杆件结构的有限元法

F K
K
称为对应于施加存系统上各节点力的刚度矩阵。
问题： 1、复杂结构其刚度矩阵是多少阶的？ 2、如何求出？ 3、为什么着重讨论系统的刚度矩阵？ 系统的整体刚度矩阵－求出所受外力作 用下各杆件节点处的位移－计算各杆件的 受力和应力
2-2 弹簧系统的刚度矩阵
一、单个弹簧的刚度矩阵
u1,F1 k u2,F2
弹簧的作用力向量为 F1 F2 位移向量为 u1 u 2
F1 k11 k12 u1 F2 k 21 k 22 u2
从而这个弹簧的刚度矩阵是2x 2阶的。
为求出它们，将图2—4所示弹簧系统看作两个简单的系统，然后合成。
(b)
2-3 有压力kbu2 F2b ka kb u2 分别对两弹簧求静力平衡，有 F1b kau2 , F3b kbu2
F1c
u1＝0
ka
F2c
u2＝0
kb
u3,F3c
3) 只允许节点3有位移u3，类似于情况1），有
F3c kbu3 , F2c F3c kbu3
ka u1 ka u2
F1c 0
由于节点1、2无位移，有
(c)
组合弹簧的刚度矩阵
4) 合成。对整个系统来说有3个节点，每个节点只有一个 方向的位移。因此方程式应用如下形式：
F1 k11 F2 k 21 F k 3 31 k12 k 22 k32 k13 u1 k 23 u 2 k33 u3
ka k a kb kb
对成、奇异矩阵
（2－8）
用同样的方法可以求解具有更多个弹簧 的串连系统，推导过程乏味。 知道单个弹簧的刚度矩阵－－直接叠加 出多个串联系统的总刚度矩阵。
知道单个弹簧单元的刚度矩阵，直接叠加出总刚度矩阵
对整个系统来说有3个节点，将上述方程扩大成3阶方程：
F1 ka F2 ka
1) 只允许节点1有位移u1，力F1a与位移u1之间的关系
(a) F1b
u 1 ＝0
F1a kau1 考虑弹簧1-2，由静力平衡条件有 F2a F1a kau1 由于u1＝ u2＝0，没有力作用于节点3，因此， F3a 0
ka
u2,F2b
kb
u3＝0
F3b
2) 只允许节点2有位移u2，这时由于位移的连续性，每个 弹簧在节点2要求有相同的位移，即，弹簧1-2的伸长量与 弹簧2-3的缩短量相等。对弹簧1-2 有拉力kau2，对弹簧
3)根据线弹性系统的叠加原理，叠加1) 2)两种情况，就得到与原始问题一样 的结构，如图（c），叠加结果为： 作用于节点1上的合力 作用于节点2上的合力
(b) k (c)
u2 F2 B B‘
F1 F1a F1b F2 F2 a F2b F1 k F2 k
1 F k
弹簧力－位移间关系
当处理比较复杂的铰支杆系统时，要确定系统在力P的作用下，节点B、 C、D和E处的变形。以便计算各杆件的内应力及各杆所受的轴向力，可 假设整个杆件系统也具有像式(4—1)中k值一样的刚度，这样在力P的作 用下各点的位移就可以用类似式(4—1)的公式计算了，不过．这时的系统 刚度应采用一个矩阵来表示，即 K ，同理，各点的位移也应采用一个 矩阵来表示，即 ，再加上矩阵 F ，就构成了
刚度矩阵
k k u1 e （2－5） K k u 2 k

k k （2－6）
对成、奇异矩阵
二、组合弹簧的刚度矩阵
u1,F1 1 u1,F1a ka F2a
u2＝0
u2,F2 ka 2 kb 3 kb 3 F3a
u 3 ＝0
u3,F3
利用线弹性系统的叠加原理，找出3×3阶刚度矩阵各元素 的表达式
节点1处的合力 节点2处的合力 节点3处的合力
F1 kau1 F2 kau1 F3 0
0 kb kb
k a u2 k a u 2 kb u 2 kb u 2 kbu3
0 kbu3
ka K k a 0
Байду номын сангаас
由杆件组成的机构体系称为杆系，如起重机、桥梁等。 由珩杆组成的杆系称为珩架，由梁组成的杆系称为刚架。
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2-1 引 言
工程中最简单的结构可以认为是铰支的杆件。它的性质完全类似于弹簧。
弹簧系统力F与弹簧伸长量 系由胡克定律有
（位移）之间关
F k
(4—1)
式中k为弹簧的刚度，是弹簧的固有参数。它对应于 力－位移图中F- 关系直线的斜率。 当k和力F已知时，可由下式求出弹簧伸长量
第一篇 有限元法
第一篇 有限元法
第二章 杆件结构的有限元法
当结构长度尺寸比两个截面方向的尺 寸大得多时，这类结构称为杆件。工程中 常见得轴、支柱、螺栓、加强肋以及各类 型钢等都属于杆件。
杆件结构可分为珩杆和梁两种。
和其他结构采用铰连接的杆称为珩杆。珩杆的连接处可以自由转动， 因此这类结构只承受拉压作用，内部应力为拉压应力。影响应力的 几何因素主要是截面面积，与截面形状无关。 和其他结构采用固定连接的杆称为梁。链的连接处不能自由转动， 因此梁不仅能够承受拉压，而且能承受弯曲和扭转作用。这类杆件 的内部应力状态比较复杂，应力大小和分布不仅与截面大小有关， 而且与截面形状和方位有很大关系。 建立有限元模型时，这两类杆件结构可用相应的杆单元和梁单元离散。
1)只有节点1可以变形,点2固定
F1a ku1
由力的平衡有
F1a u1 A A‘ F1b u1=0 F1 u1 A A‘ k k F2a u2=0 u2 B B‘ F2b
F1a F2 a 0 F2 a F1a ku1
2)只有节点2可以变形,点1固定
(a)
F2b ku2 F 1b