BE =AD ,∠DAC =∠EBC , ∵∠AHB =180°﹣(∠HAB +∠ABH ) =180°﹣(45°+∠HAC +∠ABH ) =∠180°﹣(45°+∠HBC +∠ABH ) =180°﹣90° =90°, ∴BH ⊥AD ,∵M 、N 、P 分别为AE 、BD 、AB 的中点,∴PM ∥BE ,12PM BE =,PN ∥AD ,12PN AD =, ∴PM =PN ,∠MPN =90°,∴22222BE PM MN MN ==⨯=. (3)①如图3中,作CG ⊥BD 于G ,则2CG GE DG ===当D 、E 、B 共线时,在Rt △BCG 中,()22226234BG BC CG =-=-=,∴342BE BG GE =-=-, ∴21712MN BE ==-. ②如图4中,作CG ⊥BD 于G ,则2CG GE DG ===,当D 、E 、B 共线时,在Rt △BCG 中,()22226234BG BC CG =-=-=∴342BE BG GE =+=, ∴21712MN BE ==. 综上所述,MN 17﹣117. 【点睛】本题属于几何变换综合题,考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.4.在Rt △ABC 中,AB=BC=5,∠B=90°,将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC 的中点O 处,将三角板绕点O 旋转,三角板的两直角边分别交AB ,BC 或其延长线于E ,F 两点,如图①与②是旋转三角板所得图形的两种情况.(1)三角板绕点O旋转,△OFC是否能成为等腰直角三角形?若能,指出所有情况(即给出△OFC是等腰直角三角形时BF的长);若不能,请说明理由;(2)三角板绕点O旋转,线段OE和OF之间有什么数量关系?用图①或②加以证明;(3)若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处(如图③),当AP:AC=1:4时,PE和PF 有怎样的数量关系?证明你发现的结论.【答案】(1)△OFC是能成为等腰直角三角形,(2)OE=OF.(3)PE:PF=1:3.【解析】【小题1】由题意可知,①当F为BC的中点时,由AB=BC=5,可以推出CF和OF的长度,即可推出BF的长度,②当B与F重合时,根据直角三角形的相关性质,即可推出OF 的长度,即可推出BF的长度;【小题2】连接OB,由已知条件推出△OEB≌△OFC,即可推出OE=OF;【小题3】过点P做PM⊥AB,PN⊥BC,结合图形推出△PNF∽△PME,△APM∽△PNC,继而推出PM:PN=PE:PF,PM:PN=AP:PC,根据已知条件即可推出PA:AC=PE:PF=1:4.5.如图(1)所示,将一个腰长为2等腰直角△BCD和直角边长为2、宽为1的直角△CED 拼在一起.现将△CED绕点C顺时针旋转至△CE’D’,旋转角为a.(1)如图(2),旋转角a=30°时,点D′到CD边的距离D’A=______.求证:四边形ACED′为矩形;(2)如图(1),△CED绕点C顺时针旋转一周的过程中,在BC上如何取点G,使得GD’=E’D;并说明理由.(3)△CED绕点C顺时针旋转一周的过程中,∠CE’D=90°时,直接写出旋转角a的值.【答案】1【解析】分析:(1)过D′作D′N⊥CD于N.由30°所对直角边等于斜边的一半即可得结论.由D’A∥CE且D’A=CE=1,得到四边形ACED’为平行四边形.根据有一个角为90°的平行四边形是矩形,即可得出结论;(2)取BC中点即为点G,连接GD’.易证△DCE’≌△D’CG,由全等三角形的对应边相等即可得出结论.(3)分两种情况讨论即可.详解:(1)D’A=1.理由如下:过D′作D′N⊥CD于N.∵∠NCD′=30°,CD′=CD=2,∴ND′= 12CD′=1.由已知,D’A∥CE,且D’A=CE=1,∴四边形ACED’为平行四边形.又∵∠DCE=90°,∴四边形ACED’为矩形;(2)如图,取BC中点即为点G,连接GD’.∵∠DCE=∠D’CE’=90°,∴∠DCE’=∠D’CG.又∵D’C= DC,CG=CE’,∴△DCE’≌△D’CG,∴GD’=E’D.(3)分两种情况讨论:①如图1.∵∠CE′D=90°,CD=2,CE′=1,∴∠CDE′=30°,∴∠E′CD=60°,∴∠E′CB=30°,∴旋转角=∠ECE′=180°+30°=210°.②如图2,同理可得∠E′CE=30°,∴旋转角=360°-30°=330°.点睛:本题考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.6.如图1,△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,直线l经过点C,AF⊥l于点F,BE⊥l于点E.(1)求证:△ACF≌△CBE;(2)将直线旋转到如图2所示位置,点D是AB的中点,连接DE.若AB=42,∠CBE=30°,求DE的长.【答案】(1)答案见解析;(226+【解析】试题分析:(1)根据垂直的定义得到∠BEC=∠ACB=90°,根据全等三角形的性质得到∠EBC=∠CAF,即可得到结论;(2)连接CD,DF,证得△BCE≌△ACF,根据全等三角形的性质得到BE=CF,CE=AF,证得△DEF是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质得到EF2DE,EF=CE+BE,进而得到DE的长.试题解析:解:(1)∵BE⊥CE,∴∠BEC=∠ACB=90°,∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°,∴∠EBC=∠CAF.∵AF⊥l于点F,∴∠AFC=90°.在△BCE与△ACF中,∵90AFC BECEBC ACFBC AC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACF≌△CBE(AAS);(2)如图2,连接CD,DF.∵BE⊥CE,∴∠BEC=∠ACB=90°,∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°,∴∠EBC=∠CAF.∵AF⊥l于点F,∴∠AFC=90°.在△BCE与△CAF中,∵90AFC BECEBC ACFBC AC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BCE≌△CAF(AAS);∴BE=CF.∵点D是AB的中点,∴CD=BD,∠CDB=90°,∴∠CBD=∠ACD=45°,而∠EBC=∠CAF,∴∠EBD=∠DCF.在△BDE与△CDF中,∵BE CFEBD FCDBD CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BDE≌△CDF(SAS),∴∠EDB=∠FDC,DE=DF.∵∠BDE+∠CDE=90°,∴∠FDC+∠CDE=90°,即∠EDF=90°,∴△EDF是等腰直角三角形,∴EF=2DE,∴EF=CE+CF =CE+BE.∵CA=CB,∠ACB=90°,AB=42,∴BC=4.又∵∠CBE=30°,∴CE=12BC=2,BE=3CE=23,∴EF=CE+BE=2+23,∴DE=2EF=2232+=2+6.点睛:本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,直角三角形斜边上的中线的性质,证得△BCE≌△ACF是解题的关键.7.边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上(如图1),现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转,当A点第一次落在DF上时停止旋转,旋转过程中, AB边交DF于点M,BC边交DG于点N.(1)求边DA在旋转过程中所扫过的面积;(2)旋转过程中,当MN和AC平行时(如图2),求正方形ABCD旋转的度数;(3)如图3,设△MBN的周长为p,在旋转正方形ABCD的过程中,p值是否有变化?请证明你的结论.【答案】(1);(2);(3)不变化,证明见解析.【解析】试题分析:(1)将正方形ABCD绕D点顺时针旋转,当A点第一次落在DF上时停止旋转,旋转过程中,DA旋转了,从而根据扇形面积公式可求DA在旋转过程中所扫过的面积.(2)旋转过程中,当MN和AC平行时,根据平行的性质和全等三角形的判定和性质可求正方形ABCD旋转的度数为.(3)延长BA交DE轴于H点,通过证明和可得结论.(1)∵A点第一次落在DF上时停止旋转,∴DA旋转了.∴DA在旋转过程中所扫过的面积为.(2)∵MN∥AC,∴,.∴.∴.又∵,∴.又∵,∴.∴.∴.∴旋转过程中,当MN和AC平行时,正方形ABCD旋转的度数为. (3)不变化,证明如下:如图,延长BA交DE轴于H点,则,,∴.又∵.∴.∴.又∵, ,∴.∴.∴.∴.∴在旋转正方形ABCD的过程中,值无变化.考点:1.面动旋转问题;2.正方形的性质;3.扇形面积的计算;4.全等三角形的判定和性质.8.如图,点P是正方形ABCD内一点,点P到点A,B和D的距离分别为1,22,10.△ADP沿点A旋转至△ABP′,连接PP′,并延长AP与BC相交于点Q.(1)求证:△APP′是等腰直角三角形;(2)求∠BPQ的大小.【答案】(1)证明见解析;(2)∠BPQ=45°.【解析】【分析】(1)根据旋转的性质可知,△APD≌△AP′B,所以AP=AP′,∠PAD=∠P′AB,因为∠PAD+∠PAB=90°,所以∠P′AB+∠PAB=90°,即∠PAP′=90°,故△APP′是等腰直角三角形;(2)根据勾股定理逆定理可判断△PP′B是直角三角形,再根据平角定义求出结果.【详解】(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°,∵△ADP沿点A旋转至△ABP′,∴AP=AP′,∠PAP′=∠DAB=90°,∴△APP′是等腰直角三角形;(2)∵△APP′是等腰直角三角形,∴22,∠APP′=45°,∵△ADP沿点A旋转至△ABP′,∴,在△PP′B中,,,,∵)2+(2=)2,∴PP′2+PB2=P′B2,∴△PP′B为直角三角形,∠P′PB=90°,∴∠BPQ=180°﹣∠APP′﹣∠P′PB=180°﹣45°﹣90°=45°.【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理及逆定理的综合运用,有一定难度,关键是明确旋转的不变性.。
中考数学压轴题专题旋转的经典综合题及详细答案
![中考数学压轴题专题旋转的经典综合题及详细答案](https://img.taocdn.com/s3/m/97ecf98958fb770bf68a554a.png)
一、旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.(1)发现:如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空:当点A位于时,线段AC的长取得最大值,且最大值为(用含a,b的式子表示) (2)应用:点A为线段BC外一动点,且BC=4,AB=1,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE.①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;②直接写出线段BE长的最大值.(3)拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),点P 为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.【答案】(1)CB的延长线上, a+b;(2)①CD=BE,理由见解析;②BE长的最大值为5;(3)满足条件的点P坐标(222)或(222),AM的最大值为2+4.【解析】【分析】(1)根据点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,即可得到结论;(2)①根据已知条件易证△CAD≌△EAB,根据全等三角形的性质即可得CD=BE;②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值,根据(1)中的结论即可得到结果;(3)连接BM,将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,即可得到最大值为2+4;如图2,过P作PE⊥x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标.如图3中,根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件,由此求得符合条件的点P另一个的坐标.【详解】(1)∵点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b,∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b,故答案为CB的延长线上,a+b;(2)①CD=BE,理由:∵△ABD与△ACE是等边三角形,∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠EAB,在△CAD与△EAB中,AD ABCAD EAB AC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△CAD≌△EAB(SAS),∴CD=BE;②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值,由(1)知,当线段CD的长取得最大值时,点D在CB的延长线上,∴最大值为BD+BC=AB+BC=5;(3)如图1,∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,则△APN是等腰直角三角形,∴PN=PA=2,BN=AM,∵A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),∴OA=2,OB=6,∴AB=4,∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值,∴当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,最大值=AB+AN,∵AN=2AP=22,∴最大值为22+4;如图2,过P作PE⊥x轴于E,∵△APN是等腰直角三角形,∴PE=AE2,∴OE=BO﹣AB﹣AE=6﹣42=22,∴P(2﹣2,2).如图3中,根据对称性可知当点P在第四象限时,P(2﹣2,﹣2)时,也满足条件.综上所述,满足条件的点P坐标(2﹣2,2)或(2﹣2,﹣2),AM的最大值为22+4.【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,最大值问题,旋转的性质.正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.2.(1)如图①,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点O作直线EF⊥BD,交AD于点E,交BC于点F,连接BE、DF,且BE平分∠ABD.①求证:四边形BFDE是菱形;②直接写出∠EBF的度数;(2)把(1)中菱形BFDE进行分离研究,如图②,点G、I分别在BF、BE边上,且BG=BI,连接GD,H为GD的中点,连接FH并延长,交ED于点J,连接IJ、IH、IF、IG.试探究线段IH与FH之间满足的关系,并说明理由;(3)把(1)中矩形ABCD进行特殊化探究,如图③,当矩形ABCD满足AB=AD时,点E是对角线AC上一点,连接DE、EF、DF,使△DEF是等腰直角三角形,DF交AC于点G.请直接写出线段AG、GE、EC三者之间满足的数量关系.【答案】(1)①详见解析;②60°.(2)IH3;(3)EG2=AG2+CE2.【解析】【分析】(1)①由△DOE≌△BOF,推出EO=OF,∵OB=OD,推出四边形EBFD是平行四边形,再证明EB=ED即可.②先证明∠ABD =2∠ADB ,推出∠ADB =30°,延长即可解决问题.(2)IH =3FH .只要证明△IJF 是等边三角形即可.(3)结论:EG 2=AG 2+CE 2.如图3中,将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ,先证明△DEG ≌△DEM ,再证明△ECM 是直角三角形即可解决问题.【详解】(1)①证明:如图1中,∵四边形ABCD 是矩形,∴AD ∥BC ,OB =OD ,∴∠EDO =∠FBO ,在△DOE 和△BOF 中,EDO FBO OD OBEOD BOF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩=== , ∴△DOE ≌△BOF ,∴EO =OF ,∵OB =OD ,∴四边形EBFD 是平行四边形,∵EF ⊥BD ,OB =OD ,∴EB =ED ,∴四边形EBFD 是菱形.②∵BE 平分∠ABD ,∴∠ABE =∠EBD ,∵EB =ED ,∴∠EBD =∠EDB ,∴∠ABD =2∠ADB ,∵∠ABD +∠ADB =90°,∴∠ADB =30°,∠ABD =60°,∴∠ABE =∠EBO =∠OBF =30°,∴∠EBF =60°.(2)结论:IH 3.理由:如图2中,延长BE 到M ,使得EM =EJ ,连接MJ .∵四边形EBFD 是菱形,∠B =60°,∴EB =BF =ED ,DE ∥BF ,∴∠JDH =∠FGH ,在△DHJ 和△GHF 中,DHG GHF DH GHJDH FGH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩=== , ∴△DHJ ≌△GHF ,∴DJ =FG ,JH =HF ,∴EJ =BG =EM =BI ,∴BE =IM =BF ,∵∠MEJ =∠B =60°,∴△MEJ 是等边三角形,∴MJ =EM =NI ,∠M =∠B =60°在△BIF 和△MJI 中,BI MJ B M BF IM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩===,∴△BIF ≌△MJI ,∴IJ =IF ,∠BFI =∠MIJ ,∵HJ =HF ,∴IH ⊥JF ,∵∠BFI +∠BIF =120°,∴∠MIJ +∠BIF =120°,∴∠JIF =60°,∴△JIF 是等边三角形,在Rt △IHF 中,∵∠IHF =90°,∠IFH =60°,∴∠FIH =30°,∴IH 3.(3)结论:EG 2=AG 2+CE 2.理由:如图3中,将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ,∵∠FAD +∠DEF =90°,∴AFED 四点共圆,∴∠EDF =∠DAE =45°,∠ADC =90°,∴∠ADF +∠EDC =45°,∵∠ADF =∠CDM ,∴∠CDM +∠CDE =45°=∠EDG ,在△DEM 和△DEG 中,DE DE EDG EDM DG DM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩=== , ∴△DEG ≌△DEM ,∴GE =EM ,∵∠DCM =∠DAG =∠ACD =45°,AG =CM ,∴∠ECM =90°∴EC 2+CM 2=EM 2,∵EG =EM ,AG =CM ,∴GE 2=AG 2+CE 2.【点睛】考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形,学会转化的思想思考问题.3.如图1,△ABC 中,CA =CB ,∠ACB =90°,直线l 经过点C ,AF ⊥l 于点F ,BE ⊥l 于点E . (1)求证:△ACF ≌△CBE ;(2)将直线旋转到如图2所示位置,点D 是AB 的中点,连接DE .若AB =42,∠CBE =30°,求DE 的长.【答案】(1)答案见解析;(226+【解析】试题分析:(1)根据垂直的定义得到∠BEC=∠ACB=90°,根据全等三角形的性质得到∠EBC=∠CAF,即可得到结论;(2)连接CD,DF,证得△BCE≌△ACF,根据全等三角形的性质得到BE=CF,CE=AF,证得△DEF是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质得到EF=2DE,EF=CE+BE,进而得到DE的长.试题解析:解:(1)∵BE⊥CE,∴∠BEC=∠ACB=90°,∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°,∴∠EBC=∠CAF.∵AF⊥l于点F,∴∠AFC=90°.在△BCE与△ACF中,∵90AFC BECEBC ACFBC AC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACF≌△CBE(AAS);(2)如图2,连接CD,DF.∵BE⊥CE,∴∠BEC=∠ACB=90°,∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°,∴∠EBC=∠CAF.∵AF⊥l于点F,∴∠AFC=90°.在△BCE与△CAF中,∵90AFC BECEBC ACFBC AC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BCE≌△CAF(AAS);∴BE=CF.∵点D是AB的中点,∴CD=BD,∠CDB=90°,∴∠CBD=∠ACD=45°,而∠EBC=∠CAF,∴∠EBD=∠DCF.在△BDE与△CDF中,∵BE CFEBD FCDBD CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BDE≌△CDF(SAS),∴∠EDB=∠FDC,DE=DF.∵∠BDE+∠CDE=90°,∴∠FDC+∠CDE=90°,即∠EDF=90°,∴△EDF是等腰直角三角形,∴EF=2DE,∴EF=CE+CF=CE+BE.∵CA=CB,∠ACB=90°,AB=42,∴BC=4.又∵∠CBE=30°,∴CE=12BC=2,BE=3CE=23,∴EF=CE+BE=2+23,∴DE=2EF=2232+=2+6.点睛:本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,直角三角形斜边上的中线的性质,证得△BCE≌△ACF是解题的关键.4.在正方形ABCD中,连接BD.(1)如图1,AE⊥BD于E.直接写出∠BAE的度数.(2)如图1,在(1)的条件下,将△AEB以A旋转中心,沿逆时针方向旋转30°后得到△AB′E′,AB′与BD交于M,AE′的延长线与BD交于N.①依题意补全图1;②用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系,并证明.(3)如图2,E、F是边BC、CD上的点,△CEF周长是正方形ABCD周长的一半,AE、AF 分别与BD交于M、N,写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路.(不必写出完整推理过程)【答案】(1)45°;(2)①补图见解析;②BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+MD2=MN2,证明见解析;(3)答案见解析.