第一讲实数实函数

第一讲实数与实函数1 . 1 实数与实函数的基本概念一．实数实数包括有理数和无理数．有理数，就是能够表示成qp形式的数，其中 p 是整数， q 是不为零的整数．如果用小数表示，有理数都可以表示成有限小数，或无限循环小数．无理数，就是不能表示成qp形式的数，也就是无限不循环的小数．如果将有限小数也表示成无限小数，例如：数 1 可表示为 1=1.000… ；也可以表示为 l=0.999… （注：这是实无限的观点），为唯一性起见，数学上作了一个约定，就是不以零为循环节．数 1 约定的表示为l=0.999…，因此，实数就是一个可以用无限小数表示的数．二、实数的性质1 ．实数集合 R 是一个阿基米德有序域( 1 ）在实数集合 R 上定义加法“ + ”和乘法“× ”两种运算，对两种运算分别满足交换律、结合律，以及乘法关于加法的分配律；对加法，有“零元”和“负元”；对乘法有“单位元”和“逆元” ; R 成为一个“域”.( 2 ）在集合 R 上定义了一种序关系“ < " ，且满足传递性：即对 R c b a ∈∀,, ，若 a < b , b < c ,则 a ＜c ；三歧性：即对 ,,R b a ∈∀，关系 a < b , a =b , a > b 三者必居其一,也只居其一 R 是一个全序集．( 3 ) R 中的元素满足阿基米德性：对 R 中的任意两个正数 a , b ，必存在自然数 n ，使得 na ＞b.2 ．实数集合 R 是一个完备集定义1.1（距离空间）设 X 是一个集合，定义映射+→⨯R X X :ρ，满足 ( 1 ）非负性：对();0,,,y x y x X y x =⇔=∈∀ρ ( 2 ）对称性：()()x y y x ,,ρρ= ；( 3 ）三角不等式：()()()y z z x y x ,,,ρρρ+≤;则称ρ是点集 X 上的一个距离．如果 X 是一个线性空间，称()ρ,X 是一个距离空间 。

在实数集 R 上定义距离()y x y x -=,ρ（可以验证满足定义中的三条），则()ρ,R 是一个距离空间．定义 1 . 2 设{}n x 是距离空间()ρ,X 中的点列，若对0,0>∃>∀N ε，当 m , n > N 时，恒有()ερ<m n x x ,，则称{}n x 是 X 中的柯西列．定义 1 . 3 若距离空间 X 中的任意柯西列都在 X 中收敛，则称 X 是完备的距离空间． 由柯西收敛准则很容易知道，作为距离空间的实数集 R 是完备的．有 6 个刻划实数集 R 完备性的且彼此等价的定理，它们分别是( 1 ）确界原理：设 S 是非空数集．若 5 有上界．则 S 必有上确界；若 S 有下界，则 S 必有下确界．( 2 ）单调有界原理：单调有界点列（函数）必存在极限． ( 3 ）区间套定理：若[]{}n n b a ,是一个区间套，则存在唯一的实数ξ，使得[],2,1,,=∈n b a n n ξ …，即 ,2,1,=≤≤n b a n n ξ…。

( 4 ）有限覆盖定理：设 H 是对闭区间巨，习的一个任意开覆盖，则从 H 中可选出有限个开区间来覆盖[]b a ,( 5 ）聚点定理：实轴上的任一有界无限点集 S 至少有一个聚点． 推论（致密性定理）：有界点列必有收敛子列． ( 6 ）柯西收敛准则：数列{}n a 收敛的充要条件是数列{}n a 是柯西列． 关于上述六个定理的等价性证明可参考文献[]1．三、关于实数点集的一些重要概念1 ．有界点集S 是一实数点集，若0>∃M 使对S x ∈∀恒有M x ≤，则称 S 是有界点集． 2 ．无界点集S 是一实数点集．若对0>∀M ，S x ∈∃使得M x ≥，则称 S 是无界点集． 3 ．有界函数f ( x ）是定义在点集 I 上的函数，若0>∃M 使对I x ∈∀ 恒有()M x f ≤，则称f ( x ）在I 上有界． 4 ．无界函数f ( x ）是定义在点集 I 上的函数，若对0>∀M ，I x ∈∃使得()M x f ≥ ．则称 f ( x ）在 I 上无界、例 1 . 1 证明函数()x x f 1=在()1,0上无界 证明：对0>∀M ，()1,0110∈+=∃M x 使得()M M x f >+=1故()xx f 1=在（ 0 , 1 ）上无界。

