实二次型及其标准型

P, Q 可逆；
A与B相似：P -1AP = B , P 可逆； 请思考：矩阵合同与等价、相似有何关系？ 2. 合同变换
f ( x1 , x2 ,..., xn ) aij xi x j
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x c y c y c y 2 21 1 22 2 2n n xn cn1 y1 cn 2 y2 cnn yn
1 2 1 0
1 (2, 4, 5)T 45
1 1 3 3 (1, 2, 2) T || 3 || 3
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2 5 1 令 C (1 , 2 , 3 ) 5 0
2 3 5 4 3 5 5 3 5
1 3 2 3 2 3
(1): 从x1, x2, x3到 y1, y2 , y3的线性变换. (2): 从y1, y2 , y3到 x1, x2, x3 的线性变换. (1)与(2)所表达的x1, x2, x3与 y1, y2 , y3 的关系是相同的.
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例3 f (x1, x2 , x3) = 2 x1x2 +2 x1x3 - 6x2 x3 x1 y1 y2 令 x2 y1 y2 x y3 3 则, f (x1, x2 , x3)=2y12 – 2y22 – 4y1y3 + 8y2 y3 = 2(y12 – 2y1y3 ) - 2 y22 + 8y2 y3
令 zi di yi ( i 1, 2,, r )
得 f (X) = X TAX 的另一种形式为 z12 + …+ zp2 – zp+12 - … - zr2 称为规范形.
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z12 + …+ zp2 – zp+12 - … - zr2 p: 正惯性指数； r - p: 负正惯性指数； |r - 2p|: 符号差.
t1 2z1 若再令 t2 6z3 t 2z 2 3
则, f = 2z12 – 2z22 + 6z32 = t12 + t22 - t32
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将实二次型 f (X) = X TAX 经合同变换化为标准 形后，将正项集中在前，负项集中在后： d1 y12 + … + dp yp2 - dp +1yp+12 - … - dr yr2
X = (x1 , x2 , x3 )T, Y = (y1, y2, y3 )T 则 X = CY 为正交变换，且 f = 2 y12 + 2 y22 - 7 y32
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二、合同变换
1. 矩阵合同
定义 对n阶矩阵A, B, 若存在可逆矩阵C, 使 C TAC = B,
则称 A与 B合同. 矩阵合同具有以下性质： (1) 反身性：矩阵A与自身合同； (2) 对称性：若A与B合同，则B与A合同； (3) 传递性：若A与B合同，且B与C合同, 则A与C合 同.
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A与B等价：PAQ = B,
i 1 j 1
n
n
(1)
(1)式称为从 y1, …, yn 到 x1, …, xn 的线性变换.
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x1 y1 c11 c12 c1n x2 y2 c21 c22 c2 n 令 C X , Y xn yn cn1 cn 2 cnn 则(1)式可记为
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例2 用配方法化二次型为标准形
f (x1, x2 , x3) = x12 + 2x22 + 3x32 + 2 x1x2 + 6x2 x3 +2 x1x3
=(x12+2x1x2+2x1 x3)+ 2x22 + 3x32 + 6x2 x3
=(x1+x2+ x3 )2+ (x22 + 4x2 x3) + 2x32
CTAC = C-1AC = diag (1 ，2 ，…，n) 令 X = CY , 则 f (X) = YT CTACY = 1 y12 + 2 y22 + … + n yn2
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例4 用正交变换化二次型为标准形 f (x1, x2 , x3) = x12 - 2x22 - 2x32 - 4 x1x2 + 4x1x3 + 8x2 x3 解 f (x1, x2 , x3)的矩阵 1 2 2 A 2 2 4 2 4 2 1 2 2
6.1
实二次型及其标准形
一、二次型及其矩阵
二、合同变换
三、用配方法化二次型为标准形
四、用正交变换化二次型为标准形
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一、二次型及其矩阵
f ( x1 , x2 ,..., xn ) aij xi x j
i 1 j 1 n n
2 a11 x1 a12 x1 x2 a1n x1 xn 2 a21 x2 x1 a22 x2 a2 n x2 xn 2 an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn
2 1 0 若令 1 3 0 , 则有 f (x1, x2 , x3) = XTBX 0 3 4 但 BT≠ B, 故 B 不是f (x1, x2 , x3) 的矩阵
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二次型f ( x1 , x2 ,..., xn ) aij xi x j
1 = 1 = (-2, 1, 0)T , (α , β ) 1 T 2 1 β α β ( 2 , 4 , 5 ) 2 2 1 (β β 5 1, 1)
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求1= -7 的特征向量： 1 0 8 2 2 2I A 2 5 4 0 1 2 4 5 0 0 1 x1 x3 2 , 3 = (1, 2, 2)T , x2 x3 将 1, 2 , 3 单位化： 1 1 1 T 1 1 (2, 1, 0) ， 2 2 || 1 || 5 || 2 ||
X=CY
若C 为可逆矩阵，则(2)式称为可逆变换，
(2)
若C 为正交矩阵，则(2)式称为正交变换.
