微分法在几何上的应用06072

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06 第六节微分法在几何上的应用

第六节微分法在几何上的应用分布图示★空间曲线的切面与法平面★例1★空间曲线的切面与法平面 (续)★例2 ★例3 ★例4★空间曲面的切平面与法线★空间曲面的切平面与法线 (续)★全微分的几何意义★曲面的法向量的方向余弦★例5★例6 ★例7 ★例8★内容小结★课堂练习★习题8—6★返回内容要点一、空间曲线的切线与法平面：曲线在点处的切线方程为(6.2)曲线在某点处的切线的方向向量称为曲线的切向量. 向量就是曲线在点处的一个切向量.过点且与切线垂直的平面称为曲线在点的法平面. 曲线的切向量就是法平面的法向量，于是这法平面的方程为(6.3)空间曲线的方程为的情形；空间曲线的方程为的情形；二、空间曲面的切平面与法线：切平面的方程为(6.12)称曲面在点处切平面的法向量为在点处曲面的法向量，于是，在点处曲面的法向量为(6.13)过点且垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线. 因此法线方程为(6.14)曲面方程为的情形；设表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量与轴正向的夹角是一锐角，则法向量的方向余弦为其中例题选讲空间曲线的切线与法平面例1（E01）求曲线在处的切线和法平面方程.解当时，切线方程法平面方程即例2（E02）求曲线在点处的切线及法平面方程.解设则故故所求的切线方程为法平面方程为即例3（E03）求曲线在点处的切线及法平面方程.解1 直接利用公式;解2 将所给方程的两边对求导并移项,得由此得切向量所求切线方程为法平面方程为即例4 求出曲线上的点，使在该点的切线平行于已知平面解设所求切点为则曲线在该点的切线向量为由于切线平行于已知平面因而垂直于已知平面的法线向量故有即或将它代入曲线方程,求得切点为和空间曲面的切平面与法线例5（E04）求旋转抛物面在点处的切平面及法线方程.解令切平面方程为即法线方程为例6 求曲面在点处的切平面及法线方程.解令切平面方程为即法线方程为例7 求曲面平行于平面的各切平面方程.解设为曲面上的切点,则切平面方程为依题意,切平面方程平行于已知平面,得是曲面上的切点,满足曲面方程,代入得故所求切点为切平面方程(1)即切平面方程(2)即例8（E05）求曲面上同时垂直于平面与的切平面方程.解设则曲面在点的法线向量为由于平面的法线向量平面的法线向量而同时垂直于与所以平行于但所以存在数使得即解之得将其代入原曲面方程,求得切点为和因而,所求的切平面方程为:即和即课堂练习1.求曲线在对应于的点处的切线方程及法平面方程.2.若平面与椭球面相切, 求。

微分法的几何应用

0
0
0
x
y
z
x x0 y y0 z z0 x t y t z t
令t 0( M M0 ), 得曲线
z
M
在点M0处的切线方程为
xx y y zz
0
0
0
x(t ) y(t ) z(t )
0
0
0
M0
0
y
x
M0处的法平面方程为：
x(t0 )( x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0
注：1. 只要与{ x(t 0), y(t 0), z(t 0)}成比例
的向量均可作为切线的方向向量, 如
{dx,
dy,
dz}
|
M
等.
0
2. 若曲线方程为 y=y(x)，z=z(x),则可把 x 看成
参数而得方向向量
{1,
y(
x 0
),
z( x 0
)}
例1. 求两个抛物柱面 y=6x2,z=12x2 相交成的空间曲线在x=1/2 处的切线与法平面方程。
即 : y0z0 x x0z0 y x0 y0z 3 0
x y z 1
3
3
3
y0z0 x0z0 x0 y0
切平面与三个坐标面围成的立体体积为
13 3 3
9
1
9
V |
|

6 y0z0 x0z0 x0 y0 2 (x0 y0z0 )2 2
即 : 8x 10 y 7z 12 0
2. 空间曲面的切平面与法线：
切平面
定义6.2：若曲面上过点 M0 的任意一条光滑曲线在该点的切线都在同一个平面上，则称此平面为

