习题12 静电平衡问题

一、选择题

1．有一接地的金属球，用一弹簧吊起，如图１所示，金属球原来不带电。

若在它的下方放置一电量为q的点电荷，则：（）

（A）只有当q>0时，金属球才下移。

（B）只有当q<0时，金属球才下移。

（C）无论q是正是负金属球都下移。

（D）无论q是正是负金属球都不动

图１图２

2．已知厚度为d的无限大带电导体平板，两表面上电荷均匀分布，电荷面密度如图２所示，则板外两侧的电场强度的大小为：（）

（A ）0

2εσ

=

E ； （B ）0

2εσ

=

E ； （C ）0

εσ=

E ；（D ）0

2εσd

E =

二、填空题

1．在电量为+q 的点电荷电场中放入一不带电的金属球，从球心O 到点电荷所在处的矢径为r

，则金属球的感应电荷净电量q ′= ，这些

感应电荷在球心O 处建立的电场强度E

= 。 2．一带电量为q ，半径为r A 的金属球A ，与一原先不带电、内外半径分别为r B 和r C 的金属球壳B 同心放置，如右图所示，则图中P 点的电场强度Ｅp = ；若用导线将A 和B 连接起来，则A 球的电势U= 。（设无穷远处电势为零）

一 C C 二 1． 0，

2

0ˆ4q r

r πε

静电平衡时，球心场强为零，这是所有电荷在这点场强叠加的结果，即

2

0ˆ4()0q E r r πε+-

=

2

0ˆ4q E r

r

πε⇒=

2. 2

04q r

πε，

04c

q r πε

直接使用高斯定理，建立球形高斯面可求P 点场强。

连接后A 、B 成为整体，是等势体，且电荷+q 仅分布在外表面，因而A 球

的电势等于B 球外表面的电势。

三 计算题

1. 解：(1)1q 作用在2q 的库仑力仍满足库仑定律，即

2

210

π41r

q q F ε=

但2q 处于金属球壳中心，它受合力．．为零，没有加速度． (2)去掉金属壳B ，1q 作用在2q 上的库仑力仍是2

210

π41r

q q F ε=

，但此时

2q 受合力不为零，有加速度．

2. 证明：（1）静电平衡时，导体内部的电场强度为0。建立如图所示的柱形高斯面，电场在该面上的通量为

23e ΦΦ+Φ+Φσσ=侧

23

23230

=00E S E S S σσσσε+++==

⇒=-

（2）对于A 板中的P 点

312

4

02222P E σσσσεεεε=

--

-

=

即

1423=+0σσσσ-=

所以 14=σσ

3. 解：（1）B 、C 板外侧面电量为0，其它4个面从左到右电荷面密度依次设为σ1、σ2、σ3、σ

4.

由U AC = U AB 得

32

2100

d d σσεε= 对于极板A 内的任意点O ，

3124

02222σσσσεεεε+--= 对于极板B 内的任意点P ，

3

1

2

4

02222σσσσεεεε+

+

+

=

由电荷守恒定律得 23S S q σσ+= 解得

2123q S

σσ=-=

，343q S σσ=-=

则

7

410

C 3B q q S σ-==-

=-，7

12210

C 3

C q q S σ-==-

=-⨯

（2）A 板的电势

73

3

212

4

022310210

2.2610338.8510

20010

A q U Ed d V S

ε----⨯⨯⨯⨯==

=

=⨯⨯⨯⨯⨯

4. 解：设内圆柱上电荷线密度为λ，其周围的场强为

02E r

λ

πε=

两圆柱间的电势差为

21

2120

1

1ln

22R R R U U U dr r

R λ

λ

πεπε∆=-=

=

⎰

解得

01221

2()

ln U U R R πελ-=

则两圆柱面间距轴线垂直距离为r 1和r 2两点的电势差为

2

1

2212120

1

1

1()ln

/ln

2r r r R U U U dr U U r

r R λ

πε∆=-=

=-⎰