【解析】(1)利用等腰直角三角形的性质即可;(2)依题意画出如图1所示的图形,根据性质和正方形的性质,判断线段的关系,再利用勾股定理得到FB2+BM2=FM2,再判断出FM=MN即可;(3)利用△CEF周长是正方形ABCD周长的一半,判断出EF=EG,再利用(2)证明即可.解:(1)∵BD是正方形ABCD的对角线,∴∠ABD=∠ADB=45°,∵AE⊥BD,∴∠ABE=∠BAE=45°,(2)①依题意补全图形,如图1所示,②BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+MD2=MN2,将△AND绕点D顺时针旋转90°,得到△AFB,∴∠ADB=∠FBA,∠BAF=∠DAN,DN=BF,AF=AN,∵在正方形ABCD中,AE⊥BD,∴∠ADB=∠ABD=45°,∴∠FBM=∠FBA+∠ABD=∠ADB+∠ABD=90°,在Rt△BFM中,根据勾股定理得,FB2+BM2=FM2,∵旋转△ANE得到AB1E1,∴∠E1AB1=45°,∴∠BAB1+∠DAN=90°﹣45°=45°,∵∠BAF=DAN,∴∠BAB1+∠BAF=45°,∴∠FAM=45°,∴∠FAM=∠E1AB1,∵AM=AM,AF=AN,∴△AFM≌△ANM,∴FM=MN,∵FB2+BM2=FM2,∴DN2+BM2=MN2,(3)如图2,将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,∴DF=GB,∵正方形ABCD的周长为4AB,△CEF周长为EF+EC+CF,∵△CEF周长是正方形ABCD周长的一半,∴4AB=2(EF+EC+CF),∴2AB=EF+EC+CF∵EC=AB﹣BE,CF=AB﹣DF,∴2AB=EF+AB﹣BE+AB﹣DF,∴EF=DF+BE,∵DF=GB,∴EF=GB+BE=GE,由旋转得到AD=AG=AB,∵AM=AM,∴△AEG≌△AEF,∠EAG=∠EAF=45°,和(2)的②一样,得到DN2+BM2=MN2.“点睛”此题是四边形综合题,主要考查了正方形的性质、旋转的性质,三角形的全等,判断出(△AFN≌△ANM,得到FM=MM),是解题的关键.5.在△ABC中,AB=AC,∠A=300,将线段BC绕点B逆时针旋转600得到线段BD,再将线段BD平移到EF,使点E在AB上,点F在AC上.(1)如图1,直接写出∠ABD和∠CFE的度数;(2)在图1中证明:AE=CF;(3)如图2,连接CE,判断△CEF的形状并加以证明.【答案】(1)15°,45°;(2)证明见解析;(3)△CEF是等腰直角三角形,证明见解析.【解析】试题分析:(1)根据等腰三角形的性质得到∠ABC的度数,由旋转的性质得到∠DBC的度数,从而得到∠ABD的度数;根据三角形外角性质即可求得∠CFE的度数.(2)连接CD、DF,证明△BCD是等边三角形,得到CD=BD,由平移的性质得到四边形BDFE是平行四边形,从而AB∥FD,证明△AEF≌△FCD即可得AE=CF.(3)过点E作EG⊥CF于G,根据含30度直角三角形的性质,垂直平分线的判定和性质即可证明△CEF是等腰直角三角形.(1)∵在△ABC中,AB=AC,∠A=300,∴∠ABC=750.∵将线段BC绕点B逆时针旋转600得到线段BD,即∠DBC=600.∴∠ABD= 15°.∴∠CFE=∠A+∠ABD=45°.(2)如图,连接CD、DF.∵线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD,∴BD=BC,∠CBD=600.∴△BCD是等边三角形.∴CD=BD.∵线段BD平移到EF,∴EF∥BD,EF=BD.∴四边形BDFE是平行四边形,EF= CD.∵AB=AC,∠A=300,∴∠ABC=∠ACB=750.∴∠ABD=∠ACD=15°.∵四边形BDFE是平行四边形,∴AB∥FD.∴∠A=∠CFD.∴△AEF≌△FCD(AAS).∴AE=CF.(3)△CEF是等腰直角三角形,证明如下:如图,过点E作EG⊥CF于G,∵∠CFE =45°,∴∠FEG=45°.∴EG=FG.∵∠A=300,∠AGE=90°,∴.∵AE=CF,∴.∴.∴G为CF的中点.∴EG为CF的垂直平分线.∴EF=EC.∴∠CEF=∠FEG=90°.∴△CEF是等腰直角三角形.考点:1.旋转和平移问题;2.等腰三角形的性质;3.三角形外角性质;4.等边三角形的判定和性质;5.平行四边形的判定和性质;6.全等三角形的判定和性质;7.含30度直角三角形的性质;8.垂直平分线的判定和性质;9.等腰直角三角形的判定.6.思维启迪:(1)如图1,A,B两点分别位于一个池塘的两端,小亮想用绳子测量A,B 间的距离,但绳子不够长,聪明的小亮想出一个办法:先在地上取一个可以直接到达B点的点C,连接BC,取BC的中点P(点P可以直接到达A点),利用工具过点C作CD∥AB 交AP的延长线于点D,此时测得CD=200米,那么A,B间的距离是米.思维探索:(2)在△ABC和△ADE中,AC=BC,AE=DE,且AE<AC,∠ACB=∠AED=90°,将△ADE绕点A顺时针方向旋转,把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置(此时点B和点D位于AC的两侧),设旋转角为α,连接BD,点P是线段BD的中点,连接PC,PE.①如图2,当△ADE在起始位置时,猜想:PC与PE的数量关系和位置关系分别是;②如图3,当α=90°时,点D落在AB边上,请判断PC与PE的数量关系和位置关系,并证明你的结论;③当α=150°时,若BC=3,DE=l,请直接写出PC2的值.【答案】(1)200;(2)①PC=PE,PC⊥PE;②PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC=PE,PC⊥PE,见解析;③PC21033.【解析】【分析】(1)由CD∥AB,可得∠C=∠B,根据∠APB=∠DPC即可证明△ABP≌△DCP,即可得AB =CD,即可解题.(2)①延长EP 交BC 于F ,易证△FBP ≌△EDP (SAS )可得△EFC 是等腰直角三角形,即可证明PC =PE ,PC ⊥PE .②作BF ∥DE ,交EP 延长线于点F ,连接CE 、CF ,易证△FBP ≌△EDP (SAS ),结合已知得BF =DE =AE ,再证明△FBC ≌△EAC (SAS ),可得△EFC 是等腰直角三角形,即可证明PC =PE ,PC ⊥PE .③作BF ∥DE ,交EP 延长线于点F ,连接CE 、CF ,过E 点作EH ⊥AC 交CA 延长线于H 点,由旋转旋转可知,∠CAE =150°,DE 与BC 所成夹角的锐角为30°,得∠FBC =∠EAC ,同②可证可得PC =PE ,PC ⊥PE ,再由已知解三角形得∴EC 2=CH 2+HE 2=10+求出2211022PC EC +==【详解】(1)解:∵CD ∥AB ,∴∠C =∠B ,在△ABP 和△DCP 中,BP CPAPB DPC B C=⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩,∴△ABP ≌△DCP (SAS ),∴DC =AB .∵AB =200米.∴CD =200米,故答案为:200.(2)①PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC =PE ,PC ⊥PE .理由如下:如解图1,延长EP 交BC 于F ,同(1)理,可知∴△FBP ≌△EDP (SAS ),∴PF =PE ,BF =DE ,又∵AC =BC ,AE =DE ,∴FC =EC ,又∵∠ACB =90°,∴△EFC 是等腰直角三角形,∵EP =FP ,∴PC =PE ,PC ⊥PE .②PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC =PE ,PC ⊥PE .理由如下:如解图2,作BF ∥DE ,交EP 延长线于点F ,连接CE 、CF ,同①理,可知△FBP ≌△EDP (SAS ),∴BF =DE ,PE =PF =12EF ,∵DE =AE ,∴BF =AE ,∵当α=90°时,∠EAC =90°,∴ED ∥AC ,EA ∥BC∵FB ∥AC ,∠FBC =90,∴∠CBF =∠CAE ,在△FBC 和△EAC 中,BF AE CBE CAE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△FBC ≌△EAC (SAS ),∴CF =CE ,∠FCB =∠ECA ,∵∠ACB =90°,∴∠FCE =90°,∴△FCE 是等腰直角三角形,∵EP =FP ,∴CP ⊥EP ,CP =EP =12EF . ③如解图3,作BF ∥DE ,交EP 延长线于点F ,连接CE 、CF ,过E 点作EH ⊥AC 交CA 延长线于H 点,当α=150°时,由旋转旋转可知,∠CAE =150°,DE 与BC 所成夹角的锐角为30°, ∴∠FBC =∠EAC =α=150°同②可得△FBP ≌△EDP (SAS ),同②△FCE 是等腰直角三角形,CP ⊥EP ,CP =EP, 在Rt △AHE 中,∠EAH =30°,AE =DE =1,∴HE =12,AH又∵AC =AB =3, ∴CH =3+2, ∴EC 2=CH 2+HE 2=10+∴PC 2=211022EC +=【点睛】本题考查几何变换综合题,考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形性质、勾股定理和30°直角三角形性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于压轴题.7.如图1,直线DE上有一点O,过点O在直线DE上方作射线OC,∠COE=140°,将一直角三角板AOB的直角顶点放在点O处,一条直角边OA在射线OD上,另一边OB在直线DE上方,将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周,设旋转时间为t秒.(1)当直角三角板旋转到如图2的位置时,OA恰好平分∠COD,求此时∠BOC的度数;(2)若射线OC的位置保持不变,在旋转过程中,是否存在某个时刻,使得射线OA、OC、OD中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线?若存在,请求出t的取值,若不存在,请说明理由;(3)若在三角板开始转动的同时,射线OC也绕O点以每秒15°的速度逆时针旋转一周,从旋转开始多长时间,射线OC平分∠BOD.直接写出t的值.(本题中的角均为大于0°且小于180°的角)【答案】(1)∠BOC=70°;(2)存在,t=2,t=8或32;(3)12或372.【解析】【分析】(1)由图可知∠BOC=∠AOB﹣∠AOC,∠AOC可利用角平分线及平角的定义求出.(2)分OA平分∠COD,OC平分∠AOD,OD平分∠AOC三种情况分别进行讨论,建立关于t的方程,解方程即可.(3)分别用含t的代数式表示出∠COD和∠BOD,再根据OC平分∠BOD建立方程解方程即可,注意分情况讨论.【详解】(1)解:∵∠COE=140°,∴∠COD=180°﹣∠COE=40°,又∵OA平分∠COD,∴∠AOC=12∠COD=20°,∵∠AOB=90°,∴∠BOC=90°﹣∠AOC=70°;(2)存在①当OA平分∠COD时,∠AOD=∠AOC,即10°t=20°,解得:t=2;②当OC平分∠AOD时,∠AOC=∠DOC,即10°t﹣40°=40°,解得:t=8;③当OD平分∠AOC时,∠AOD=∠COD,即360°﹣10°t=40°,解得:t=32;综上所述:t=2,t=8或32;(3)12或372,理由如下:设运动时间为t,则有①当90+10t=2(40+15t)时,t=1 2②当270﹣10t=2(320﹣15t)时,t=37 2所以t的值为12或372.【点睛】本题主要考查角平分线的定义以及图形的旋转,根据题意,找到两个角之间的等量关系建立方程并分情况讨论是解题的关键.8.如图1,点O为直线AB上一点,过O点作射线OC,使∠AOC:∠BOC=1:2,将一直角三角板的直角顶点放在点O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方.(1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置,使得ON落在射线OB 上,此时三角板旋转的角度为度;(2)继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置,使得ON在∠AOC的内部.试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系,并说明理由;(3)在上述直角三角板从图1逆时针旋转到图3的位置的过程中,若三角板绕点O按15°每秒的速度旋转,当直角三角板的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时,求此时三角板绕点O的运动时间t的值。
中考数学初中数学 旋转-经典压轴题附答案
![中考数学初中数学 旋转-经典压轴题附答案](https://img.taocdn.com/s3/m/e85bc9203b3567ec102d8a88.png)
中考数学初中数学旋转-经典压轴题附答案一、旋转1.已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.(1)请问EG与CG存在怎样的数量关系,并证明你的结论;(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?(请直接写出结果,不必写出理由)【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)结论仍然成立【解析】【分析】(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可证出CG=EG.(2)结论仍然成立,连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点;再证明△DAG≌△DCG,得出AG=CG;再证出△DMG≌△FNG,得到MG=NG;再证明△AMG≌△ENG,得出AG=EG;最后证出CG=EG.(3)结论依然成立.【详解】(1)CG=EG.理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴∠DCF=90°.在Rt△FCD中,∵G为DF的中点,∴CG=12FD,同理.在Rt△DEF中,EG=12FD,∴CG=EG.(2)(1)中结论仍然成立,即EG=CG.证法一:连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点.在△DAG与△DCG中,∵AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,∴△DAG≌△DCG(SAS),∴AG=CG;在△DMG与△FNG中,∵∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG,∴△DMG≌△FNG (ASA),∴MG=NG.∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°,∴四边形AENM是矩形,在矩形AENM中,AM=EN.在△AMG与△ENG中,∵AM=EN,∠AMG=∠ENG,MG=NG,∴△AMG≌△ENG(SAS),∴AG=EG,∴EG=CG.证法二:延长CG至M,使MG=CG,连接MF,ME,EC.在△DCG与△FMG中,∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG,∴△DCG≌△FMG,∴MF=CD,∠FMG=∠DCG,∴MF∥CD∥AB,∴EF⊥MF.在Rt△MFE与Rt△CBE中,∵MF=CB,∠MFE=∠EBC=90°,EF=BE,∴△MFE≌△CBE∴∠MEF=∠CEB,∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°,∴△MEC为直角三角形.∵MG=CG,∴EG=1MC,∴EG=CG.2(3)(1)中的结论仍然成立.理由如下:过F作CD的平行线并延长CG交于M点,连接EM、EC,过F作FN垂直于AB于N.由于G为FD中点,易证△CDG≌△MFG,得到CD=FM,又因为BE=EF,易证∠EFM=∠EBC,则△EFM≌△EBC,∠FEM=∠BEC,EM=EC∵∠FEC+∠BEC=90°,∴∠FEC+∠FEM=90°,即∠MEC=90°,∴△MEC是等腰直角三角形.∵G为CM中点,∴EG=CG,EG⊥CG【点睛】本题是四边形的综合题.(1)关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答;(2)关键是利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质解答.2.如图1,△ABC是边长为4cm的等边三角形,边AB在射线OM上,且OA=6cm,点D 从O点出发,沿OM的方向以1cm/s的速度运动,当D不与点A重合时,将△ACD绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE,连结DE.(1)求证:△CDE是等边三角形;(2)如图2,当6<t<10时,△BDE的周长是否存在最小值?若存在,求出△BDE的最小周长;若不存在,请说明理由;(3)如图3,当点D在射线OM上运动时,是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)见解析(2)见解析(3)存在【解析】试题分析:(1)由旋转的性质得到∠DCE=60°,DC=EC,即可得到结论;(2)当6<t<10时,由旋转的性质得到BE=AD,于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根据等边三角形的性质得到DE=CD,由垂线段最短得到当CD⊥AB时,△BDE的周长最小,于是得到结论;(3)存在,①当点D于点B重合时,D,B,E不能构成三角形,②当0≤t<6时,由旋转的性质得到∠ABE=60°,∠BDE<60°,求得∠BED=90°,根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°,求得∠CEB=30°,求得OD=OA-DA=6-4=2,于是得到t=2÷1=2s;③当6<t<10s 时,此时不存在;④当t>10s时,由旋转的性质得到∠DBE=60°,求得∠BDE>60°,于是得到t=14÷1=14s.试题解析:(1)证明:∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE,∴∠DCE=60°,DC=EC,∴△CDE是等边三角形;(2)存在,当6<t<10时,由旋转的性质得,BE=AD,∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,由(1)知,△CDE是等边三角形,∴DE=CD,∴C△DBE=CD+4,由垂线段最短可知,当CD⊥AB时,△BDE的周长最小,此时,CD3cm,∴△BDE的最小周长=CD3;(3)存在,①∵当点D与点B重合时,D,B,E不能构成三角形,∴当点D与点B重合时,不符合题意;②当0≤t<6时,由旋转可知,∠ABE=60°,∠BDE<60°,∴∠BED=90°,由(1)可知,△CDE是等边三角形,∴∠DEB=60°,∴∠CEB=30°,∵∠CEB=∠CDA,∴∠CDA=30°,∵∠CAB=60°,∴∠ACD=∠ADC=30°,∴DA=CA=4,∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2,∴t=2÷1=2s;③当6<t<10s时,由∠DBE=120°>90°,∴此时不存在;④当t>10s时,由旋转的性质可知,∠DBE=60°,又由(1)知∠CDE=60°,∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC,而∠BDC>0°,∴∠BDE>60°,∴只能∠BDE=90°,从而∠BCD=30°,∴BD=BC=4,∴OD=14cm,∴t=14÷1=14s.综上所述:当t=2或14s时,以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.点睛:在不带坐标的几何动点问题中求最值,通常是将其表达式写出来,再通过几何或代数的方法求出最值;像第三小问这种探究性的题目,一定要多种情况考虑全面,控制变量,从某一个方面出发去分类.3.如图①,在等腰△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE=120°.(1)求证:△ABD≌△ACE;(2)把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置,连接CD,点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点,连接MN、PN、PM,判断△PMN的形状,并说明理由;(3)在(2)中,把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=6,请分别求出△PMN周长的最小值与最大值.【答案】(1)证明见解析;(2)△PMN是等边三角形.理由见解析;(3)△PMN周长的最小值为3,最大值为15.【解析】分析:(1)由∠BAC=∠DAE=120°,可得∠BAD=∠CAE,再由AB=AC,AD=AE,利用SAS即可判定△ABD≌△ADE;(2)△PMN是等边三角形,利用三角形的中位线定理可得PM=12CE,PM∥CE,PN=12BD,PN∥BD,同(1)的方法可得BD=CE,即可得PM=PN,所以△PMN是等腰三角形;再由PM∥CE,PN∥BD,根据平行线的性质可得∠DPM=∠DCE,∠PNC=∠DBC,因为∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,所以∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC,再由∠BAC=120°,可得∠ACB+∠ABC=60°,即可得∠MPN=60°,所以△PMN是等边三角形;(3)由(2)知,△PMN是等边三角形,PM=PN=12BD,所以当PM最大时,△PMN周长最大,当点D在AB上时,BD最小,PM最小,求得此时BD的长,即可得△PMN周长的最小值;当点D在BA延长线上时,BD最大,PM的值最大,此时求得△PMN周长的最大值即可.详解:(1)因为∠BAC=∠DAE=120°,所以∠BAD=∠CAE,又AB=AC,AD=AE,所以△ABD≌△ADE;(2)△PMN是等边三角形.理由:∵点P,M分别是CD,DE的中点,∴PM=12CE,PM∥CE,∵点N,M分别是BC,DE的中点,∴PN=12BD,PN∥BD,同(1)的方法可得BD=CE,∴PM=PN,∴△PMN是等腰三角形,∵PM∥CE,∴∠DPM=∠DCE,∵PN∥BD,∴∠PNC=∠DBC,∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC,∵∠BAC=120°,∴∠ACB+∠ABC=60°,∴∠MPN=60°,∴△PMN是等边三角形.(3)由(2)知,△PMN是等边三角形,PM=PN=12 BD,∴PM最大时,△PMN周长最大,∴点D在AB上时,BD最小,PM最小,∴BD=AB-AD=2,△PMN周长的最小值为3;点D在BA延长线上时,BD最大,PM最大,∴BD=AB+AD=10,△PMN周长的最大值为15.故答案为△PMN周长的最小值为3,最大值为15点睛:本题主要考查了全等三角形的判定及性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定,解决第(3)问,要明确点D在AB上时,BD最小,PM最小,△PMN周长的最小;点D在BA延长线上时,BD最大,PM最大,△PMN周长的最大值为15.4.