实二次型及其标准型
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5.2 二次型的标准形
19
例5 已知二次型
f 5 x12 5 x22 Cx32 2 x1 x2 6 x1 x3 6 x2 x3
的秩为2.（1）求：参数C； （2）将二次型化为标准型，并求出正交变换矩阵. 解 （1）写出二次型 f 的矩阵,
5 1 3 A 1 5 3 3 3 C
0 1 0 1 ( 1)(－3) 0 1
2
1
解之得特征值 1 1 E－A X , 得基础解系
X1 ( 1,0, 1)T
15
当2 3时,由齐次线性方程组 3E－A X 0, 得基础解系 当3 0时,由齐次线性方程组 0 E－A X 0, 得基础解系
则可逆的线性变换X = CY将二次型 f 化为标准形
2 2 2 f X T AX Y T C T ACY y1 2 y2 3 y3
例2 用配方法化二次型
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 2 x2 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
8
解 f 中没有平方项,为出现平方项,先作可逆线性 变换，令
x1 y1 y2 x2 y1 y2 y3 x3
1 1 0 C1 1 -1 0 , 0 0 1
用矩阵表示为X = C1Y，其中
得
2 f 2 y12 2 y2 4 y1 y3 8 y2 y3
§5.2 二次型的标准形
一.配方法
二.正交变换法
三.实二次型的规范形
四.小结与思考题
1
要使二次型 f X T AX 经非奇异线性变换 X = CY 变成只含有平方项的标准形，这就是要使
二次型的标准型
二次型的标准型
二次型的标准型
二次型的标准型
本章只讨论变量取实值，系数也为实数的实二次型.二 次型可以用矩阵的乘积形式表示，令
则二次型就可以写成下面的形式：
f(x1,x2,…,xn)=xTAx
（7-10）
其中，AT=A（即A为实对称矩阵）.
二次型的标准型
根据式（7-10），n个变量的实二次型 f(x)与n阶实对称矩阵A有一一对应的关系，称 矩阵A为二次型f(x1,x2,…,xn)的矩阵，A的秩 r(A)定义为二次型 f(x1,x2,…,xn)的秩.反过来， 对于任意一个给定的n阶实对称矩阵A，可以 得到唯一的一个以A为矩阵的二次型xTAx，其 中x=(x1,x2,…,xn)T.
【例7-2】
二次型的标准型
在二次型的研究中，中心问题之一是要对给定的二次型式
（7-9），确定一个可逆矩阵P，使通过可逆线性变换
x=Py
（7-11
将f(x1,x2,…,xn)=xTAx化简为新变量y1,y2,…,yn的标准型 f=d1y21+d2y22+…+dny2n=yTDy （7-12）
其中D=diag(d1,d2,…,dn) 把式（7-11）代入式（7-10），得
f(x)=xTAx=(Py)TA(Py)
=yT(PTAP)y
二次型的标准型
故若能找到可逆矩阵P，使 PTAP=D （7-13）
其中,D为对角阵，则得到二次型的 标准型.这就是说，化实二次型为标准型 的问题可归结成上述由式（7-13）表出 的矩阵问题，即下面定义的，实对称矩 阵相合于实对角阵的问题.
二次型的标准型
定义7-4
对n阶矩阵A与B，若存在n阶可逆矩阵P，使
B=PTAP
二次型的标准型
二次型的标准型
本章只讨论变量取实值，系数也为实数的实二次型.二 次型可以用矩阵的乘积形式表示，令
则二次型就可以写成下面的形式：
f(x1,x2,…,xn)=xTAx
（7-10）
其中，AT=A（即A为实对称矩阵）.
二次型的标准型
根据式（7-10），n个变量的实二次型 f(x)与n阶实对称矩阵A有一一对应的关系，称 矩阵A为二次型f(x1,x2,…,xn)的矩阵，A的秩 r(A)定义为二次型 f(x1,x2,…,xn)的秩.反过来， 对于任意一个给定的n阶实对称矩阵A，可以 得到唯一的一个以A为矩阵的二次型xTAx，其 中x=(x1,x2,…,xn)T.