当C 可逆时，(2)式又可记为 Y = C -1 X
(3)
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对于二次型 f (X) = X TAX，若令X = CY (C可逆),则 f (X) = (CY)TA(CY) = YT (CTAC)Y. 记 B = CTAC , 则 B T = B, 且 f (X) = YTBY = g(Y).
= 2(y1 – y3)2 - 2(y22 - 4y2 y3 )- 2 y32
= 2(y1 – y3)2 - 2(y2 - 2y3)2 + 6y32
= 2z12 – 2 z22 + 6z32
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上式最后一步使用的变换是 z1 y1 y3 z2 y2 2 y3 z y3 3
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称为 n 元二次型.
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f ( x1 , x2 ,..., xn ) aij xi x j
i 1 j 1
n
n
若aij 为实数，则称为实二次型.
若aij 为复数，则称为复二次型. x1 a11 a12 a1n x2 a21 a22 a2 n 设X , A , aij a ji , xn an1 an 2 ann 则 f (x1, …, xn) = X TAX. AT=A
二次型 f (X)与 g(Y) 的矩阵 A与B合同.
也称二次型 f (X)与 g(Y) 合同.
称X = CY (C可逆)为合同变换.
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三、用配方法化二次型为标准形
只含平方项的二次型 d1 y12 + d2 y22 + … +dr yr2 称为标准形. (di ≠0)
定理1 任一实二次型f (X) = X TAX 都可用配方法化 为标准形.
i 1 j 1
n
n
也记为 f (X) = X TAX.
(AT = A)
二次型 f (X)的秩：A 的秩.
在例1 中， f (x1, x2 , x3) 的矩阵 2 1 0 3 R(A) = 3 , A 1 3 2 3 4 0 2 故 f (x1, x2 , x3) 的秩为 3 .
定理2 任何一个实二次型的规范形都是惟一的.
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四、用正交变换化二次型为标准形
定理3 任一 n 元实二次型 f (X) = X TAX 都可用 正交变换 X = CY 化为标准形 1 y12 + 2 y22 + … + n yn2 其中 1 ，2 ，…，n是A 的特征值.
证
因A 为n 阶实对称矩阵， 所以存在正交矩阵C , 使
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A: 二次型 f (x1, …, xn) 的矩阵.
例1
f (x1, x2 , x3) = 2x12 – 3x22 + 4x32 - 2 x1x2 + 3x2 x3 2 1 0 x1 3 x2 X T AX ( x1 , x2 , x3 ) 1 3 2 3 x3 4 0 2 A: f (x1, x2 , x3) 的矩阵
| I A |
2 2
2
4
4 ( 2) 2 ( 7) 2
特征值：1= 2（二重特征值），2 = -7，
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求1= 2 的特征向量： 2 2 1 2 2 1 1 I A 2 4 4 0 0 0 2 4 4 0 0 0 x1 + 2x2 - 2x3 = 0 特征向量：1 = (-2, 1, 0)T , 2 = (2, 0, 1)T 将1, 2 正交化：
=(x1+x2+ x3 )2+ (x2 + 2 x3)2 - 2x32
y1 x1 x2 x3 令 y2 x2 2 x3 y x3 3
则 f (x1, x2 , x3) = y12 + y22 – 2y32
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y1 x1 x2 x3 x1 y1 y2 y3 令 y2 x2 2 x3 (1) 即 x2 y2 2 y3 ( 2) y x x y3 3 3 3