导数—构造函数

导数—构造函数

一：常规的构造函数

例一. 若33sin cos cos sin ,02θθθθθπ-≥-≤<，则角θ的取值范围是( ) (A)[0,]4π (B)[,]4ππ (C)5[,]44ππ (D)3[,)42

ππ 变式、已知3355x y x y ---≥-成立，则下列正确的是（B ）

A.0x y +≤

B. 0x y +≥

C. 0x y -≥

D. 0x y -≤

变式. 已知()f x 为定义在(,)-∞+∞上的可导函数，且()'()f x f x <对于x R ∈恒成立且e 为自然对数的底，则（ ）

A ．2012(1)(0),(2012)(0)f e f f e

f >⋅>⋅ B ．2012(1)(0),(2012)(0)f e f f e

f <⋅>⋅ C ．2012(1)(0),(2012)(0)f e f f e f >⋅<⋅

D ．2012(1)(0),(2012)(0)f e f f e f <⋅<⋅

变式1. 设()f x 是R 上的可导函数，且'()()f x f x ≥-，(0)1f =，21(2)f e =

.求(1)f 的值.

变式2. ()f x '为()f x 的导函数，若对x R ∈，2

2()()f x xf x x '+>恒成立，则下列命题可能错误的是

A ．(0)0f >

B ．(1)4(2)f f <

C ．(1)4(2)f f -<-

D ．4(2)(1)f f -< 变式 3. )(x f 是定义在)0,(-∞上的可导函数，其导函数为)('x f ，且有

2')()(2x x xf x f >+，则不等式 0)2(4)2014()2014(2>--++f x f x 的解集为（ ） A. )2012,(--∞ B. )02012(，- C. )2016,(--∞ D. )02016(，- 已知函数)(x f y =对任意的)2

2(ππ，-∈x 满足0sin )(cos )('>+x x f x x f (其中)('x f 是函数)(x f 的导函数)，则下列不等式成立的是（ ）

B. )4()3(2ππ-<-

f f B. )4()3(2ππf f < C. )3(2)0(π-

f f >

二：构造一次函数（读题时区分自变量）

例二、对于满足|a|≤2的所有实数a,求使不等式x 2+ax+1>a+2x 恒成立的x 的取值范围.

分析：在不等式中出现了两个字母：x 及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a 的一次函数大于0恒成立的问题.

解：原不等式转化为(x-1)a+x 2

-2x+1>0在|a|≤2时恒成立, 设f(a)= (x-1)a+x 2

-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：

⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3. 即x ∈(－∞,－1)∪(3,+∞)

此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x 轴上方（或下方）即可.

三：变形构造函数 例三．已知函数21()(1)ln 2

f x x ax a x =-+-，1a >． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；

（Ⅱ）证明：若5a <，则对任意12,(0,)x x ∈+∞，12x x ≠，有

1212

()()1f x f x x x ->--． 解：（Ⅰ）

（II ）

例四、已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++.

（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；

（Ⅱ）设2a ≤-，证明：对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212|()()|4||f x f x x x -≥-.

四：消参构造函数

例五、设函数()()21f x x aln x =++有两个极值点12x x ，，且12x x <． （I ）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性；

（II ）证明：()21224

ln f x ->

． 【解】

（II ）由题设和①知

22210,2(1),2

x a x x -<<=-+ 于是 ()()2

222222(1)1f x x x x ln x =-++． 设函数 ()()2

2(1)1,g t t t t ln t =-++ 则 ()()2(12)1g t t t ln t '=-++ 当12

t =-

时，()0g t '=； 当1(,0)2

t ∈-时，()0,g t '>故()g t 在区间1[,0)2-是增函数． 于是，当1(,0)2t ∈-时，()1122().24

ln g t g ->-= 因此 ()22122()4ln f x g x -=>．

五：消元构造函数

例六、已知函数，． （Ⅰ）若函数，求函数的单调区间； （Ⅱ）设直线为函数的图象上一点处的切线．证明：在区间上存在唯一的，使得直线l 与曲线相切．

（Ⅱ）∵1()f x x '= ，∴00

1()f x x '=， ∴ 切线l 的方程为0001ln ()y x x x x -=

-, http:// / 即00

1ln 1y x x x =+-, ① ····························································· 6分 设直线l 与曲线()y g x =相切于点11(,)x x e ， ∵()x g x e '=，∴101x e x =

，∴10ln x x =-． ·············································· 8分 ∴直线l 也为()00011ln y x x x x -

=+， 即0000

ln 11x y x x x x =++， ② ································································ 9分 ()x x f ln =()x

e x g =()()1

1-+-=x x x f x ϕ()x ϕl ()()00,x f x A ()+∞,10x ()x g y =