【例7-2】
二次型的标准型
在二次型的研究中，中心问题之一是要对给定的二次型式
（7-9），确定一个可逆矩阵P，使通过可逆线性变换
x=Py
（7-11
将f(x1,x2,…,xn)=xTAx化简为新变量y1,y2,…,yn的标准型 f=d1y21+d2y22+…+dny2n=yTDy （7-12）
其中D=diag(d1,d2,…,dn) 把式（7-11）代入式（7-10），得
f(x)=xTAx=(Py)TA(Py)
=yT(PTAP)y
二次型的标准型
故若能找到可逆矩阵P，使 PTAP=D （7-13）
其中,D为对角阵，则得到二次型的 标准型.这就是说，化实二次型为标准型 的问题可归结成上述由式（7-13）表出 的矩阵问题，即下面定义的，实对称矩 阵相合于实对角阵的问题.
二次型的标准型
定义7-4
对n阶矩阵A与B，若存在n阶可逆矩阵P，使
B=PTAP
线性代数—二次型的标准形和规范形汇总
9
2、用正交变换法化二次型为标准形
由上节定理可知，对实对称阵 A，总可找到正交 阵 P，使 P AP 为对角阵， 而由正交阵性质可知，
1
1
P
P ，故 P AP P AP 。因此这样的正交
T T
1
阵 P 正好用来作为变换 X CY 中的矩阵 C。
当 C 是正交阵时， 我们称 X CY 是一个正交变换。
2
45 4 45 5 45
14
于是所求正交变换为 X PY ,
2 2 2 f 9 y 18 y 18 y 标准形为 1 2 3 .
15
例4
用正交变换将二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3 2 x2 x4 2 x3 x4
1
2
2 ( 3)( 1)3 . 1
3 1 1 1 1 3 1 1 1 3 , 3 E A 1 1 3 1 1 1 1 3
17
3 1 1 1 1 1 13 1 1 0 1 1 E3 A 1 1 3E A 11 1 0 0 1 1 3 0 10 1 1 1 1 1 3
析可以看出， 要把一个二次型化为标准形， 只要找一个可逆阵 C，
T C AC 成为对角阵，义
如果二次型
f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX 通过可逆线性变换 X CY ，化为二次型 2 2 2 Y T BY d 1 y1 d 2 y2 d n yn ，
2 2
f 2 y 2 y 4 y1 y3 8 y2 y3 .
二次型及其标准形
例1 求一个正交变换x Py,把二次型
f x12 2x22 x32 2x1 x3 化为标准形.
解
1 (1)A 0
0 1 2 0
1 0 1
(2)A的特征值1 2 2,3 0.
当1 2 2时，特征向量为：
p1 (0,1,0)T , p2 (1,0,1)T .
当3 0时，特征向量为：p3 (1,0,1)T .
定理1 对于实二次型 f xT Ax, 总存在正交 变换 x Py,使 f 化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2 其中 1，2，,n为A的特征值.
用正交变换化二次型为标准型的步骤： (1)写出二次型的矩阵; (2)求 A的全部特征值,特征向量并正交化、单位化; (3)求正交矩阵P; (4)写出正交变换和标准形.
(3)将p1，p2，p3单位化：q1 (0,1,0)T , q2 (1/ 2,0,1/ 2)T ,q3 (1/ 2,0,1/ 2)T .
0
令Q
1
0
1 2
0 1
2
1
2 0 1
2
,
(4)作正交变换
0
x 1
0
1 2
0 1
2
1 2
0 y,
1
2
标准形为 f 2 y12 2 y22 .
定义2 设A和B是n阶方阵，若有可逆矩阵C，使 B CT AC, 则称矩阵A与B合同. congruent
合同是方阵间又一个特殊的等价关系, 因此具 有以下性质: (1) 自反性; (2) 对称性; (3) 传递性;
(4) 合同变换不改变矩阵的秩;
(5) 合同变换不改变矩阵的对称性;
4.4.3 二次型的标准化的方法
称为二次型.
