第四章小结

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（2）声学波的物理本质 声学格波反映的是原胞的整体振动，或者说是原 胞质心的振动。 （3）光学波是复式格子特有的 光学格波是两种原子保持质心不动的情况下作刚性 的相对振动 （4）q的取值
e
iq 2 Na
1
q
h 2 2 Na
晶格振动的波矢数＝晶体原胞数 晶格振动频率的数目＝晶格的自由度数
爱因斯坦模型只适合于近似描述声子谱中的光学支对热容 的贡献
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分布密度
N 1 3 b1 b 2 b3 (2 ) N1 N 2 N3
＝V／（2π）3
（3）波矢数和格波数 晶格振动的波矢数＝晶体原胞数 晶格振动频率的数目＝晶格的自由度数
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LST关系
LO (0) TO ()
1/ 2
[离子晶体的光学性质] 长光学波和与它频率相同的电磁波相互作用时，可以发生共振吸 收。 7、局域振动 [局域振动的概念] 局限在杂质（或缺陷）附近的晶格振动称为局域振动. [高频模和共振模] 对于一维单原子链,当杂质原子质量与原子链中的原子质量之间的 关系为M’<M时，在原有的频率之上出现的新的频率的模，称为高频模; 当杂质原子比所替代的原子质量重时，即M’>M，将会出现共振模. [隙模] 晶体中杂质或缺陷可能引入一些新的振动模式频率落在频隙之间， 称为隙模。
(q ) (q)
a

(q ) (q)
a



2a
q

2a
[对色散关系的讨论] （1）一维单原子链与一维双原子链的格波解的差异 一维单原子链只有一支格波（一个波矢对应一个格波）— 声学波；而一维双原子链则有两支格波（一个波矢对应两个格 波）— 声学波和光学波，两支格波的频率各有一定的范围：
[两种格波的振幅比]
m 2 B 2 cosaq A
2
m 2 B 2 cos aq A
2
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[ω＋ 与ω－ 都是q 的周期函数]
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6、离子晶体的长光光学波近似 [长光学波的宏观运动方程]
W b11W b12E

P b21W b22 E
b11 0
2
1/ 2 1/ 2 0
b12 b21 [ (0) ()]
这个范围以外的值，不能提供其它不同的波。 q 的取值及范围常 称为布里渊区（Brillouin zones）。
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(3) Born-Von Karman 边界条件
e
i ( Naq )
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[晶格振动谱] （1）对于原胞只含有一个原子的晶格，与一维单原子链类似， 只有声学支。不同之处在于一维单原子链的一个原子只有一个自由
度，相应于一个声学支,现在除了纵波外，还可有两个原子振动方向 与波传播方向垂直的横声学波存在。
（2）对于原胞包含两个以上原子的复式晶格，类似于双原子链， 除声学支外还有光学支，在q＝0 处有非零的振动频率ω。
b22 [ () 1] 0
0
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[长光学波的横波频率ωTO与纵波频率ωLO] 横波方程 d 2 WT
dt2 b11WT
纵波方程
d 2 WL (0) 2 [ ] W 2 dt () 0 L


2n Ae
i[t ( 2 na ) q ]
2n1 Bei[t ( 2n1) aq ]
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[声学波和光学波]
2
mM 4m M 2 1/ 2 {1 [1 sin aq ] } 2 mM (m M )
2
mM 4m M 2 1/ 2 {1 [1 sin aq ] } 2 mM (m M )
ω＋对应的格波称为光学波（optic wave）或光学支（optic branch) ；ω－对应的格波称为声学波(acoustic wave)或声学 支（acoustic branch）
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5、确定晶格振动谱的实验方法 [光子散射] （1）光子散射测定晶格的振动谱 （2）布里渊散射(Brillouin scattering) 长声学波声子导致的光子散射为光子的布里渊散射 （3）喇曼散射（Raman scattering） 喇曼散射是光子与长光学波声子的相互碰撞。 [中子散射] (1)中子只与原子核作用 (2)中子散射的非弹性散射 (3) 正常过程与倒逆过程 (4) 三轴中子谱仪
CV

j 1
3N
CV
j

j 1
3N
d E j (T ) dT

振动频率为连续值的情形
E Cv ( )V T

m

0
2 e / k BT kB ( ) / k BT g ( )d 2 kBT (e 1)
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( )min (0) 0
( )min (
( ) max (