如图1,在Rt△ADE中,∠DAE=90°,C是边AE上任意一点(点C与点A、E不重合),以AC为一直角边在Rt△ADE的外部作Rt△ABC,∠BAC=90°,连接BE、CD.(1)在图1中,若AC=AB,AE=AD,现将图1中的Rt△ADE绕着点A顺时针旋转锐角α,得到图2,那么线段BE.CD之间有怎样的关系,写出结论,并说明理由;(2)在图1中,若CA=3,AB=5,AE=10,AD=6,将图1中的Rt△ADE绕着点A顺时针旋转锐角α,得到图3,连接BD、CE.①求证:△ABE∽△ACD;②计算:BD2+CE2的值.【答案】(1)BE=CD,BE⊥CD,理由见角;(2)①证明见解析;②BD2+CE2=170.【解析】【分析】(1)结论:BE=CD,BE⊥CD;只要证明△BAE≌△CAD,即可解决问题;(2)①根据两边成比例夹角相等即可证明△ABE∽△ACD.②由①得到∠AEB=∠CDA.再根据等量代换得到∠DGE=90°,即DG⊥BE,根据勾股定理得到BD2+CE2=CB2+ED2,即可根据勾股定理计算.【详解】(1)结论:BE=CD,BE⊥CD.理由:设BE与AC的交点为点F,BE与CD的交点为点G,如图2.∵∠CAB=∠EAD=90°,∴∠CAD=∠BAE.在△CAD 和△BAE 中,∵AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△CAD ≌△BAE ,∴CD =BE ,∠ACD =∠ABE .∵∠BFA =∠CFG ,∠BFA +∠ABF =90°,∴∠CFG +∠ACD =90°,∴∠CGF =90°,∴BE ⊥CD . (2)①设AE 与CD 于点F ,BE 与DC 的延长线交于点G ,如图3.∵∠CABB =∠EAD =90°,∴∠CAD =∠BAE .∵CA =3,AB =5,AD =6,AE =10,∴AE AB =AD AC=2,∴△ABE ∽△ACD ; ②∵△ABE ∽△ACD ,∴∠AEB =∠CDA . ∵∠AFD =∠EFG ,∠AFD +∠CDA =90°,∴∠EFG +∠AEB =90°,∴∠DGE =90°,∴DG ⊥BE ,∴∠AGD =∠BGD =90°,∴CE 2=CG 2+EG 2,BD 2=BG 2+DG 2,∴BD 2+CE 2=CG 2+EG 2+BG 2+DG 2. ∵CG 2+BG 2=CB 2,EG 2+DG 2=ED 2,∴BD 2+CE 2=CB 2+ED 2=CA 2+AB 2+AD 2+AD 2=170.【点睛】本题是几何综合变换综合题,主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的综合运用,运用类比,在变化中发现规律是解决问题的关键.5.如图1,菱形ABCD ,AB 4=,ADC 120∠=,连接对角线AC 、BD 交于点O , ()1如图2,将AOD 沿DB 平移,使点D 与点O 重合,求平移后的A'BO 与菱形ABCD 重合部分的面积.()2如图3,将A'BO 绕点O 逆时针旋转交AB 于点E',交BC 于点F ,①求证:BE'BF 2+=;②求出四边形OE'BF 的面积.【答案】()() 13?2①证明见解析3②【解析】【分析】(1)先判断出△ABD 是等边三角形,进而判断出△EOB 是等边三角形,即可得出结论;(2)先判断出 ≌△OBF ,再利用等式的性质即可得出结论;(3)借助①的结论即可得出结论.【详解】()1四边形为菱形,ADC 120∠=,ADO 60∠∴=,ABD ∴为等边三角形,DAO 30∠∴=,ABO 60∠=,∵AD//A′O ,∴∠A′OB=60°,EOB ∴为等边三角形,边长OB 2=,∴重合部分的面积:3434⨯=, ()2①在图3中,取AB 中点E ,由()1知,∠EOB=60°,∠E′OF=60°,∴∠EOE′=∠BOF ,又∵EO=BO ,∴∠OEE′=∠OBF=60°,∴△OEE′≌△OBF ,∴EE′=BF ,∴BE′+BF=BE′+EE′=BE=2;②由①知,在旋转过程中始终有△OEE′≌△OBF,∴S△OEE′=S△OBF,∴S四边形OE′BF =OEBS3=.【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,综合性较强,熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题的关键.6.小明在矩形纸片上画正三角形,他的做法是:①对折矩形纸片ABCD(AB>BC),使AB与DC重合,得到折痕EF,把纸片展平;②沿折痕BG折叠纸片,使点C落在EF上的点P 处,再折出PB、PC,最后用笔画出△PBC(图1).(1)求证:图1中的PBC是正三角形:(2)如图2,小明在矩形纸片HIJK上又画了一个正三角形IMN,其中IJ=6cm,且HM=JN.①求证:IH=IJ②请求出NJ的长;(3)小明发现:在矩形纸片中,若一边长为6cm,当另一边的长度a变化时,在矩形纸片上总能画出最大的正三角形,但位置会有所不同.请根据小明的发现,画出不同情形的示意图(作图工具不限,能说明问题即可),并直接写出对应的a的取值范围.【答案】(1)证明见解析;(2)①证明见解析;②1233)3<a<3,a>3【解析】分析:(1)由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC,PB=CB,得出PB=PC=CB即可;(2)①利用“HL”证Rt△IHM≌Rt△IJN即可得;②IJ上取一点Q,使QI=QN,由Rt△IHM≌Rt△IJN知∠HIM=∠JIN=15°,继而可得∠NQJ=30°,设NJ=x,则IQ=QN=2x、3,根据IJ=IQ+QJ求出x即可得;(3)由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算,画出图形即可.(1)证明:∵①对折矩形纸片ABCD(AB>BC),使AB与DC重合,得到折痕EF∴PB=PC∵沿折痕BG折叠纸片,使点C落在EF上的点P处∴PB=BC∴PB=PC=BC∴△PBC 是正三角形:(2)证明:①如图∵矩形AHIJ∴∠H=∠J=90°∵△MNJ 是等边三角形∴MI=NI在Rt △MHI 和Rt △JNI 中MI NI MH NJ =⎧⎨=⎩∴Rt △MHI ≌Rt △JNI (HL )∴HI=IJ②在线段IJ 上取点Q ,使IQ=NQ∵Rt △IHM ≌Rt △IJN ,∴∠HIM=∠JIN ,∵∠HIJ=90°、∠MIN=60°,∴∠HIM=∠JIN=15°,由QI=QN 知∠JIN=∠QNI=15°,∴∠NQJ=30°,设NJ=x ,则IQ=QN=2x ,22=3QN NJ -x , ∵IJ=6cm ,∴3,∴33cm ). (3)分三种情况:①如图:设等边三角形的边长为b ,则0<b≤6, 则tan60°=3=2a b , ∴a=32b , ∴0<b≤632=33; ②如图当DF 与DC 重合时,DF=DE=6, ∴a=sin60°×DE=632=33, 当DE 与DA 重合时,a=6643sin6032==︒, ∴33<a <43; ③如图∵△DEF 是等边三角形 ∴∠FDC=30°∴DF=6643 cos3032==︒∴a>43点睛:本题是四边形的综合题目,考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识;本题综合性强,难度较大.7.如图1,四边形ABCD 是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连接BG,DE.(1)①猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系,不必证明;②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α,得到如图2情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并证明你的判断.(2)将原题中正方形改为矩形(如图3、4),且AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb (a≠b,k>0),第(1)题①中得到的结论哪些成立,哪些不成立?若成立,以图4为例简要说明理由.(3)在第(2)题图4中,连接DG、BE,且a=3,b=2,k=12,求BE2+DG2的值.【答案】(1)①BG⊥DE,BG=DE;②BG⊥DE,证明见解析;(2)BG⊥DE,证明见解析;(3)16.25.【解析】分析:(1)①根据正方形的性质,显然三角形BCG顺时针旋转90°即可得到三角形DCE,从而判断两条直线之间的关系;②结合正方形的性质,根据SAS仍然能够判定△BCG≌△DCE,从而证明结论;(2)根据两条对应边的比相等,且夹角相等可以判定上述两个三角形相似,从而可以得到(1)中的位置关系仍然成立;(3)连接BE、DG.根据勾股定理即可把BE2+DG2转换为两个矩形的长、宽平方和.详解:(1)①BG⊥DE,BG=DE;②∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形,∴BC=DC,CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°,∴∠BCG=∠DCE,∴△BCG≌△DCE,∴BG=DE,∠CBG=∠CDE,又∵∠CBG+∠BHC=90°,∴∠CDE+∠DHG=90°,∴BG⊥DE.(2)∵AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb,∴BC CG b==,DC CE a又∵∠BCG=∠DCE,∴△BCG∽△DCE,∴∠CBG=∠CDE,又∵∠CBG+∠BHC=90°,∴∠CDE+∠DHG=90°,∴BG⊥DE.(3)连接BE、DG.根据题意,得AB=3,BC=2,CE=1.5,CG=1,∵BG⊥DE,∠BCD=∠ECG=90°∴BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25.点睛:此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理.8.如图1,△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,直线l经过点C,AF⊥l于点F,BE⊥l于点E.(1)求证:△ACF≌△CBE;(2)将直线旋转到如图2所示位置,点D是AB的中点,连接DE.若AB=2,∠CBE=30°,求DE的长.【答案】(1)答案见解析;(226+【解析】试题分析:(1)根据垂直的定义得到∠BEC=∠ACB=90°,根据全等三角形的性质得到∠EBC=∠CAF,即可得到结论;(2)连接CD,DF,证得△BCE≌△ACF,根据全等三角形的性质得到BE=CF,CE=AF,证得△DEF是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质得到EF2DE,EF=CE+BE,进而得到DE的长.试题解析:解:(1)∵BE⊥CE,∴∠BEC=∠ACB=90°,∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°,∴∠EBC=∠CAF.∵AF⊥l于点F,∴∠AFC=90°.在△BCE与△ACF中,∵90AFC BECEBC ACFBC AC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACF≌△CBE(AAS);(2)如图2,连接CD,DF.∵BE⊥CE,∴∠BEC=∠ACB=90°,∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°,∴∠EBC=∠CAF.∵AF⊥l于点F,∴∠AFC=90°.在△BCE与△CAF中,∵90AFC BECEBC ACFBC AC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BCE≌△CAF(AAS);∴BE=CF.∵点D是AB的中点,∴CD=BD,∠CDB=90°,∴∠CBD=∠ACD=45°,而∠EBC=∠CAF,∴∠EBD=∠DCF.在△BDE与△CDF中,∵BE CFEBD FCDBD CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BDE≌△CDF(SAS),∴∠EDB=∠FDC,DE=DF.∵∠BDE+∠CDE=90°,∴∠FDC+∠CDE=90°,即∠EDF=90°,∴△EDF是等腰直角三角形,∴EF2DE,∴EF=CE+CF=CE+BE.∵CA=CB,∠ACB=90°,AB2∴BC=4.又∵∠CBE=30°,∴CE=12BC=2,BE3CE3∴EF=CE+BE3∴DE223226.点睛:本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,直角三角形斜边上的中线的性质,证得△BCE≌△ACF是解题的关键.9.如图,点A是x轴非负半轴上的动点,点B坐标为(0,4),M是线段AB的中点,将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C,过点C作x轴的垂线,垂足为F,过点B作y 轴的垂线与直线CF相交于点E,连接AC,BC,设点A的横坐标为t.(Ⅰ)当t=2时,求点M的坐标;(Ⅱ)设ABCE的面积为S,当点C在线段EF上时,求S与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;(Ⅲ)当t为何值时,BC+CA取得最小值.【答案】(1)(1,2);(2)S=32t+8(0≤t≤8);(3)当t=0时,BC+AC有最小值【解析】试题分析:(I)过M作MG⊥OF于G,分别求OG和MG的长即可;(II)如图1,同理可求得AG和OG的长,证明△AMG≌△CAF,得:AG=CF=12t,AF=MG=2,分别表示EC和BE的长,代入面积公式可求得S与t的关系式;并求其t的取值范围;(III)证明△ABO∽△CAF,根据勾股定理表示AC和BC的长,计算其和,根据二次根式的意义得出当t=0时,值最小.试题解析:解:(I)如图1,过M作MG⊥OF于G,∴MG∥OB,当t=2时,OA=2.∵M是AB的中点,∴G是AO的中点,∴OG=12OA=1,MG是△AOB的中位线,∴MG =12OB =12×4=2,∴M (1,2); (II )如图1,同理得:OG =AG =12t .∵∠BAC =90°,∴∠BAO +∠CAF =90°.∵∠CAF +∠ACF =90°,∴∠BAO =∠ACF .∵∠MGA =∠AFC =90°,MA =AC ,∴△AMG ≌△CAF ,∴AG =CF =12t ,AF =MG =2,∴EC =4﹣12t ,BE =OF =t +2,∴S △BCE =12EC •BE =12(4﹣12t )(t +2)=﹣14t 2+32t +4; S △ABC =12•AB •AC =12•216t +•21162t +=14t 2+4,∴S =S △BEC +S △ABC =32t +8. 当A 与O 重合,C 与F 重合,如图2,此时t =0,当C 与E 重合时,如图3,AG =EF ,即12t =4,t =8,∴S 与t 之间的函数关系式为:S =32t +8(0≤t ≤8); (III )如图1,易得△ABO ∽△CAF ,∴AB AC =OB AF =OA FC =2,∴AF =2,CF =12t ,由勾股定理得:AC =22AF CF +=22122t +()=2144t +,BC =22BE EC +=221242t t ++-()()=21544t +(),∴BC +AC =( 5+1)2144t +,∴当t =0时,BC +AC 有最小值.点睛:本题考查了几何变换综合题,知识点包括相似三角形、全等三角形、点的坐标、几何变换(旋转)、三角形的中位线等,解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题,学会利用参数解决问题,属于中考压轴题.10.如图是两个可以自由转动的转盘,甲转盘被等分成3个扇形,乙转盘被等分成4个扇形,每一个扇形上都标有相应的数字.同时转动两个转盘,当转盘停止后,计算指针所指区域内的数字之和.如果指针恰好指在分割线上,那么重转一次,直到指针指向一个数字为止.(1)请你通过画树状图或列表的方法分析,并求指针所指区域内的数字和小于10的概率;(2)小亮和小颖小亮和小颖利用它们做游戏,游戏规则是:指针所指区域内的数字和小于10,小颖获胜;指针所指区域内的数字之和等于10,为平局;指针所指区域内的数字之和大于10,小亮获胜.你认为该游戏规则是否公平?请说明理由;若游戏规则不公平,请你设计出一种公平的游戏规则.【答案】(1)13;(2)不公平.【解析】试题分析:(1)依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果,然后根据概率公式求出该事件的概率.(2)判断游戏的公平性,首先要计算出游戏双方赢的概率,概率相等则公平,否则不公平.试题解析:(1)共有12种等可能的结果,小于10的情况有4种,所以指针所指区域内的数字和小于10的概率为13.(2)不公平,因为小颖获胜的概率为;小亮获胜的概率为512.小亮获胜的可能性大,所以不公平.可以修改为若这两个数的和为奇数,则小亮赢;积为偶数,则小颖赢.考点:1.游戏公平性;2.列表法与树状图法.11.思维启迪:(1)如图1,A ,B 两点分别位于一个池塘的两端,小亮想用绳子测量A ,B 间的距离,但绳子不够长,聪明的小亮想出一个办法:先在地上取一个可以直接到达B 点的点C ,连接BC ,取BC 的中点P (点P 可以直接到达A 点),利用工具过点C 作CD ∥AB 交AP 的延长线于点D ,此时测得CD =200米,那么A ,B 间的距离是 米.思维探索:(2)在△ABC 和△ADE 中,AC =BC ,AE =DE ,且AE <AC ,∠ACB =∠AED =90°,将△ADE 绕点A 顺时针方向旋转,把点E 在AC 边上时△ADE 的位置作为起始位置(此时点B 和点D 位于AC 的两侧),设旋转角为α,连接BD ,点P 是线段BD 的中点,连接PC ,PE .①如图2,当△ADE 在起始位置时,猜想:PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是 ; ②如图3,当α=90°时,点D 落在AB 边上,请判断PC 与PE 的数量关系和位置关系,并证明你的结论;③当α=150°时,若BC =3,DE =l ,请直接写出PC 2的值.【答案】(1)200;(2)①PC =PE ,PC ⊥PE ;②PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC =PE ,PC ⊥PE ,见解析;③PC 21033+. 【解析】 【分析】(1)由CD ∥AB ,可得∠C =∠B ,根据∠APB =∠DPC 即可证明△ABP ≌△DCP ,即可得AB =CD ,即可解题.(2)①延长EP 交BC 于F ,易证△FBP ≌△EDP (SAS )可得△EFC 是等腰直角三角形,即可证明PC =PE ,PC ⊥PE .②作BF ∥DE ,交EP 延长线于点F ,连接CE 、CF ,易证△FBP ≌△EDP (SAS ),结合已知得BF =DE =AE ,再证明△FBC ≌△EAC (SAS ),可得△EFC 是等腰直角三角形,即可证明PC =PE ,PC ⊥PE .③作BF ∥DE ,交EP 延长线于点F ,连接CE 、CF ,过E 点作EH ⊥AC 交CA 延长线于H 点,由旋转旋转可知,∠CAE =150°,DE 与BC 所成夹角的锐角为30°,得∠FBC =∠EAC ,同②可证可得PC =PE ,PC ⊥PE ,再由已知解三角形得∴EC 2=CH 2+HE 2=1033+求出22110332PC EC +==【详解】(1)解:∵CD ∥AB ,∴∠C =∠B , 在△ABP 和△DCP 中,BP CP APB DPC B C =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩, ∴△ABP ≌△DCP (SAS ), ∴DC =AB . ∵AB =200米. ∴CD =200米, 故答案为:200.(2)①PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC =PE ,PC ⊥PE . 理由如下:如解图1,延长EP 交BC 于F , 同(1)理,可知∴△FBP ≌△EDP (SAS ), ∴PF =PE ,BF =DE , 又∵AC =BC ,AE =DE , ∴FC =EC , 又∵∠ACB =90°,∴△EFC 是等腰直角三角形, ∵EP =FP , ∴PC =PE ,PC ⊥PE .②PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC =PE ,PC ⊥PE . 理由如下:如解图2,作BF ∥DE ,交EP 延长线于点F ,连接CE 、CF , 同①理,可知△FBP ≌△EDP (SAS ), ∴BF =DE ,PE =PF =12EF , ∵DE =AE , ∴BF =AE ,∵当α=90°时,∠EAC =90°, ∴ED ∥AC ,EA ∥BC ∵FB ∥AC ,∠FBC =90, ∴∠CBF =∠CAE , 在△FBC 和△EAC 中,BF AE CBE CAE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△FBC ≌△EAC (SAS ), ∴CF =CE ,∠FCB =∠ECA , ∵∠ACB =90°,∴∠FCE =90°,∴△FCE 是等腰直角三角形, ∵EP =FP , ∴CP ⊥EP ,CP =EP =12EF . ③如解图3,作BF ∥DE ,交EP 延长线于点F ,连接CE 、CF ,过E 点作EH ⊥AC 交CA 延长线于H 点,当α=150°时,由旋转旋转可知,∠CAE =150°,DE 与BC 所成夹角的锐角为30°, ∴∠FBC =∠EAC =α=150° 同②可得△FBP ≌△EDP (SAS ),同②△FCE 是等腰直角三角形,CP ⊥EP ,CP =EP =22CE , 在Rt △AHE 中,∠EAH =30°,AE =DE =1, ∴HE =12,AH =32, 又∵AC =AB =3, ∴CH =3+32, ∴EC 2=CH 2+HE 2=1033+ ∴PC 2=21103322EC +=【点睛】本题考查几何变换综合题,考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形性质、勾股定理和30°直角三角形性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于压轴题.12.我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”。
中考数学专题复习旋转的综合题及详细答案
![中考数学专题复习旋转的综合题及详细答案](https://img.taocdn.com/s3/m/d7c279a779563c1ec4da7123.png)
【答案】(1)证明见解析;(2)45°或 135°;(3) . 【解析】 试题分析:(1)根据正方形的性质可得 AB=AD,AE=AG,∠ BAD=∠ EAG=90°,再求出 ∠ BAE=∠ DAG,然后利用“边角边”证明△ ABE 和△ ADG 全等,根据全等三角形对应边相等 证明即可. (2)当点 C 在直线 BE 上时,可知点 E 与 C 重合或 G 点 C 与重合,据此求解即可.