17实二次型及其标准形
1
0
*
A1
由于P1TAP1
=
1
0
*
A1
仍是一个实对称方阵,
所以*必然一个k维0行向量，A1是一个k阶实对称
方阵。
依据归纳假设，存在k阶正交方阵Q, 使得
QTA1Q = diag(2, 2, …, k+1)
构造k
+ 1阶正交方阵
P2
1
0
0
Q
显然有：P2T
P1T AP1
P2
P2T
1
12, 6, 4
六. 设A2 – 3A + 2E = 0, 证明A的特征值只能取1或 2
证明: 若是A的特征值, 则2 - 3 + 2是A2 3A +2E的特征值, 即2 - 3 + 2是零矩阵O的特征 值,从而2 - 3 + 2 = 0, 故只能取1或者2.
七. 已知3阶矩阵A的特征值为1, 2, -3, 求 A* 3A 2E
于n – k.
例2.在正交变换之下求下列二次型的标准型 . f ( x1, x2 , x3 , x4 ) 5x12 4x22 5x32 4x42 2 x1 x2 2 x1 x4 2 x2 x3 2 x3 x4
解：首先把二次型写成矩阵的形式
f ( x1, x2 , x3 , x4 )
5 1 0 1 x1
选取另外k个k + 1维向量q1, q2, …, qk，使得p1, q1, q2, …, qk构成Rk+1空间的一组标准正交基。
记P1 = (p1, q1, q2, …, qk) ,显然P1是一个k + 1阶 的正交方阵。
注意：AP1 = (1p1, Aq1, Aq2, …, Aqk)
6.1二次型及其标准形
当aij是复数时, f称为 复二次型 ; 当aij是实数时, f称为实二次型 .
二、二次型的表示方法
1．用和号表示 对二次型
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
x1 x2 x3 2
去掉配方后多出来的项
x22 x32 2x2 x3 2x22 5x32 6x2 x3
x1
x2
x3
2
x2 2
4
x2 3
4x2
x3
x1 x2 x3 2 x2 2x3 2.
令
y1 y2
1 ,2 ,,n ,记C 1 ,2 ,,n ;
5. 作正交变换x Cy,则得f的标准形
f 1 y12 n yn2 .
例2 将二次型
f 17 x12 14x22 14x32 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3 通过正交变换 x Py,化成标准形.
x1 x2 x2 2x3
x3
y3 x3
x1 x2
y1 y2
y2 2 y3
y3
x3 y3
x1 1 1 1 y1 x2 0 1 2 y2
1 2 1 2 12
12 12
0 0
0 0 12 12
1 2 y1
1 2 y2
12 1 2
y3 y4
且有
二、二次型的表示方法
1．用和号表示 对二次型
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
x1 x2 x3 2
去掉配方后多出来的项
x22 x32 2x2 x3 2x22 5x32 6x2 x3
x1
x2
x3
2
x2 2
4
x2 3
4x2
x3
x1 x2 x3 2 x2 2x3 2.
令
y1 y2
1 ,2 ,,n ,记C 1 ,2 ,,n ;
5. 作正交变换x Cy,则得f的标准形
f 1 y12 n yn2 .
例2 将二次型
f 17 x12 14x22 14x32 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3 通过正交变换 x Py,化成标准形.
x1 x2 x2 2x3
x3
y3 x3
x1 x2
y1 y2
y2 2 y3
y3
x3 y3
x1 1 1 1 y1 x2 0 1 2 y2
1 2 1 2 12
12 12
0 0
0 0 12 12
1 2 y1
1 2 y2
12 1 2
y3 y4
且有
第七章 n元实二次型 S1 n元实二次型及其标准形
ann xn2
nn
aij xi x j
i1 j1
nn
于是得到： f ( x1, x2 , , xn )
aij xi x j X T AX (3)
i1 j1
4
由此可见, 按照上述规则 任给一个二次型，可唯一确定一个对称矩阵；
反之，任给一个对称矩阵，可唯一确定一个二次型. 即二次型与对称矩阵之间是1−1对应关系.