9(6)多元函数微分学的几何应用解析

y
Fy ( x0 , y0 , z0 ) y( t0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 ) z( t0 ) 0. ※ 若记向量 n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )), 曲线Γ在点M处切线的方向向量记为 T ( x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )), 则※式可改写成 n T 0, 即向量 n与T 垂直.
第六节
多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线
微分法在几何上的应用
一、空间曲线的切线与法平面
1. 空间曲线的方程为参数方程
x x( t ) 设空间曲线的方程 y y( t ) z z(t )
(1)式中的三个函数均可导. 设 t t0 对应点 M ( x0 , y0 , z0 )
x x0 y y0 z z0 , x y z t t t
微分法在几何上的应用
z
当M M ,即t 0时 ,

M
曲线在M处的切线方程

x x 0 y y0 z z 0 x( t 0 ) y( t 0 ) z( t 0 )
M
O
y
x
解
求曲线 x y z 6 , x y z 0
在点M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程.
2
2
2
微分法在几何上的应用
隐式方程 1. 设曲面Σ的方程为 F ( x , y , z ) 0 的情形 M ( x0 , y0 , z0 ) , 函数 F ( x , y , z ) z F ( x, y, z ) 0 的偏导数在该点连续且不同时为零. M ( x0 , y0 , z0 ) 现在曲面Σ上任取一条过点M 的曲线Γ, 设其参数方程为 O y x x( t ), y y( t ), z z ( t ), 点M 对应于参数 t t0 , 且x( t0 ), y( t0 ), z( t0 ) 不全为零.

高等数学@9.6微分法在几何上的应用

o
y
法平面的方程：
(t0 )( x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0
t
例1
求曲线Γ:

x eu cos udu, 0
y=2sint+cost,
z 1 e3t
在 t = 0 处的切线和法平面方程
解 x et cos t,
称 ((t ),(t ),(t )) 为向量值函数 r 的导数，记为 dr
dt
x (t )
设曲线L

y

(t )
(1)
z (t )
z
N T
M
MN ON OM
xo
y
((t t ),(t t ),(t t )) ((t ),(t ),(t ))
切平面方程为 4( x 2) 2( y 1) (z 4) 0,
4x 2 y z 6 0,
法线方程为 x 2 y 1 z 4 .
4
2 1
练习 1. 曲面 z x2 y2 与平面 2x 4 y z 0 平行的切平面方程是___________

n1

n2
例4 求曲线 x2 y2 z2 6 ，x+y+z=0 在 (1,2, 1) 点处的切线及法平面方程
解 F x2 y2 z2 6, G x y zFx Leabharlann x, Fy 2 y, Fz 2z
在
Gx 1 G
(1,2, 1)点，n1
x =0，x(0) 1,
y 2cos t sin t, 当 t =0时， y =1, y(0) 2,

高数8-6

x 1 y 1 z 1 , 1 2 3
( x 1) 2( y 1) 3( z 1) 0,
即 x 2 y 3z 6 0.
x t, y t 2 , z t3, 求例1：设（1）在点 ( 1 , 1 , 1 ) 处的切线方程和法平面方程
: x ( t ), y ( t ), z ( t ),
T ( ( t0 ), ( t0 ), ( t0 )), n T 0,
设曲面方程为 F ( x , y , z ) 0 在曲面上任取一条通过点 M ( x0 , y0 , z0 ) 的曲线
第六节微分法在几何上的应用
• 一、空间曲线的切线与法平面 • 二、曲面的切平面与法线 • 三、小结
一、空间曲线的切线与法平面
空间曲线的切线

z

M
T
M
x
o
y
当动点 M 沿曲线趋于M 时, 割线 M M 的极限位置 MT 称为该曲线在 M 处的切线. 问题：如何确定切线 MT 的方程？
0
T
d F [ ( t ), ( t ), ( t )] 0 dt t t d F [ ( t ), ( t ), ( t )] Fx ( t ) Fy ( t ) Fz ( t ) dt
在 t t0处,
Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( t0 )
（1）设空间曲线的方程
x (t ) y (t ) z (t ) ( t ) (1)
z

M
T
M
切线 MT 的方程为
x
o
y

第八章 7微分法在几何上的应用

切平面方程(2) 切平面方程(2) − 2( x + 1) − 8( y + 2) − 12( z + 2) = 0
⇒
例6 在椭球面
2
x + 4 y + 6 z = −21
2 2
x y z 上求一点， + 2 + 2 = 1 上求一点， 2 a b c
2 2 2
使它的法线与坐标轴正向成等角解令
x y z F(x, y, z) = 2 + 2 + 2 −1 则 a b c
表示曲面的法向量的方向角，若α 、 β 、γ 表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z 轴是锐角，则法向量的方向余弦的正向所成的角γ 是锐角，则法向量的方向余弦为
− fx cosα = , 2 2 1 + fx + f y
1+ f + f 1 cos γ = . 2 2 1 + fx + fy
二、曲面的切平面与法线
Ⅰ。设曲面方程为
F( x, y, z) = 0
在曲面上任取一条通过点M的曲线过点的曲线
r n
M
r T
x = φ (t ) Γ : y = ψ ( t ), z = ω (t )
曲线在M处的切向量曲线在处的切向量
r 令 n = { Fx ( x0 , y0 , z0 ), F y ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x − x0 ) + Fy ( x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz ( x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = 0

