甘肃省白银市靖远县2019-2020学年高一第一学期期末考试联考试题数学【解析版】
甘肃省靖远县第一中学2019-2020学年高一上学期入学摸底考试数学试题 PDF版含答案
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2019-2020年高一上学期期末联考数学试题 含答案
2019-2020年高一上学期期末联考数学试题 含答案本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分，考试用时120分钟． 注意事项：1．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答案的答案无效．参考公式：1．球体积公式334R V π=，表面积公式24S R π=，其中R 为球的半径； 2．锥体体积公式Sh V 31=，其中S 为底面面积、h 为高；3．圆锥表面积公式2S r rl ππ=+，其中r 为底面半径，l 为母线；4．台体的体积公式'1()3V h S S =+，其中,S S '分别是台体上、下底面的面积，h 是台体的高．第一部分 选择题(共50分)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}2 B ．{}4,6 C ．{}1,3,5 D ．{}4,6,7,82．函数y =( )A ．(0,)+∞B ．[0,)+∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞ 3．下列函数中，既是奇函数又是区间),0(+∞上的增函数的是（ ）A ．2log y x =B ．1-=x yC ．3x y =D ．x y 2= 4．已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列推理中正确的是（ ）A ．βαβα⊂⊂n m ,,//n m //⇒ B ．αα//,//n m n m //⇒ C ．n m m =⊂βαβα ,,//n m //⇒ D ．αα⊂n m ,//n m //⇒ 5．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（ ） A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π6．设1>a ，则a 2.0log 、a2.0、2.0a 的大小关系是（ ）A ．2.02.0log 2.0a a a <<B ．2.02.02.0log a a a <<C ．a a a 2.0log 2.02.0<<D ．a a a 2.02.0log 2.0<< 7．如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度：cm), 则此几何体的 表面积是( )A ．220cm B．2(20cm + C．2(24cm + D ．224cm8．设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是（ ）A ．[1,2]-B ．[0,)+∞C ．[1,)+∞D ．[0,2]9．设函数3y x =与1()2xy =的图象的交点为00(,)x y ，则0x 所在的区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)A FD BGE 1BH 1C1D 1A第12题图10．设奇函数)(x f 在),0(+∞上为增函数，且0)1(=f ，则不等式0)()(<--xx f x f 的解集为（ ） A ．(10)(1)-+∞，， B ．(1)(01)-∞-，， C ．(1)(1)-∞-+∞，， D ．(10)(01)-，，第二部分 非选择题 (共100分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．已知29x=，342=y，则2x y +的值为 ．12．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，H G F E ,,,分别为1111,,,C B BB AB AA 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于 ． 13．函数()log 234ay x =-+的图象恒过定点M , 且点M 在幂函数()f x 的图象上，则(3)f ＝ ．14．下列说法中：①指数函数1()2xy =的定义域为(0,)+∞；②函数2xy =与函数3log y x =互为反函数；③空集是任何一个集合的真子集；④若()f x M <（M 为常数），则函数()y f x =的最大值为M ；⑤函数()3xf x =的值域为[1,)+∞．正确的是 （请写出所有正确命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．(本小题满分12分）设函数y =A ，不等式2log (1)1x -≤的解集为集合B ．（1）求集合A ，B ； （2）求集合A B ，()R A C B ．16．(本小题满分12分）如图，已知圆锥的轴截面ABC 是边长为2cm 的正三角形，O 是底面圆心．（1）求圆锥的表面积；（2）经过圆锥的高AO 的中点'O 作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积．17．（本小题满分14分）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()(1)x f x a a =>． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若不等式()4f x ≤的解集为[2,2]-，求a 的值．18．（本小题满分14分）某市一家庭今年一月份、二月份和三月份煤气用量和支付费用如下表所示：该市煤气收费的方法是：煤气费=基本费十超额费十保险费．若每月用气量不超过最低额度)4(>A A 立方米时，只付基本费3元和每户每月定额保险费)50(≤<C C 元；若用气量超过A 立方米时，超过部分每立方米付B 元．（1）根据上面的表格求C B A ,,的值；（2）记用户第四月份用气为x 立方米，求他应交的煤气费y （元）．19．（本小题满分14分）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，,M N 分别是棱,AB PC 的中点，平面CMN 与平面PAD 交于PE ，求证： （1）//MN 平面PAD ； （2）//MN PE ．20．（本小题满分14分）已知函数2()2(3)12f x x a x a =-+++-，()(12)g x x x a =-+，其中a R ∈． （1）若函数()f x 是偶函数，求函数()f x 在区间[1,3]-上的最小值；（2）用函数的单调性的定义证明：当1a ≤时，()f x 在区间[1,)+∞上为减函数； （3）当[1,3]x ∈-，函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象上方，求实数a 的取值范围．2012年冬季阳东一中广雅中学两校联考高一年级数学科参考答案16．(本小题满分12分） 解：（1）由题意可知2BC AC ==cm ，则1OC =cm ，即该圆锥的底面半径1r =cm ，母线2l =cm ．所以该圆锥的表面积为2221123S r rl cm πππππ=+=⨯+⨯⨯=表面；………………………………4分（2）在Rt AOC ∆中，2,1AC OC ==，AO ∴=．……………………………………………… 6分'O 是AO 的中点，'AO ∴=cm ． ∴小圆锥的高h '＝23cm ，小圆锥的底面半径r '＝21cm ，则截得的圆台的体积为223111()1323V V V cm ππ=-=⨯⨯⨯⨯=台大小．…………………12分17．（本小题满分14分）解: (1) 当0x <时，0x ->，∴1()()xx f x aa --==．…………………………3分 ∵()f x 为偶函数，()()f x f x ∴-=，则1()()(0)xf x x a=<，……………………4分∴0,()1()0x xa x f x x a⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，……………………………………6分(2)∵1,a >∴()4f x ≤等价于04x x a ≥⎧⎨≤⎩或01()4x x a <⎧⎪⎨≤⎪⎩，………………8分∴0log 4a x ≤≤或log 40a x -≤<， 即log 4log 4a a x -≤≤……………12分 由条件知log 42a =，∴2a =． ………………………………………………14分18．（本小题满分14分）解：（1)1月份的用气量没有超过最低额度A ，所以43=+C 1=⇒C …………2分3,2月份的用气量超过了最低额度A ，所以⎩⎨⎧=-+=-+19)35(414)25(4B A B A ，解得5,21==A B (6)分（2）当5≤x 时，需付费用为413=+元 …………………………………………8分 当5>x 时，需付费用为232121)5(4+=⨯-+x x 元 …………………………………12分 所以应交的煤气费4(05)13(5)22x y x x <≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩ ……………………………………14分19．（本小题满分14分）证明：（1）如图，取DC 的中点Q ，连接,MQ NQ ．,N Q 分别是,PC DC 的中点， //NQ PD ∴．……………………………………2分NQ ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， //NQ ∴平面PAD ．…………………………………4分 M 是AB 的中点，四边形ABCD 是平行四边形，//MQ AD ∴．……………………………………5分又MQ ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，//MQ ∴平面PAD ．…………………………7分 MQNQ Q =，∴平面//MNQ 平面PAD ．……………………9分MN ⊂平面MNQ ，//MN ∴平面PAD ． ……………… ………………………………10分 （2）平面//MNQ 平面PAD ，且平面PEC平面MNQ MN =，平面PEC 平面PAD PE = …………………………13分//MN PE ∴ ……………………………………………14分20．（本小题满分14分） 解：（1）函数()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=，222()(3)()122(3)12x a x a x a x a ∴--++⋅-+-=-+++-(3)3,3a a a ∴-+=+∴=-2()27f x x ∴=-+ …………………………………………………………1分即函数()f x 的图象是顶点为(0,7)，对称轴为y 且开口向下的抛物线，()f x ∴在区间[1,0]-上递增，在区间[0,3]上递减又22(3)23711,(1)2(1)75f f =-⨯+=--=-⨯-+=∴ 函数()f x 在区间[1,3]-上的最小值为11-． …………………………………3分（3）对于[1,3]x ∈-，函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象上方，等价不等式 22(3)12x a x a -+++-＞(12)x x a -+在[1,3]x ∈-上恒成立， 即(2)130a x a ++->在[1,3]x ∈-上恒成立，……………………………………9分(2)(1)130(2)3130a a a a +⋅-+->⎧∴⎨+⋅+->⎩，解得14a <- ……………………………………13分 ∴所求实数a 的取值范围为1(,)4-∞- ……………………………………………14分。
2019-2020学年甘肃省白银市靖远县高一(下)期末数学试卷及答案
2019-2020学年甘肃省白银市靖远县高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{1，3，5，6，7}，B＝{x|1＜x≤5}，则A∩B＝（）A．{1，3，5}B．{3，5}C．{1，3}D．{3}2．（5分）sin115°cos55°﹣cos115°sin55°═（）A．B．C．D．﹣3．（5分）如图所示的是某样本数据的茎叶图，则该样本的众数、中位数、极差分别是（）A．20 19 30B．23 23 32C．23 20 32D．23 20 304．（5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交普出现，红灯维持的时间为80s．若一名行人来到该路口遇到红灯，则他至少需要等待36s才出现绿灯的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知直线x+2y﹣4＝0与直线2x+my+m+3＝0平行，则它们之间的距离为（）A．B．C．D．6．（5分）在△ABC中，点D为AC的中点，点E在线段BC上，且BC＝3BE，则＝（）A．+B．﹣+C．+D．﹣+7．（5分）将标有数字3，4，5的三张扑克牌随机分给甲、乙、丙三人，每人一张，事件A：“甲得到的扑克牌数字小于乙得到的扑克牌数字”与事件B：“乙得到的扑克牌数字为3”是（）A．互斥但不对立事件B．对立事件C．既不互斥又不对立事件D．以上都不对8．（5分）将曲线y＝2sin（4x+）上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的曲线的对称中心为（）A．B．C．D．9．（5分）已知向量，的夹角为，||＝，||＝1．则|3﹣|＝（）A．4B．5C．4D．510．（5分）函数f（x）＝（x+sin x）cos x的部分图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）＝cos x在区间[a，b]上是增函数．且f（a）＝﹣1，f（b）＝1．则sin+tan＝（）A．1B．﹣1C．﹣2D．212．（5分）已知点P（x0，y0）是圆C：（x﹣）2+（y+1）2＝1上任意一点．若|x0+y0﹣a|﹣|x0+y0+5|＝4恒成立，则a＝（）A．﹣9B．﹣1C．﹣9或﹣1D．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）函数f（x）＝3cos（x+）的最小正周期为．14．（5分）函数f（x）＝lg（3﹣x）的定义域为．15．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的y＝3，则输入的x＝．16．（5分）已知O为△ABC所在平面内的一点，且||＝||＝||，＝2，＝6，∠ABC ＝．若＝2m+n，则2m﹣3n ＝．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知向量＝（1，k），＝（k，4）．（1）若∥，求k的值；（2）若（+）⊥（4+），求k的值．18．（12分）某单位利用“学习强国”平台，开展网上学习，实行积分制．为了了解积分情况，随机调查了50名员工，得到这些员工学习得分频数分布表：得分[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）人数51015137（Ⅰ）求这些员工学习得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（Ⅱ）用分层抽样的方法从得分在[10，20）和[20，30）的员工中选取5人．从选取的5人中，再任选取2人，求得分在[10，20）和[20，30）中各有1人的概率．19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC，D，E分别为AC，BB1的中点．（1）证明：BD⊥平面ACC1A1．（2）证明：BD∥平面AEC1．20．（12分）据了解，温带大陆性气候，干燥，日照时间长，昼夜温差大，有利于植物糖分积累．某课题研究组欲研究昼夜温差大小（x/℃）与某植物糖积累指数（y/GI）之间的关系，得到如下数据：组数第一组第二组第三组第四组第五组第六组昼夜温差x/℃1011131286某植物糖积202430281815累指数y/GI该课题研究组确定的研究方案是先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验，假设这剩下的2组数据恰好是第一组与第六组数据．（1）求y 关于的线性回归方程＝x +；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的差的绝对值均不超过2.58，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（1）中所得线性回归方程是否理想？（参考公式：回归直线方程＝x +的斜率和截距的最小二乘估计＝，＝﹣）21．（12分）已知0＜β＜α＜，sinα＝，sin（α﹣β）＝．（1）求sin2α；（2）求cos（α+β）．22．（12分）已知函数f（x ）＝sin（x +）cos（x +）﹣cos2（x +）．（1）求f（x）的最小正周期及最大值；（2）将f（x ）的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，若对于任意的x1，x2∈[0，m]，当x1＜x2时，都有f（x1）﹣g（x2）＞f（x2）﹣g（x1），求m的取值范围．2019-2020学年甘肃省白银市靖远县高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{1，3，5，6，7}，B＝{x|1＜x≤5}，则A∩B＝（）A．{1，3，5}B．{3，5}C．{1，3}D．{3}【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{1，3，5，6，7}，B＝{x|1＜x≤5}，∴A∩B＝{3，5}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）sin115°cos55°﹣cos115°sin55°═（）A．