3) aii 0, i 1, 2, , n, 且 a1 j 0, j 1, 2, , n . 由对称性，
nn
a j1 0, j 1, 2, , n ，于是 f ( x1, x2 , , xn )
aij xi x j
i2 j2
是n−1元二次型. 由归纳法假设，可用坐标变换化
为平方和形式.
xn zn
16
该坐标变换使
f ( x1 , x2 ,
, xn ) 2a12 x1 x2 2a12 (z1 z2 )(z1 z2 )
2a12 z12 2a12 z22
x1 z1 z2 x2 z1 z2 x3 z3
xn zn
右端为 z1, z2 , , zn 的二次型, 且 z12 前的系数不为零, 属第一种情况，引理得证.
而前面定理又可表述为： 两个n元实二次型等价它们的矩阵是合同矩阵. 另外，两个等价的n元实二次型必有相同的秩.
10
§7.1.2 二次型的标准形
只含变元平方项的二次型：
f d1 x12 d2 x22 dn xn2
称为二次型的标准形.
d1
二次型(1)的矩阵是对角矩阵
D
d2
(1)
.
dn
第七章 n元实二次型
• n元实二次型的定义 • n元实二次型的标准形 • 正定二次型及其性质 • 用正交变换化二次型为标准形
实二次型及其标准形
A与B等价：PAQ = B, 与 等价 等价：
P, Q 可逆； 可逆；
可逆； A与B相似：P -1AP = B , P 可逆； 与 相似 相似： 请思考：矩阵合同与等价、相似有何关系？ 请思考：矩阵合同与等价、相似有何关系？
三、用配方法化二次型为标准形
只含平方项的二次型 d1 y12 + d2 y22 + … +dr yr2 称为标准形. 称为标准形 形如 z12 + …+ zp2 – zp+12 - … - zr2 +1 的二次型称为规范形. 的二次型称为规范形 p: 正惯性指数； 正惯性指数； r - p: 负正惯性指数； 负正惯性指数； |r - 2p|: 符号差 符号差. (di ≠0)
2 1 2 2 2 3
3 －2 − 3 3 c 1 2
3 1 0
1 2 0 －1
f ( x1 , x2 , x3 ) = 5x + 5x + cx − 2x1 x2 + 6x1 x3 − 6x2 x3
5 −1 3 解：A = −1 5 −3 3 −3 c ∵ r ( A) = 2 ∴ A =0 ∴ c=3
可逆， ），（满秩 若C可逆，则称 为非退化（可逆），（满秩）线性变换。 可逆 则称(2)为非退化（可逆），（满秩）线性变换。 正交， 若C正交，则称 为正交线性变换。 正交 则称(2)为正交线性变换。
非退化线性替换的性质： （1）非退化线性替换的逆还是非退化线性替换 证： 由X = CY
⇒ Y = C -1 X
可逆， 设P , Q可逆，则 r ( PA) = r ( A) = r ( AQ ).
两个 n 阶对称方阵 A、B , 若存在可逆 矩阵的合同： 矩阵的合同： 矩阵 C , 使得 B = C AC , 则称 A 合同 ~ 于 B . 记作A − B。 所以，通过非退化线性变换， 所以，通过非退化线性变换， 新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的. 新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.