∵ PE2+AE2=AP2, ∴ △ PEA 是直角三角形 ∴ ∠ PEA=90°, ∴ ∠ CEA=135°, 又∵ △ CPB≌ △ CEA ∴ ∠ BPC=∠ CEA=135°. 【点睛】 考点:几何变换综合题;平行线平行线分线段成比例.
6.如图,在 Rt△ ABC 中,∠ ACB=90°,∠ A=30°,点 O 为 AB 中点,点 P 为直线 BC 上的动 点(不与点 B、点 C 重合),连接 OC、OP,将线段 OP 绕点 P 顺时针旋转 60°,得到线段 PQ,连接 BQ. (1)如图 1,当点 P 在线段 BC 上时,请直接写出线段 BQ 与 CP 的数量关系. (2)如图 2,当点 P 在 CB 延长线上时,(1)中结论是否成立?若成立,请加以证明;若 不成立,请说明理由; (3)如图 3,当点 P 在 BC 延长线上时,若∠ BPO=15°,BP=4,请求出 BQ 的长.
【答案】(1)详见解析;(2)FE·sin( -90°) 【解析】 【分析】 (1)由四边形 ABCD 是平行四边形得 AF∥ BE,所以∠ FAE=∠ BEA,由折叠的性质得 ∠ BAE=∠ FAE,∠ BEA=∠ FEA,所以∠ BAE=∠ FEA,故有 AB∥ FE,因此四边形 ABEF 是平行四 边形,又 BE=EF,因此可得结论; (2)根据点 M 在线段 BE 上和 EC 上两种情况证明∠ ENG=90°- ,利用菱形的性质得到
数学中考压轴题旋转问题(经典) 答案版
![数学中考压轴题旋转问题(经典) 答案版](https://img.taocdn.com/s3/m/25eeb5ea50e2524de4187e25.png)
旋转拔高练习一、选择题1. (广东)如图,把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转900到△A 1B 1C ,则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【 】A .πB .34π D .1112π 1、【分析】因为旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积分为三部分扇形ACA 1、 BCD 和△ACD 计算即可:在△ABC 中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=2,∴BC=12AB=1,∠B=90°-∠BAC=60°。
∴AC =∴ABC 1S BC AC 22∆=⨯⨯=B 扫过的路线与AB 的交点为D ,连接CD ,∵BC=DC,∴△BCD 是等边三角形。
∴BD=CD=1。
∴点D 是AB 的中点。
∴ACD ABC 11S S 22∆∆==S 。
∴1ACD ACA BCD ABC S S S ∆∆=++扇形扇形的面扫过积26013113604612ππππ⨯⨯++=+= 故选D 。
2. (湖北)如图,O 是正△ABC 内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′,下列结论:①△BO′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到;②点O 与O′的距离为4;③∠AOB=150°;④AOBO S 四形边⑤AOC AOB SS+=.其中正确的结论是【 】 A .①②③⑤ B.①②③④ C.①②③④⑤ D.①②③ 2【分析】∵正△ABC,∴AB=CB,∠ABC=600。
∵线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′,∴BO=BO′,∠O′AO=600。
∴∠O′BA=600-∠ABO=∠OBA。
∴△BO′A≌△BOC。
∴△BO′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到。
故结论①正确。
连接OO′,∵BO=BO′,∠O′AO=600,∴△OBO′是等边三角形。
人教备战中考数学压轴题之旋转(备战中考题型整理,突破提升)及详细答案
![人教备战中考数学压轴题之旋转(备战中考题型整理,突破提升)及详细答案](https://img.taocdn.com/s3/m/8dcf85d431b765ce0408148e.png)
一、旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图l,在AABC中,∠ACB=90°,点P为ΔABC内一点.(1)连接PB,PC,将ABCP沿射线CA方向平移,得到ΔDAE,点B,C,P的对应点分别为点D、A、E,连接CE.①依题意,请在图2中补全图形;②如果BP⊥CE,BP=3,AB=6,求CE的长(2)如图3,以点A为旋转中心,将ΔABP顺时针旋转60°得到△AMN,连接PA、PB、PC,当AC=3,AB=6时,根据此图求PA+PB+PC的最小值.【答案】(1)①补图见解析;②;(2)【解析】(1)①连接PB、PC,将△BCP沿射线CA方向平移,得到△DAE,点B、C、P的对应点分别为点D、A、E,连接CE,据此画图即可;②连接BD、CD,构造矩形ACBD和Rt△CDE,根据矩形的对角线相等以及勾股定理进行计算,即可求得CE的长;(2)以点A为旋转中心,将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN,连接BN,根据△PAM、△ABN都是等边三角形,可得PA+PB+PC=CP+PM+MN,最后根据当C、P、M、N四点共射线,PA+PB+PC的值最小,此时△CBN是直角三角形,利用勾股定理即可解决问题.解:(1)①补全图形如图所示;②如图,连接BD、CD∵△BCP沿射线CA方向平移,得到△DAE,∴BC∥AD且BC=AD,∵∠ACB=90°,∴四边形BCAD是矩形,∴CD=AB=6,∵BP=3,∴DE=BP=3,∵BP⊥CE,BP∥DE,∴DE⊥CE,∴在Rt△DCE中,;(2)证明:如图所示,当C、P、M、N四点共线时,PA+PB+PC最小由旋转可得,△AMN≌△APB,∴PB=MN易得△APM、△ABN都是等边三角形,∴PA=PM∴PA+PB+PC=PM+MN+PC=CN,∴BN=AB=6,∠BNA=60°,∠PAM=60°∴∠CAN=∠CAB+∠BAN=60°+60°=120°,∴∠CBN=90°在Rt△ABC中,易得∴在Rt△BCN中,“点睛”本题属于几何变换综合题,主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质以及勾股定理的综合应用,解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和全等三角形,依据图形的性质进行计算求解.2.如图所示,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,EC的延长线交BD于点P.(1)把△ABC绕点A旋转到图1,BD,CE的关系是(选填“相等”或“不相等”);简要说明理由;(2)若AB=3,AD=5,把△ABC绕点A旋转,当∠EAC=90°时,在图2中作出旋转后的图形,PD=,简要说明计算过程;(3)在(2)的条件下写出旋转过程中线段PD的最小值为,最大值为.【答案】(1)BD,CE的关系是相等;(2)53417或203417;(3)1,7【解析】分析:(1)依据△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,即可BA=CA,∠BAD=∠CAE,DA=EA,进而得到△ABD≌△ACE,可得出BD=CE;(2)分两种情况:依据∠PDA=∠AEC,∠PCD=∠ACE,可得△PCD∽△ACE,即可得到PD AE =CDCE,进而得到PD=53417;依据∠ABD=∠PBE,∠BAD=∠BPE=90°,可得△BAD∽△BPE,即可得到PB BEAB BD,进而得出PB=63434,PD=BD+PB=203417;(3)以A为圆心,AC长为半径画圆,当CE在⊙A下方与⊙A相切时,PD的值最小;当CE在在⊙A右上方与⊙A相切时,PD的值最大.在Rt△PED中,PD=DE•sin∠PED,因此锐角∠PED的大小直接决定了PD的大小.分两种情况进行讨论,即可得到旋转过程中线段PD的最小值以及最大值.详解:(1)BD,CE的关系是相等.理由:∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,∴BA=CA,∠BAD=∠CAE,DA=EA,∴△ABD≌△ACE,∴BD=CE;故答案为相等.(2)作出旋转后的图形,若点C在AD上,如图2所示:∵∠EAC=90°,∴CE=2234AC AE +=, ∵∠PDA=∠AEC ,∠PCD=∠ACE ,∴△PCD ∽△ACE ,∴PD CD AE CE=, ∴PD=53417; 若点B 在AE 上,如图2所示:∵∠BAD=90°,∴Rt △ABD 中,BD=2234AD AB +=,BE=AE ﹣AB=2,∵∠ABD=∠PBE ,∠BAD=∠BPE=90°,∴△BAD ∽△BPE ,∴PB BE AB BD=,即334PB =, 解得PB=63434, ∴PD=BD+PB=34+63434=203417, 故答案为53417或203417; (3)如图3所示,以A 为圆心,AC 长为半径画圆,当CE 在⊙A 下方与⊙A 相切时,PD 的值最小;当CE 在在⊙A 右上方与⊙A 相切时,PD 的值最大.如图3所示,分两种情况讨论:在Rt △PED 中,PD=DE•sin ∠PED ,因此锐角∠PED 的大小直接决定了PD 的大小.①当小三角形旋转到图中△ACB的位置时,在Rt△ACE中,CE=22-=4,53在Rt△DAE中,DE=22+=,5552∵四边形ACPB是正方形,∴PC=AB=3,∴PE=3+4=7,在Rt△PDE中,PD=2250491-=-=,DE PE即旋转过程中线段PD的最小值为1;②当小三角形旋转到图中△AB'C'时,可得DP'为最大值,此时,DP'=4+3=7,即旋转过程中线段PD的最大值为7.故答案为1,7.点睛:本题属于几何变换综合题,主要考查了等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆的有关知识,解题的关键是灵活运用这些知识解决问题,学会分类讨论的思想思考问题,学会利用图形的特殊位置解决最值问题.3.如图,点P是正方形ABCD内的一点,连接PA,PB,PC.将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P'CB的位置.(1)设AB的长为a,PB的长为b(b<a),求△PAB旋转到△P'CB的过程中边PA所扫过区域(图中阴影部分)的面积;(2)若PA=2,PB=4,∠APB=135°,求PC的长.【答案】(1) S阴影=(a2-b2);(2)PC=6.【解析】试题分析:(1)依题意,将△P′CB逆时针旋转90°可与△PAB重合,此时阴影部分面积=扇形BAC的面积-扇形BPP'的面积,根据旋转的性质可知,两个扇形的中心角都是90°,可据此求出阴影部分的面积.(2)连接PP',根据旋转的性质可知:BP=BP',旋转角∠PBP'=90°,则△PBP'是等腰直角三角形,∠BP'C=∠BPA=135°,∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°,可推出△PP'C是直角三角形,进而可根据勾股定理求出PC的长.试题解析:(1)∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置,∴△PAB≌△P'CB,∴S△PAB=S△P'CB,S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP′=(a2-b2);(2)连接PP′,根据旋转的性质可知:△APB≌△CP′B,∴BP=BP′=4,P′C=PA=2,∠PBP′=90°,∴△PBP'是等腰直角三角形,P'P2=PB2+P'B2=32;又∵∠BP′C=∠BPA=135°,∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°,即△PP′C是直角三角形.PC==6.考点:1.扇形面积的计算;2.正方形的性质;3.旋转的性质.4.小明在矩形纸片上画正三角形,他的做法是:①对折矩形纸片ABCD(AB>BC),使AB与DC重合,得到折痕EF,把纸片展平;②沿折痕BG折叠纸片,使点C落在EF上的点P 处,再折出PB、PC,最后用笔画出△PBC(图1).(1)求证:图1中的PBC是正三角形:(2)如图2,小明在矩形纸片HIJK上又画了一个正三角形IMN,其中IJ=6cm,且HM=JN.①求证:IH=IJ②请求出NJ的长;(3)小明发现:在矩形纸片中,若一边长为6cm,当另一边的长度a变化时,在矩形纸片上总能画出最大的正三角形,但位置会有所不同.请根据小明的发现,画出不同情形的示意图(作图工具不限,能说明问题即可),并直接写出对应的a的取值范围.【答案】(1)证明见解析;(2)①证明见解析;②1233)3<a<3,a>3【解析】分析:(1)由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC,PB=CB,得出PB=PC=CB即可;(2)①利用“HL”证Rt △IHM ≌Rt △IJN 即可得;②IJ 上取一点Q ,使QI=QN ,由Rt △IHM ≌Rt △IJN 知∠HIM=∠JIN=15°,继而可得∠NQJ=30°,设NJ=x ,则IQ=QN=2x 、QJ=3x ,根据IJ=IQ+QJ 求出x 即可得;(3)由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算,画出图形即可. (1)证明:∵①对折矩形纸片ABCD(AB>BC),使AB 与DC 重合,得到折痕EF ∴PB=PC∵沿折痕BG 折叠纸片,使点C 落在EF 上的点P 处∴PB=BC∴PB=PC=BC∴△PBC 是正三角形:(2)证明:①如图∵矩形AHIJ ∴∠H=∠J=90°∵△MNJ 是等边三角形∴MI=NI在Rt △MHI 和Rt △JNI 中MI NIMH NJ =⎧⎨=⎩∴Rt △MHI ≌Rt △JNI (HL )∴HI=IJ②在线段IJ 上取点Q ,使IQ=NQ∵Rt △IHM ≌Rt △IJN ,∴∠HIM=∠JIN ,∵∠HIJ=90°、∠MIN=60°,∴∠HIM=∠JIN=15°,由QI=QN 知∠JIN=∠QNI=15°,∴∠NQJ=30°,设NJ=x,则IQ=QN=2x,QJ=22=3QN NJ-x,∵IJ=6cm,∴2x+3x=6,∴x=12-63,即NJ=12-63(cm).(3)分三种情况:①如图:设等边三角形的边长为b,则0<b≤6,则tan60°=3=2ab,∴a=32b,∴0<b≤63=33;②如图当DF与DC重合时,DF=DE=6,∴a=sin60°6333当DE与DA重合时,a=63sin603==︒∴33a<3③如图∵△DEF是等边三角形∴∠FDC=30°∴DF=643 cos303==︒∴a>43点睛:本题是四边形的综合题目,考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识;本题综合性强,难度较大.5.如图①,在ABCD中,AB=10cm,BC=4cm,∠BCD=120°,CE平分∠BCD交AB于点E.点P从A点出发,沿AB方向以1cm/s的速度运动,连接CP,将△PCE绕点C逆时针旋转60°,使CE与CB重合,得到△QCB,连接PQ.(1)求证:△PCQ是等边三角形;(2)如图②,当点P在线段EB上运动时,△PBQ的周长是否存在最小值?若存在,求出△PBQ周长的最小值;若不存在,请说明理由;(3)如图③,当点P在射线AM上运动时,是否存在以点P、B、Q为顶点的直角三角形?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由.(1)(2)(3)【答案】(1)证明见解析;(2)存在,理由见解析;(3)t为2s或者14s.【解析】分析:(1)根据旋转的性质,证明△PCE≌△QCB,然后根据全等三角形的性质和等边三角形的判定证明即可;(2)利用平行四边形的性质证得△BCE为等边三角形,然后根据全等三角形的性质得到△PBQ的周长为4+CP,然后垂线段最短可由直角三角形的性质求解即可;(3)根据点的移动的距离,分类讨论求解即可.详解:(1)∵旋转∴△PCE≌△QCB∴CP=CQ,∠PCE =∠QCB,∵∠BCD=120°,CE平分∠BCD,∴∠PCQ=60°,∴∠PCE +∠QCE=∠QCB+∠QCE=60°,∴△PCQ为等边三角形.(2)存在∵CE平分∠BCD,∴∠BCE=60 ,∵在平行四边形ABCD 中,∴AB∥CD∴∠ABC=180°﹣120°=60°∴△BCE为等边三角形∴BE=CB=4∵旋转∴△PCE≌△QCB∴EP=BQ,∴C△PBQ=PB+BQ+PQ=PB+EP+PQ=BE+PQ=4+CP∴CP⊥AB时,△PBQ周长最小当CP⊥AB时,CP=BCsin60°=3∴△PBQ周长最小为4+23(3)①当点B与点P重合时,P,B,Q不能构成三角形②当0≤t<6时,由旋转可知,∠CPE=∠CQB,∠CPQ=∠CPB+∠BPQ=60°则:∠BPQ+∠CQB=60°,又∵∠QPB+∠PQC+∠CQB+∠PBQ=180°∴∠CBQ=180°—60°—60°=60°∴∠QBP=60°,∠BPQ<60°,所以∠PQB可能为直角由(1)知,△PCQ为等边三角形,∴∠PBQ=60°,∠CQB=30°∵∠CQB=∠CPB∴∠CPB=30°∵∠CEB=60°,∴∠ACP=∠APC=30°∴PA=CA=4,所以AP=AE-EP=6-4=2÷=s所以t=212③当6<t<10时,由∠PBQ=120°>90°,所以不存在④当t>10时,由旋转得:∠PBQ=60°,由(1)得∠CPQ=60°∴∠BPQ=∠CPQ+∠BPC=60°+∠BPC,而∠BPC>0°,∴∠BPQ>60°∴∠BPQ=90°,从而∠BCP=30°,∴BP=BC=4所以AP=14cm所以t=14s综上所述:t为2s或者14s时,符合题意。
2020-2021中考数学—初中数学 旋转的综合压轴题专题复习及答案解析
![2020-2021中考数学—初中数学 旋转的综合压轴题专题复习及答案解析](https://img.taocdn.com/s3/m/0e54c4714a7302768f99391a.png)
2020-2021中考数学—初中数学 旋转的综合压轴题专题复习及答案解析一、旋转1.在△ABC 中,AB=AC ,∠BAC=α(︒<<︒600α),将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD 。
(1)如图1,直接写出∠ABD 的大小(用含α的式子表示); (2)如图2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE 的形状并加以证明; (3)在(2)的条件下,连结DE ,若∠DEC=45°,求α的值。
【答案】(1)1302α︒-(2)见解析(3)30α=︒【解析】解:(1)1302α︒-。
(2)△ABE 为等边三角形。
证明如下:连接AD ,CD ,ED ,∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD , ∴BC=BD ,∠DBC=60°。
又∵∠ABE=60°,∴1ABD 60DBE EBC 302α∠=︒-∠=∠=︒-且△BCD 为等边三角形。
在△ABD 与△ACD 中,∵AB=AC ,AD=AD ,BD=CD ,∴△ABD ≌△ACD (SSS )。
∴11BAD CAD BAC 22α∠=∠=∠=。
∵∠BCE=150°,∴11BEC 180(30)15022αα∠=︒-︒--︒=。
∴BEC BAD ∠=∠。
在△ABD 和△EBC 中,∵BEC BAD ∠=∠,EBC ABD ∠=∠,BC=BD , ∴△ABD ≌△EBC (AAS )。
∴AB=BE 。
∴△ABE 为等边三角形。
(3)∵∠BCD=60°,∠BCE=150°,∴DCE 1506090∠=︒-︒=︒。
又∵∠DEC=45°,∴△DCE 为等腰直角三角形。
∴DC=CE=BC 。
∵∠BCE=150°,∴(180150)EBC 152︒-︒∠==︒。
而1EBC 30152α∠=︒-=︒。
∴30α=︒。
中考数学旋转-经典压轴题附详细答案
![中考数学旋转-经典压轴题附详细答案](https://img.taocdn.com/s3/m/870fa784cfc789eb172dc8b8.png)
(3)如图 3,在(1)的条件下将△ ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°时,若 AD=1,AC= 此时线段 CF 的长(直接写出结果).