B．C．D．﹣【分析】直接套用两角差的正弦公式求解即可．【解答】解：sin115°cos55°﹣cos115°sin55°＝sin（115°﹣55°）＝sin60°＝．故选：A．【点评】本题考查两角和与差的正弦公式，属于基础题．3．（5分）如图所示的是某样本数据的茎叶图，则该样本的众数、中位数、极差分别是（）A．20 19 30B．23 23 32C．23 20 32D．23 20 30【分析】根据茎叶图写出该样本数据从小到大排列的顺序，再求它们的众数、中位数和极差．【解答】解：根据茎叶图知，该样本数据从小到大排列为：6，8，8，11，14，17，19，20，23，23，23，27，31，34，36；所以这组数据的众数是23，中位数是20，极差是36﹣6＝30．故选：D．【点评】本题考查了根据茎叶图求一组数据的众数、中位数和极差，是基础题．4．（5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交普出现，红灯维持的时间为80s．若一名行人来到该路口遇到红灯，则他至少需要等待36s才出现绿灯的概率为（）A．B．C．D．【分析】求出一名行人前44秒来到该路口遇到红灯，利用几何概型的然后利用长度比得答案．【解答】解：红灯持续时间为80秒，至少需要等待36秒才出现绿灯，所以一名行人前44秒来到该路口遇到红灯，则至少需要等待36秒才出现绿灯，所求的概率为P＝＝．故选：B．【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．5．（5分）已知直线x+2y﹣4＝0与直线2x+my+m+3＝0平行，则它们之间的距离为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由直线平行的判断方法可得m的值，进而由平行线间距离公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，直线x+2y﹣4＝0与直线2x+my+m+3＝0平行，则有m＝2×2＝4，则两直线的方程为x+2y﹣4＝0与直线2x+4y+7＝0，则它们之间的距离d＝＝；故选：C．【点评】本题考查直线平行的判断以及平行线间的距离计算，关键是求出m的值，属于基础题．6．（5分）在△ABC中，点D为AC的中点，点E在线段BC上，且BC＝3BE，则＝（）A．+B．﹣+C．+D．﹣+【分析】直接根据向量的线性运算以及三角形法则求解即可．【解答】解：如图：∵△ABC中，点D为AC的中点，点E在线段BC上，且BC＝3BE，则＝+＝﹣++＝﹣++＝﹣++（﹣）＝﹣+；故选：B．【点评】本题考查的知识点是向量加减运算及数乘运算的几何意义，向量加法和向量减法的三角形法则．7．（5分）将标有数字3，4，5的三张扑克牌随机分给甲、乙、丙三人，每人一张，事件A：“甲得到的扑克牌数字小于乙得到的扑克牌数字”与事件B：“乙得到的扑克牌数字为3”是（）A．互斥但不对立事件B．对立事件C．既不互斥又不对立事件D．以上都不对【分析】事件A与事件不能同时发生，但能同时不发生，由此得到事件A与事件B是互斥但不对立事件．【解答】解：将标有数字3，4，5的三张扑克牌随机分给甲、乙、丙三人，每人一张，事件A：“甲得到的扑克牌数字小于乙得到的扑克牌数字”，事件B：“乙得到的扑克牌数字为3”，事件A为：（3，4），（3，5），（4，5），事件B为：（4，3），（5，3），事件A与事件不能同时发生，但能同时不发生，∴事件A与事件B是互斥但不对立事件．故选：A．【点评】本题考查两个事件的关系的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（5分）将曲线y＝2sin（4x+）上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的曲线的对称中心为（）A．B．C．D．【分析】利用三角函数图象的变换法则，写出变换后的函数曲线方程，再求曲线的对称中心．【解答】解：将曲线上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍后得到曲线，令2x+＝kπ，k∈Z，可得x＝﹣+，k∈Z．故得到的曲线的对称中心为：（﹣+，0），k∈Z．故选：C．【点评】本题考查了三角函数图象的变换应用问题，也考查了三角函数图象的性质应用问题，是基础题．9．（5分）已知向量，的夹角为，||＝，||＝1．则|3﹣|＝（）A．4B．5C．4D．5【分析】根据题意，由向量数量积公式可得•，又由|3﹣|2＝92﹣6•+2，计算可得答案．【解答】解：根据题意，向量，的夹角为，||＝，||＝1，则•＝×（﹣）＝﹣1，则|3﹣|2＝92﹣6•+2＝18+6+1＝25，则|3﹣|＝5；故选：B．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．10．（5分）函数f（x）＝（x+sin x）cos x的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由函数奇偶性的概念可知，f（x）为奇函数，可排除选项B；再考虑x∈和x∈时，f（x）的符号，可排除选项A和C，故而得解．【解答】解：∵f（﹣x）＝[﹣x+sin（﹣x）]cos（﹣x）＝（﹣x﹣sin x）cos x＝﹣（x+sin x）cos x＝﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，排除选项B；当x∈时，f（x）＞0，当x∈时，f（x）＜0，排除选项A和C．故选：D．【点评】本题考查函数的图象与性质，一般从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的数形结合思想和逻辑推理能力，属于基础题．11．（5分）已知函数f（x）＝cos x在区间[a，b]上是增函数．且f（a）＝﹣1，f（b）＝1．则sin+tan＝（）A．1B．﹣1C．﹣2D．2【分析】根据函数的单调性和f（a），f（b）的值，确定a，b的值，即可得到结论．【解答】解：因为函数f（x）＝cos x在区间[a，b]上是增函数，且f（a）＝﹣1，f（b）＝1，所以a＝2kπ﹣π，b＝2kπ（k∈Z），∴sin+tan＝sin（2kπ﹣）+tan（﹣）＝﹣2，故选：C．【点评】本题主要考查余弦函数的单调性和最值，属于基础题．12．（5分）已知点P（x0，y0）是圆C：（x﹣）2+（y+1）2＝1上任意一点．若|x0+y0﹣a|﹣|x0+y0+5|＝4恒成立，则a＝（）A．﹣9B．﹣1C．﹣9或﹣1D．1【分析】将|x0+y0﹣a|﹣|x0+y0+5|＝4恒成立转化为点到直线的距离，然后得到两条平行线的距离之差，再求出a的值．【解答】解：因为|x0+y0﹣a|﹣|x0+y0+5|＝4恒成立，可得点P（x0，y0）到两条平行线x+y﹣a＝0与x+y+5＝0的距离之差为﹣＝2，故两条平行线x+y﹣a＝0和x+y+5＝0在圆（x﹣）2+（y+1）2＝1的同一侧，直线x+y﹣a＝0离圆心C的距离要远，且它们之间的距离之差为2，则，解得a＝﹣9．故选：A．【点评】本题考查点到直线的距离的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）函数f（x）＝3cos（x+）的最小正周期为6π．【分析】由最小正周期T＝即可得结果．【解答】函数f（x）＝3cos（x+）的最小正周期为T＝＝＝6π．故答案为：6π．【点评】本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题．14．（5分）函数f（x）＝lg（3﹣x）的定义域为．【分析】可看出，要使得f（x）有意义，需满足，然后解出x的范围即可．【解答】解：要使f（x）有意义，则，解得，∴f（x）的定义域为．故答案为：．【点评】本题考查了函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题．15．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的y＝3，则输入的x＝9或﹣2．【分析】由程序框图分x＞1和x≤1时两种情况，分别求出输出y的值为3的x值，进而可得答案．【解答】解：由程序框图，可得y＝，由于y＝3，所以由，解得x＝9，由，解得x＝﹣2，综上，输入的x的值为9或﹣2．故答案为：9或﹣2．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．16．（5分）已知O为△ABC所在平面内的一点，且||＝||＝||，＝2，＝6，∠ABC＝．若＝2m+n，则2m﹣3n＝﹣4．【分析】根据||＝||＝||可知O为△ABC外心，•＝||＝2，同理，将＝2m+n带入即可求解m，n的值，即可求出2m﹣3n 的值．【解答】解：由题意||＝||＝||，可知O为△ABC外心，根据向量几何意义：•＝||•||cos∠OBA＝||＝2……①同理……②将＝2m+n带入①可得2m||2+n＝2m||2+n||cos∠ABC＝2……③将＝2m+n带入②可得2m+n||2＝2m||•||cos∠ABC+n||2＝2……④由③④可解得，∴2m﹣3n＝．故答案为：﹣4．【点评】本题考查了向量的线性运算、向量基本定理，向量几何意义，考查了推理能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知向量＝（1，k），＝（k，4）．（1）若∥，求k的值；（2）若（+）⊥（4+），求k的值．【分析】（1）利用向量平行的性质直接求解．（2）利用平面向量坐标运算法则先分别求出，4，再由（+）⊥（4+），能求出k的值．【解答】解：（1）∵向量＝（1，k），＝（k，4），∥，∴4﹣k2＝0，解得k＝±2．（2）＝（1+k，k+4），4＝（4，4k）+（k，4）＝（4+k，4k+4），∵（+）⊥（4+），∴（+）•（4+）＝（1+k）（4+k）+（k+4）（4k+4）＝0，解得k＝﹣1或k＝﹣4．【点评】本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量平行、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．（12分）某单位利用“学习强国”平台，开展网上学习，实行积分制．为了了解积分情况，随机调查了50名员工，得到这些员工学习得分频数分布表：得分[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）人数51015137（Ⅰ）求这些员工学习得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（Ⅱ）用分层抽样的方法从得分在[10，20）和[20，30）的员工中选取5人．从选取的5人中，再任选取2人，求得分在[10，20）和[20，30）中各有1人的概率．【分析】（Ⅰ）利用频数分布表能求出这50名员工学习得分的平均数．（Ⅱ）用分层抽样可知从[10，20）中选2人，记这2人分别为a1，a2；从[20，30）中选3人，记这3人分别为b1，b2，b3．从a1，a2，b1，b2，b3中再任取2人，利用列举法能求出得分在[10，20）和[20，30）中各有1人的概率．【解答】解：（Ⅰ）记这50名员工学习得分的平均数为，则．（Ⅱ）用分层抽样可知从[10，20）中选2人，记这2人分别为a1，a2；从[20，30）中选3人，记这3人分别为b1，b2，b3．从a1，a2，b1，b2，b3中再任取2人的情况有：a1a2，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，b1b2，b1b3，b2b3共10种．其中得分在[10，20）和[20，30）中各有1人的情况有：a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3共6种．记事件A为“得分在[10，20）和[20，30）中各有1人”则．【点评】本题考查平均数、概率的求法，考查频数分布表的性质、分层抽样、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC，D，E分别为AC，BB1的中点．（1）证明：BD⊥平面ACC1A1．（2）证明：BD∥平面AEC1．【分析】（1）由直三棱柱的性质知，CC1⊥平面ABC，故CC1⊥BD；由等腰三角形的性质知BD⊥AC；再根据线面垂直的判定定理即可得证；（2）连接A1C，交AC1于点O，连接OD、OE，由中位线的性质和三棱柱的性质可知OD∥BE，OD＝BE，推出四边形ODBE为平行四边形，故OE∥BD，再由线面平行的判定定理即可得证．【解答】证明：（1）由直三棱柱的性质知，CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥BD．∵AB＝BC，且D为AC的中点，∴BD⊥AC．∵AC∩CC1＝C，AC、CC1⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1．（2）如图所示，连接A1C，交AC1于点O，连接OD、OE，∵O、D分别为AC1和AC的中点，∴OD∥CC1，OD＝CC1，∵CC1∥BB1，CC1＝BB1＝2BE，∴OD∥BE，OD＝BE，∴四边形ODBE为平行四边形，∴OE∥BD，∵OE⊂平面AEC1，BD⊄平面AEC1，∴BD∥平面AEC1．【点评】本题考查空间中线与面的位置关系，熟练运用空间中线面平行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力，属于基础题．20．（12分）据了解，温带大陆性气候，干燥，日照时间长，昼夜温差大，有利于植物糖分积累．某课题研究组欲研究昼夜温差大小（x/℃）与某植物糖积累指数（y/GI）之间的关系，得到如下数据：组数第一组第二组第三组第四组第五组第六组1011131286昼夜温差x/℃某植物糖积202430281815累指数y/GI该课题研究组确定的研究方案是先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验，假设这剩下的2组数据恰好是第一组与第六组数据．（1）求y 关于的线性回归方程＝x +；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的差的绝对值均不超过2.58，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（1）中所得线性回归方程是否理想？（参考公式：回归直线方程＝x +的斜率和截距的最小二乘估计＝，＝﹣）【分析】（1）根据数据求出与的值，即可求出y关于x的线性回归方程；（2）分别计算出1月份和6月份对应的预测值，与检验数据作差取绝对值，再与2.58进行比较即可得到结论．【解答】解：（1）由表中2月至5月份的数据，得＝（11+13+12+8）＝11，（24+30+28+18）＝25，故有（x i ﹣）（y i ﹣）＝0×（﹣1）+2×5+1×3+（﹣3）×（﹣7）＝34，（x i ﹣）2＝02+22+12+（﹣3）2＝14，∴，＝＝25﹣＝，即y关于x的线性回归方程为；（2）由，当x＝10时，，||＝＜2.58，当x＝6时，，||＝＜2.58，则该小组所得线性回归方程是理想的．【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查学生的运算能力，是基础题．21．（12分）已知0＜β＜α＜，sinα＝，sin（α﹣β）＝．（1）求sin2α；（2）求cos（α+β）．【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，进而根据二倍角的正切函数公式可求sin2α的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求cos（α﹣β）的值，根据两角差的余弦函数公式可求结论．【解答】解：（1）∵α∈（0，），sinα＝，sin（α﹣β）＝．∴0＜α﹣β＜，∴cosα＝＝，cos（α﹣β）＝＝，∴sin2α＝2sinαcosα＝2××＝．（2）：∵cos2α＝2cos2α﹣1＝﹣；∴cos（α+β）＝cos[2α﹣（α﹣β）]＝cos2αcos（α﹣β）+sin2αsin（α﹣β）＝（﹣）×+×＝．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．22．（12分）已知函数f（x）＝sin（x+）cos（x+）﹣cos2（x+）．（1）求f（x）的最小正周期及最大值；（2）将f（x）的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，若对于任意的x1，x2∈[0，m]，当x1＜x2时，都有f（x1）﹣g（x2）＞f（x2）﹣g（x1），求m的取值范围．【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简，结合正弦函数的性质即可求解最小正周期及最大值；（2）根据平移变换求解g（x），构造函数h（x）＝f（x）+g（x），再利用和与差公式化简，讨论h（x）在x∈[0，m]单调递减，即可得m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝sin（x+）cos（x+）﹣cos2（x+）．＝sin（2x+）cos（2x+）＝sin（2x+）﹣∴f（x）的最小正周期T＝，最大值为f（x）max＝1﹣＝；（2）将f（x）的图象向左平移个单位长度，可得y＝sin[2（x+）x+]﹣＝sin（2x+）﹣，即函数g（x）＝sin（2x+）﹣，令函数h（x）＝f（x）+g（x）＝sin（2x+）+sin（2x+）﹣1＝cos2x﹣1，由题意h（x）在x∈[0，m]单调递减，当x∈[0，m]时，2x∈[0，2m]，那么，可得，∴m的取值范围是（0，]．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，三角恒等式的化简能力，要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．。