微积分在几何学中的应用

微积分在几何学中的应用一、微积分的发明历程如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。

微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。

微积分是微分学和积分学的总称。

它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求合”就是积分。

微分学包括求导的运算，是一套关于变化的理论。

它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可以用一套通用的符号进行讨论。

积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念、求面积的无限小方法、积分与微分的互逆关系。

前两阶段的工作，欧洲及中国的大批数学家都做出了各自的贡献。

从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。

整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分枝还是牛顿和莱布尼茨。

二、微积分的思想从微积分成为一门学科来说，是在17世纪，但是，微分和积分的思想早在古代就已经产生了。

公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前287~前212）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。

作为微积分的基础极限理论来说，早在我国的古代就有非常详尽的论述。

与此同时，战国时期庄子在《庄子·天下篇》中说“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，体现了无限可分性及极限思想。

公元3世纪,刘徽在《九章算术》中提及割圆术“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣”用正多边形来逼近圆周。

这是极限论思想的成功运用。

他的极限思想和无穷小方法，也是世界古代极限思想的深刻体现。

虽然最后是欧洲人真正的研究和完成了微积分的创立工作，但中国古代数学对于微积分的出色工作也是不可忽视的。

第六节微分法在几何上的应用精品文档8页

第六节微分法在几何上的应用要求：会求空间曲线的切线及法平面方程，会求空间曲面的且平面及法线方程。

重点：空间曲线的切线及法平面方程，曲面切平面及法线方程的求法。

难点：空间曲线的方程组形式给出的情况，求其切线及法平面方程。

作业：习题8－6（52P ）4,5,6,9,10一．空间曲线的切线与法平面1．空间曲线由参数方程给出设空间曲线的参数方程为()x t ϕ=，()y t ψ=，)(t w z =，且三个函数均可导．当0t t =时，对应曲线上的点),,(0000z y x M ，当t t t ∆+=0时，对应曲线上的点),,(000z z y y x x M ∆+∆+∆+'，曲线的割线M M '0的方程为zz z y y y x x x ∆-=∆-=∆-000 当M '沿曲线趋于0M 时，割线M M '0的极限位置T M 0就是曲线在点0M 处的切线，其切线方程如何？tz z z t y y y t x x x ∆∆-=∆∆-=∆∆-000 令0M M →'(这时0→∆t )，上式取极限，即得曲线在点0M 处切线方程为000000'()'()()x x y y z z t t w t ϕψ---=='．说明（1）000'(),'(),()t t w t ϕψ'不能同时为零，如果个别为零，按空间解析几何中有关直线对称式方程的说明理解；（2）切线的方向向量{}000'(),'(),()T t t w t ϕψ'=u r称曲线切向量．切向量的方向余弦为 222cos ('())('())('())t t w t αϕψ=++，222cos ('())('())('())t t w t βϕψ=++，222cos ('())('())('())t t w t γϕψ=++．曲线的法平面通过点0M 而与切线垂直的平面称为曲线在点0M 处的法平面，方程为000000'()()'()()()()0t x x t y y w t z z ϕψ'-+-+-=．例1．求螺旋线θcos a x =，θsin a y =，θb z =对应于3πθ=处的切线和法平面方程．解曲线上对应于3πθ=的点),,(0000z y x M ，即00023a x y z b π⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，切向量{}'(),'(),()T w ϕθψθθ'=ur ,,22a a b ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，因此切线方程为3222a z bx y a b π---==，法平面方程为()()()022223a a a x y ab z b π--+-+-=．切向量的方向余弦为2222222cos sin cos ba b ba a b+=++=θθγ可见曲线的切线与z 轴的夹角(母线的夹角)为定值．2．