线性代数课件：第六章实二次型
线性代数课件第六章实二次型
目录 Contents
• 实二次型的定义与性质 • 实二次型的标准型 • 实二次型的正定性 • 实二次型与矩阵的关系 • 实二次型的几何意义
01
实二次型的定义与性质
定义
实二次型
对于一个实数域上的线性空间V，如果存在一个由V上的线性函数f组成的双线 性函数Q，使得对于V中的任意元素x和y，有Q(x,y)=f(x)*f(y)，则称Q为V上的 一个实二次型。
实二次型的正定性的应用
判断矩阵的正定性
通过判断矩阵对应的二次型是否正定，可以确定矩阵的正定性。
判断向量组的线性无关性
如果一个向量组在正定二次型下线性无关，则该向量组一定是线性 无关的。
优化问题
在优化问题中，正定二次型常常被用作目标函数的约束条件，以保 证优化问题的解是唯一的。
04
实二次型与矩阵的关系
实二次型的性质
实二次型的矩阵表示
实二次型可以表示为一个矩阵和向量 的乘积，其中矩阵是二次型中各项系 数的矩阵，向量是变量构成的向量。
实二次型具有对称性，即对于任意两 个变量x和y，x和y的系数相等。
实二次型的标准型转换
线性变换
通过线性变换可以将实二次型转 换为标准型。线性变换是通过一 个可逆矩阵左乘原二次型矩阵得
二次型的矩阵表示
对于任意向量x=[x1,x2,...,xn]^T，如果将f(x)表示为矩阵A与向量x的乘积形式 f(x)=Ax，那么二次型Q(x,y)可以表示为Q(x,y)=x^TAy。
性质
实对称性
实二次型总是实对称的，即对于 任意向量x和y，有Q(x,y)=Q(y,x)
。
正定性
如果对于所有的非零向量x，都有 Q(x,x)>0，则称实二次型为正定的 。
目录 Contents
• 实二次型的定义与性质 • 实二次型的标准型 • 实二次型的正定性 • 实二次型与矩阵的关系 • 实二次型的几何意义
01
实二次型的定义与性质
定义
实二次型
对于一个实数域上的线性空间V，如果存在一个由V上的线性函数f组成的双线 性函数Q，使得对于V中的任意元素x和y，有Q(x,y)=f(x)*f(y)，则称Q为V上的 一个实二次型。
实二次型的正定性的应用
判断矩阵的正定性
通过判断矩阵对应的二次型是否正定，可以确定矩阵的正定性。
判断向量组的线性无关性
如果一个向量组在正定二次型下线性无关，则该向量组一定是线性 无关的。
优化问题
在优化问题中，正定二次型常常被用作目标函数的约束条件，以保 证优化问题的解是唯一的。
04
实二次型与矩阵的关系
实二次型的性质
实二次型的矩阵表示
实二次型可以表示为一个矩阵和向量 的乘积，其中矩阵是二次型中各项系 数的矩阵，向量是变量构成的向量。
实二次型具有对称性，即对于任意两 个变量x和y，x和y的系数相等。
实二次型的标准型转换
线性变换
通过线性变换可以将实二次型转 换为标准型。线性变换是通过一 个可逆矩阵左乘原二次型矩阵得
二次型的矩阵表示
对于任意向量x=[x1,x2,...,xn]^T，如果将f(x)表示为矩阵A与向量x的乘积形式 f(x)=Ax，那么二次型Q(x,y)可以表示为Q(x,y)=x^TAy。
性质
实对称性
实二次型总是实对称的，即对于 任意向量x和y，有Q(x,y)=Q(y,x)
。
正定性
如果对于所有的非零向量x，都有 Q(x,x)>0，则称实二次型为正定的 。
二次型与二次曲面-二次型的标准型
二次型与二次曲面-二次型的标准型二次型的标准形定义：形如()nn n x d x d x d αQ +++= 222211的二次型称为二次型的标准形。
主轴化方法（正交变化法）（适用于实二次型）定理（主轴定理）：任一实二次型()T T A A Ax x αQ ==其中,，存在正交线性替换x =Py ，其中P 是正交矩阵，使得()αQ 化为标准形：()nn n y y y αQ λλλ+++= 222211，其中n λλλ,,,21 是A 的n 个特征值。
用正交变换化实二次型为标准形的计算步骤： （1） 写出二次型的矩阵A （A 一定是实对称矩阵）； （2） 求矩阵A 的特征值，得n λλλ,,,21 ； （3） 求相应的特征向量；（4） 将特征向量作Schmidt 正交化，得到标准正交的特征向量；（5） 将这些向量按列排成矩阵，得到正交矩阵P ，这时有()n T AP P AP P λλλ,,,diag 211 ==-；（6） 写出可逆线性替换x =Py ，则有()n n n y y y αQ λλλ+++= 222211。
例：已知实二次型()()323121232221444x x x x x x x x x a αQ +++++=经正交变换x =Py 可化成标准形()216y αQ =，则a =？例：用主轴化方法将二次型()434232413121222222x x x x x x x x x x x x αQ ++--+=为标准形。
解：二次型对应的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=0111101111011110A 其特征多项式为：()()311111111111113+-=--------=-λλλλλλA λI 所以A 的特征值为()3121-==λ，三重根λ。