2a
)
2 M

2a
)
2 m
( ) max (0)
2 (m M ) mM
在ω-max与ω+min之间有一频率间隙，说明这种频率的格波不能被 激发。
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[爱因斯坦模型] （1）模型的特点 认为晶格中各原子在振动时相互独立的，所有原子都以相同 的频率振动。 （2）晶格的热容
(0 / kBT )2 e 0 / k BT Cv 3Nk B 0 / k B T 2 (e 1)
CV 3Nk B f E ( ) k BT E 2 e
1
2 q h Na
（4）对色散关系的几点讨论 A）由于ω 是q 的偶函数，（5）式只须取正根就可以了，即
1 2 sin aq m 2 B）一维单原子链的色散关系与弹性波的色散关系的区别。


q
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二、晶格振动的热容量
1、晶格热容的量子理论 [热容问题概述] （1）晶格热容和电子热容 固体的平均内能包括晶格振动能量和电子运动能量，这两 种运动能量对固体的热容都有贡献，分别称为晶格热容 （lattice heat capacity) 和电子热容(electronic heat capacity)。 （2）杜隆－珀替定律（Dulong-Petit law ） 热容是一个与温度和材料性质无关的常数，具有N个原子 的固体，其热容为CV＝3NkB 。 其中N为原子数，kB为玻尔兹曼常数。 高温时，此定律与实验结果符合得很好；低温时，与实验结 果不怎么符合。
[第n个原子的运动方程]
m n ( n 1 n 1 2n )

nq Ae
i (t naq )
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[色散关系]
2 4 2 1 [1 cos aq ] sin ( aq ) m m 2
2
把 ω 与q 之间的关系称为色散关系(disperse relation)，也 称为振动频谱或振动谱。
[“格波”解的物理意义]
（1）解的物理意义 一个格波解表示所有原子同时做频率为ω的振动，不同原子 之间有位相差。相邻原子之间的位相差为 aq。
（2）q 的取值范围(q range)
－(π/a)<q≤(π／a)
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第四章小结
一 、晶格振动的状态及能量； 1、一维单原子链的振动 [格波]由于晶格具有周期性，晶格的振动模具有波的形式， 称为格波(lattice wave)。 [相邻原子之间的相互作用]
dv F d
d 2v d 2 a
C）当q 很小时，一维单原子链的色散关系与连续弹性介质 波的色散关系一致：
a

m
q cq
对于一维单原子链，如果相邻原子的相对位移为 ，相对 伸长为 / a ，相互作用力可以写为
a( )
a
这表明 a 为连链的伸长模量。 若把一维原子链看成是连续的弹性链时，线密度为 m/a，弹性 波的波速为 a 伸长模量 1/ 2 ca ( ) m m 密度 a
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2、一维双原子链 [两种原子的运动方程及其解]
m 2 n (22 n 2 n 1 2 n 1 )
M 2 n 1 (22 n 1 2 n 2 2 n )
4、简谐近似和简正坐标 [简谐近似和非谐作用] 体系的势能函数只保留至μi的二次方程，称为简谐近似 （harmonic approximation）。要考虑到高阶作用的则称为非 谐作用（an-harmonic interaction）。 [简正坐标与振动模] 由简正坐标所代表的，体系中所有原子一起参与的共同振动， 常称为一个振动模或简正模。 [晶格振动能和声子] 晶格振动的能量量子称为为声子(phonon)。
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3、三维晶格的振动 [三维晶格中的格波] 在三维晶格中，对于一定的波矢q，有3个声学波，（3n－3） 个光学波。 [“q空间”及q在其中的分布密度] （1）q空间 “q空间”亦称为波矢空间(wave vector space)。 （2）q在波矢空间的密度

(e E / 2T e E / 2T ) 2
(
E
2T
1
E
2T
( )2
T
E
)2
所以，
T E 与杜隆－珀替定律一致。 2）低温时： / T 1
CV 3Nk B (
E
) (
2
T
)2 3Nk B
E
CV 3Nk B (
2 / k BT ) e kBT
T )
CV 3Nk B (
E
/T
(e E / T 1)2
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（3）爱因斯坦模型与实验符合的程度 1）温度较高时： / T 1 E /T e 1 则
E
(e E / T 1) 2
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（3）热容CV的一般表达式 晶格振动频率为分立值的情形
d E j (T ) k BT k B j / k BT dT (e 1) 2

(
j
) e
2 j / k BT