空间曲线的方程由()y x ϕ=，()z x ψ=给出取x 为参数，它就可表示为参数方程的形式()()x xy x z x ϕψ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，若(),()x x ϕψ在0x x =处可导，曲线在点),,(0000z y x M 处的切向量{}001,'(),'()T x x ϕψ=u r，切线方程000001'()'()x x y y z z x x ϕψ---==．法平面方程 00000'()()'()()0x x x y y x z z ϕψ-+-+-=．例2．求曲线mx y 22=，x m z -=2在点),,(000z y x 处的切线及法平面方程．解因为m y y 22=' ，y m y ='， 12-='z z ，zz 21-='，所以切向量 0011,,2m T y z ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭u r ，切线方程1)(2)(100000--=-=-z z z m y y y x x ，法平面方程 0)(21)(00000=---+-z z z y y y m x x ． 3．空间曲线Γ的方程由⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 给出设),,(0000z y x M 是曲线Γ上的一点，又设,F G 对各变量的偏导数连续，且0|),(),(0≠∂∂M z y G F ，此时方程组在点0M 的某邻域内唯一确定一组函数()y x ϕ=，()z x ψ=，求曲线Γ在点0M 处的切线方程及法平面方程．只要求出00'(),'()x x ϕψ，得切向量{}001,'(),'()T x x ϕψ=u r，为此方程(,(),())0(,(),())0F x x xG x x x ϕψϕψ=⎧⎨=⎩，两边对x 求全导数得⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++00dx dz G dx dy G G dx dz F dx dy F F z y x z y x x z y x z y G dxdz G dx dy G F dx dz F dx dy F -=+-=+因为0),(),(≠=∂∂=zyzyG G F F z y G F J 所以可解得'()z x zxF FG G dyx dxJϕ== ，'()x y xyF FG G dz x dxJψ==，于是切向量 {}001,,1,'(),'()dy dz T x x dx dx ϕψ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭u r ．例3．求曲线0,6222=++=++z y x z y x 在点)1,2,1(-处的切线及法平面方程．解下面我们依照推导公式的方法来解，将所给方程两边对x 求导，得⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++010222dxdz dx dy dx dz z dx dy y x ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+1dxdz dx dy x dxdz z dx dy y 解方程组，得z y x z z y zx dx dy --=--=1111，z y y x z y x y dx dz --=---=11 于是0|)1,2,1(=-dx dy ，1|)1,2,1(-=-dx dz从而 {}1,0,1T =-u r因此，所求切线方程110211--=+=-z y x ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-021111y z x 法平面方程为 0)1()2(0)1(=--++-z y x ，即 0=-z x ．练习：求曲线21,,1t tx y z t t t+===+在对应于1t =的点处的切线及法平面方程．二．曲面的切平面与法线1．曲面方程由隐式方程0),,(=z y x F 给出设曲面∑方程为0),,(=z y x F ，点),,(0000z y x M 为曲面上的一点，又设函数),,(z y x F 的偏导数在点0M 连续且不同时为零．讨论曲面在点0M 处的切平面，那么曲面在点0M 处切平面指什么？为此首先考虑这样一个事实：在曲面上过点0M 的任何曲线在0M 的切线位于同一平面上，下面证明这个事实．在曲面上过点0M 任意引一条曲线Γ，其参数方程为()()()x t y t z w t ϕψ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，且000'(),'(),()t t w t ϕψ'不全为零，由于曲线位于曲面上，满足((),(),())0F t t w t ϕψ≡，又因为),,(z y x F 在点0M 处有连续偏导数，且000'(),'(),()t t w t ϕψ'存在，上式的复合函数在0t t =的全导数存在，于是0|0==t t dtdF．即 000000000000(,,)'()(,,)'()(,,)()0x y z F x y z t F x y z t F x y z w t ϕψ'++=．引入向量{}z y x F F F n ,,=ρ.上式表明，曲线Γ在点0M 处的切线向量{}000'(),'(),()T t t w t ϕψ'=u r 与一个确定向量nϖ垂直．