甘肃省白银市靖远县2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题
高一期末考试数学第Ⅰ卷一､选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|12A x x =-<<，{}|10B x x =-<，则()A B =R I ð（ ） A. {}|12x x <<B. {}|12x x <≤C. {}|12x x ≤<D. {}|12x x ≤≤2.函数()()lg 2f x x =+的定义域是（ ） A. (]2,5-B. ()2,5-C. (]2,5D. ()2,53.若直线220x y -+=与()3510x a y +-+=平行，则a 的值为（ ） A. 1B. -1C.132D. 132-4.函数()542xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间是( )A. ()1,2B. ()2,3C. ()3,4D. ()0,15.已知()3,0A ,()0,2B ,()2,6C ,则ABC ∆的BC 边上的中线所在的直线方程为( ) A. 260x y ++= B. 260x y +-= C. 260x y --=D. 210x y --=6.若直线20x y ++=被圆224x y +=截得的弦长为则m =( )A.B. 5C. 10D. 257.若实数0.2log 0.3a =，0.3log 0.2b =，0.3log 2c =，则（ ） A c b a <<B. c a b <<C. a b c <<D. b a c <<8.已知圆柱的底面圆的面积为9π，高为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ） A. 16πB. 20πC. 40πD.403π9.函数()()32ln f x x x x =+的部分图象大致为（ ）A. B.C. D.10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. 115πB. 140πC. 165πD. 215π11.已知()2,0A -,()2,0B ,点P 是圆C :()(2231x y -+=上的动点,则22AP BP +的最小值为( )A. 9B. 14C. 18D. 2612.设1x ,2x ,3x 分别是方程3log 3x x +=,()3log 2x +=,ln 4x e x =+实根,则( ) A. 123x x x <+B. 213x x x <<C. 231x x x <<D. 321x x x <<第Ⅱ卷二､填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知点()3,1A ，()1,3B -，则以线段AB 为直径圆的标准方程为______.14.已知函数()()25f x x αα=-是幂函数，则()fα=______.15.已知圆1C ：()()222110x y -+-=与圆2C ：2260x y x y +--=，则两圆的公共弦所在的直线方程为______.16.如图，在ABC ∆中，AB BC ⊥，D ，E 分别为AB ，AC 边上的中点，且4AB =，2BC =.现将ADE ∆沿DE 折起，使得A 到达1A 的位置，且160A DB ∠=︒，则1A C =______.三､解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知集合{|2A x x a =≤-或}3x a >+,(){}33|log log 5B x y x x ==+-. (1)当1a =时,求A B U ;(2)若A B B =I ,求实数a 的取值范围.18.已知直线l 的方程为43120x y +-=，1l 与l 垂直且过点()1,3--. （1）求直线1l 的方程；（2）若直线2l 经过1l 与l 的交点，且垂直于x 轴，求直线2l 的方程.19.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()232f x x ax a =++-.（1）求()f x 的解析式；的的（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围.20.已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，且圆C 与y 轴相切，点()2,4P 在圆C 上. （1）求圆C 的方程；（2）若直线l ：()140m x y m ++++=与圆C 交于A ，B 两点，且8AB =，求m 的值.21.如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，AC AP =，PA ⊥平面ABC ，过A 作AD PB ⊥于D ，过D 作DE PC ⊥于E ，连接AE .（1）证明：AE PC ⊥. （2）求三棱锥P ADE -的体积.22.已知函数22()3x xe ef x -+=，其中e 为自然对数底数. (1)证明:()f x (0,)+∞上单调递增；(2)函数25()3g x x =-，如果总存在1[,](0)x a a a ∈->，对任意()()212,x R f x g x ∈…都成立，求实数a 的取值范围.的。
2020-2021学年甘肃省白银市靖远县高一(上)期末数学复习卷 (解析版)
2020-2021学年甘肃省白银市靖远县高一(上)期末数学复习卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 下列命题的符号语言中，不是公理的是( )A. a ⊥α，b ⊥α⇒a//bB. P ∈α，且P ∈β⇒α⋂β=l ，且P ∈lC. a//b ，a//c ⇒b//cD. A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，B ∈α⇒l ⊂α2. 已知集合A ={x|2<x ≤5}，B ={x|3≤x <7}，则A ∩B =( )A. (2,6)B. (2,5]C. [3,5]D. [3,6)3. 已知函数f(2x −4)=x 2+1，则f(2)的值为( )A. 5B. 8C. 10D. 164. 已知直线x +ay +3=0与直线y =2x +3平行，则a =( )A. −12B. 12C. −2D. 25. 已知函数f(x)={f(2−x),x ≤0log 2x −1,x >0，则f(0)=( ) A. −1 B. 0 C. 1 D. 36. 方程2x +2x −2=0的根所在的区间为( )A. (0,12)B. (12,1)C. (1,32)D. (−12,0) 7. 不论k 为何值，直线(2k −1)x −(k −2)y −(k +4)=0恒过的一个定点是( )A. (0,0)B. (2,3)C. (3,2)D. (−2,3)8. 定义在R 上的奇函数f (x )在[0,+∞)上有2个零点，则f (x )在R 上的零点个数为( )A. 3B. 4C. 5D. 69. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是( )A. 若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊄α，则n//αB. 若m ⊥β，α⊥β，则m//α或m ⊂αC. 若m//α，α⊥β，则m ⊥βD. 若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥β10. 若函数f (x )=ax 3+bx +1在(0,+∞)上有最大值8，则f (x )在(−∞,0)上有( )A. 最小值−8B. 最大值8C. 最小值−6D. 最大值611.设α，β表示两个不同平面，m表示一条直线，下列命题正确的是()A. 若m//α，α//β，则m//β．B. 若m//α，m//β，则α//β．C. 若m⊂α，α//β，则m//β．D. 若m⊂α，m//β，则α//β．12.使曲线y=1+√4−x2与直线l:y=k(x−2)+4有两个不同的交点的实数k取值范围是()A. (512,+∞) B. (512,34] C. (0,512) D. (13,34]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f(x)=√lnx−2的定义域为______．14.log216−log24= ________．15.设A为圆(x−2)2+(y−2)2=2上一动点，则A到直线x−y−4=0的最大距离为______．16.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，P是AA1的中点，E是BB1上的点，则PE+EC的最小值是 ______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设集合A={x|x<−3，或x>6}，B={x|3<x<7}．(1)求A∩B；(2)设C={x|x≥m}，且B∩C=B，求实数m的取值范围．18.已知直线l：kx−y−2−k=0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第二象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴正半轴于A，交y轴负半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．19.由四棱柱ABCD−A1B1C1D1截去三棱锥C1−B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD．(1)证明：A1O//平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1．20.已知函数f(x)=log4(7+6x−x2).(1)求函数的定义域：(2)求函数的单调递增区间21.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE//AB。
最新甘肃省白银市靖远县高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年甘肃省白银市靖远县高一上学期期末数学试题一、单选题1．下列命题正确的是（ ）A ．在空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行B ．一条直线与一个平面可能有无数个公共点C ．经过空间任意三点可以确定一个平面D ．若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 【答案】B【解析】根据平面的基本性质和空间中两直线的位置关系，逐一判定，即可得到答案． 【详解】由题意，对于A 中， 在空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，所以不正确；对于B 中， 当一条直线在平面内时，此时直线与平面可能有无数个公共点，所以是正确的；对于C 中， 经过空间不共线的三点可以确定一个平面，所以是错误的；对于D 中， 若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，所以不正确，故选B ． 【点睛】本题主要考查了平面的基本性质和空间中两直线的位置关系，其中解答中熟记平面的基本性质和空间中两直线的位置关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．2．已知集合{}|132A x x =-<-≤，{}|36B x x =≤<，则A B =I （ ） A ．()2,6 B ．(]2,5 C ．[]3,5 D ．[)3,6【答案】C【解析】先求得集合{}|25A x x =<≤，结合集合的交集运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}{}|132|25A x x x x =-<-≤=<≤，{}|36B x x =≤<， 所以[]3,5A B =I .故选：C . 【点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中熟记集合的交集的概念及运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3．已知函数2()1x f x a -+=+，若(1)9-=f ，则a =（ ）A ．2B ．2-C ．8D ．8-【答案】A【解析】直接将1-代入函数的解析式，根据指数的运算即可得结果. 【详解】 ∵()21x f x a-+=+，()19f -=∴319a +=，解得2a =，故选A. 【点睛】本题主要考察了已知函数值求自变量的值，熟练掌握指数的意义是解题的关键，属于基础题.4．已知直线1l ：210x y +-=与2l ：()1320a x y -+-=，若12l l //，则a =（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】根据12l l //，得到211132a =≠-，即可求解实数a 的值，得到答案. 【详解】由题意，直线1l ：210x y +-=与2l ：()1320a x y -+-=， 因为12l l //，所以211132a =≠-，解得7a =. 故选：C . 【点睛】本题主要考查了两条直线的位置关系的应用，其中解答中熟记两条直线的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5．已知函数()()()2log 12x f x f x ⎧+⎪=⎨+⎪⎩ 66x x ≥<，则()5f =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】利用分段函数的解析式，可得()25(7)log 8f f ==，即可求解. 【详解】由题意，函数()()()2log 1,62,6x x f x f x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()225(52)(7)log (71)log 83f f f =+==+==，故选B. 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式合理运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 6．方程2220x x +-=的根所在的区间为（ ） A ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】设()222xf x x =+-，求得()10()02f f ⋅<，结合零点的存在定理，即可求解. 【详解】由题意，设()222xf x x =+-，可得()f x 是R 上的增函数，又由()01210f =-=-<，1102f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以()10()02f f ⋅<，所以()f x 的零点在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上，即方程2220x x +-=的根所在的区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了函数的零点的判定，其中解答中熟记零点的存在定理是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．不论m 为何实数，直线()():1230l m x m y m -+-+=恒过定点（ ） A ．()3,1--B ．()2,1--C ．()–31，D ．()–21，【答案】C【解析】将直线方程变形为()2130x y m x y ++--=,即可求得过定点坐标. 【详解】根据题意,将直线方程变形为()2130x y m x y ++--= 因为m 位任意实数,则21030x y x y ++=⎧⎨--=⎩,解得31x y =-⎧⎨=⎩所以直线过的定点坐标为()3,1- 故选:C 【点睛】本题考查了直线过定点的求法,属于基础题.8．定义在R 上的奇函数()f x 在[)0,+∞上有2个零点，则()f x 在R 上的零点个数为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】根据函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，再根据偶函数的对称性，得到()f x 在()0,+∞和(),0-∞上各有1个零点，即可得到答案. 【详解】由题意知，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，又因为()f x 在[)0,+∞上有2个零点，所以()f x 在()0,+∞上有1个零点，()f x 在(),0-∞上也有1个零点，故()f x 在R 上有3个零点.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及函数的零点个数的判定，其中解答中合理利用函数的奇偶性，利用函数零点的定义求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9．已知α，β是不同的平面，m ，n 是不同的直线，则下列命题不正确的是( ) A ．若m α⊥，m //n ，n β⊂，则αβ⊥ B ．若m //n ，αβm ⋂=，则n //α，n //β C ．若m //n ，m α⊥，则n α⊥ D ．若m α⊥，m β⊥，则α//β 【答案】B【解析】由面面垂直的判定定理，判断A ；由线面位置关系判断B ；由线面垂直定理判断C ；由面面平行判断D ； 【详解】A.由线面垂直定理、面面垂直定理，知：若m α⊥，//m n ，n β⊂，则αβ⊥，故A 正确；B.若//m n ，=m αβ⋂，则n α⊂，//n β或//n α，n β⊂，或//n α，//n β，故B 错；C.