5 ．上确界设 E 为一个实数点集， a 为一是实常数，若满足： ① 对E x ∈∀ ，恒有α≤x （即α为E 的上界）； ② 对0>∀ε，存在E x ∈0 ，使得εα->0x 。

（即α是 E 的最小的上界），则称α为 E 的上确界，记作E sup =α 6 ．下确界设 E 为一个实数点集，β为一是实常数，若满足： ① 对E x ∈∀，恒有β≤x (即β为E 的下界）； ② 对0>∀ε，存在两E x ∈0，使得εβ+>0x （即β是 E 的最大的下界），则称β为 E 的下确界，记作E inf =β．注：点集 E 的上确界或下确界可以属于 E ，也可以不属于E 命题（ 1 ) E sup =α，则E E max =⇔∈αα．( 2 ）E inf =β，则E E min =⇔∈ββ. 证明显然，请读者自证．例 1 . 2 设A 、B 皆为非空有界集，定义数集{}B y A x y x z z B A ∈∈+==+,,|证明： ( 1 ) sup ( A + B ) = supA + SupB ;( 2 ) inf ( A + B ）= InfA + infB .证明： ( 1 ）由已知， A 、 B 非空有界，可知 A +B 也是非空有界集．根据确界原理，它们的上、下确界都存在．对B A z +∈∀ ，由定义,存在A x ∈ 及B y ∈使得B A y x z sup sup +≤+=即实数 supA 十 supB 是数集 A +B 的上界；又对B A z +∈∀，B y A x ∈∈∃'',，使得,2sup 'ε->A x ，εε-+>+⇒->B A y x B y sup sup 2sup '''记B A y x z +∈+='''则ε-+>B A z sup sup '：．由定义可得sup ( A + B ）= SupA + supB( 2 ）证明与（ 1 ）类似，从略． 例 1 . 3 设 f 在区间 I 上有界．记(),sup x f M Ix ∈=(),inf x f m Ix ∈=证明：()()m M x f x f Ix -=-∈'''sup证明：对I x x ∈∀''',，有(),'M x f m ≤≤(),''M x f m ≤≤则()()m M x f x f -≤-''' ()*又对0>∀ε，I x x ∈∃21,使得()()2,221εε+<->m x f M x f ()**可得()()()ε-->-m M x f x f 21由式()*，式()**可知()()m M x f x f Ix x -≤-∈''''''sup7.聚点定义 1 . 4 （点集的聚点）：设 E 是一个点集，ξ是一个点，若在ξ的任意邻域内都含有 E 的无穷多个点，则称ξ为点集 E 的聚点．命题 设 E 是一个点集，ξ是一个点，下列说法等价： ( 1 ）ξ为点集 E 的聚点．( 2 ）在ξ的任意邻域内都含有 E 的异于ξ的一个点． ( 3 ）在 E 中存在互异的点列{}n x 使得ξ=∞→n n x lim证明： (1）⇒（2 ) ．显然．(2)⇒ (3) ．取11=ε ，在()1;εξ⋃）内，{}ξ\1E x ∈∃，取0,21min 12>⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=ξεx ，在()1;εξ⋃内，{},...,\2ξE x ∈∃一般地，取0,1min 1>⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=-ξεn n x n 在()n εξ;⋃内，，{},...,2,1,\=∈∃n E x n ξ 显然{}E x n ⊆ E ，且是互异的，同时显然有ξ=∞→n n x lim( 3 ) ⇒ ( 1 ) ．对0>∀ε ，0>∃N ，当 n > N 时，{}()εξ,U x n ⊂．注意到,...,2,1,=∈n E x n ，即ξ为点集 E 的聚点．注： ( 1 ）从定义可知，有限点集必无聚点．( 2 ）点集 E 的聚点可以属于 E ，也可以不属于 E ．