,求
【答案】(1)相等和垂直;(2)成立,理由见试题解析;(3) . 【解析】 试题分析:(1)根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知 DF=BF,根据 ∠ DFE=2∠ DCF,∠ BFE=2∠ BCF,得到∠ EFD+∠ EFB=2∠ DCB=90°,DF⊥BF; (2)延长 DF 交 BC 于点 G,先证明△ DEF≌ △ GCF,得到 DE=CG,DF=FG,根据 AD=DE, AB=BC,得到 BD=BG 又因为∠ ABC=90°,所以 DF=CF 且 DF⊥BF; (3)延长 DF 交 BA 于点 H,先证明△ DEF≌ △ HBF,得到 DE=BH,DF=FH,根据旋转条件可
M,使得 DM=DE,连接 FM、CM.想办法证明△ AFE≌ △ AFG,可得∠ EAF=∠ FAG= 1 m°. 2
详(1)证明:如图 1 中,
∵ ∠ BAC=∠ DAE, ∴ ∠ DAB=∠ EAC, 在△ DAB 和△ EAC 中,
AD=AE DAB=EAC , AB=AC
∴ △ DAB≌ △ EAC, ∴ BD=EC. (2)证明:如图 2 中,延长 DC 到 E,使得 DB=DE.
∵ BF=DF,∴ ∠ DBF=∠ BDF. ∵ ∠ DFE=∠ ABE+∠ BDF,∴ ∠ DFE=2∠ DBF. 同理得:∠ CFE=2∠ CBF, ∴ ∠ EFD+∠ EFC=2∠ DBF+2∠ CBF=2∠ ABC=90°. ∴ DF=CF,且 DF⊥CF. (2)(1)中的结论仍然成立.证明如下: 如图,此时点 D 落在 AC 上,延长 DF 交 BC 于点 G. ∵ ∠ ADE=∠ ACB=90°,∴ DE∥ BC.∴ ∠ DEF=∠ GBF,∠ EDF=∠ BGF. ∵ F 为 BE 中点,∴ EF=BF.∴ △ DEF≌ △ GBF.∴ DE=GB,DF=GF. ∵ AD=DE,∴ AD=GB. ∵ AC=BC,∴ AC-AD="BC-GB." ∴ DC=GC. ∵ ∠ ACB=90°,∴ △ DCG 是等腰直角三角形. ∵ DF=GF,∴ DF=CF,DF⊥CF.
2023年九年级数学中考复习:旋转(面积问题)综合压轴题(Word版,含答案)
![2023年九年级数学中考复习:旋转(面积问题)综合压轴题(Word版,含答案)](https://img.taocdn.com/s3/m/08ce9acd4bfe04a1b0717fd5360cba1aa8118cf5.png)
2023年九年级数学中考复习:旋转(面积问题)综合压轴题1.一节数学课上,老师提出一个这样的问题:如图,点P是正方形ABCD内一点,P A=1,PB=2,PC=3,你能求出∠APB的度数吗?小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路:思路一:将∠PBC绕点B逆时针旋转90°,得到∠P'BA,连接P P',求出∠APB的度数.思路二:将∠APB绕点B顺时针旋转90°,得到∠C P'B,连接P P',求出∠APB的度数.请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程.2.如图,已知在∠ABC中,AB=AC,D、E是BC边上的点,将∠ABD绕点A旋转,得到∠AC D,连接D E.(1)当∠BAC=120°,∠DAE=60°时,求证:DE=D E;(2)当DE=D E时,∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系?请写出,并说明理由.(3)在(2)的结论下,当∠BAC=90°,BD与DE满足怎样的数量关系时,∠D EC是等腰直角三角形?(直接写出结论,不必证明)AC BD相交于点O,3.如图,平行四边形ABCD中,,1,5AB AC AB BC⊥==,BC AD于点E,F.将直线AC绕点O顺时针旋转,分别交,(1)证明:当旋转角为90°时,四边形ABEF 是平行四边形;(2)证明:在旋转过程中,线段AF 与EC 总保持相等;(3)在旋转过程中,当AC 绕点O 顺时针旋转多少度时,四边形BEDF 是菱形,请给出证明.4.如图1所示,将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2、宽为1的长方形CEFD 拼在一起,构成一个大的长方形ABEF .现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至''CE FD ,旋转角为α.(1)当点D 恰好落在边EF 上时,点D 到边DC 的距离为____________,旋转角α=____________︒;(2)如图2,G 为BC 的中点,且090α︒<<︒,求证:GD E D ''=;(3)小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中,DCD '与CBD '△能否全等?若能,直接写出旋转角α的值;若不能,说明理由.5.将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 和AFE 按如图1所示位置放置,现将Rt AEF 绕A 点按逆时针方向旋转()090αα︒<<︒.如图2,AE 与BC 交于点M ,AC 与EF 交于点N ,BC 与EF 交于点P .(1)若AMC 是等腰三角形,则旋转角α的度数为______.(2)在旋转过程中,连接AP ,CE ,求证:AP 所在的直线是线段CE 的垂直平分线.(3)在旋转过程中,CPN是否能成为直角三角形?若能,直接写出旋转角α的度数;若不能,说明理由.6.旋转是一种重要的图形变换,当图形中有一组邻边相等时,往往可以通过旋转解决问题.如图∠,在四边形ABCD中,AD CDADC∠=︒,2∠=︒,60=,120ABCAB=,1BC=.【问题提出】(1)如图∠,在图∠的基础上连接BD,由于AD CD=,所以可将DCB绕点D顺时针方向旋转60°,得到DAB',则BDB'的形状是_______;【尝试解决】(2)在(1)的条件下,求四边形ABCD的面积;【类比应用】(3)如图∠,等边ABC的边长为2,BDC是顶角120∠=︒的等腰三角形,以D为顶BDC点作一个60°的角,角的两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,求AMN的周长.7.如图1,在等腰三角形ABC中,∠A=120°,AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上,AD=AE,连接BE,点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点.。
2023年中考数学真题汇编几何综合压轴问题专项练习(共40题)(解析版)
![2023年中考数学真题汇编几何综合压轴问题专项练习(共40题)(解析版)](https://img.taocdn.com/s3/m/079e92d3b9f67c1cfad6195f312b3169a451eae0.png)
几何综合压轴问题专项练习答案(40题)(1)将CDE 绕顶点C 旋转一周,请直接写出点M ,N 距离的最大值和最小值;(2)将CDE 绕顶点C 逆时针旋转120︒(如图2),求MN 【答案】(1)最大值为3,最小值为1(2)7【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线,得出,CM CN 解;(2)过点N 作NP MC ⊥,交MC 的延长线于点P ,根据旋转的性质求得进而可得1CP =,勾股定理解Rt ,Rt NCP MCP ,即可求解.【详解】(1)解:依题意,112CM DE ==,12CN AB =当M 在NC 的延长线上时,,M N 的距离最大,最大值为(2)解:如图所示,过点N 作NP MC ⊥,交MC 的延长线于点∵CDE 绕顶点C 逆时针旋转∴120BCE ∠=︒,∵45BCN ECM ∠=∠=︒,∴MCN BCM ECM ∠=∠-∠=∴60NCP ∠=︒,∴30CNP ∠=︒,∴112CP CN ==,在Rt CNP 中,2NP NC =-在Rt MNP △中,MP MC CP =+∴2234MN NP MP =+=+【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,勾股定理,旋转的性质,含(1)如图1,求证:DE BF =;(2)如图2,若2AD BF =,的延长线恰好经过DE 的中点【答案】(1)见解析(2)22BE =+△∵点G 是DE 的中点,∴GH 是FCD 的中位线,∴11122GH CD AD ===,设BE a =,则CH EH ==(1)如图1,求AB边上的高CH的长.''.(2)P是边AB上的一动点,点,C D同时绕点P按逆时针方向旋转90︒得点,C D①如图2,当点C'落在射线CA上时,求BP的长.△是直角三角形时,求BP的长.②当AC D''∴90C PQ PC Q '∠+∠='︒∵90C PQ CPH ∠+∠='︒∴PC Q CPH ∠=∠'.由旋转知PC PC '=,设C D ''与射线BA 的交点为作CH AB ⊥于点H .∵PC PC ⊥',∴90CPH TPC ∠'+∠=︒,∵C D AT ''⊥,∴90PC T TPC ∠'+∠='︒,【答案】(1)①见解析;②AD DF BD =+,理由见解析;【分析】(1)①证明:ABE CBD ∠=∠,再证明ABE ≅△可得DF DC =.证明AE DF =,从而可得结论;(2)如图,过点B 作BE AD ⊥于点E ,得90BED ∠=︒,证明2DE BD =,证明2AB BC =,ABE CBD ∠=∠,可得②AD DF BD=+.理由如下:∵DF和DC关于AD对称,=.∴DF DC=,∵AE CD∴AE DF=.∴AD AE DE DF BD=+=+∵DF 和DC 关于AD 对称,∴DF DC =,ADF ADC ∠=∠.∵CD BD ⊥,∴45ADF ADC ∠=∠=︒,∴45EBD ∠=︒.∴2DE BD =.∵AB AC AF ==,∴()11222HF BF BD DF ==-=,222262210BC BD CD =+=+=∴2221022AF AC BC ===⨯=25HF (2)知识应用:如图2Y是菱形;①求证:ABCD②延长BC至点E,连接OE交【答案】(1)见解析5∴1BG BO GC OD==,∴115222CG BC AD ===,∴552OF GC .处从由60PC P C PCP ''=∠=︒,,可知PCP '△为①三角形,故PP PC '=,又P A PA ''=,故PA PB PC PA PB PP A B '''++=++≥,由②可知,当B ,P ,P ',A 在同一条直线上时,PA PB PC ++取最小值,如图2,最小值为(3)如图5,设村庄A ,B ,C 的连线构成一个三角形,且已知4km 23km AC BC ==,,建一中转站P 沿直线向A ,B ,C 三个村庄铺设电缆,已知由中转站P 到村庄A ,B ,C 元/km ,a 元/km ,2a 元/km ,选取合适的P 的位置,可以使总的铺设成本最低为___________用含的式子表示)∵ACP A CP ''∠=∠,∴ACP BCP A CP BCP ∠+∠=∠+∠''又∵60PCP '∠=︒过点A '作A H BC '⊥,垂足为H ,∵60ACB ∠=︒,90ACA '∠=︒,∴30A CH '∠=︒,1猜想证明:(1)如图2,试判断四边形AEDG的形状,并说明理由.问题解决;(2)如图3,将图2中左侧折叠的三角形展开后,重新沿MN折叠,使得顶点B与点∵1122 CHGS CH HG=⋅=∴154302CG HE⋅=⨯=,①求证:PD PB =;②将线段DP 绕点P 逆时针旋转,化时,DPQ ∠的大小是否发生变化?请说明理由;③探究AQ 与OP 的数量关系,并说明理由.【答案】(1)①见解析;②不变化,(2)AQ CP =,理由见解析【分析】(1)①根据正方形的性质证明②作,PM AB PN AD ⊥⊥,垂足分别为点∵四边形ABCD 是正方形,∴45DAC BAC ∠=∠=︒,∴四边形AMPN 是矩形,∴90MPN ∠=︒,∵四边形ABCD 是正方形,∴45BAC ∠=︒,90AOB ∠=∴45AEP ∠=︒,四边形OPEF=作PM AB⊥于点M,则QM MB=,∴QA BE=.∴AQ CP(1)求BCF ∠的度数;(2)求CD 的长.深入探究:(3)若90BAC ∠<︒,将BMN 绕点B 顺时针旋转α,得到BEF △,连接AE ,CF 满足0360α︒<<︒,点,,C E F 在同一直线上时,利用所提供的备用图探究BAE ∠与ABF ∠的数量关系,并说明理由.【答案】初步尝试:(1)1MN AC =;MN AC ∥;(2)特例研讨:(1)30BCF ∠=︒;(2)CD∵MN 是BAC 的中位线,∴MN AC ∥,∴90BMN BAC ∠=∠=︒∵将BMN 绕点B 顺时针旋转α∴,BE BM BF BN ==;BEF ∠=∵点,,A E F 在同一直线上时,2∵,ADN BDE ANB BED ∠=∠∠=∠∴ADN BDE ∽,∴2222DN AN DE BE ===,设DE x =,则2DN x =,在Rt ABE △中,2,2BE AE ==在Rt ADN △中,22AD DN AN =+∵AB AC =,∴A ABC CB =∠∠,设ABC ACB θ∠=∠=,则1802BAC θ∠=︒-,∵MN 是ABC 的中位线,∴MN AC∥∴MNB MBN θ∠=∠=,∵将BMN 绕点B 顺时针旋转α,得到BEF △,∴EBF MBN ≌,MBE NBF α∠=∠=,∴EBF EFB θ∠=∠=∴1802BEF θ∠=︒-,∵点,,C E F 在同一直线上,∴2BEC θ∠=∴180BEC BAC ∠+∠=︒,∴,,,A B E C 在同一个圆上,∴EAC EBC αθ∠=∠=-∴()()1802BAE BAC EAC θαθ∠=∠-∠=︒---180αθ=︒--∵ABF αθ∠=+,∴180BAE ABF ∠∠=+︒;如图所示,当F 在EC 上时,∵,BEF BAC BC BC∠=∠=∴,,,A B E C 在同一个圆上,设ABC ACB θ∠=∠=,则1802BAC BEF θ∠=∠=︒-,将BMN 绕点B 顺时针旋转α,得到BEF △,设NBF β∠=,则EBM β∠=,则360αβ+=︒,∴ABF θβ∠=-,∵BFE EBF θ∠=∠=,EFB FBC FCB∠=∠+∠∴ECB FCB EFB FBC θβ∠=∠=∠-∠=-,∵ EBEB =∴EAB ECB θβ∠=∠=-∴BAE ∠ABF=∠综上所述,BAE ABF ∠=∠或180BAE ABF ∠∠=+︒【点睛】本题考查了圆周角定理,圆内接四边形对角互补,相似三角形的性质与判定,旋转的性质,中位线的性质与判定,等腰三角形的性质与判定,三角形内角和定理,三角形外角的性质,勾股定理,熟练掌握以上知识是解题的关键.10.(2023·湖北黄冈·统考中考真题)【问题呈现】CAB △和CDE 都是直角三角形,90,,ACB DCE CB mCA CE mCD ∠=∠=︒==,连接AD ,BE ,探究AD ,BE 的位置关系.(1)如图1,当1m =时,直接写出AD ,BE 的位置关系:____________;(2)如图2,当1m ≠时,(1)中的结论是否成立?若成立,给出证明;若不成立,说明理由.【拓展应用】(3)当3,47,4m AB DE ===时,将CDE 绕点C 旋转,使,,A D E 三点恰好在同一直线上,求(2)解:成立;理由如下:∵90DCE ACB ∠=∠=︒,∴DCA ACE ACE ∠+∠=∠+(3)解:当点E 在线段AD设AD y =,则AE AD DE =+根据解析(2)可知,DCA △∴3BE BC m AD AC===,勾股定理,解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法,画出相应的图形,注意分类讨论.(1)若点P 在AB 上,求证:A P AP '=;(2)如图2.连接BD .①求CBD ∠的度数,并直接写出当180n =时,x 的值;②若点P 到BD 的距离为2,求tan A MP '∠的值;∵PM 平分A MA '∠∴90PMA ∠=︒∴PM AB∥∴DNM DBA V V ∽∴DN DM MN DB DA BA ==∵8,6,90AB DA A ==∠=︒,∴2226BD AB AD =+=+∴2103sin 3BQ BP DBA ===∠,∵90PQB CBD DAB ∠=∠=∠=︒,∴90QPB PBQ DBA ∠=︒-∠=∠,∵A MP AMP ' ≌,∴90PA M A '∠=∠=︒,(2)如图②,在矩形ABCD 的BC 边上取一点E ,将四边形ABED 沿DE 翻折,使点B '处,若24,6BC CE AB ⋅==,求BE 的值;(3)如图③,在ABC 中,45,BAC AD BC ∠=︒⊥,垂足为点,10,D AD AE ==于点F ,连接DF ,且满足2DFE DAC ∠=∠,直接写出53BD EF +的值.∵EF BC ∥,∴2CDF DFE ∠=∠=∴CDH FDH ∠=∠,又∵DH DH =,CHD ∠∴(ASA CHD FHD ≌【点睛】本题考查矩形的性质、翻折性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识,综合性强,较难,属于中考压轴题,熟练掌握相关知识的联系与运用,添加辅助线求解是解答的关键.13.(2023·湖南郴州·=,连接点E,使CE AD(1)如图1,当点D在线段AB上时,猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由;(2)如图2,当点D在线段AB的延长线上时,①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立?请说明理由;②如图3,连接AE.设4AB=,若AEB DEB∠=∠,求四边形BDFC的面积.【答案】(1)1CF BD=,理由见解析∴60,ADG ABC AGD ∠=∠=︒∠=∠∴ADG △为等边三角形,∴AD AG DG ==,∵AD CE =,AD AB AG AC -=-∴DG CE =,BD CG =,于点由①知:ADG △为等边三角形,∵ABC 为等边三角形,∴4,AB AC BC BH CH =====∴2223AH AB BH =-=,(1)若正方形ABCD 的边长为2,E 是AD 的中点.①如图1,当90FEC ∠=︒时,求证:AEF DCE ∽△△;②如图2,当2tan 3FCE ∠=时,求AF 的长;(2)如图3,延长CF ,DA 交于点G ,当1,sin 3GE DE FCE =∠=时,求证:,可得结论;正方形ABCD 中,①ADC BAD ∠=∠ ∴AEF CED ∠+∠=AEF ECD ∴∠=∠,延长DA ,CF 交于点G ,作GH CE ⊥,垂足为H ,90EDC EHG ∠=∠=︒ 且∠问题探究:(1)先将问题特殊化,如图(2),当90α=︒时,直接写出GCF ∠的大小;(2)再探究一般情形,如图(1),求GCF ∠与α的数量关系.问题拓展:(3)将图(1)特殊化,如图(3),当120α=︒时,若12DG CG =,求BE CE 的值.故答案为:45︒.(2)解:在AB上截取ANABC BAE AEB∠+∠+∠=∠=∠,ABC AEF22⎝⎭(3)解:过点A作CD的垂线交CD的延长线于点【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似,解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相似.16.(2023·山西·统考中考真题)问题情境:“综合与实践沿对角线剪开,得到两个全等的三角形纸片,表示为∠=∠=︒∠=∠.将ABCACB DEF A D90,和DFE△(1)数学思考:谈你解答老师提出的问题;(2)深入探究:老师将图2中的DBE绕点B逆时针方向旋转,使点问题.∠①“善思小组”提出问题:如图3,当ABE②“智慧小组”提出问题:如图AH的长.请你思考此问题,直接写出结果.【答案】(1)正方形,见解析(2)①AM BE=,见解析;【分析】(1)先证明四边形形;∠(2)①由已知ABE【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点,适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键.17.(2023·湖北十堰·统考中考真题)过正方形E ,连接AE ,直线AE 交直线(1)如图1,若25CDP ∠=︒,则DAF ∠=___________(2)如图1,请探究线段CD ,EF ,AF 之间的数量关系,并证明你的结论;(3)在DP 绕点D 转动的过程中,设AF a =,EF 【答案】(1)20︒。