由线面垂直定理，知：若//m n ，m α⊥，则n α⊥，（垂直于同一个面的两条直线互相平行）故C 正确；D.由面面平行定理，知：若m α⊥，m β⊥，则//αβ，（垂直于同一条线的两个平面互相平行）故D 正确 因此选B 【点睛】本题主要考查空间中线面、面面位置关系，需要考生熟记线面平行于垂直、面面平行与垂直的判定定理和性质定理，难度不大.10．若函数()31f x ax bx =++在()0,∞+上有最大值8，则()f x 在(),0-∞上有（ ） A ．最小值－8 B ．最大值8 C ．最小值－6 D ．最大值6【答案】C【解析】先设()()31g x f x ax bx =-=+，利用函数奇偶性的定义，得到()g x 为奇函数，根据题意得到()g x 在()0,∞+上有最大值7，由奇函数性质，得到()g x 在(),0-∞上有最小值－7，进而可求出结果. 【详解】根据题意，设()()31g x f x ax bx =-=+，有()()()()()33g x a x b x ax bx g x -=-+-=-+=-，则()g x 为奇函数.又由函数()31f x ax bx =++在()0,∞+上有最大值8，则()g x 在()0,∞+上有最大值7，故()g x 在(),0-∞上有最小值－7，则()f x 在(),0-∞上有最小值－6. 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，熟记函数奇偶性的概念即可，属于常考题型. 11．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1BB 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．BD AC ⊥B ．EF ⊥平面11BDD BC ．平面EFG ⊥平面11BDD B D ．平面//EFG 平面1AB C 【答案】D【解析】在正方体中，结合平面与平面平行的判定定理，即可得到结论. 【详解】由题意，在正方体1111ABCD A B C D -中，因为1//EG AB ，EG ⊂平面EFG ,可证得//EG 平面1AB C ， 因为1//FG B C ，FG ⊂平面EFG ,可证得//FG 平面1AB C ， 又由EG FG G =I ，所以平面//EFG 平面1AB C . 故选：D . 【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记正方体的结构特征，以及线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.12．若直线l ：y kx =与曲线M ：2y 11(x 3)=+--k 的取值范围是( )A ．13,44⎛⎤⎥⎝⎦B ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．15,29⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】由曲线方程可得半圆图形，利用数形结合，得解． 【详解】由2y 11(x 3)=+--，得：22(x 3)(y 1)1-+-=，()y 1≥，如图所示，符合题意得直线夹在OA ，OB 之间， 显然，OA 的斜率为12， 由1tan MON 3∠=， BON 2MON ∠∠=，结合二倍角正切公式可得：3tan BON 4∠=， 故选：B ． 【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，数形结合等，难度适中．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。
2020届甘肃省白银市靖远县高三第一次联考数学(理)试题(解析版)
2020届甘肃省白银市靖远县高三第一次联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|2150,{|24}A x x x B x x =+-≤=-<<，则A B =I （ ） A ．{|23}x x -<≤ B ．{|54}x x -≤< C ．{|52}x x -≤≤- D ．{|34}x x ≤<【答案】A【解析】先求出集合A ,再与集合B 取交集即可. 【详解】因为{}2|2150{|53},{|24}A x x x x x B x x =+-≤=-≤≤=-<<,所以{|23}A B x x =-<≤I .故选:A. 【点睛】本题考查集合的交集,考查不等式的解法,考查了学生的运算求解能力,属于基础题. 2．若复数z 满足(23i)13i z +=，则z =（ ） A ．32i -+ B ．32i +C ．32i --D ．32i -【答案】B【解析】由题意得,13i23iz =+,求解即可. 【详解】因为(23i)13i z +=,所以13i 13i(23i)26i 3932i 23i (23i)(23i)49z -+====+++-+. 故选:B. 【点睛】本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力,属于基础题.3．若向量(1,5),(2,1)a b ==-v v ，则(2)a a b ⋅+=vv v （ ）A ．30B ．31C ．32D ．33【答案】C【解析】先求出2a b +r r ,再与a r相乘即可求出答案. 【详解】因为2(1,5)(4,2)(3,7)a b +=+-=-r r ,所以(2)35732a a b ⋅+=-+⨯=r r r.故选:C. 【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算,考查了学生的计算能力,属于基础题.4．已知函数2log (1),1()3,1xx x f x x -->⎧=⎨≤⎩，则[](2)f f -=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】结合分段函数的解析式,先求出(2)f -,进而可求出[](2)f f -. 【详解】由题意可得2(2)39f -==，则[]2(9)log (913(2))f f f =-==-.故选:C. 【点睛】本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题. 5．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ） A ．2550100,,777B ．252550,,1477C ．100200400,,777 D ．50100200,,777【答案】D【解析】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,易知123,,a a a 成等比数列,1232,50q a a a =++=,结合等比数列的性质可求出答案. 【详解】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,则123,,a a a 成等比数列,且公比1232,50q a a a =++=,则1(1a q +)250q +=,故1250501227a ==++,2110027a a ==,23120027a a ==.故选:D. 【点睛】本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.6．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则(π)f =（ ）A ．13B ．13-C 2D ．2-【答案】B【解析】结合图象,可求出,T ω的值,由π123f ⎛⎫=⎪⎝⎭,可求得sin A ϕ的值,再由(π)sin f A ϕ=可求出答案.【详解】由图象知，5π3ππ4884T =-=，即2ππT ω==，则2ω=±，从而()sin(2)f x A x ϕ=±+.因为πsin(π)2f A ϕ⎛⎫=±+ ⎪⎝⎭13=,所以1sin 3A ϕ=-,则1(π)sin(2π)sin 3f A A ϕϕ=±+==-.故选:B. 【点睛】本题考查三角函数求值,考查三角函数的图象性质的应用,考查学生的推理能力与运算求解能力,属于中档题.7．若函数32()3f x ax x b =++在1x =处取得极值2，则a b -=（ ） A ．-3 B ．3C ．-2D ．2【答案】A【解析】对函数()f x 求导,可得(1)0(1)2f f =⎧⎨='⎩,即可求出,a b ,进而可求出答案.【详解】因为32()3f x ax x b =++,所以2()36f x ax x '=+,则(1)360(1)32f a f a b '=+=⎧⎨=++=⎩,解得2,1a b =-=,则3a b -=-.故选:A. 【点睛】本题考查了函数的导数与极值,考查了学生的运算求解能力,属于基础题. 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83π163B ．4π1633C 16343π+D ．43π163【答案】D【解析】结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可. 【详解】由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆锥的体积11143π4π23233V =⨯⨯⨯=,下半部分的正三棱柱的体积2142342V =⨯⨯=163故该几何体的体积1243π33V V V =+=+故选:D. 【点睛】本题考查三视图,考查空间几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题.9．设0.380.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c <<【答案】D【解析】结合指数函数及对数函数的单调性,可判断出10a -<<,1b <-,1c >,即可选出答案. 【详解】 由0.30.310log 4log 13<=-,即1b <-, 又8881log 0.125log 0.2log 10-=<<=,即10a -<<,0.341>,即1c >,所以b a c <<. 故选:D. 【点睛】本题考查了几个数的大小比较,考查了指数函数与对数函数的单调性的应用,属于基础题.10．给出下列三个命题：①“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定；②在ABC V 中，“30B ︒>”是“cos B <”的充要条件； ③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象．其中假命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案. 【详解】对于命题①,因为()220002110x x x --+=≥,所以“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”是真命题,故其否定是假命题,即①是假命题;对于命题②,充分性:ABC V 中,若30B ︒>,则30180B ︒︒<<,由余弦函数的单调性可知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即1cos 2B -<<,即可得到cos 2B <,即充分性成立;必要性:ABC V 中,0180B ︒︒<<,若cos 2B <,结合余弦函数的单调性可知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即30180B ︒︒<<,可得到30B ︒>,即必要性成立.故命题②正确;对于命题③,将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度,可得到π2cos 23π2cos 26x y x ⎡⎤⎛⎫=+= ⎪⎢⎛⎥⎫+ ⎪⎝⎝⎣⎦⎭⎭的图象,即命题③是假命题．故假命题有①③. 故选:C 【点睛】本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题. 11．已知函数()2cos (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围（ ） A ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,2]【答案】B 【解析】由ππ32x -≤≤,可得πππ333ππ32x ωωω--≤--≤,结合cos y x =在[π,0]-上单调递增,易得ππ,[π,0]33ππ32ωω⎡⎤--⊆-⎢⎥⎣⎦-,即可求出ω的范围. 【详解】 由ππ32x -≤≤,可得πππ333ππ32x ωωω--≤--≤,0x =时,π(0)2cos 3f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,而ππ,320⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, 又cos y x =在[π,0]-上单调递增,且π[π,0]3--∈, 所以ππ,[π,0]33ππ32ωω⎡⎤--⊆-⎢⎥⎣⎦-,则πππ33ππ0230ωωω⎧--≥-⎪⎪⎪-≤⎨⎪>⎪⎪⎩,即2230ωωω≤⎧⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎩,故203ω<≤.故选:B. 【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题. 12．已知函数()e ln mxf x m x =-，当0x >时，()0f x >恒成立，则m 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[1,)+∞D ．(,e)-∞【答案】A【解析】分析可得0m >,显然e ln 0mx m x ->在(]0,1上恒成立,只需讨论1x >时的情况即可,()0f x >⇔e ln mx m x >⇔ln e e ln mx x mx x >,然后构造函数()e (0)x g x x x =>,结合()g x 的单调性,不等式等价于ln mx x >,进而求得m 的取值范围即可. 【详解】由题意,若0m ≤,显然()f x 不是恒大于零,故0m >.0m >,则e ln 0mx m x ->在(]0,1上恒成立;当1x >时,()0f x >等价于e ln mx m x >, 因为1x >,所以ln e e ln mx x mx x >.设()e (0)xg x x x =>,由()e (1)x g x x '+=,显然()g x 在(0,)+∞上单调递增,因为0,ln 0mx x >>,所以ln e e ln mx x mx x >等价于()(ln )g mx g x >,即ln mx x >,则ln xm x>.设ln ()(0)xh x xx=>,则21ln()(0)xh x xx'-=>.令()0h x'=,解得ex=,易得()h x在(0,e)上单调递增,在(e,)+∞上单调递减,从而max1()(e)eh x h==，故1em>.故选:A.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.二、填空题13．若实数x，y满足约束条件32020440x yx yx y--≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩，则2z x y=+的最大值为________. 【答案】3【解析】作出可行域,可得当直线2z x y=+经过点(1,1)A时,z取得最大值,求解即可. 【详解】作出可行域（如下图阴影部分）,联立32020x yx y--=⎧⎨+-=⎩,可求得点()1,1A,当直线2z x y=+经过点(1,1)A时,max1213z=+⨯=.故答案为:3.【点睛】本题考查线性规划,考查数形结合的数学思想,属于基础题.14．若函数22()21x ax f x x =++为奇函数，则a =_______.【答案】-2【解析】由()f x 是定义在R 上的奇函数,可知对任意的x ,()()f x f x -=-都成立,代入函数式可求得a 的值. 【详解】由题意,()f x 的定义域为R ,222()12121x x ax a f x x x ⎛⎫=+=+ ⎪++⎝⎭, ()f x 是奇函数,则()()f x f x -=-,即对任意的x ,()22112121x xa a x x -⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭都成立, 故112121x xa a -⎛⎫+=-+ ⎪++⎝⎭,整理得20a +=,解得2a =-. 故答案为:2-. 【点睛】本题考查奇函数性质的应用,考查学生的计算求解能力,属于基础题. 15．记等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若357n n S n T n +=+，则77a b =______. 【答案】115【解析】结合等差数列的前n 项和公式,可得()()771377113111331313132132a ab b b a a T b S ===++,求解即可. 【详解】 由题意,()11313713132a a S a +==,()11313713132b b b T +==,因为357n n S n T n +=+,所以7713771313313511131375a a Sb b T ⨯+====+.故答案为:115. 【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式及等差中项的应用,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.16．在平面五边形ABCDE 中，60A ∠=︒，AB AE ==BC CD ⊥，且6BC DE ==.将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起，使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120︒，则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积是______. 