11=λ时，由()01=-x A I λ，求得三个线性无关的特征向量()()()TTT,,,,,,,,,1001,0101,0011321-===ααα用施密特正交化方法求得三个标准正交向量为：TTT ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=123,121,121,1210,62,61,610,0,21,21321γγγ，， 32-=λ时，求得一个单位特征向量为T⎪⎭⎫⎝⎛--=21,21,21,214γ取正交矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=211230021121620211216121211216121P 则P T AP =diag(1,1,1,-3)T ,作正交变换x =Py ,得()()2423222133111y y y y y ,,,diag y APy P y Ax x αQ T T T T -++=-===配方法：（适用于任意二次型） 例：用配方法将二次型()32312123222182252x x x x x x x x x αQ +++++=化为标准形。
二次型标准型规范型
二次型标准型规范型二次型是数学中一个重要的概念，它在代数、几何和物理等领域都有着广泛的应用。
在矩阵和向量的理论中，二次型的标准型和规范型是非常重要的概念，它们能够帮助我们更好地理解和处理二次型的性质和特征。
本文将对二次型的标准型和规范型进行详细的介绍和解释。
首先，我们来看一下二次型的标准型。
对于一个二次型，通过合适的线性变换，我们可以将其化为标准型。
具体来说，对于一个n元二次型。
\[f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j\]我们可以找到一个非奇异矩阵P，使得通过线性变换。
\[y = Px\]原二次型可以化为标准型。
\[g(y_1, y_2, \cdots, y_n) = \lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2 + \cdots +\lambda_ny_n^2\]其中$\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$为二次型的特征值。
这个标准型的形式简单明了，能够直观地展现二次型的特征。
接下来，我们来讨论二次型的规范型。
对于一个实二次型，通过合适的正交变换，我们可以将其化为规范型。
具体来说，对于一个n元实二次型。
\[f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j\]我们可以找到一个正交矩阵Q，使得通过正交变换。
\[y = Qx\]原二次型可以化为规范型。
\[h(y_1, y_2, \cdots, y_n) = \varepsilon_1y_1^2 + \varepsilon_2y_2^2 + \cdots +\varepsilon_r y_r^2\]其中$r$为二次型的秩，$\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_r$为二次型的非零特征值。
实二次型及其标准形共35页文档
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
4.4 二次型及其标准型
为平面上一条二次曲线
几 何 背 景
经坐标变换:
为空间上一二次曲面的一般形式
几 何 背 景
经坐标变换:
现有两个问题：
1、这种结果能否推广到四元，甚至n元二次型上去？
经坐标变换
2、如果可以，相应的变换如何寻找，结果如何实现？
●二次型的矩阵及其秩
二次型可表示为 矩阵形式
f (x1, x2,
a11 a12
结论：任何一个二次型都有标准形。
●用配方法把二次型化成标准型
（1） f (x1, x2 , x3 ) x12 6x1x2 8x22 2x2 x3 5x32
解 f (x1, x2 , x3 ) (x12 6x1x2 ) 8x22 2x2 x3 5x32
(x1 3x2 )2 x22 2x2 x3 5x32
可得二次型的标准形 f y12 y22 4 y32
(2) f (x1, x2, x3) 2x1x2 2x1x3 6x2x3
x1 y1 y2
x2
y1
y2
x3 y3
f 2( y12 y22 ) 2( y1 y2 ) y3 6( y1 y2 ) y3
f 2z12 2z22 6z32
所作变换为
x1 1 1 3 z1
x2
1
1
1
z2
x3 0 0 1 z3
y1 z1 z3
y2
z2
2 z3
y3
z3
本节重点
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二、合同变换
1. 矩阵合同
定义 对n阶矩阵A, B, 若存在可逆矩阵C, 使 C TAC = B,
则称 A与 B合同. 矩阵合同具有以下性质： (1) 反身性：矩阵A与自身合同； (2) 对称性：若A与B合同，则B与A合同； (3) 传递性：若A与B合同，且B与C合同, 则A与C合 同.