中考数学初中数学 旋转-经典压轴题附答案解析
![中考数学初中数学 旋转-经典压轴题附答案解析](https://img.taocdn.com/s3/m/cd5ed33b33687e21af45a988.png)
中考数学初中数学 旋转-经典压轴题附答案解析一、旋转1.在△ABC 中,AB=AC ,∠BAC=α(︒<<︒600α),将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD 。
(1)如图1,直接写出∠ABD 的大小(用含α的式子表示); (2)如图2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE 的形状并加以证明; (3)在(2)的条件下,连结DE ,若∠DEC=45°,求α的值。
【答案】(1)1302α︒-(2)见解析(3)30α=︒【解析】解:(1)1302α︒-。
(2)△ABE 为等边三角形。
证明如下:连接AD ,CD ,ED ,∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD , ∴BC=BD ,∠DBC=60°。
又∵∠ABE=60°,∴1ABD 60DBE EBC 302α∠=︒-∠=∠=︒-且△BCD 为等边三角形。
在△ABD 与△ACD 中,∵AB=AC ,AD=AD ,BD=CD ,∴△ABD ≌△ACD (SSS )。
∴11BAD CAD BAC 22α∠=∠=∠=。
∵∠BCE=150°,∴11BEC 180(30)15022αα∠=︒-︒--︒=。
∴BEC BAD ∠=∠。
在△ABD 和△EBC 中,∵BEC BAD ∠=∠,EBC ABD ∠=∠,BC=BD , ∴△ABD ≌△EBC (AAS )。
∴AB=BE 。
∴△ABE 为等边三角形。
(3)∵∠BCD=60°,∠BCE=150°,∴DCE 1506090∠=︒-︒=︒。
又∵∠DEC=45°,∴△DCE 为等腰直角三角形。
∴DC=CE=BC 。
∵∠BCE=150°,∴(180150)EBC 152︒-︒∠==︒。
而1EBC 30152α∠=︒-=︒。
∴30α=︒。
(1)∵AB=AC ,∠BAC=α,∴180ABC 2α︒-∠=。
(完整word版)中考数学压轴题旋转问题带答案
![(完整word版)中考数学压轴题旋转问题带答案](https://img.taocdn.com/s3/m/cd5544194afe04a1b171de0a.png)
旋转问题考查三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四边形的性质与判定等。
旋转性质-—-—对应线段、对应角的大小不变,对应线段的夹角等于旋转角。
注意旋转过程中三角形与整个图形的特殊位置. 一、直线的旋转1、(2009年浙江省嘉兴市)如图,已知A 、B 是线段MN 上的两点,4=MN ,1=MA ,1>MB .以A 为中心顺时针旋转点M ,以B 为中心逆时针旋转点N ,使M 、N 两点重合成一点C ,构成△ABC ,设x AB =. (1)求x 的取值范围;(2)若△ABC 为直角三角形,求x 的值; (3)探究:△ABC 的最大面积?2、(2009年河南)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°, ∠B =60°,BC =2.点0是AC 的中点,过点0的直线l 从与AC 重合的位置开始,绕点0作逆时针旋转,交AB 边于点D 。
过点C 作CE ∥AB 交直线l 于点E ,设直线l 的旋转角为α.(1)①当α=________度时,四边形EDBC 是等腰梯形,此时AD 的长为_________; ②当α=________度时,四边形EDBC 是直角梯形,此时AD 的长为_________; (2)当α=90°时,判断四边形EDBC 是否为菱形,并说明理由.C(第1题)解:(1)①当四边形EDBC是等腰梯形时,∠EDB=∠B=60°,而∠A=30°,根据三角形的外角性质,得α=∠EDB—∠A=30,此时,AD=1;②当四边形EDBC是直角梯形时,∠ODA=90°,而∠A=30°,根据三角形的内角和定理,得α=90°-∠A=60,此时,AD=1.5.(2)当∠α=90°时,四边形EDBC是菱形.∵∠α=∠ACB=90°,∴BC‖ED,∵CE‖AB,∴四边形EDBC是平行四边形.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2,∴∠A=30度,∴AB=4,AC=2 ,∴AO= = .在Rt△AOD中,∠A=30°,∴AD=2,∴BD=2,∴BD=BC.又∵四边形EDBC是平行四边形,∴四边形EDBC是菱形.3、(2009年北京市)在ABCD中,过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90得到线段EF(如图1)(1)在图1中画图探究:①当P为射线CD上任意一点(P1不与C重合)时,连结EP1绕点E逆时针旋转90得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系,并加以证明;②当P2为线段DC的延长线上任意一点时,连结EP2,将线段EP2绕点E逆时针旋转90得到线段EC2。
2023年九年级数学中考专题:旋转综合压轴题(倍长中线法)
![2023年九年级数学中考专题:旋转综合压轴题(倍长中线法)](https://img.taocdn.com/s3/m/fb248f20f68a6529647d27284b73f242326c315a.png)
2023年九年级数学中考专题:旋转综合压轴题(倍长中线法)1.(1)阅读理解:如图1,在ABC 中,若3AB =,5AC =.求BC 边上的中线AD 的取值范围,小聪同学是这样思考的:延长AD 至E ,使DE AD =,连接BE .利用全等将边AC 转化到BE ,在BAE 中利用三角形三边关系即可求出中线AD 的取值范围,在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是___________,中线AD 的取值范围是___________;(2)问题解决:如图2,在ABC 中,点D 是BC 的中点,DM DN ⊥.DM 交AB 于点M ,DN 交AC 于点N .求证:BM CN MN +>;(3)问题拓展:如图3,在ABC 中,点D 是BC 的中点,分别以AB AC ,为直角边向ABC 外作Rt ABM 和Rt ACN △,其中90BAM NAC ∠=∠=︒,AB AM =,AC AN =,连接MN ,请你探索AD 与MN 的数量与位置关系,并直接写出AD 与MN 的关系.2.(1)如图1,在ABC 中,AB =4,AC =6,AD 是BC 边上的中线,延长AD 到点E 使DE =AD ,连接CE ,把AB ,AC ,2AD 集中在ACE 中,利用三角形三边关系可得AD 的取值范围是 ;(2)如图2,在ABC 中,AD 是BC 边上的中线,点E ,F 分别在AB ,AC 上,且DE ⊥DF ,求证:BE +CF >EF ;(3)如图3,在四边形ABCD 中,∠A 为钝角,∠C 为锐角,∠B +∠ADC =180°,DA =DC ,点E ,F 分别在BC ,AB 上,且∠EDF =12∠ADC ,连接EF ,试探索线段AF ,EF ,CE 之间的数量关系,并加以证明.3.(1)阅读理解:如图①,在ABC 中,若85AB AC =,=,求BC 边上的中线AD 的取值范围.可以用如下方法:将ACD △绕着点D 逆时针旋转180得到EBD △,在ABE △中,利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______;(2)问题解决:如图②,在ABC 中,D 是BC 边上的中点,DE DF ⊥于点D ,DE 交AB 于点E ,DF 交AC 于点F ,连接EF ,求证:BE CF EF +>;(3)问题拓展:如图③,在四边形ABCD 中,180B D ∠+∠︒=,CB CD =,100BCD ∠︒=,以C 为顶点作一个50︒的角,角的两边分别交AB AD 、于E 、F 两点,连接EF ,探索线段BE DF EF ,,之间的数量关系,并说明理由.4.如图,在锐角ABC ∆中,60A ∠=︒,点D ,E 分别是边,AB AC 上一动点,连接BE 交直线CD 于点F .(1)如图1,若AB AC >,且,BD CE BCD CBE =∠=∠,求CFE ∠的度数;(2)如图2,若=AB AC ,且=BD AE ,在平面内将线段AC 绕点C 顺时针方向旋转60°得到线段CM ,连接MF ,点N 是MF 的中点,连接CN .在点D ,E 运动过程中,猜想线段,,BF CF CN 之间存在的数量关系,并证明你的猜想.5.某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动,请你来加入.【探究与发现】如图1,延长△ABC 的边BC 到D ,使DC =BC ,过D 作DE ∥AB 交AC 延长线于点E ,求证:△ABC ≌△EDC .【理解与应用】如图2,已知在△ABC 中,点E 在边BC 上且∠CAE =∠B ,点E 是CD 的中点,若AD 平分∠BAE .(1)求证:AC =BD ;(2)若BD =3,AD =5,AE =x ,求x 的取值范围.6.如图1,在△ABC 中,若AB =10,BC =8,求AC 边上的中线BD 的取值范围.(1)小聪同学是这样思考的:延长BD 至E ,使DE =BD ,连接CE ,可证得△CED ≌△ABD .①请证明△CED ≌△ABD ;②中线BD 的取值范围是 .(2)问题拓展:如图2,在△ABC 中,点D 是AC 的中点,分别以AB ,BC 为直角边向△ABC 外作等腰直角三角形ABM 和等腰直角三角形BCN ,其中,AB =BM ,BC =BN ,∠ABM =∠NBC =∠90°,连接MN .请写出BD 与MN 的数量关系,并说明理由.7.已知ABC 中,(1)如图1,点E 为BC 的中点,连AE 并延长到点F ,使=FE EA ,则BF 与AC 的数量关系是________.(2)如图2,若AB AC =,点E 为边AC 一点,过点C 作BC 的垂线交BE 的延长线于点D ,连接AD ,若DAC ABD ∠=∠,求证:AE EC =.(3)如图3,点D 在ABC 内部,且满足AD BC =,BAD DCB ∠=∠,点M 在DC 的延长线上,连AM 交BD 的延长线于点N ,若点N 为AM 的中点,求证:DM AB =.8.在△ABM 中,AM ⊥BM ,垂足为M ,AM =BM ,点D 是线段AM 上一动点.(1)如图1,点C 是BM 延长线上一点,MD =MC ,连接AC ,若BD =17,求AC 的长;(2)如图2,在(1)的条件下,点E 是△ABM 外一点,EC =AC ,连接ED 并延长交BC 于点F ,且点F 是线段BC 的中点,求证:∠BDF =∠CEF .(3)如图3,当E 在BD 的延长上,且AE ⊥BE ,AE =EG 时,请你直接写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系.(不用证明)9.已知:等腰Rt ABC 和等腰Rt ADE △中,AB AC =,AE AD =,90BAC EAD ∠=∠=︒.(1)如图1,延长DE 交BC 于点F ,若68BAE ∠=︒,则DFC ∠的度数为;(2)如图2,连接EC 、BD ,延长EA 交BD 于点M ,若90AEC ∠=︒,求证:点M 为BD 中点; (3)如图3,连接EC 、BD ,点G 是CE 的中点,连接AG ,交BD 于点H ,9AG =,5HG =,直接写出AEC △的面积.10.(1)阅读理解:如图1,在△ABC 中,若AB =10,BC =8.求AC 边上的中线BD 的取值范围,小聪同学是这样思考的:延长BD至E,使DE=BD,连接CE.利用全等将边AB转化到CE,在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围,在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是;中线BD的取值范围是.(2)问题拓展:如图2,在△ABC中,点D是AC的中点,分别以AB,BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN,其中∠ABM=∠NBC=90°,连接MN,探索BD与MN的关系,并说明理由.11.(1)方法学习:数学兴趣小组活动时,张老师提出了如下问题:如图1,在△ABC中,AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法(如图2),①延长AD到M,使得DM=AD;②连接BM,通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中;③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM<AM<AB+BM,从而得到AD的取值范围是;方法总结:上述方法我们称为“倍长中线法”.“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系.(2)请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系,并加以证明.(3)深入思考:如图3,AD是△ABC的中线,AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠CAF=90°,请直接利用(2)的结论,试判断线段AD与EF的数量关系,并加以证明.12.如图,点P是∠MON内部一点,过点P分别作P A∥ON交OM于点A,PB∥OM交ON于点B(P A≥PB),在线段OB上取一点C,连接AC,将△AOC沿直线AC翻折,得到△ADC,延长AD交PB于点E,延长CD 交PB于点F.(1)如图1,当四边形AOBP是正方形时,求证:DF=PF;(2)如图2,当C为OB中点时,试探究线段AE,AO,BE之间满足的数量关系,并说明理由;(3)如图3,在(2)的条件下,连接CE,∠ACE的平分线CH交AE于点H,设OA=a,BE=b,若∠CAO =∠CEB,求△CDH的面积(用含a,b的代数式表示).13.(1)基础应用:如图1,在△ABC中,AB=5,AC=7,AD是BC边上的中线,延长AD到点E使DE =AD,连接CE,把AB,AC,2AD利用旋转全等的方式集中在△ACE中,利用三角形三边关系可得AD的取值范围是;(2)推广应用:应用旋转全等的方式解决问题如图2,在△ABC中,AD是BC边上的中线,点E,F分别在AB,AC上,且DE⊥DF,求证:BE+CF>EF;∠BAD,试问线段(3)综合应用:如图3,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°且∠EAF=12EF、BE、FD具有怎样的数量关系,并证明.14.(1)阅读理解:如图1,在△ABC中,若AB=5,AC=8,求BC边上的中线AD的取值范围.小聪同学是这样思考的:延长AD至E,使DE=AD,连接BE.利用全等将边AC转化到BE,在△BAE中利用三角形三边关系即可求出中线AD的取值范围.在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_________,中线AD的取值范围是_________;(2)问题解决:如图2,在△ABC中,点D是BC的中点,点M在AB边上,点N在AC边上,若DM⊥DN.求证:BM+CN>MN;(3)问题拓展:如图3,在△ABC中,点D是BC的中点,分别以AB,AC为直角边向△ABC外作Rt△ABM 和Rt△ACN,其中∠BAM=∠NAC=90°,AB=AM,AC=AN,连接MN,探索AD与MN的关系,并说明理由.15.如图,在等边△ABC 中,点D ,E 分别是AC ,AB 上的动点,且AE =CD ,BD 交CE 于点P .(1)如图1,求证:∠BPC =120°;(2)点M 是边BC 的中点,连接P A ,PM ,延长BP 到点F ,使PF =PC ,连接CF ,①如图2,若点A ,P ,M 三点共线,则AP 与PM 的数量关系是 .②如图3,若点A ,P ,M 三点不共线,问①中的结论还成立吗?若成立,请给出证明,若不成立,说明理由.16.(1)方法呈现:如图①:在ABC 中,若6AB =,4AC =,点D 为BC 边的中点,求BC 边上的中线AD 的取值范围. 解决此问题可以用如下方法:延长AD 到点E 使DE AD =,再连接BE ,可证ACD EBD △≌△,从而把AB 、AC ,2AD 集中在ABE 中,利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______________,这种解决问题的方法我们称为倍长中线法;(2)探究应用:如图②,在ABC 中,点D 是BC 的中点,DE DF ⊥于点D ,DE 交AB 于点E ,DF 交AC 于点F ,连接EF ,判断BE CF +与EF 的大小关系并证明;(3)问题拓展:如图③,在四边形ABCD 中,//AB CD ,AF 与DC 的延长线交于点F 、点E 是BC 的中点,若AE 是BAF ∠的角平分线.试探究线段AB ,AF ,CF 之间的数量关系,并加以证明.17.阅读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明.已知:如图,点E 是BC 的中点,点A 在DE 上,且∠BAE =∠CDE .求证:AB =CD .分析:证明两条线段相等,常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等,因此,要证AB =CD ,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形.(1)现给出如下两种添加辅助线的方法,请任意选出其中一种,对原题进行证明.①如图1,延长DE 到点F ,使EF =DE ,连接BF ;②如图2,分别过点B 、C 作BF ⊥DE ,CG ⊥DE ,垂足分别为点F ,G .(2)请你在图3中添加不同于上述的辅助线,并对原题进行证明.18.【阅读理解】课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:如图1,ABC 中,若8AB =,6AC =,求BC 边上的中线AD 的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD 到点E ,使DE AD =,请根据小明的方法思考:(1)由已知和作图能得到ADC △≌EDB △的理由是______.(2)求得AD 的取值范围是______.【感悟】解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.【问题解决】⊥,求证:(3)如图2,在ABC中,点D是BC的中点,点M在AB边上,点N在AC边上,若DM DNBM CN MN+>.。
中考数学专题复习分类练习 旋转综合解答题附答案解析
![中考数学专题复习分类练习 旋转综合解答题附答案解析](https://img.taocdn.com/s3/m/5a3461b5964bcf84b8d57b23.png)