【答案】252π【解析】设ABE ∆的中心为1O ，矩形BCDE 的中心为2O ，过1O 作垂直于平面ABE 的直线1l ，过2O 作垂直于平面BCDE 的直线2l ，得到直线1l 与2l 的交点O 为几何体ABCDE 外接球的球心，结合三角形的性质，求得球的半径，利用表面积公式，即可求解. 【详解】设ABE ∆的中心为1O ，矩形BCDE 的中心为2O ，过1O 作垂直于平面ABE 的直线1l ，过2O 作垂直于平面BCDE 的直线2l ， 则由球的性质可知，直线1l 与2l 的交点O 为几何体ABCDE 外接球的球心， 取BE 的中点F ，连接1O F ，2O F ，由条件得123O F O F ==，12120O FO ∠=︒，连接OF ，因为12OFO OFO ∆≅∆，从而1OO =， 连接OA ，则OA 为所得几何体外接球的半径，在直角1AOO ∆中，由16O A =，1OO =，可得22211273663OA OO O A =+=+=，即外接球的半径为R OA ==，故所得几何体外接球的表面积为24252S R ππ==. 故答案为：252π.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及多面体的外接球的表面积的计算，其中解答中熟记空间几何体的结构特征，求得外接球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力与运算求解能力，属于中档试题.三、解答题17．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知3a b ，且()(sin sin sin )sin 2sin a b c A B C c C a B -+--=-.（1）求cos C 的值；（2）若ABC V 的面积是22ABC V 的周长. 【答案】（1）3cos 3C =；（2）22322+ 【解析】（1）由正弦定理可得,2()()2a b c a b c c ab -+--=-,化简并结合3a b ,可求得,,a b c 三者间的关系,代入余弦定理可求得cos C ;（2）由（1）可求得sin C ,再结合三角形的面积公式,可求出,,a b c ,从而可求出答案. 【详解】（1）因为()(sin sin sin )sin 2sin a b c A B C c C a B -+--=-, 所以2()()2a b c a b c c ab -+--=-,整理得:2222a b c +=. 因为3a b ,所以2242b c =,所以2c b =.由余弦定理可得22222223cos 2323a b c C ab b+-===⨯. （2）由（1）知3cos 3C =,则26sin 1cos 3C C =-=,因为ABC V的面积是,所以1sin 2ab C =即2132⨯=解得2b =,则a c ==故ABC V 的周长为:2+. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用,考查了三角形面积公式的应用,属于基础题.18．已知首项为2的数列{}n a 满足11221n n n na a n +++=+.（1）证明：数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列． （2）令n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）见解析；（2）12112222n n S n n +=++- 【解析】（1）由原式可得11(1)22n n n n a na +++=+,等式两端同时除以12n +,可得到11(1)122n nn n n a na +++=+,即可证明结论; （2）由（1）可求得2n n na的表达式,进而可求得,n n a b 的表达式,然后求出{}n b 的前n 项和n S 即可. 【详解】（1）证明:因为11221n n n na a n +++=+,所以11(1)22n n n n a na +++=+,所以11(1)122n n n n n a na +++=+,从而11(1)122n n n nn a na +++-=,因为12a =,所以112a =, 故数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1,公差为1的等差数列. （2）由（1）可知()112nn na n n =+-=,则2n n a =,因为n n b a n =+,所以2n n b n =+, 则123n n S b b b b =+++⋯+()()()23(21)22232nn =++++++++L()232222(123)nn =+++++++++L L ()212(1)122nn n ⨯-+=+-12112222n n n +=++-.本题考查了等差数列的证明,考查了等差数列及等比数列的前n 项和公式的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.19．已知函数1()sin cos 2f x b x a x ⎫⎛⎫=++-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，且π(0)1,13f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）已知2()23(14)g x x x m m =-+-<≤，若对任意的1[0,π]x ∈，总存在2[2,]x m ∈-，使得()()12f x g x =成立，求m 的取值范围.【答案】（1）π()2sin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）(]1,3 【解析】（1）由π(0)1,13f f ⎛⎫=-=⎪⎝⎭,可求出,a b 的值,进而可求得()f x 的解析式; （2）分别求得()f x 和()g x 的值域,再结合两个函数的值域间的关系可求出m 的取值范围. 【详解】（1）因为π(0)1,13f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,所以1(0)12π11132222f a f a b a ⎧==-⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩,解得1,a b ==故13()sin cos 2222f x x x ⎛⎛⎫=++- ⎪ ⎝⎭⎝⎭πcos 2sin 6x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. （2）因为[0,π]x ∈,所以ππ5π,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,所以π1sin ,162x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则()[1,2]f x ∈-,2()23g x x x m =-+-图象的对称轴是1x =.因为14,2m x m <≤-≤≤,所以min max ()(1)4,()(2)5g x g m g x g m ==-=-=+,则144152m m m <≤⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩,解得13m <≤,故m 的取值范围是(]1,3.本题考查了三角函数的恒等变换,考查了二次函数及三角函数值域的求法,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.20．如图，底面ABCD 是等腰梯形，//,224AD BC AD AB BC ===，点E 为AD 的中点，以BE 为边作正方形BEFG ，且平面BEFG ⊥平面ABCD .（1）证明：平面ACF ⊥平面BEFG . （2）求二面角A BF D --的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2）470sin θ=【解析】（1）先证明四边形ABCE 是菱形,进而可知AC BE ⊥,然后可得到AC ⊥平面BEFG ,即可证明平面ACF ⊥平面BEFG ;（2）记AC ,BE 的交点为O ,再取FG 的中点P .以O 为坐标原点,以射线OB ,OC ,OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -,分别求出平面ABF和DBF 的法向量,m n u r r ,然后由cos ,||||m nm n m n ⋅〈〉=u r ru r r u r r ,可求出二面角A BF D --的余弦值,进而可求出二面角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为点E 为AD 的中点,2AD BC =,所以AE BC =, 因为//AD BC ,所以//AE BC ,所以四边形ABCD 是平行四边形, 因为AB BC =,所以平行四边形ABCE 是菱形,所以AC BE ⊥,因为平面BEFG ⊥平面ABCD ,且平面BEFG ⋂平面ABCD BE =,所以AC ⊥平面BEFG .因为AC ⊆平面ACF ,所以平面ACF ⊥平面BEFG .（2）记AC ,BE 的交点为O ,再取FG 的中点P .由题意可知AC ,BE ,OP 两两垂直,故以O 为坐标原点,以射线OB ,OC ,OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.因为底面ABCD 是等腰梯形,//,224AD BC AD AB BC ===,所以四边形ABCE 是菱形，且60BAD ︒∠=,所以(0,3,0),(1,0,0),(1,0,0),(2,3,0),(1,0,2)A B E DF ----,则(1,3,0),(2,0,2),(3,3,0)AB BF BD ==-=-u u u r u u u r u u u r,设平面ABF 的法向量为()111,,m x y z =u r,则111130220m AB x y m BF x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u v v ,不妨取11y =-,则(3,1,3)m =-u r ,设平面DBF 的法向量为()222,,n x y z =r,则2222330220n BD x y n BF x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u v v ,不妨取21x =,则(1,3,1)n =r , 故3105cos ,||||75m n m n m n ⋅〈〉===⨯u r ru r r u r r .记二面角A BF D --的大小为θ,故3470sin 13535θ=-=.【点睛】本题考查了面面垂直的证明,考查了二面角的求法,利用空间向量求平面的法向量是解决空间角问题的常见方法,属于中档题. 21．已知函数()e 2xf x m x m =--.（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）y x =-；（2）[2,)+∞【解析】（1）1m =,对函数()y f x =求导,分别求出(0)f 和(0)f ',即可求出()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程;（2）对()f x 求导,分2m ≥、02m <<和0m ≤三种情况讨论()f x 的单调性,再结合()0f x >在(0,)+∞上恒成立,可求得m 的取值范围.【详解】（1）因为1m =,所以()e 21xf x x =--,所以()e 2xf x '=-,则(0)0,(0)1f f '==-,故曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-.（2）因为()e 2x f x m x m =--,所以()e 2xf x m '=-,①当2m ≥时,()0f x '>在(0,)+∞上恒成立,则()f x 在(0,)+∞上单调递增, 从而()(0)0f x f >=成立,故2m ≥符合题意; ②当02m <<时,令()0f x '<,解得20lnx m <<,即()f x 在20,ln m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,则2ln(0)0f f m ⎛⎫<= ⎪⎝⎭,故02m <<不符合题意; ③当0m ≤时,0()e 2xf x m '-<=在(0,)+∞上恒成立,即()f x 在(0,)+∞上单调递减,则()(0)0f x f <=,故0m ≤不符合题意. 综上,m 的取值范围为[2,)+∞. 【点睛】本题考查了曲线的切线方程的求法,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了不等式恒成立问题,利用分类讨论是解决本题的较好方法,属于中档题. 22．已知函数2()52ln f x x x x =-+. （1）求()f x 的极值；（2）若()()()123f x f x f x ==，且123x x x <<，证明：121x x +>. 【答案】（1）()f x 极大值为92ln 24--；极小值为62ln 2-+；（2）见解析 【解析】（1）对函数()f x 求导,进而可求出单调性,从而可求出函数的极值; （2）构造函数1()()(1),0,2F x f x f x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭,求导并判断单调性可得()0F x <,从而()(1)f x f x <-在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立,再结合110,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()()()2111f x f x f x =<-,可得到211x x >-,即可证明结论成立.【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+,2(21)(2)()25(0)x x f x x x x x'--=-+=>, 所以当10,(2,)2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭U 时,()0f x '>;当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '<,则()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和(2,)+∞,单调递减区间为1,22⎛⎫⎪⎝⎭. 故()f x 的极大值为115192ln 2ln 224224f ⎛⎫=-+=--⎪⎝⎭;()f x 的极小值为(2)4102ln 262ln 2f =-+=-+.（2）证明:由（1）知1231022x x x <<<<<, 设函数1()()(1),0,2F x f x f x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭, 则()()()22()52ln 1512ln 1F x x x x x x x ⎡⎤=-+----+-⎣⎦,2(21)(2)(21)(1)2(21)()1(1)x x x x x F x x x x x ---+-'=+=--,则()0F x '>在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立,即()F x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,故1()2F x F ⎛⎫< ⎪⎝⎭,又1110222F f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则1()()(1)0,0,2F x f x f x x ⎛⎫=--<∈ ⎪⎝⎭, 即()(1)f x f x <-在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立.因为110,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以()()111f x f x <-, 又()()21f x f x =,则()()211f x f x <-,因为211,1,22x x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,且()f x 在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减, 所以211x x >-,故121x x +>. 【点睛】本题考查函数的单调性与极值,考查了利用导数证明不等式,构造函数是解决本题的关键,属于难题.。
甘肃省白银市靖远县2019-2020学年高一上学期期末考试联考数学试题(解析版)