因为曲线Γ是曲面上过点0M 的任一条曲线，它们在0M 的切线都与同一个向量n ϖ垂直，所以曲面上过点0M 的一切曲线在点0M 的切线都在同一个平面上，这个平面称为曲面∑在点0M 的切平面，切平面方程为0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x ，曲面∑在点0M 的切平面的法向量{}z y x F F F n ,,=ρ简称为曲面的法向量．过点0M 且垂直于切平面的直线称为曲面在点0M 的法线，其方程为),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=- 例4．求曲面3=+-xy z e z在点)0,1,2(处的切平面方程及法线方程．解令=),,(z y x F 3-+-xy z e z，则{}{}1,,,,-==zz y x e x y F F F n ρ，即有{}0,2,1|)0,1,2(=n ϖ，在点)0,1,2(处切平面方程为 0)0(0)1(2)2(=-+-+-z y x ，即 042=-+y x ．法线方程为 002112-=-=-z y x ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-02112z y x ．2．曲面方程由显式方程),(y x f z =给出求曲面),(y x f z =在点),,(0000z y x M 处切平面及法线方程．令z y x f z y x F -=),(),,(，可见),(y x f F x x =，),(y x f F y y =，1-=z F ，则曲面在点0M 处法向量为{}1),,(),,(0000-=y x f y x f n y x ϖ，于是切平面方程为 0000000))(,())(,(z z y y y x f x x y x f y x -=-+-，法线方程为1),(),(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x 说明（1）函数),(y x f z =在点),(00y x 的全微分为))(,())(,(000000y y y x f x x y x f dz y x -+-=，因此切平面方程)()(000y y f x x f z z y x -+-=-表示全微分的几何意义，即曲面),(y x f z =在点0M 处切平面上点的竖坐标的增量（正象一元函数表切线的纵坐标增量）．（2）若曲面的切平面的法向量的方向角为γβα,,，并假定向量的方向是向上的(即使得它与z 轴的正向所成的角γ是锐角)，则法向量的方向余弦如何求？若曲面方程为(,)z f x y =，则221cos yx x f f f ++-=α ，221cos yx y f f f ++-=β，2211cos yx f f ++=γ．若曲面方程为(,,)0F x y z =，则cos α=，cos F β=，cos γ=．例5.求旋转抛物面122-+=y x z 在点)4,1,2(0M 处的切平面及法线方程．解因为1),(22-+=y x y x f ，所以{}{}1,2,21,,-=-=y x f f n y x ϖ，即有{}1,2,4|0-=M n ϖ，于是过点0M 的切平面方程为0)4()1(2)2(4=---+-z y x ，即 0624=--+z y x ．法线方程为142142--=-=-z y x ．例6.求椭球面22221x y z ++=上平行于平面02=+-z y x 的切平面方程．解因为切平面的法向量为{}z y x n 2,4,2=ϖ，而平面02=+-z y x 法向量为{}'1,1,2n =-u r又因为//'n n u rv ，所以k z y x ==-=2121，将k z k y k x 2,21,=-==代入方程1222=++z y x 中，得1421222=++k k k从中解出112±=k ．于是，所求点为)1122,11221,112(-及)1122,11221,112(--，切平面方程为 0)1122(2)11221()112(=-++--z y x ，或 0)1122(2)11221()112(=++--+z y x ，即 02112=±+-z y x . 例7.设曲面S 方程3a xyz =)0(>a ，求曲面S 上任一点),,(000z y x 处切平面方程，并证明曲面S 的所有切平面与坐标面形成的四面体的体积为定值.解设3),,(a xyz z y x F -=，则yz F x =，xz F y =，xy F z =，所以在点),,(0000z y x M 的切平面方程为0)()()(000000000=-+-+-z z y x y y z x x x z y即 30000003a z y x y z x x z y =++．将其化为截距式1333003003003=++y x a z z x a y z y a x 截距分别为000333x z y a = ，000333y z x a =，000333z y x a =不妨设 0,0,0000>>>z y x ，于是，切平面与三坐标面围成立体体积为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=0003)33(2131z y x V 30002929a z y x ==(定值) 思考题1．若曲面由方程),(y x f z =∑：给出，如何求在点),,(000z y x M 的切平面方程？ 2．若曲线是两个柱面)(),(x g z x f y ==的交线，如何求在0x x =对应点处的切线方程？。