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A与B等价：PAQ = B,
X = (x1 , x2 , x3 )T, Y = (y1, y2, y3 )T 则 X = CY 为正交变换，且 f = 2 y12 + 2 y22 - 7 y32
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t1 2z1 若再令 t2 6z3 t 2z 2 3
则, f = 2z12 – 2z22 + 6z32 = t12 + t22 - t32
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将实二次型 f (X) = X TAX 经合同变换化为标准 形后，将正项集中在前，负项集中在后： d1 y12 + … + dp yp2 - dp +1yp+12 - … - dr yr2
定理2 任何一个实二次型的规范形都是惟一的.
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四、用正交变换化二次型为标准形
定理3 任一 n 元实二次型 f (X) = X TAX 都可用 正交变换 X = CY 化为标准形 1 y12 + 2 y22 + … + n yn2 其中 1 ，2 ，…，n是A 的特征值.
证
因A 为n 阶实对称矩阵， 所以存在正交矩阵C , 使
i 1 j 1
n
n
(1)
(1)式称为从 y1, …, yn 到 x1, …, xn 的线性变换.
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x1 y1 c11 c12 c1n x2 y2 c21 c22 c2 n 令 C X , Y xn yn cn1 cn 2 cnn 则(1)式可记为
2 1 0 若令 1 3 0 , 则有 f (x1, x2 , x3) = XTBX 0 3 4 但 BT≠ B, 故 B 不是f (x1, x2 , x3) 的矩阵
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二次型f ( x1 , x2 ,..., xn ) aij xi x j
令 zi di yi ( i 1, 2,, r )
得 f (X) = X TAX 的另一种形式为 z12 + …+ zp2 – zp+12 - … - zr2 称为规范形.
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z12 + …+ zp2 – zp+12 - … - zr2 p: 正惯性指数； r - p: 负正惯性指数； |r - 2p|: 符号差.
= 2(y1 – y3)2 - 2(y22 - 4y2 y3 )- 2 y32
= 2(y1 – y3)2 - 2(y2 - 2y3)2 + 6y32
= 2z12 – 2 z22 + 6z32
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上式最后一步使用的变换是 z1 y1 y3 z2 y2 2 y3 z y3 3
P, Q 可逆；
A与B相似：P -1AP = B , P 可逆； 请思考：矩阵合同与等价、相似有何关系？ 2. 合同变换
f ( x1 , x2 ,..., xn ) aij xi x j
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x c y c y c y 2 21 1 22 2 2n n xn cn1 y1 cn 2 y2 cnn yn
称为 n 元二次型.
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f ( x1 , x2 ,..., xn ) aij xi x j
i 1 j 1
n
n
若aij 为实数，则称为实二次型.
若aij 为复数，则称为复二次型. x1 a11 a12 a1n x2 a21 a22 a2 n 设X , A , aij a ji , xn an1 an 2 ann 则 f (x1, …, xn) = X TAX. AT=A
| I A |
2 2
2
4
4 ( 2) 2 ( 7) 2
特征值：1= 2（二重特征值），2 = -7，
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求1= 2 的特征向量： 2 2 1 2 2 1 1 I A 2 4 4 0 0 0 2 4 4 0 0 0 x1 + 2x2 - 2x3 = 0 特征向量：1 = (-2, 1, 0)T , 2 = (2, 0, 1)T 将1, 2 正交化：
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A: 二次型 f (x1, …, xn) 的矩阵.