甘肃省白银市靖远县2019-2020学年 高一上学期期末考试联考试题一､选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}|12A x x =-<<，{}|10B x x =-<，则()AB =R（ ）A. {}|12x x <<B. {}|12x x <≤C.{}|12x x ≤<D.{}|12x x ≤≤【答案】C 【解析】因为集合{}{}|10|1B x x x x =-<=<，所以{}|1C B x x =≥R ，所以(){}|12AC B x x =≤<R .故选：C. 2.函数()()lg 2f x x =+的定义域是（ ）A.(]2,5- B.()2,5-C.(]2,5 D.()2,5【答案】A【解析】由()()lg 2f x x +，得5020x x -≥⎧⎨+>⎩，即52x x ≤⎧⎨>-⎩，所以(]2,5x ∈-. 故选：A. 3.若直线220x y 与()3510x a y +-+=平行，则a 的值为（ ）A. 1B. -1C. 132D. 132-【答案】B【解析】因为直线220x y 与()3510x a y +-+=平行，所以351122a -=≠-，解得1a =-.故选：B.4.函数()542xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间是( )A()1,2B.()2,3C.()3,4D.()0,1【答案】A【解析】()f x 是单调递增函数,且()3102f =-<,()9204f =>,所以()f x 的零点所在的区间为()1,2故选：A. 5.已知()3,0A ,()0,2B ,()2,6C ,则ABC ∆的BC 边上的中线所在的直线方程为( )A. 260x y ++=B. 260x y +-=C. 260x y --=D. 210x y --=【答案】B【解析】BC 的中点为()1,4D ,2AD k =-,∴BC 边上的中线所在的直线方程为()23y x =--,即260x y +-=.故选：B.6.若直线20x y ++=被圆224x y +=截得的弦长为则m =( )A.B. 5C. 10D. 25【答案】B【解析】圆的圆心坐标为()0,0,半径2r,直线被圆截得的弦长为1=,则5m =.故选：B. 7.若实数0.2log 0.3a =，0.3log 0.2b =，0.3log 2c =，则（ ）A. c b a <<B. c a b <<C. a b c <<D. b a c <<【答案】B【解析】因为对数函数0.2log y x=是单调递减的，所以0.20.2log 0.3log 0.21a =<=，同理，0.30.3log 0.2log 0.31b =>=，所以01a b <<<，而0.30.3log 2log 10c =<=，所以c a b <<.故选：B.8.已知圆柱的底面圆的面积为9π，高为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ） A. 16π B. 20π C. 40π D. 40π3【答案】C【解析】因为圆柱的底面圆的面积为9π，所以圆柱的底面圆的半径为3r =，又因为圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，所以该球的半径R ==则该球的表面积为24π40πR =. 故选：C. 9.函数()()32ln f x x x x=+的部分图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】由题意，3()(2)ln ()f x x x x f x -=-+-=-，即()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，所以排除A ，B ； 当01x <<时，()0f x >；当1x >时，()0f x >，排除D.故选：C .【点睛】本题考查由函数解析式判断性质进而识别图像，属于中等题型. 10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. 115πB. 140πC. 165πD. 215π【答案】A【解析】由三视图可知,该几何体由一个半球与一个圆锥拼接而成， 且球的半径和圆锥底面圆半径相同，如图所示：由三视图可知，半球半径为5，所以半球的表面积为21×4π×5=50π2， 圆锥的底面圆半径为5，母线长为13，所以圆锥的侧面积为π51365π⨯⨯=， 所以该几何体的表面积65π50π115πS =+=.故选：A. 11.已知()2,0A -,()2,0B ,点P 是圆C :()(2231x y -+=上的动点,则22AP BP+的最小值为( ) A. 9B. 14C. 18D. 26【答案】D的【解析】设O 为坐标原点,(),P x y ,则()()22222222AP BP x y x y +=+++-+()2222828x y PO =++=+,又()()222min 419PO OC r =-=-=,所以()22min18826AP BP+=+=.故选：D.12.设1x ,2x ,3x 分别是方程3log 3x x +=,()3log 2x +=,e ln 4x x =+的实根,则( ) A.123x x x <+ B.213x x x << C.231x x x << D.321x x x <<【答案】C 【解析】由题,对于3log 3x x +=,由3log y x=与3y x =-的图像,如图所示,可得123x <<；对于()3log 2x +=由()3log 2y x =+与y =,如图所示,可得210x -<<；对于e ln 4xx =+,由e 4xy =-与ln y x =的图像,如图所示,可得()30,1x ∈或()31,2x ∈，故231x x x <<二､填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.已知点()3,1A ，()1,3B -，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为______. 【答案】()()22125x y -+-=【解析】因为圆心的坐标为()1,2，()()22231125R =-+-=，所以该圆的标准方程为()()22125x y -+-=.故答案为：()()22125x y -+-=．14.已知函数()()25f x x αα=-是幂函数，则()f α=______.【答案】27 【解析】因为()()25f x x αα=-是幂函数，所以251α-=，解得3α=，即()3f x x =，所以()()327f f α==.故答案为：27.15.已知圆1C ：()()222110x y -+-=与圆2C ：2260x y x y +--=，则两圆的公共弦所在的直线方程为______. 【答案】250x y --= 【解析】将圆1C ：()()222110x y -+-=化为224250x y x y +---=， 联立两圆方程2222425060x y x y x y x y ⎧+---=⎨+--=⎩两圆方程相减，得两圆公共弦所在直线的方程为250x y --=. 故答案为：250x y --=.16.如图，在ABC ∆中，AB BC ⊥，D ，E 分别为AB ，AC 边上的中点，且4AB =，2BC =.现将ADE ∆沿DE 折起，使得A 到达1A 的位置，且160A DB ∠=︒，则1A C =______.【答案】【解析】易知DE BD ⊥，1DE A D⊥，1BDA D D=，所以DE ⊥平面1A BD，因为160A DB ∠=︒，12A D BD ==，所以12A B =.又//BC DE ，所以BC ⊥平面1A BD，所以1BC A B⊥，从而1AC ==.故答案为：三､解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知集合{|2A x x a =≤-或}3x a >+,(){}33|log log 5B x y x x ==+-.(1)当1a =时,求A B ;(2)若AB B =,求实数a 的取值范围.【解】(1)因为050x x >⎧⎨->⎩,所以05x <<,即{}|05B x x =<<,当1a =时,{|1A x x =≤-或}4x >,所以{|1A B x x ⋃=≤-或}0x >.(2)因为AB B =,所以B A ⊆, {}|05B x x =<<,则30a +≤或25a -≥,即3a ≤-或7a ≥, 所以实数a 的取值范围为(][),37,-∞-+∞.18.已知直线l 的方程为43120x y +-=，1l与l 垂直且过点()1,3--.（1）求直线1l的方程；（2）若直线2l 经过1l 与l 的交点，且垂直于x 轴，求直线2l的方程. 【解】（1）由1l 与l 垂直，则可设1l：340x y m -+=， ∵1l过()1,3--，∴()()31430m ⨯--⨯-+=，解得9m =-，∴1l：3490x y --=. （2）联立1l 与l ，可得1l与l 的交点坐标为()3,0，又2l 垂直于x 轴，则直线2l的方程为3x =.19.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()232f x x ax a=++-.（1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围.【解】（1）因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，当0x <时，0x ->，则()()()232f x x a x a -=-+-+-()232x ax a f x =-+-=-，所以()()2320x ax a f x x =-+-+<，所以()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩.（2）若()f x 是R 上的单调函数，且()00f =，则实数a 满足02320a a ⎧-≤⎪⎨⎪-≥⎩，解得302a ≤≤， 故实数a 的取值范围是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.20.已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，且圆C 与y 轴相切，点()2,4P 在圆C 上.（1）求圆C 的方程； （2）若直线l ：()140m x y m ++++=与圆C 交于A ，B 两点，且8AB =，求m 的值.【解】（1）设圆心(),0C a ，则圆C 的方程可设为()222x a y a -+=.因为点()2,4P 在圆C 上，所以()22224a a -+=，解得5a =.故圆C 的方程为()22525x y -+=.（2）由（1）可知圆C 的圆心()5,0C ，半径=5r .因为8AB =，所以圆心C 到直线l 的距离3d ===，即231070m m ++=，解得1m =-或73m =-.21.如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，AC AP =，PA ⊥平面ABC ，过A 作AD PB ⊥于D ，过D 作DE PC ⊥于E ，连接AE .（1）证明：AE PC ⊥. （2）求三棱锥P ADE -的体积.【解】（1）证明：因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥. 又AB BC ⊥，PAAB A =，所以BC ⊥平面PAB ，所以BC AD ⊥， 又AD PB ⊥，PB BC B ⋂=， 所以AD ⊥平面PBC ，从而AD PC ⊥.又DE PC ⊥，AD DE D ⋂=，所以PC ⊥平面ADE . 因为AE ⊂平面ADE ，所以AE PC ⊥.（2）解：由（1）知PE 是三棱锥P ADE -的高，所以13P ADE ADE V S PE-∆=⋅.由已知5AC PA ==，又AB AP AD BP ⋅==122AE PE PC ===，由（1）知AD ⊥平面PBC ，则AD DE ⊥，所以DE ==，所以1122ADE S AD DE ∆=⋅==所以1112533234P ADE ADE V S PE -∆=⋅==. 22.已知函数2e 2e ()3x xf x -+=，其中e 为自然对数的底数.(1)证明:()f x 在(0,)+∞上单调递增；(2)函数25()3g x x =-，如果总存在1[,](0)x a a a ∈->，对任意()()212,x f x g x ∈R 都成立，求实数a 的取值范围. 【解】（1）设120x x <<，则11221222()()()()33x x x x f x f x e e e e ---=+-+1212211[()()]3x x x x e e e e =-+-1212122()(1)x x x x x x e e e e e e --=，∵120x x <<，∴12x x e e <，121xx e e>，∴12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，∴()f x (0,)+∞上单调递增；（2）总存1[,](0)x a a a ∈->，对任意()()212,x f x g x ∈R 都成立，即maxmax()()f x g x ≥，25()3g x x =-的最大值为max 5()3g x =， 22()3x xe ef x -+=是偶函数，在(0,)+∞是增函数，∴当[,]x a a ∈-时，max 22()()3a a e e f x f a -+==， ∴22533a a e e -+≥，整理得22520a a e e -+≥，(2)(21)0a a e e --≥， ∵0a >，∴1a e >，即210a e ->，∴20a e -≥，∴ln 2a ≥．即a 的取值范围是[ln 2,)+∞．。
2019-2020年高一上学期期末联考数学试题 含答案
2019-2020年高一上学期期末联考数学试题含答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，第Ⅰ卷为1-8题，共40分，第Ⅱ卷为9-20题，共110分. 全卷共计150分. 考试时间为120分钟.注意事项：1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上.3、考试结束，监考人员将答题卡收回.参考公式：锥体的体积公式，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高.第I卷（本卷共计40 分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 直线x+y+1=0的倾斜角和在y轴上的截距分别为（）A. 135︒，-1B. 135︒，1C. 45︒，-1D. 45︒，12. 已知A, B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3}，A∩(C U B) ={9}，则A=（）A. {1,3}B. {3,7,9}C. {3,5,9}D. {3,9}3. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的函数是（）A. y =x3B. y =|x|+1C. y = -x2+1D. y =2-|x|4. 给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ②和④5. 如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下列结论中不正确．．．的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1角为60°6. 某四面体的三视图如右图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．8 B．C．10 D．7. 已知点A(-5, 4)、B(3, 2), 过点C(-1, 2), 且与点A、B的距离相等的直线方程是（）A. x+4y-7=0B. 4x-y+7=0C. x+4y-7=0或x+1=0D. x+4y-7=0或4x-y+7=08. 设a>1，若对任意的x∈[a, 2a]，都有y∈[a, a2] 满足方程log a x+log a y =3,这时a的取值的集合为（）A．{a|1<a≤2} B．{a|a≥2} C．{a|2≤a≤3} D．{2,3}第II卷（本卷共计110 分）注意事项：请用黑色墨水签字笔在答题卡．．．上作答，在试题卷上答题无效.二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）9. 函数y =lg(1-x)的定义域为___________.10. 函数f(x)=e x+x-2的零点个数为___________.11. 正方体的八个顶点中，有四个顶点恰好是正四面体的顶点，则正四面体的体积与正方体的体积之比是_________.12.已知直线l：x-y+4=0与圆C: (x-1)2+(y-1)2=2，则C上各点到l的距离的最小值为______.13. 若函数f(x)=log a x(a>0, a≠1)在区间上的最大值为1，最小值为m，且函数g(x)=(m+1)x2在区间[0, +∞)上是增函数，则a =_________.14. 据气象台预报：在我市正南方400km的海面A处有一台风中心，正以每小时40km的速度向西北方向移动，在距台风中心300km以内的地区将受其影响. 从现在起经过约__________小时，台风将影响我市.（结果精确到0.1小时）三、解答题：（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．(本小题满分12分)已知∆ABC的顶点为A(1, 3)，B(3, 1)，C(-1, 0).AO ∙BCV（I ）求AB 边所在直线的方程； （II ）求∆ABC 的面积．16．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，A 1A =AC =BC =1，AB =， 点D 是AB 的中点. （I ）求证：AC 1//平面CDB 1; （II ）求三棱锥A 1-ABC 1的体积.17．(本小题满分14分)如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上不同于A 、B 的一点，VA ⊥平面ABC ，VA =AB . （I ）证明：平面VAC ⊥平面VBC ；（II ）当三棱锥A-VBC 的体积最大值时，求VB 与平面VAC 所成角的大小.18．(本小题满分14分)已知圆C 的半径为2，圆心C 在x 轴的正半轴上，直线3x -4y +4=0与圆C 相切.（I）求圆C的方程；（II）是否存在过点P(0, -3)的直线l与圆C交于不同两点A、B，且弦AB的垂直平分线m 过点Q(3, -3)，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.19．(本小题满分14分)如图，长方形物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动，速度为v(v>0)，物体E移动时单位时间．．．．