例如，设 A 是开区间（ 0 ,1 ）中的所有有理点所构成的集合，则闭区间[]1,0中的所有点都是 A 的聚点定义 1 . 5 （点列的聚点）：设{}n x 是一个点列，ξ是一个点，若在ξ的任意邻域内都含有{}n x 的无穷多项，则称ξ为点列{}n x 的聚点．注意：点集的聚点与点列的聚点不同，例如{}n x =(){}n1-作为点列，它有两个聚点：-1 和1 ，但是如果把它们看做点集，则它是一个仅含有两个元素的集合{}1,1-，无聚点．把点列的最大（小）聚点，叫做点列的上（下）极限，分别记作n n x -∞→lim 和n n x lim∞→- ．8.覆盖设{}Γ∈∆=a H a |是一个开区间集，其中Γ是一个指标集，a ∆是开区间．设 I 是一个点集，如果对I x ∈∀ ，总存在H a ∈∆ ，使得a x ∆∈，称 H 覆盖了I ，或称 H 是 I 的一个开覆盖．如果 H 是有限集而覆盖了 I ，则称 H 是 I 的一个有限开覆盖；如果 H是一个无限集合而覆盖了 I ，则称 H 是 I 的一个无限开覆盖．前面提到的有限覆盖定理，是一个十分重要的定理．它可以推广到一般的距离空间上去，这里就不多说了．例 1 . 4 {}n x 是单调数列，证明：若{}n x 存在聚点，则必是唯一的，且是{}n x 的确界． 证明：不妨设{}n x 是单调递增数列．假设 A , B 都是它的一个聚点，且不等．不妨设B A >，由聚点的定义，取02>-=BA ε，在()ε;A U ，含有{}n x 的无穷多项，假设{}()ε,0A x x n n ⋃⋂∈，则20BA A A x n -=-<-ε，又根据{}n x 是单调递增的，当0n n >时2BA x n +>，，即在 U ()ε;B 内至多含有{}n x 的有限项，与 B 是聚点矛盾．再证{}n x A sup =：首先证明对A x n n ≤∀,事实上，假设有某一项0n x ＞ A ，插人0ε，使A x n >>00ε．由{}n x 的单增性，当0n n >时，A x x n n >>>000ε ．此与 A 为聚点矛盾．与唯一性的证明类似，可以证明 A 必是最小的上界，即{}n x A sup = .注：此题可有一个推论：若{}n x 是单调数列，且有聚点，则必收敛．若{}n x 是单调增，则n n n x x sup lim =∞→；若{}n x 是单调减的，则n n n x x inf lim =∞→.四、实函数( 1 ）要理解函数的定义，一定要搞清楚映射的定义，而一元实函数实际上就是一个从实数集到实数集的映射，这里不去赘述．确定一个函数的基本要素是定义域和对应法则，当然函数的值域也是函数的要素之一，但它是随定义域与对应法则而定的．( 2 ）函数的运算包括： ① 四则运算； ② 复合运算； ③ 极限运算； ④ 微分运算； ⑤ 积分运算； ⑥ 取大（小）运算()(){}()(){}()x g x f x g x f ,m in ,,m ax 等．这里需要特别强调的是，要注意它们的定义域，使得上述运算有意义．( 3 ）几种具有特性的函数： ① 有界函数（上节已给出定义）； ② 单调函数； ③ 奇、偶函数； ④ 周期函数．这些函数的基本概念不再赘述．( 4 ）初等函数与非初等函数．①六类基本初等函数：常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数．② 初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数．③ 非初等函数：不是初等函数的函数，称为非初等函数．一般的分段函数，都是非初等函数，例如符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1sgn x x x x 就是非初等函数，但是分段函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1x x x x 可以看做初等函数，因为2x x =是两个幂函数的复合下面几个非初等函数都很重要： 狄利克雷（ Dirichlet ）函数()⎩⎨⎧=为无理数，为有理数x x x D 0,1。