三角函数中的数学思想方法

三角函数中的数学思想方法

扬中市第二高级中学季成龙

摘要：本文主要研究了三角函数一章中所渗透的各种数学思想。从其涵义出发，具体介绍了数形结合，方程函数，以及化归等解决问题的方法，并通过大量习题详细讲解了它们在本章知识中的应用。在此基础上，提出了运用数学思想探究问题规律的教学观点。

关键词：三角函数；数学思想方法；数形结合思想；化归思想；思维能力三角函数问题是中学数学重要内容之一，在数学的各个分支都有广泛的应用，同时也是历年高考的一个热点。三角函数问题中所蕴涵的数学思想，更是值得我们在教学过程中去开发和领悟。在三角函数一章的学习和复习中，熟练掌握以下几种数学思想方法，有助于提高同学们灵活处理问题和解决问题的能力。

一、数形结合思想-

数形结合思想即运用数与形的关系来解决数学问题。可以借助数的精确性来说明形的某些属性；也可借助形的直观性来阐明数之间的某种关系。体现在三角函数中是利用单位圆中的三角函数线、三角函数图象求三角函数定义域、解三角不等式、求单调区间、讨论方程实根的个数、比较大小等。

例1．函数ln cos

y x

=的定义域是

解析：该函数的定义域即不等式组

2

250

cos0

x

x

⎧-≥

⎨

>

⎩

的解集，即

55

cos0

x

x

-≤≤

⎧

⎨

>

⎩

的解集

若用传统方法则要求{}/55x x -≤≤与/222

2x k x k ππππ⎧⎫

-<<+⎨⎬⎩

⎭

的交集，

比较麻烦，

若画出[]cos ,5,5y x x =∈-的图象如图2所示，再由cos 0x >， 易得335,

,,52222x ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤∈--

-⎪ ⎢⎣

例2．求方程lg sin x x =实根的个数

解析：此方程为超越方程，可通过数形结合法求出方程的实根个数。

在同一坐标系中画出函数lg sin y x y x ==与的图象，

如图3所示，两个图象有三个交点,即方程lg sin x x =有三个实根。

二、 函数与方程思想

三角函数本身就一种特殊的函数，解决三角函数问题自然离不开函数与方程的思想。体现在某些三角函数问题可用函数的思想求解参

数的值（范围）问题；有些三角函数问题可以直接转化为一元二次方程求解，还有一些三角问题，依据题设条件和求角结构，适当选取三角公式联立组成方程组，以达到消元求值的目的，这是方程的思想在三角求值、证明等问题中的最佳表现。

例3．求当函数21

3sin cos 22

y x m x m =+--的最大值为1时m 的值 解析：依据题设条件，可转化为关于cos x 的二次函数，利用二次函数在闭区间上求最值的方法求解。

2

22

11cos cos cos .222422m m m m y x m x x ⎛⎫=-+--=--+-- ⎪⎝

⎭

设cos .1cos 1,1 1.x t x t =-≤≤∴-≤≤

∴求函数2

21cos .2422m m m y x ⎛

⎫=--+-- ⎪⎝

⎭的最大值为1时m 的值等

价于求闭区间上的二次函数2

2

1

.(11)2422m m m y t t ⎛⎫=--+---≤≤ ⎪⎝⎭

的最

大值为1时m 的值

（1）当12m <-时，即2m <时，

1t =-，y 有最大值为3322m --，21

422

m m -- 由题设可知335

1,2223

m m -

-=∴=->-（舍去）； （2）当112m -≤≤时，即22m -≤≤时，2m t =，y 有最大值为21

422

m m --， 由题设可知21

422m m --=1，解得1m =±（正号舍去）

（3）当

12m >时，即2m >时，1t =，y 有最大值为3

22

m -， 由题设可知3

1,522

m m -=∴=

综上可得

1m = 5.a =

例4．已知()1

sin cos ,0,5

x x x π+=∈，求tan x 的值 解法1：直接解方程组

若0,2x π⎛⎫

∈ ⎪

⎝

⎭

，则sin cos ) 1.4

x x x π+=+≥ ,2x ππ⎛⎫

∴∈ ⎪⎝⎭，即sin 0,cos 0.x x ><

由221sin cos ;5sin cos 1x x x x ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得4sin 5

3cos 5x x ⎧

=⎪⎪⎨

⎪=-⎪⎩ 4

tan .3

x ∴=-

解法2：构造一般方程 由1

sin cos 5

x x +=得：12sin cos .25

x x ⋅=- 又()0,,sin 0,cos 0.x x x π∈∴><

以sin ,cos x x 为两个根，构造一元二次方程2112

055

t t --

=，解得1243,55t t ==-，则43sin ,cos 55x x ==-，从而4tan .3

x =- 三、 转化与化归思想

转化与化归思想是解决数学问题的一种重要的思想方法，实质就是实现新问题向旧问题转化，复杂问题向简单问题转化，未知问题向已知问题的转化，抽象问题向具体问题的转化等，从而便于找出问题的解决方法。体现在三角函数中是切化弦、统一角、统一函数名称、换元等手段处理求值（域）、最值、比较大小等问题。

例5．设α为第四象限的角，若5

13sin 3sin =α

α，则tan2α=_________。

解析：因为)

2sin()

2sin(sin 3sin α-αα+α=

αα