内的淋雨量包括两部分：①P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，设其值与|v-4|⨯S成正比，比例系数为；②其它面的淋雨量之和，其值为，记y为物体E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时.（Ⅰ）写出y的表达式;（Ⅱ）设0<v≤10，试确定移动速度v，使总淋雨量y最少.20．(本小题满分14分)已知函数f(x)=ax2+bx+1(a≠0)对于任意x∈R都有f(1+x)=f(1-x)，且函数y=f(x)+2x为偶函数；函数g(x)=1-2x.(I) 求函数f(x)的表达式；(II) 求证：方程f(x)+g(x)=0在区间[0, 1]上有唯一实数根；(III) 若有f(m)=g(n)，求实数n的取值范围.xx－xx第一学期期末三校联考高一数学答案及评分标准说明：1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题每小题5分，满分30分．9. (-∞, 1) 10. 1 11. 1:3 12. 13. 14. 4.6三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．(本小题满分12分) 解：（I ）AB 边所在直线的方程为， …………2分即x+y-4=0. …………4分 （II ）22)31()13(|AB |22=-+-=， …………6分点C 到直线AB 的距离，就是AB 边上的高h ， …………10分所以，5252221h |AB |21S ABC =⨯⨯=⋅=∆. …………12分 16．(本小题满分12分) 证：（I ） 设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ，∵ D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴ DE//AC 1， …………3分 ∵ DE ⊂平面CDB 1， AC 1⊄平面CDB 1，∴ AC 1//平面CDB 1. …………5分 （II ）底面三边长AC=BC=1，AB=， ∴ AC ⊥BC ， …………7分∵A 1A ⊥底面ABC ，∴ A 1A ⊥BC ；而A 1A ⋂AC=C ， ∴ BC ⊥面AA 1C 1C ， 则BC 为三棱锥B -A 1AC 1的高； ……9分 ∴ 6112113*********=⨯⨯⨯=⨯==--BC S V V AC A AC A B ABC A ∆. …………12分 （注：若用其他求得，相同标准给分）17．(本小题满分14分)（I ）证明：∵AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，∴BC ⊥AC ， …………2分由VA ⊥平面ABC ， ∴BC ⊥VA ，而AC ⋂VA=A ， ∴ BC ⊥面VAC ， …………4分 由BC ⊂平面VBC ， ∴平面VAC ⊥平面VBC. …………6分（II ）方法1：∵VA ⊥平面ABC ，∴VA 为三棱锥V-ABC 的高，则ABC ABC ABC V VBC A S 3a 2VA S 31V V ∆∆--=⋅==，当∆ABC 的面积最大时，最大. …………8分 设AB=2a ，设BC=x (0<x<2a)，则，则)x a 4(x 21x a 4x 21S 22222ABC -=-⋅=∆∴当x 2=2a 2时，即时，∆ABC 的面积最大，最大. …10分由(1)知：BC ⊥面VAC ，则∠BVC 为VB 与平面VAC 所成角， …………12分 在Rt ∆VBC 中，，，， ∴∠BVC=30︒，故直线VB 与平面VAC 所成角为30︒. …………14分 方法2：∵VA ⊥平面ABC ，∴VA 为三棱锥V-ABC 的高，则ABC ABC ABC V VBC A S 3a 2VA S 31V V ∆∆--=⋅==，当∆ABC 的面积最大时，最大. …………8分 设AB=2a ，过点C 做CM ⊥AB ，垂足为M ， 则∴当M 与O 重合时，CM 最大，此时， ∴当，∆ABC 的面积最大，最大. …10分 （下同方法1） 18．(本小题满分14分) 解：（I ）设圆心为C(a, 0)(a>0)，则圆C 的方程为(x-a)2+y 2=4， …………1分因为圆C 与3x-4y+4=0相切，所以10|43|,243|43|22=+=++a a 即， …………4分解得a=2或（舍去）， …………5分所以圆C 的方程为(x-2)2+y 2=4. …………6分 （II ）假设符合条件的直线l 存在，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y=kx-3，∵直线l 与圆相交于不同两点，则圆心C 到直线l 的距离 ，解得， …………9分直线m 的方程为， 即x+ky+3k-3=0．由于直线m 垂直平分弦AB ，故圆心C(2,0)必在直线m 上, 解得. ……12分 而，故不存在直线l ，使得过点Q(3, -3)的直线m 垂直平分弦AB ． …………14分 19．(本小题满分14分) 解：（I ）由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为， …………3分故. …………6分 （II ）由(I)知，当0<v ≤4时，当4<v ≤10时，故⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<-=104,151040,15110v vv v y . …………10分 在(0,4]上，y 是关于v 的减函数；在(4,10]上，y 是关于v 的增函数； …………12分 则当v=4时，.故移动速度v =4时，使总淋雨量y 最少. …………14分 20．(本小题满分14分)解:（I ）∵对于任意x ∈R 都有f(1+x)=f(1-x),∴函数f(x)的对称轴为x=1，得b=-2a.……2分又函数y=f(x)+2x= ax 2+(b+2)x+1为偶函数， ∴b= -2．a=1.∴f(x)= x 2-2x+1= (x-1)2. …………4分（II ）设h(x)= f(x)+g(x)= (x-1)2+1-2x,∵ h(0)=2-20= 1>0，h(1)= -1<0，∴ h(0)h(1)<0. …………6分又∵(x-1)2, -2x在区间[0,1]上均单调递减，所以h(x)在区间[0,1]上单调递减，……………8分∴ h(x)在区间[0,1]上存在唯一零点.故方程f(x)+g(x)=0在区间[0, 1]上有唯一实数根. …………9分（注：若用图象说明，视说理情况酌情给部分分数）（III）由题可知∴f(x)=(x-1)2≥0．g(x)= 1-2x <1, …………11分若有f(m)=g(n)，则g(n)∈[0, 1)，…………13分则1-2n≥0，解得n≤0.故n的取值范围是n≤0. …………14分。
甘肃省白银市2019-2020学年数学高一第一学期期末经典模拟试题
高一数学期末模拟试卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题1．在区间[3,3]-上随机选取一个数，则满足1x ≤的概率为( ) A ．16B ．13C ．12D ．232．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ）A.2B.92C.143D.53．已知函数()y f x =在区间(－∞,0)内单调递增，且()()f x f x -=，若()1.2121log 3,2,2a f b f c f -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b c a >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．a b c >>4．若对任意实数[,]x a b ∈，均有0)cos (sin cos sin 2≤++-m x x m x x 恒成立，则下列结论中正确的是（ ）A ．当1m =时，b a -的最大值为2π B．当m =时，b a -的最大值为π C ．当12m =时，b a -的最大值为π D．当2m =时，b a -的最大值为2π5．已知函数()3cos 23f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则（ ）A.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B.()f x 的图象关于5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C.()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上的最大值为3D.()f x 的图象的一条对称轴为512x π=6．已知全集{}0,1,2,3,4U =，{}0,1,2M =，{}2,3N =，则()U C M N ⋂= ( ) A.{}2B.{}3C.{}2,3,4D.{}0,1,2,3,4 7．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b8．已知函数()f x 满足下列条件：①定义域为[)1,+∞；②当12x <≤时()4sin()2f x x π=；③()2(2)f x f x =. 若关于x 的方程()0f x kx k -+=恰有3个实数解，则实数k 的取值范围是A．11[,)143B．11(,]143C ．1(,2]3D．1[,2)39．在ABC∆中，AB c=u u r r，AC b=u u u r r．若点D满足2BD DC=uu u r u u u r，则AD=u u u r（）A ．2133b c+r rB．5233c b-vvC．2133b c-r rD．1233b c+v v10．已知直三棱柱111C CAB-A B中，C120∠AB=o，2AB=，1C CC1B==，则异面直线1AB与1CB所成角的余弦值为（）A．3B．15C．10D．311．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B==，则A B=UA.{}123,4，， B.{}123，， C.{}234，， D.{}134，，12．已知函数()ln ln(2)f x x x=+-，则A.()f x在（0，2）单调递增 B.()f x在（0，2）单调递减C.()y=f x的图像关于直线x=1对称 D.()y=f x的图像关于点（1，0）对称13．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．B．C．D．514．一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32 m(即OM长)，巨轮的半径长为30 m，AM＝BP＝2m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈．若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为h(t) m，则h(t)等于( )A．30sin＋30 B．30sin＋30C．30sin＋32 D．30sin15．已知等差数列{}n a中，26a=，515a=，若2n nb a=，则数列{}n b的前5项和等于（）A．30 B．45 C．90 D．186二、填空题16．已知实数,x y满足不等式组201030yx yx y-≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则yx的取值范围为__________．17．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB＝5bcosA，asinA﹣bsinB＝2sinC，则边c 的值为_______．18．函数y ＝sin 2x ＋2cosx 在区间[－2π3，a]上的值域为[－14，2]，则a 的取值范围是__. 19．已知函数()2sin()46x f x π=+，若对任意x ∈R 都有12()()()f x f x f x ≤≤（12,x x R ∈）成立，则12x x -的最小值为__________．三、解答题20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PCD V 为等边三角形，且平面PCD ⊥平面ABCD .H 为PD 的中点，M 为BC 的中点，过点B ，C ，H 的平面交PA 于G .（1）求证：GM P 平面PCD ； （2）若43AB BC =时，求二面角P BG H --的余弦值. 21．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，各个侧面均是边长为2的正方形，D 为线段AC 的中点.(1)求证:直线1AB ∥平面1BC D ；(2)求直线1C B 与平面11ACC A 所成角的余弦值；(3)设M 为线段1C B 上任意一点，在1BC D ∆内的平面区域(包括边界)是否存在点E ，使CE DM ⊥，并说明理由.22．已知甲、乙两个旅游景点之间有一条5km 的直线型水路，一艘游轮以/xkm h 的速度航行时(考虑到航线安全要求2050)x ≤≤，每小时使用的燃料费用为40x k -万元(k 为常数，且11)155k ≤≤，其他费用为每小时1x万元． ()1若游轮以30/km h 的速度航行时，每小时使用的燃料费用为58万元，要使每小时的所有费用不超过910万元，求x 的取值范围； ()2求该游轮单程航行所需总费用的最小值．23．已知向量()sin ,cos a x x =r 、()cos ,cos b x x =r ，()f x a b =⋅rr ，x R ∈．(Ⅰ)求()f x 的最大值；(Ⅱ)若将函数()y f x =的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位，所得到的曲线关于y 轴对称，求ϕ的最小值．24．已知函数2()()f x x ax a R =-∈. （1）若2a =，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若[1,)x ∈+∞时，2()2f x x ≥--恒成立，求a 的取值范围.25．如图，△ABC 是边长为2的正三角形，AE ⊥平面ABC ，且AE=1，又平面BCD ⊥平面ABC ，且BD=CD ，BD ⊥CD ．（1）求证：AE ∥平面BCD ； （2）求证：平面BDE ⊥平面CDE ．【参考答案】一、选择题 1．D 2．B 3．A 4．B 5．B 6．B 7．B 8．D 9．A 10．C 11．A 12．C 13．C 14．B 15．C 二、填空题16．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦17．318．[0，2π3] 19．4π三、解答题20．(1)证明略；(2)1421．(1)略3）存在点E ，使CE DM ⊥，详略 22．（1）[]20,40；（2）略23．(Ⅰ)12；(Ⅱ)38π24．（1）{|1x x ≤-或3}x ≥；（2）(,4]-∞. 25．（1）证明略；（2）证明略高一数学期末模拟试卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
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甘肃省白银市靖远县2019-2020学年高一第一学期期末考试联考试题数学【解析版】一､选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|12A x x =-<<，{}|10B x x =-<，则()A B =R（ ）A. {}|12x x <<B. {}|12x x <≤C. {}|12x x ≤<D. {}|12x x ≤≤【答案】C 【解析】 【分析】确定集合B ，由集合运算的定义求解．【详解】因为集合{}{}|10|1B x x x x =-<=<，所以{}|1R C B x x =≥，所以(){}|12R AC B x x =≤<.故选：C.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题． 2.函数()()5lg 2f x x x =-+的定义域是（ ） A. (]2,5- B. ()2,5-C. (]2,5D. ()2,5【答案】A 【解析】 【分析】使解析式有意义，因此必须有5x 0-≥且20x +>．【详解】由()()5lg 2f x x x =-+，得5020x x -≥⎧⎨+>⎩，即52x x ≤⎧⎨>-⎩，所以(]2,5x ∈-.故选：A.【点睛】本题考查求函数定义域，即求使函数式有意义的自变量的取值范围． 3.若直线220x y 与()3510x a y +-+=平行，则a 的值为（ ）A. 1B. -1C.132D. 132-【答案】B 【解析】 【分析】由两直线平行的充要条件计算． 【详解】因为直线220x y 与()3510x a y +-+=平行，所以351122a -=≠-，解得1a =-.故选：B.【点睛】本题考查两直线平行的充要条件．两直线1112220,0A x B y C A x B y C ++=++=平行，12210A B A B -=是必要条件，不是充要条件，仅由12210A B A B -=求出参数值，一般要代入直线方程检验是否平行．4.函数()542xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间是( )A ()1,2 B. ()2,3C. ()3,4D. ()0,1【答案】A 【解析】 【分析】根据函数单调递增和()10f <,()20f >得到答案. 【详解】()f x 是单调递增函数,且()3102f =-<,()9204f =>,所以()f x 的零点所在的区间为()1,2 故选：A【点睛】本题考查了零点所在的区间，意在考查学生对于零点存在定理的应用.5.