例1
f (x1, x2 , x3) = 2x12 – 3x22 + 4x32 - 2 x1x2 + 3x2 x3 2 1 0 x1 3 x2 X T AX ( x1 , x2 , x3 ) 1 3 2 3 x3 4 0 2 A: f (x1, x2 , x3) 的矩阵
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例2 用配方法化二次型为标准形
f (x1, x2 , x3) = x12 + 2x22 + 3x32 + 2 x1x2 + 6x2 x3 +2 x1x3
=(x12+2x1x2+2x1 x3)+ 2x22 + 3x32 + 6x2 x3
=(x1+x2+ x3 )2+ (x22 + 4x2 x3) + 2x32
CTAC = C-1AC = diag (1 ，2 ，…，n) 令 X = CY , 则 f (X) = YT CTACY = 1 y12 + 2 y22 + … + n yn2
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例4 用正交变换化二次型为标准形 f (x1, x2 , x3) = x12 - 2x22 - 2x32 - 4 x1x2 + 4x1x3 + 8x2 x3 解 f (x1, x2 , x3)的矩阵 1 2 2 A 2 2 4 2 4 2 1 2 2
i 1 j 1
n
n
也记为 f (X) = X TAX.
ห้องสมุดไป่ตู้
(AT = A)
二次型 f (X)的秩：A 的秩.
在例1 中， f (x1, x2 , x3) 的矩阵 2 1 0 3 R(A) = 3 , A 1 3 2 3 4 0 2 故 f (x1, x2 , x3) 的秩为 3 .
6.1
实二次型及其标准形
一、二次型及其矩阵
二、合同变换
三、用配方法化二次型为标准形
四、用正交变换化二次型为标准形
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一、二次型及其矩阵
f ( x1 , x2 ,..., xn ) aij xi x j
i 1 j 1 n n
2 a11 x1 a12 x1 x2 a1n x1 xn 2 a21 x2 x1 a22 x2 a2 n x2 xn 2 an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn
1 2 1 0
1 (2, 4, 5)T 45
1 1 3 3 (1, 2, 2) T || 3 || 3
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2 5 1 令 C (1 , 2 , 3 ) 5 0
2 3 5 4 3 5 5 3 5
1 3 2 3 2 3
X=CY
若C 为可逆矩阵，则(2)式称为可逆变换，
(2)
若C 为正交矩阵，则(2)式称为正交变换.
当C 可逆时，(2)式又可记为 Y = C -1 X
(3)
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对于二次型 f (X) = X TAX，若令X = CY (C可逆),则 f (X) = (CY)TA(CY) = YT (CTAC)Y. 记 B = CTAC , 则 B T = B, 且 f (X) = YTBY = g(Y).
(1): 从x1, x2, x3到 y1, y2 , y3的线性变换. (2): 从y1, y2 , y3到 x1, x2, x3 的线性变换. (1)与(2)所表达的x1, x2, x3与 y1, y2 , y3 的关系是相同的.
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例3 f (x1, x2 , x3) = 2 x1x2 +2 x1x3 - 6x2 x3 x1 y1 y2 令 x2 y1 y2 x y3 3 则, f (x1, x2 , x3)=2y12 – 2y22 – 4y1y3 + 8y2 y3 = 2(y12 – 2y1y3 ) - 2 y22 + 8y2 y3
二次型 f (X)与 g(Y) 的矩阵 A与B合同.
也称二次型 f (X)与 g(Y) 合同.
称X = CY (C可逆)为合同变换.
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三、用配方法化二次型为标准形
只含平方项的二次型 d1 y12 + d2 y22 + … +dr yr2 称为标准形. (di ≠0)
定理1 任一实二次型f (X) = X TAX 都可用配方法化 为标准形.
1 = 1 = (-2, 1, 0)T , (α , β ) 1 T 2 1 β α β ( 2 , 4 , 5 ) 2 2 1 (β β 5 1, 1)
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求1= -7 的特征向量： 1 0 8 2 2 2I A 2 5 4 0 1 2 4 5 0 0 1 x1 x3 2 , 3 = (1, 2, 2)T , x2 x3 将 1, 2 , 3 单位化： 1 1 1 T 1 1 (2, 1, 0) ， 2 2 || 1 || 5 || 2 ||