一、旋转 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.在△ABC 中,AB=AC ,∠BAC=α(︒<<︒600α),将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD 。
(1)如图1,直接写出∠ABD 的大小(用含α的式子表示); (2)如图2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE 的形状并加以证明; (3)在(2)的条件下,连结DE ,若∠DEC=45°,求α的值。
【答案】(1)1302α︒-(2)见解析(3)30α=︒【解析】解:(1)1302α︒-。
(2)△ABE 为等边三角形。
证明如下:连接AD ,CD ,ED ,∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD , ∴BC=BD ,∠DBC=60°。
又∵∠ABE=60°,∴1ABD 60DBE EBC 302α∠=︒-∠=∠=︒-且△BCD 为等边三角形。
在△ABD 与△ACD 中,∵AB=AC ,AD=AD ,BD=CD ,∴△ABD ≌△ACD (SSS )。
∴11BAD CAD BAC 22α∠=∠=∠=。
∵∠BCE=150°,∴11BEC 180(30)15022αα∠=︒-︒--︒=。
∴BEC BAD ∠=∠。
在△ABD 和△EBC 中,∵BEC BAD ∠=∠,EBC ABD ∠=∠,BC=BD , ∴△ABD ≌△EBC (AAS )。
∴AB=BE 。
∴△ABE 为等边三角形。
(3)∵∠BCD=60°,∠BCE=150°,∴DCE 1506090∠=︒-︒=︒。
又∵∠DEC=45°,∴△DCE 为等腰直角三角形。
∴DC=CE=BC 。
∵∠BCE=150°,∴(180150)EBC 152︒-︒∠==︒。
而1EBC 30152α∠=︒-=︒。
∴30α=︒。
(1)∵AB=AC ,∠BAC=α,∴180ABC 2α︒-∠=。
中考数学压轴题专题初中数学 旋转的经典综合题及答案
![中考数学压轴题专题初中数学 旋转的经典综合题及答案](https://img.taocdn.com/s3/m/baf422eedd3383c4bb4cd2d2.png)
中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题及答案一、旋转1.(操作发现)(1)如图1,△ABC为等边三角形,先将三角板中的60°角与∠ACB重合,再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于30°),旋转后三角板的一直角边与AB交于点D,在三角板斜边上取一点F,使CF=CD,线段AB上取点E,使∠DCE=30°,连接AF,EF.①求∠EAF的度数;②DE与EF相等吗?请说明理由;(类比探究)(2)如图2,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,先将三角板的90°角与∠ACB重合,再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于45°),旋转后三角板的一直角边与AB交于点D,在三角板另一直角边上取一点F,使CF=CD,线段AB上取点E,使∠DCE=45°,连接AF,EF.请直接写出探究结果:①∠EAF的度数;②线段AE,ED,DB之间的数量关系.【答案】(1)①120°②DE=EF;(2)①90°②AE2+DB2=DE2【解析】试题分析:(1)①由等边三角形的性质得出AC=BC,∠BAC=∠B=60°,求出∠ACF=∠BCD,证明△ACF≌△BCD,得出∠CAF=∠B=60°,求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°;②证出∠DCE=∠FCE,由SAS证明△DCE≌△FCE,得出DE=EF即可;(2)①由等腰直角三角形的性质得出AC=BC,∠BAC=∠B=45°,证出∠ACF=∠BCD,由SAS证明△ACF≌△BCD,得出∠CAF=∠B=45°,AF=DB,求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°;②证出∠DCE=∠FCE,由SAS证明△DCE≌△FCE,得出DE=EF;在Rt△AEF中,由勾股定理得出AE2+AF2=EF2,即可得出结论.试题解析:解:(1)①∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC,∠BAC=∠B=60°.∵∠DCF=60°,∴∠ACF=∠BCD.在△ACF和△BCD中,∵AC=BC,∠ACF=∠BCD,CF=CD,∴△ACF≌△BCD(SAS),∴∠CAF=∠B=60°,∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°;②DE=EF.理由如下:∵∠DCF=60°,∠DCE=30°,∴∠FCE=60°﹣30°=30°,∴∠DCE=∠FCE.在△DCE和△FCE中,∵CD=CF,∠DCE=∠FCE,CE=CE,∴△DCE≌△FCE(SAS),∴DE=EF;(2)①∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,∴AC=BC,∠BAC=∠B=45°.∵∠DCF=90°,∴∠ACF=∠BCD.在△ACF和△BCD中,∵AC=BC,∠ACF=∠BCD,CF=CD,∴△ACF≌△BCD(SAS),∴∠CAF=∠B=45°,AF=DB,∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°;②AE2+DB2=DE2,理由如下:∵∠DCF=90°,∠DCE=45°,∴∠FCE=90°﹣45°=45°,∴∠DCE=∠FCE.在△DCE和△FCE中,∵CD=CF,∠DCE=∠FCE,CE=CE,∴△DCE≌△FCE(SAS),∴DE=EF.在Rt△AEF 中,AE2+AF2=EF2,又∵AF=DB,∴AE2+DB2=DE2.2.(1)发现:如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空:当点A位于时,线段AC的长取得最大值,且最大值为(用含a,b的式子表示) (2)应用:点A为线段BC外一动点,且BC=4,AB=1,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE.①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;②直接写出线段BE长的最大值.(3)拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),点P 为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.【答案】(1)CB的延长线上, a+b;(2)①CD=BE,理由见解析;②BE长的最大值为5;(3)满足条件的点P坐标(222)或(222),AM的最大值为2+4.【解析】【分析】(1)根据点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,即可得到结论;(2)①根据已知条件易证△CAD≌△EAB,根据全等三角形的性质即可得CD=BE;②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值,根据(1)中的结论即可得到结果;(3)连接BM,将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,即可得到最大值为2+4;如图2,过P作PE⊥x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标.如图3中,根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件,由此求得符合条件的点P另一个的坐标.【详解】(1)∵点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b,∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b,故答案为CB的延长线上,a+b;(2)①CD=BE,理由:∵△ABD与△ACE是等边三角形,∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠EAB,在△CAD与△EAB中,AD ABCAD EAB AC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△CAD≌△EAB(SAS),∴CD=BE;②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值,由(1)知,当线段CD的长取得最大值时,点D在CB的延长线上,∴最大值为BD+BC=AB+BC=5;(3)如图1,∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,则△APN是等腰直角三角形,∴PN=PA=2,BN=AM,∵A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),∴OA=2,OB=6,∴AB=4,∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值,∴当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,最大值=AB+AN,∵AN2AP=2,∴最大值为2+4;如图2,过P作PE⊥x轴于E,∵△APN是等腰直角三角形,∴PE=AE=2,∴OE=BO﹣AB﹣AE=6﹣4﹣2=2﹣2,∴P(2﹣2,2).如图3中,根据对称性可知当点P在第四象限时,P(222)时,也满足条件.综上所述,满足条件的点P坐标(222)或(222),AM的最大值为2+4.【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,最大值问题,旋转的性质.正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.3.(1)如图①,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点O作直线EF⊥BD,交AD于点E,交BC于点F,连接BE、DF,且BE平分∠ABD.①求证:四边形BFDE是菱形;②直接写出∠EBF的度数;(2)把(1)中菱形BFDE进行分离研究,如图②,点G、I分别在BF、BE边上,且BG=BI,连接GD,H为GD的中点,连接FH并延长,交ED于点J,连接IJ、IH、IF、IG.试探究线段IH与FH之间满足的关系,并说明理由;(3)把(1)中矩形ABCD进行特殊化探究,如图③,当矩形ABCD满足AB=AD时,点E是对角线AC上一点,连接DE、EF、DF,使△DEF是等腰直角三角形,DF交AC于点G.请直接写出线段AG、GE、EC三者之间满足的数量关系.【答案】(1)①详见解析;②60°.(2)IH =3FH ;(3)EG 2=AG 2+CE 2.【解析】【分析】(1)①由△DOE ≌△BOF ,推出EO =OF ,∵OB =OD ,推出四边形EBFD 是平行四边形,再证明EB =ED 即可.②先证明∠ABD =2∠ADB ,推出∠ADB =30°,延长即可解决问题.(2)IH =3FH .只要证明△IJF 是等边三角形即可.(3)结论:EG 2=AG 2+CE 2.如图3中,将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ,先证明△DEG ≌△DEM ,再证明△ECM 是直角三角形即可解决问题.【详解】(1)①证明:如图1中,∵四边形ABCD 是矩形,∴AD ∥BC ,OB =OD ,∴∠EDO =∠FBO ,在△DOE 和△BOF 中,EDO FBO OD OBEOD BOF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩=== , ∴△DOE ≌△BOF ,∴EO =OF ,∵OB =OD ,∴四边形EBFD 是平行四边形,∵EF ⊥BD ,OB =OD ,∴EB =ED ,∴四边形EBFD 是菱形.②∵BE 平分∠ABD ,∴∠ABE =∠EBD ,∵EB =ED ,∴∠EBD =∠EDB ,∴∠ABD =2∠ADB ,∵∠ABD +∠ADB =90°,∴∠ADB =30°,∠ABD =60°,∴∠ABE =∠EBO =∠OBF =30°,∴∠EBF =60°.(2)结论:IH=3FH .理由:如图2中,延长BE 到M ,使得EM =EJ ,连接MJ .∵四边形EBFD 是菱形,∠B =60°,∴EB =BF =ED ,DE ∥BF ,∴∠JDH =∠FGH ,在△DHJ 和△GHF 中,DHG GHF DH GHJDH FGH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩=== , ∴△DHJ ≌△GHF ,∴DJ =FG ,JH =HF ,∴EJ =BG =EM =BI ,∴BE =IM =BF ,∵∠MEJ =∠B =60°,∴△MEJ 是等边三角形,∴MJ =EM =NI ,∠M =∠B =60°在△BIF 和△MJI 中,BI MJ B M BF IM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩===,∴△BIF ≌△MJI ,∴IJ =IF ,∠BFI =∠MIJ ,∵HJ =HF ,∴IH ⊥JF ,∵∠BFI +∠BIF =120°,∴∠MIJ +∠BIF =120°,∴∠JIF =60°,∴△JIF 是等边三角形,在Rt △IHF 中,∵∠IHF =90°,∠IFH =60°,∴∠FIH =30°,∴IH =3FH .(3)结论:EG 2=AG 2+CE 2.理由:如图3中,将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ,∵∠FAD +∠DEF =90°,∴AFED 四点共圆,∴∠EDF =∠DAE =45°,∠ADC =90°,∴∠ADF +∠EDC =45°,∵∠ADF =∠CDM ,∴∠CDM +∠CDE =45°=∠EDG ,在△DEM 和△DEG 中,DE DE EDG EDM DG DM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩=== , ∴△DEG ≌△DEM ,∴GE =EM ,∵∠DCM =∠DAG =∠ACD =45°,AG =CM ,∴∠ECM =90°∴EC 2+CM 2=EM 2,∵EG =EM ,AG =CM ,∴GE 2=AG 2+CE 2. 【点睛】考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形,学会转化的思想思考问题.4.如图,矩形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上,顶点C 在y 轴正半轴上,点B 的坐标为(4,m )(5≤m≤7),反比例函数y =16x(x >0)的图象交边AB 于点D . (1)用m 的代数式表示BD 的长;(2)设点P 在该函数图象上,且它的横坐标为m ,连结PB ,PD①记矩形OABC 面积与△PBD 面积之差为S ,求当m 为何值时,S 取到最大值; ②将点D 绕点P 逆时针旋转90°得到点E ,当点E 恰好落在x 轴上时,求m 的值.【答案】(1)BD=m﹣4(2)①m=7时,S取到最大值②m=5【解析】【分析】(1)先确定出点D横坐标为4,代入反比例函数解析式中求出点D横坐标,即可得出结论;(2)①先求出矩形OABC的面积和三角形PBD的面积得出S=﹣12(m﹣8)2+24,即可得出结论;②利用一线三直角判断出DG=PF,进而求出点P的坐标,即可得出结论.【详解】解:(1)∵四边形OABC是矩形,∴AB⊥x轴上,∵点B(4,m),∴点D的横坐标为4,∵点D在反比例函数y=16x上,∴D(4,4),∴BD=m﹣4;(2)①如图1,∵矩形OABC的顶点B的坐标为(4,m),∴S矩形OABC=4m,由(1)知,D(4,4),∴S△PBD=12(m﹣4)(m﹣4)=12(m﹣4)2,∴S=S矩形OABC﹣S△PBD=4m﹣12(m﹣4)2=﹣12(m﹣8)2+24,∴抛物线的对称轴为m=8,∵a<0,5≤m≤7,∴m=7时,S取到最大值;②如图2,过点P作PF⊥x轴于F,过点D作DG⊥FP交FP的延长线于G,∴∠DGP=∠PFE=90°,∴∠DPG+∠PDG=90°,由旋转知,PD=PE,∠DPE=90°,∴∠DPG+∠EPF=90°,∴∠PDG=∠EPF,∴△PDG≌△EPF(AAS),∴DG=PF,∵DG=AF=m﹣4,∴P(m,m﹣4),∵点P在反比例函数y=16,x∴m(m﹣4)=16,∴m=2+25或m=2﹣25(舍).【点睛】此题是反比例函数综合题,主要考查了待定系数法,矩形的性质,三角形的面积公式,全等三角形的判定,构造出全等三角形是解本题的关键.5.如图①,在等腰△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE=120°.(1)求证:△ABD≌△ACE;(2)把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置,连接CD,点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点,连接MN、PN、PM,判断△PMN的形状,并说明理由;(3)在(2)中,把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=6,请分别求出△PMN周长的最小值与最大值.【答案】(1)证明见解析;(2)△PMN是等边三角形.理由见解析;(3)△PMN周长的最小值为3,最大值为15.【解析】分析:(1)由∠BAC=∠DAE=120°,可得∠BAD=∠CAE,再由AB=AC,AD=AE,利用SAS即可判定△ABD≌△ADE;(2)△PMN是等边三角形,利用三角形的中位线定理可得PM=12CE,PM∥CE,PN=12BD,PN∥BD,同(1)的方法可得BD=CE,即可得PM=PN,所以△PMN是等腰三角形;再由PM∥CE,PN∥BD,根据平行线的性质可得∠DPM=∠DCE,∠PNC=∠DBC,因为∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,所以∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC,再由∠BAC=120°,可得∠ACB+∠ABC=60°,即可得∠MPN=60°,所以△PMN是等边三角形;(3)由(2)知,△PMN是等边三角形,PM=PN=12BD,所以当PM最大时,△PMN周长最大,当点D在AB上时,BD最小,PM最小,求得此时BD的长,即可得△PMN周长的最小值;当点D在BA延长线上时,BD最大,PM的值最大,此时求得△PMN周长的最大值即可.详解:(1)因为∠BAC=∠DAE=120°,所以∠BAD=∠CAE,又AB=AC,AD=AE,所以△ABD≌△ADE;(2)△PMN是等边三角形.理由:∵点P,M分别是CD,DE的中点,∴PM=12CE,PM∥CE,∵点N,M分别是BC,DE的中点,∴PN=12BD,PN∥BD,同(1)的方法可得BD=CE,∴PM=PN,∴△PMN是等腰三角形,∵PM∥CE,∴∠DPM=∠DCE,∵PN∥BD,∴∠PNC=∠DBC,∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC,∵∠BAC=120°,∴∠ACB+∠ABC=60°,∴∠MPN=60°,∴△PMN是等边三角形.