已知()3,0A ,()0,2B ,()2,6C ,则ABC ∆的BC 边上的中线所在的直线方程为( ) A. 260x y ++= B. 260x y +-= C. 260x y --= D. 210x y --=【答案】B 【解析】 【分析】计算得到()1,4D ，2AD k =-，再计算直线方程得到答案.【详解】BC 的中点为()1,4D ,2AD k =-,∴BC 边上的中线所在的直线方程为()23y x =--,即260x y +-=. 故选：B【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力.6.若直线20x y m ++=被圆224x y +=截得的弦长为3则m =( )5 B. 5 C. 10 D. 25【答案】B 【解析】 【分析】圆的圆心坐标为()0,0,半径2r15m=，计算得到答案. 【详解】圆的圆心坐标为()0,0,半径2r,直线被圆截得的弦长为315m=,则5m =. 故选：B【点睛】本题考查了根据弦长求参数，意在考查学生的计算能力. 7.若实数0.2log 0.3a =，0.3log 0.2b =，0.3log 2c =，则（ ） A. c b a << B. c a b <<C. a b c <<D. b a c <<【答案】B 【解析】 【分析】与中间值 0和1比较后可得．【详解】因为对数函数0.2log y x =是单调递减的，所以0.20.2log 0.3log 0.21a =<=，同理，0.30.3log 0.2log 0.31b =>=，所以01a b <<<，而0.30.3log 2log 10c =<=，所以c a b <<.故选：B.【点睛】本题考查比较对数的大小，对于同底数的对数，可以利用对数函数的单调性比较，不同底数的对数可以与中间值0，1等比较后得出结论．8.已知圆柱的底面圆的面积为9π，高为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ） A. 16π B. 20π C. 40πD.403π【答案】C 【解析】 【分析】圆柱轴截面的对角线是球的直径，由此可求得球半径．【详解】因为圆柱的底面圆的面积为9π，所以圆柱的底面圆的半径为3r =，又因为圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，所以该球的半径221310R =+=，则该球的表面积为2440R ππ=. 故选：C.【点睛】本题考查球与内接圆柱的关系，可通过作圆柱的轴截面与球联系，圆柱的轴截面矩形的外接圆是球的大圆．9.函数()()32ln f x x x x =+的部分图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式，判断函数的奇偶性，排除A 、B ，再根据函数值的正负情况，即可判断.【详解】由题意，3()(2)ln ()f x x x x f x -=-+-=-，即()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，所以排除A ，B ；当01x <<时，()0f x >；当1x >时，()0f x >，排除D 故选：C.【点睛】本题考查由函数解析式判断性质进而识别图像，属于中等题型. 10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. 115πB. 140πC. 165πD. 215π【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图，得到原几何体，结合三视图中的线段长度，计算出每部分的表面积，从而得到答案. 【详解】由三视图可知,该几何体由一个半球与一个圆锥拼接而成， 且球的半径和圆锥底面圆半径相同，如图所示 由三视图可知，半球半径为5， 所以半球的表面积为2145=502ππ⨯⨯， 圆锥的底面圆半径为5，母线长为13， 所以圆锥的侧面积为51365ππ⨯⨯=， 所以该几何体的表面积6550115S πππ=+=.故选：A.【点睛】本题考查由三视图还原几何体，求球的表面积和圆锥侧面积，属于简单题. 11.已知()2,0A -,()2,0B ,点P 是圆C :()(22371x y -+-=上的动点,则22AP BP +的最小值为( ) A. 9 B. 14 C. 18 D. 26【答案】D 【解析】 【分析】设O 为坐标原点，(),P x y ，化简得到22228AP BP PO +=+，再计算()22min 9PO OC r =-=得到答案.【详解】设O 为坐标原点,(),P x y ,则()()22222222AP BP x y x y +=+++-+()2222828x yPO=++=+,又()()222min 419PO OC r =-=-=,所以()22min18826AP BP+=+=.故选：D【点睛】本题考查了圆相关的最值问题，变换22228AP BP PO +=+是解题的关键. 12.设1x ,2x ,3x 分别是方程3log 3x x +=,()3log 2x x +=-ln 4x e x =+的实根,则( ) A. 123x x x <+ B. 213x x x <<C. 231x x x <<D. 321x x x <<【答案】C【解析】 【分析】将方程有实根转化为两函数有交点,利用图像判断交点的位置,进而判断选项 【详解】由题,对于3log 3x x +=,由3log y x =与3y x =-的图像,如图所示,可得123x <<；对于()3log 2x x +=-,由()3log 2y x =+与y x =-的图像,如图所示,可得210x -<<；对于ln 4x e x =+,由4xy e =-与ln y x =的图像,如图所示,可得()30,1x ∈或()31,2x ∈ 故231x x x <<【点睛】本题考查零点的分布,考查转化思想与数形结合思想第Ⅱ卷二､填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知点()3,1A ，()1,3B -，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为______. 【答案】()()22125x y -+-= 【解析】 【分析】求出圆心坐标和半径可得．【详解】因为圆心的坐标为()1,2，()()22231125R =-+-=，所以该圆的标准方程为()()22125x y -+-=.故答案为：()()22125x y -+-=．【点睛】本题考查求圆的标准方程，属于基础题． 14.已知函数()()25f x x αα=-是幂函数，则()fα=______.【答案】27 【解析】 【分析】根据幂函数定义求出参数α．【详解】因为()()25f x x αα=-是幂函数，所以251α-=，解得3α=，即()3f x x =，所以()()327f f α==.故答案为：27.【点睛】本题考查幂函数的概念，属于基础题．15.已知圆1C ：()()222110x y -+-=与圆2C ：2260x y x y +--=，则两圆的公共弦所在的直线方程为______.【答案】250x y --= 【解析】 分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程．【详解】将圆1C ：()()222110x y -+-=化为224250x y x y +---=，联立两圆方程2222425060x y x y x y x y ⎧+---=⎨+--=⎩两圆方程相减，得两圆公共弦所在直线的方程为250x y --=.故答案为：250x y --=.【点睛】本题考查两圆相交，求公共弦所在直线方程．不需要求出交点坐标，只要两圆方程相减即得． 16.如图，在ABC ∆中，AB BC ⊥，D ，E 分别为AB ，AC 边上的中点，且4AB =，2BC =.现将ADE ∆沿DE 折起，使得A 到达1A 的位置，且160A DB ∠=︒，则1A C =______.【答案】2 【解析】 【分析】由于折叠过程中DE 与AD 和BD 的垂直关系保持不变，因此可得DE ⊥平面1A BD ，结合平行的性质可得1CB BA ⊥，然后在直角三角形中可求得1A C . 【详解】易知DE BD ⊥，1DE A D ⊥，1BDA D D =，所以DE ⊥平面1A BD ，因为160A DB ∠=︒，12A D BD ==，所以12A B =.又//BC DE ，所以BC ⊥平面1A BD ，所以1BC A B ⊥，从而2212222AC =+=. 故答案为：22【点睛】本题考查空间图形折叠问题，考查线面垂直的判定定理和性质定理．属于中档题． 三､解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知集合{|2A x x a =≤-或}3x a >+,(){}33|log log 5B x y x x ==+-. (1)当1a =时,求A B ;(2)若AB B =,求实数a 的取值范围.【答案】(1){|1x x ≤-或}0x >;(2)(][),37,-∞-+∞.【解析】 【分析】（1）计算{}|05B x x =<<，{|1A x x =≤-或}4x >，再计算A B 得到答案.（2）根据AB B =得到B A ⊆，故30a +≤或25a -≥，计算得到答案.【详解】(1)因为050x x >⎧⎨->⎩,所以05x <<,即{}|05B x x =<<,当1a =时,{|1A x x =≤-或}4x >,所以{|1A B x x ⋃=≤-或}0x >. (2)因为AB B =,所以B A ⊆, {}|05B x x =<<,则30a +≤或25a -≥,即3a ≤-或7a ≥, 所以实数a 的取值范围为(][),37,-∞-+∞.【点睛】本题考查了并集的计算，根据包含关系求参数，意在考查学生对于集合知识的综合应用. 18.已知直线l 的方程为43120x y +-=，1l 与l 垂直且过点()1,3--. （1）求直线1l 的方程；（2）若直线2l 经过1l 与l 的交点，且垂直于x 轴，求直线2l 的方程. 【答案】（1）3490x y --=；（2）3x = 【解析】 【分析】（1）由垂直求出直线1l 斜率，写出点斜式方程后化简即可． （2）求出直线1l 与l 的交点坐标可得2l 方程．【详解】解：（1）由1l 与l 垂直，则可设1l ：340x y m -+=， ∵1l 过()1,3--，∴()()31430m ⨯--⨯-+=， 解得9m =-，∴1l ：3490x y --=.（2）联立1l 与l ，可得1l 与l 的交点坐标为()3,0， 又2l 垂直于x 轴，则直线2l 的方程为3x =.【点睛】本题考查求直线方程，考查两直线垂直的条件．属于基础题．19.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()232f x x ax a =++-.（1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩；（2）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）由奇函数的定义可求得解析式；（2）由分段函数解析式知，函数在R 上单调，则为单调增函数，结合二次函数对称轴和最值可得参数范围．即0x >时要是增函数，且端点处函数值不小于0.【详解】解：（1）因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，当0x <时，0x ->，则()()()232f x x a x a -=-+-+-()232x ax a f x =-+-=-， 所以()()2320x ax a f x x =-+-+<， 所以()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩.（2）若()f x 是R 上的单调函数，且()00f =，则实数a 满足02320a a ⎧-≤⎪⎨⎪-≥⎩， 解得302a ≤≤， 故实数a 的取值范围是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，分段函数在整个定义域上单调，则每一段的单调性相同，相邻端点处函数值满足相应的不等关系．20.已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，且圆C 与y 轴相切，点()2,4P 在圆C 上.（1）求圆C 的方程；（2）若直线l ：()140m x y m ++++=与圆C 交于A ，B 两点，且8AB =，求m 的值.【答案】（1）()22525x y -+=；（2）1m =-或73m =-【解析】【分析】（1）设出圆心坐标为(,0)a ，得圆标准方程()222x a y a -+=，利用P 在圆上求出参数a ；（2）求出圆心到直线的距离d ，然后通过勾股定理列式求得m ．【详解】解：（1）设圆心(),0C a ，则圆C 的方程可设为()222x a y a -+=. 因为点()2,4P 在圆C 上，所以()22224a a -+=，解得5a =. 故圆C 的方程为()22525x y -+=.（2）由（1）可知圆C 的圆心()5,0C ，半径=5r . 因为8AB =，所以圆心C到直线l 的距离()()25142516311m m d m +++==-=++， 即231070m m ++=，解得1m =-或73m =-. 【点睛】本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆相交弦长问题．圆的弦长可通过圆心到直线的距离，圆的半径由勾股定理求得：弦长222l r d =-（d 为弦心距）．21.如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，AC AP =，PA ⊥平面ABC ，过A 作AD PB ⊥于D ，过D 作DE PC ⊥于E ，连接AE .（1）证明：AE PC ⊥.（2）求三棱锥P ADE -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）12534 【解析】【分析】（1）由PA ⊥平面ABC ，得PA BC ⊥，从而得BC ⊥平面PAB ，即得BC AD ⊥，于是有AD ⊥平面PBC ，从而AD PC ⊥，得出PC ⊥平面ADE .最后得证线线垂直；（2）由（1）得PE 是三棱锥P ADE -的高，求出高和底面面积即可得体积．【详解】（1）证明：因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥.又AB BC ⊥，PA AB A =，所以BC ⊥平面PAB ，所以BC AD ⊥，又AD PB ⊥，PB BC B ⋂=，所以AD ⊥平面PBC ，从而AD PC ⊥.又DE PC ⊥，AD DE D ⋂=，所以PC ⊥平面ADE .因为AE ⊂平面ADE ，所以AE PC ⊥.（2）解：由（1）知PE 是三棱锥P ADE -的高，所以13P ADE ADE V S PE -∆=⋅. 由已知22345AC PA +==， 又34AB AP AD BP ⋅== 15222AE PE PC ===， 由（1）知AD ⊥平面PBC ，则AD DE ⊥， 所以2217DE AE AD =-=， 所以11223417172ADE S AD DE ∆=⋅== 所以115212533234172P ADE ADE V S PE -∆=⋅==. 【点睛】本题考查证明线线垂直，考查求三棱锥体积．在证线线垂直时用的是线面垂直的性质定理，而要证线面垂直就要证线线垂直，本题利用线面垂直判定定理和性质定理进行线线垂直与线面垂直的多次转换，务必注意．22.已知函数22()3x xe ef x -+=，其中e 为自然对数的底数. (1)证明:()f x 在(0,)+∞上单调递增；(2)函数25()3g x x =-，如果总存在1[,](0)x a a a ∈->，对任意()()212,x R f x g x ∈都成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）[ln 2,)+∞【解析】【分析】（1）用增函数定义证明；（2）分别求出()f x 和()g x 的最大值，由()f x 的最大值不小于()g x 的最大值可得a 的范围．【详解】（1）设120x x <<， 则11221222()()()()33x x x x f x f x e e e e ---=+-+1212211[()()]3x x x x e e e e=-+- 1212122()(1)x x x x x x e e e e e e--=， ∵120x x <<，∴12x x e e <，121x x e e >，∴12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，∴()f x (0,)+∞上单调递增； （2）总存1[,](0)x a a a ∈->，对任意()()212,x R f xg x ∈都成立，即max max ()()f x g x ≥，25()3g x x =-的最大值为max 5()3g x =， 22()3x x e e f x -+=是偶函数，在(0,)+∞是增函数，∴当[,]x a a ∈-时，max 22()()3a ae ef x f a -+==， ∴22533a a e e -+≥，整理得22520a a e e -+≥，(2)(21)0a a e e --≥， ∵0a >，∴1a e >，即210a e ->，∴20a e -≥，∴ln 2a ≥．即a 的取值范围是[ln 2,)+∞．【点睛】本题考查函数的单调性，考查不等式恒成立问题．单调性的证明只能按照定义的要求进行证明．而不等式恒成立问题要注意问题的转化，本题中问题转化为max max ()()f x g x ≥，如果把量词改为：对任意1x ，总存在2x ，使得12()()f x g x ≥成立，则等价于min min ()()f x g x ≥， 如果把量词改为：对任意1x ，任意2x ，使得12()()f x g x ≥恒成立，则等价于min max ()()f x g x ≥， 如果把量词改为：存在1x ，存在2x ，使得12()()f x g x ≥成立，则等价于max min ()()f x g x ≥.（12,x x 的范围均由题设确定）．。