(3)由(2)知,△PMN是等边三角形,PM=PN=12 BD,∴PM最大时,△PMN周长最大,∴点D在AB上时,BD最小,PM最小,∴BD=AB-AD=2,△PMN周长的最小值为3;点D在BA延长线上时,BD最大,PM最大,∴BD=AB+AD=10,△PMN周长的最大值为15.故答案为△PMN周长的最小值为3,最大值为15点睛:本题主要考查了全等三角形的判定及性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定,解决第(3)问,要明确点D在AB上时,BD最小,PM最小,△PMN周长的最小;点D在BA延长线上时,BD最大,PM最大,△PMN周长的最大值为15.6.在平面直角坐标系中,O为原点,点A(3,0),点B(0,4),把△ABO绕点A顺时针旋转,得△AB′O′,点B,O旋转后的对应点为B′,O.(1)如图1,当旋转角为90°时,求BB′的长;(2)如图2,当旋转角为120°时,求点O′的坐标;(3)在(2)的条件下,边OB上的一点P旋转后的对应点为P′,当O′P+AP′取得最小值时,求点P′的坐标.(直接写出结果即可)【答案】(1)22)O'(92333)P'(275,635).【解析】【分析】(1)先求出AB.利用旋转判断出△ABB'是等腰直角三角形,即可得出结论;(2)先判断出∠HAO'=60°,利用含30度角的直角三角形的性质求出AH,OH,即可得出结论;(3)先确定出直线O'C的解析式,进而确定出点P的坐标,再利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论.【详解】(1)∵A(3,0),B(0,4),∴OA=3,OB=4,∴AB=5,由旋转知,BA=B'A,∠BAB'=90°,∴△ABB'是等腰直角三角形,∴BB2AB2;(2)如图2,过点O'作O'H⊥x轴于H,由旋转知,O'A=OA=3,∠OAO'=120°,∴∠HAO'=60°,∴∠HO'A=30°,∴AH=12AO'=32,OH333,∴OH=OA+AH=92,∴O '(93322,); (3)由旋转知,AP =AP ',∴O 'P +AP '=O 'P +AP .如图3,作A 关于y 轴的对称点C ,连接O 'C 交y 轴于P ,∴O 'P +AP =O 'P +CP =O 'C ,此时,O 'P +AP 的值最小.∵点C 与点A 关于y 轴对称,∴C (﹣3,0).∵O '(9332,),∴直线O 'C 的解析式为y =3x +33,令x =0,∴y =33,∴P (0,335),∴O 'P '=OP =335,作P 'D ⊥O 'H 于D . ∵∠B 'O 'A =∠BOA =90°,∠AO 'H =30°,∴∠DP 'O '=30°,∴O 'D =12O 'P '=33,P 'D =3O 'D =910,∴DH =O 'H ﹣O 'D =63,O 'H +P 'D =275,∴P '(27635,).【点睛】本题是几何变换综合题,考查了旋转的性质,等腰直角三角形的性质,含30度角的直角三角形的性质,构造出直角三角形是解答本题的关键.7.如图,正方形ABCD 中,点E 是BC 边上的一个动点,连接AE ,将线段AE 绕点A 逆时针旋转90°,得到AF ,连接EF ,交对角线BD 于点G ,连接AG .(1)根据题意补全图形;(2)判定AG 与EF 的位置关系并证明;(3)当AB=3,BE=2时,求线段BG 的长.【答案】(1)见解析;(2)见解析25. 【解析】【分析】(1)根据题意补全图形即可;(2)先判断出△ADF≌△ABE,进而判断出点C,D,F共线,即可判断出△DFG≌△HEG,得出FG=EG,即可得出结论;(3)先求出正方形的对角线BD,再求出BH,进而求出DH,即可得出HG,求和即可得出结论.【详解】(1)补全图形如图所示,(2)连接DF,由旋转知,AE=AF,∠EAF=90°,∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥CD,AD=AB,∠ABC=∠ADC=BAD=90°,∴∠DAF=∠BAE,∴△ADF≌△ABE(SAS),∴DF=BE,∠ADF=∠ABC=90°,∴∠ADF+∠ADC=180°,∴点C,D,F共线,∴CF∥AB,过点E作EH∥BC交BD于H,∴∠BEH=∠BCD=90°,DF∥EH,∴∠DFG=∠HEG,∵BD是正方形ABCD的对角线,∴∠CBD=45°,∴BE=EH,∵∠DGF=∠HGE,∴△DFG≌△HEG(AAS),∴FG=EG∵AE=AF,∴AG⊥EF;(3)∵BD是正方形的对角线,∴22,由(2)知,在Rt△BEH中,22,∴2由(2)知,△DFG≌△HEG,∴DG=HG,∴HG=12DH=22, ∴BG=BH+HG=22+22=522. 【点睛】此题是四边形综合题,主要考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质,正方形的性质,勾股定理,作出辅助线是解本题的关键.8.如图1,菱形ABCD ,AB 4=,ADC 120∠=o ,连接对角线AC 、BD 交于点O , ()1如图2,将AOD V 沿DB 平移,使点D 与点O 重合,求平移后的A'BO V 与菱形ABCD 重合部分的面积.()2如图3,将A'BO V 绕点O 逆时针旋转交AB 于点E',交BC 于点F ,①求证:BE'BF 2+=;②求出四边形OE'BF 的面积.【答案】() 13?2①证明见解析3【解析】【分析】(1)先判断出△ABD 是等边三角形,进而判断出△EOB 是等边三角形,即可得出结论;(2)先判断出 ≌△OBF ,再利用等式的性质即可得出结论;(3)借助①的结论即可得出结论.【详解】()1Q 四边形为菱形,ADC 120∠=o ,ADO 60∠∴=o ,ABD ∴V 为等边三角形,DAO 30∠∴=o ,ABO 60∠=o ,∵AD//A′O ,∴∠A′OB=60°,EOB ∴V 为等边三角形,边长OB 2=,∴343=()2①在图3中,取AB中点E,由()1知,∠EOB=60°,∠E′OF=60°,∴∠EOE′=∠BOF,又∵EO=BO,∴∠OEE′=∠OBF=60°,∴△OEE′≌△OBF,∴EE′=BF,∴BE′+BF=BE′+EE′=BE=2;②由①知,在旋转过程中始终有△OEE′≌△OBF,∴S△OEE′=S△OBF,∴S四边形OE′BF =OEBS3=V.【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,综合性较强,熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题的关键.9.正方形ABCD的边长为1,对角线AC与BD相交于点O,点E是AB边上的一个动点(点E不与点A、B重合),CE与BD相交于点F,设线段BE的长度为x.(1)如图1,当AD=2OF时,求出x的值;(2)如图2,把线段CE绕点E顺时针旋转90°,使点C落在点P处,连接AP,设△APE 的面积为S,试求S与x的函数关系式并求出S的最大值.【答案】(1)x=﹣1;(2)S=﹣(x﹣)2+(0<x<1),当x=时,S的值最大,最大值为,.【解析】试题分析:(1)过O作OM∥AB交CE于点M,如图1,由平行线等分线段定理得到CM=ME,根据三角形的中位线定理得到AE=2OM=2OF,得到OM=OF,于是得到BF=BE=x,求得OF=OM=解方程,即可得到结果;(2)过P作PG⊥AB交AB的延长线于G,如图2,根据已知条件得到∠ECB=∠PEG,根据全等三角形的性质得到EB=PG=x,由三角形的面积公式得到S=(1﹣x)•x,根据二次函数的性质即可得到结论.试题解析:(1)过O作OM∥AB交CE于点M,如图1,∵OA=OC,∴CM=ME,∴AE=2OM=2OF,∴OM=OF,∴,∴BF=BE=x,∴OF=OM=,∵AB=1,∴OB=,∴,∴x=﹣1;(2)过P作PG⊥AB交AB的延长线于G,如图2,∵∠CEP=∠EBC=90°,∴∠ECB=∠PEG,∵PE=EC,∠EGP=∠CBE=90°,在△EPG与△CEB中,,∴△EPG≌△CEB,∴EB=PG=x,∴AE=1﹣x,∴S=(1﹣x)•x=﹣x2+x=﹣(x﹣)2+,(0<x<1),∵﹣<0,∴当x=时,S的值最大,最大值为,.考点:四边形综合题10.(1)观察猜想如图(1),在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是BC的中点.以点D为顶点作正方形DEFG,使点A,C分别在DG和DE上,连接AE,BG,则线段BG和AE的数量关系是_____;(2)拓展探究将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后(旋转角度大于0°,小于或等于360°),如图2,则(1)中的结论是否仍然成立?如果成立,请予以证明;如果不成立,请说明理由.(3)解决问题若BC=DE=2,在(2)的旋转过程中,当AE为最大值时,直接写出AF的值.【答案】(1)BG=AE.(2)成立.如图②,连接AD.∵△ABC是等腰三直角角形,∠BAC=90°,点D是BC的中点.∴∠ADB=90°,且BD=AD.∵∠BDG=∠ADB-∠ADG=90°-∠ADG=∠ADE,DG=DE.∴△BDG≌△ADE,∴BG=AE.…………………………………………7分(3)由(2)知,BG=AE,故当BG最大时,AE也最大.正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°时,BG最大,如图③.若BC=DE=2,则AD=1,EF=2.在Rt△AEF中,AF2=AE2+EF2=(AD+DE)2+EF2=(1+2)2+22=13.∴AF=【解析】解:(1)BG=AE.(2)成立.如图②,连接AD.∵△ABC是等腰三直角角形,∠BAC=90°,点D是BC的中点.∴∠ADB=90°,且BD=AD.∵∠BDG=∠ADB-∠ADG=90°-∠ADG=∠ADE,DG=DE.∴△BDG≌△ADE,∴BG=AE.(3)由(2)知,BG=AE,故当BG最大时,AE也最大.Z+X+X+K]因为正方形DEFG在绕点D旋转的过程中,G点运动的图形是以点D为圆心,DG为半径的圆,故当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上(即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°)时,BG 最大,如图③.若BC =DE =2,则AD =1,EF =2.在Rt △AEF 中,AF 2=AE 2+EF 2=(AD +DE)2+EF 2=(1+2)2+22=13.∴AF =.即在正方形DEFG 旋转过程中,当AE 为最大值时,AF =.11.我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
试题解析:(1)由题意抛物线的顶点 C(0,4),A( 2 2 ,0),设抛物线的解析式为
y ax2 4 ,把 A( 2
2
,0)代入可得
a=
1 2
,∴
抛物线
C
的函数表达式为
y 1 x2 4. 2
(2)由题意抛物线 C′的顶点坐标为(2m,﹣4),设抛物线 C′的解析式为
y
1 2
x
m2
4 ,由
(3)α=120°-m°,α=60°或 α=240-m°. 考点:1.全等三角形的判定和性质;2.等边三角形的判定和性质.
4.如图所示,在△ ABC 中,D、E 分别是 AB、AC 上的点,DE∥ BC,如图①,然后将 △ ADE 绕 A 点顺时针旋转一定角度,得到图②,然后将 BD、CE 分别延长至 M、N,使 DM
由题意易知 P(2,2),当△ PFM 是等腰直角三角形时,四边形 PMP′N 是正方形,
∴ PF=FM,∠ PFM=90°,易证△ PFE≌ △ FMH,可得 PE=FH=2,EF=HM=2﹣m,∴ M(m+2,
m﹣2),∵ 点 M 在 y 1 x2 4 上,∴ m 2 1 m 22 4 ,解得 m= 17 ﹣3 或
P(2,2),当△ PFM 是等腰直角三角形时,四边形 PMP′N 是正方形,推出 PF=FM,
∠ PFM=90°,易证△ PFE≌ △ FMH,可得 PE=FH=2,EF=HM=2﹣m,可得 M(m+2,m﹣
2),理由待定系数法即可解决问题;情形 2,如图,四边形 PMP′N 是正方形,同法可得
M(m﹣2,2﹣m),利用待定系数法即可解决问题.
将△ ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ ABG,∴ DF=GB, ∵ 正方形 ABCD 的周长为 4AB,△ CEF 周长为 EF+EC+CF, ∵ △ CEF 周长是正方形 ABCD 周长的一半,∴ 4AB=2(EF+EC+CF),∴ 2AB=EF+EC+CF ∵ EC=AB﹣BE,CF=AB﹣DF,∴ 2AB=EF+AB﹣BE+AB﹣DF,∴ EF=DF+BE, ∵ DF=GB,∴ EF=GB+BE=GE,由旋转得到 AD=AG=AB, ∵ AM=AM,∴ △ AEG≌ △ AEF,∠ EAG=∠ EAF=45°,和(2)的②一样,得到 DN2+BM2=MN2. “点睛”此题是四边形综合题,主要考查了正方形的性质、旋转的性质,三角形的全等,判 断出(△ AFN≌ △ ANM,得到 FM=MM),是解题的关键.
y
பைடு நூலகம்
1 2
x
m2
4
,由
y
y
1 2
1 x2 2
x m2
4
4
,消去
y
得到
x2
2mx
2m2
8
0
,由题
(2 4 2m2 8 0
意,抛物线
C′与抛物线
C
在
y
轴的右侧有两个不同的公共点,则有
2m 0
,
2m2 8 0
解不等式组即可解决问题;
(3)情形 1,四边形 PMP′N 能成为正方形.作 PE⊥x 轴于 E,MH⊥x 轴于 H.由题意易知
一、旋转 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图 1,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C:y=ax2+bx+c 与 x 轴相交于 A,B 两点,顶
点为 D(0,4),AB=4 2 ,设点 F(m,0)是 x 轴的正半轴上一点,将抛物线 C 绕点 F
旋转 180°,得到新的抛物线 C′. (1)求抛物线 C 的函数表达式; (2)若抛物线 C′与抛物线 C 在 y 轴的右侧有两个不同的公共点,求 m 的取值范围. (3)如图 2,P 是第一象限内抛物线 C 上一点,它到两坐标轴的距离相等,点 P 在抛物线 C′上的对应点 P′,设 M 是 C 上的动点,N 是 C′上的动点,试探究四边形 PMP′N 能否成为正 方形?若能,求出 m 的值;若不能,请说明理由.
【答案】(1)45°;(2)①补图见解析;②BM、DN 和 MN 之间的数量关系是 BM2+MD2=MN2,证明见解析;(3)答案见解析. 【解析】 (1)利用等腰直角三角形的性质即可; (2)依题意画出如图 1 所示的图形,根据性质和正方形的性质,判断线段的关系,再利用 勾股定理得到 FB2+BM2=FM2,再判断出 FM=MN 即可; (3)利用△ CEF 周长是正方形 ABCD 周长的一半,判断出 EF=EG,再利用(2)证明即可. 解:(1)∵ BD 是正方形 ABCD 的对角线,∴ ∠ ABD=∠ ADB=45°, ∵ AE⊥BD,∴ ∠ ABE=∠ BAE=45°, (2)①依题意补全图形,如图 1 所示,
y
1 x2 4 2
y 1 (x 4
,消去
y
得到
x2
2mx
2m2
8
0
,由题意,
2
(2 4 2m2 8 0
抛物线
C′与抛物线
C
在
y
轴的右侧有两个不同的公共点,则有
2m 0
,解得
2m2 8 0
2<m< 2 2 ,∴ 满足条件的 m 的取值范围为 2<m< 2 2 .
(3)结论:四边形 PMP′N 能成为正方形. 理由:1 情形 1,如图,作 PE⊥x 轴于 E,MH⊥x 轴于 H.
),若∠ CBD 的大小与(2)中的结果相
【答案】(1)30°;(2)30°;(3)α=120°-m°,α=60°或 α=240-m°. 【解析】 试题分析:(1)由∠ BAC=100°,AB=AC,可以确定∠ ABC=∠ ACB=40°,旋转角为 α,α=60° 时△ ACD 是等边三角形,且 AC=AD=AB=CD,知道∠ BAD 的度数,进而求得∠ CBD 的大小. (2)由∠ BAC=100°,AB=AC,可以确定∠ ABC=∠ ACB=40°,连结 DF、BF.AF=FC=AC, ∠ FAC=∠ AFC=60°,∠ ACD=20°,由∠ DCB=20°案.依次证明△ DCB≌ △ FCB, △ DAB≌ △ DAF.利用角度相等可以得到答案. (3)结合(1)(2)的解题过程可以发现规律,求得答案. 试题解析:(1)30°;(2)30°; (2)如图作等边△ AFC,连结 DF、BF. ∴ AF=FC=AC,∠ FAC=∠ AFC=60°. ∵ ∠ BAC=100°,AB=AC,∴ ∠ ABC=∠ BCA=40°. ∵ ∠ ACD=20°,∴ ∠ DCB=20°. ∴ ∠ DCB=∠ FCB=20°.① ∵ AC=CD,AC=FC,∴ DC=FC.② ∵ BC=BC,③ ∴ 由①②③,得△ DCB≌ △ FCB, ∴ DB=BF,∠ DBC=∠ FBC. ∵ ∠ BAC=100°,∠ FAC=60°,∴ ∠ BAF=40°. ∵ ∠ ACD=20°,AC=CD,∴ ∠ CAD=80°.∴ ∠ DAF=20°. ∴ ∠ BAD=∠ FAD=20°.④ ∵ AB=AC,AC=AF,∴ AB=AF.⑤ ∵ AD=AD,⑥ ∴ 由④⑤⑥,得△ DAB≌ △ DAF.∴ FD=BD.∴ FD=BD=FB.∴ ∠ DBF=60°.∴ ∠ CBD=30°.
3.在△ ABC 中,AB=AC,将线段 AC 绕着点 C 逆时针旋转得到线段 CD,旋转角为 ,且
,连接 AD、BD.
(1)如图 1,当∠ BAC=100°,
时,∠ CBD 的大小为_________;
(2)如图 2,当∠ BAC=100°,
时,求∠ CBD 的大小;
(3)已知∠ BAC 的大小为 m( 同,请直接写出 的大小.
= BD,EN= CE,得到图③,请解答下列问题:
(1)若 AB=AC,请探究下列数量关系: ①在图②中,BD 与 CE 的数量关系是________________; ②在图③中,猜想 AM 与 AN 的数量关系、∠ MAN 与∠ BAC 的数量关系,并证明你的猜 想; (2)若 AB=k·AC(k>1),按上述操作方法,得到图④,请继续探究:AM 与 AN 的数量关 系、∠ MAN 与∠ BAC 的数量关系,直接写出你的猜想,不必证
②BM、DN 和 MN 之间的数量关系是 BM2+MD2=MN2, 将△ AND 绕点 D 顺时针旋转 90°,得到△ AFB, ∴ ∠ ADB=∠ FBA,∠ BAF=∠ DAN,DN=BF,AF=AN, ∵ 在正方形 ABCD 中,AE⊥BD,∴ ∠ ADB=∠ ABD=45°, ∴ ∠ FBM=∠ FBA+∠ ABD=∠ ADB+∠ ABD=90°, 在 Rt△ BFM 中,根据勾股定理得,FB2+BM2=FM2, ∵ 旋转△ ANE 得到 AB1E1,∴ ∠ E1AB1=45°,∴ ∠ BAB1+∠ DAN=90°﹣45°=45°, ∵ ∠ BAF=DAN,∴ ∠ BAB1+∠ BAF=45°,∴ ∠ FAM=45°,∴ ∠ FAM=∠ E1AB1, ∵ AM=AM,AF=AN,∴ △ AFM≌ △ ANM,∴ FM=MN, ∵ FB2+BM2=FM2,∴ DN2+BM2=MN2, (3)如图 2,
(Ⅰ)如图①,当点 D 落在 BC 边上时,求点 D 的坐标; (Ⅱ)如图②,当点 D 落在线段 BE 上时, AD 与 BC 交于点 H . ①求证△ADB ≌△AOB ;
【答案】(1)
y
1 2
x2
4
;(2)2<m<
2
2 ;(3)m=6 或 m=
17 ﹣3.
【解析】
试题分析:(1)由题意抛物线的顶点 C(0,4),A( 2 2 ,0),设抛物线的解析式为
y ax2 4 ,把 A( 2
2