微分法在几何上的应用

法平面的方程
……………………切线方程
′ ( x − x 0 ) + y′ x ( x0 ) ( y − y0 ) + z x ( x0 ) ( z − z 0 ) =0
…………………法平面方程
3）设空间曲线 Γ 的方程为：
F ( x, y , z ) = 0 G ( x, y , z ) = 0
曲线在 M ( x0 , y 0 , z 0 ) 点的切向量为：根据隐函数关于上式的求偏导数的方法，接合一定的《向量与空间解析几何》知识，可求得:
推理 1: 在曲面∑上通过点 M 且在点 M 处具有切线的任何曲线，它们在 M 处的切线在同一个平面上。法向量：
n = ( Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 ))
证明：

∵ F ( x, y , z ) = 0 点 M 在曲面上，则：
……………………………两向量点乘的坐标式简化为：
T •n = 0
即得到曲面的法向量：
n = ( Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 ))
可以得到切平面的方程：
Fx′( x0 , y0 , z0 )( x − x0 ) + Fy′ ( x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz′( x0 , y0 , z0 )( z − z0 ) = 0
而通过一点，法向量为 T = (φ ′(t 0 ), ϕ ′(t 0 ), w′(t 0 )) 的法平面方程为：
φ ′(t 0 ) ( x − x 0 ) + ϕ ′(t0 ) ( y − y0 ) + w′(t0 ) ( z − z0 ) =0

7(7)微分法在几何上的应用解析

x x0 y y0 z z0 F x 1F y y( x0 ) z( x0 )
dz G x G y dx Fy Fz
Gz
G y Gz Gy x x0 y y0 利用2.结果, 1 y( x0 )
z z0 z( x0 )
9
微分法在几何上的应用
F ( x, y, z ) 0 , 在点 M(x0, y0, z0)处的 G( x, y, z ) 0 x x0 y y0 z z0 切线方程为 , Fz Fx Fy Fz Fx Fy
(t0 )( x x0 ) y.(t0 )( y y0 ) z(t 0 )( z z0 ) 0 x 中心的某球面上证任取曲线上一点 ( x( t ), y( t ), z ( t )),
曲线过该点的法平面方程为 x( t )[ X x( t )] y( t )[Y y( t )] z( t )[ Z z( t )] 0 因原点 (0,0,0) 在法平面上, 故有 x(t ) x(t ) y(t ) y(t ) z(t )z(t ) 0
即 [ x 2 ( t ) y 2 ( t ) z 2 ( t ) ] 0
于是
x 2 (t ) y 2 (t ) z 2 (t ) C
14
微分法在几何上的应用
隐式方程 1. 设曲面Σ的方程为 F ( x , y , z ) 0 的情形 M ( x0 , y0 , z0 ) , 函数 F ( x , y , z ) z F ( x, y, z ) 0 的偏导数在该点连续且不同时为零. M ( x0 , y0 , z0 ) 今在曲面Σ上任取一条过点M 的曲线Γ, 设其参数方程为

2.6 微分学在几何上的应用

所求切点为 (1,2,2), (1,2,2),
切平面方程(1)
2( x 1) 8( y 2) 12(z 2) 0
即 x 4 y 6z 21
切平面方程(2)
2( x 1) 8( y 2) 12(z 2) 0
即 x 4 y 6z 21
x2y 30
法线方程
x 1 2
y 1
2
z 0. 0
即 z
0
特殊地：空间曲面方程形为 z f ( x, y)
令 F(x, y,z) f (x, y) z,
法向量为 n ( f ( x , y ), f ( x , y ),1)
x 00
y 00
曲面在M处的切平面方程为
fx ( x0, y0 )( x x0 ) f y ( x0, y0 )( y y0 ) z z0,
F x ( x0 , y0 ,z0 )
2x ( x0 , y0 ,z0 )
2x0 ,
Fy
( x0 , y0 ,z0 )
4y ( x0 , y0 ,z0 )
4y0,
F z ( x0 , y0 ,z0 )
6z ( x0 , y0 ,z0 )
6z0,
法向量
n
（2x0
,4
y0
,6z0
)
切平面方程为
x et cos t, y 2cos t sin t, z 3e3t ,
x(0) 1, y(0) 2, z(0) 3, T （1,2,3）
切线方程曲x线1在0 M 处y 2的1切线z 方3 2程, 为：
法即平x面方2 y程x3x(ztx0)028(yy0.1(t)y0)0
3(zz
M
割线的极限位置——切线位置

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Gy Gz 0 Gz Gx 0 Gx Gy 0
法平面方程为
Fy Gy
Fz Gz
0
(
x

x0
)

Fz Gz
Fx Gx
(
0
y

y0 )

Fx Gx
Fy Gy
0
(
z

z0
)

0
例 2 求曲线 x2 y2 z2 6，x y z 0 在点(1,2, 1)处的切线及法平面方程.
二、曲面的切平面与法线
曲面上通过 M 的一切曲线在点 M 的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点M 的切平
面.
Ⅰ 曲面方程为
F(x, y,z) 0
M ( x0 , y0 , z0 )
在曲面上任取一条通过点M的曲线
x (t)
:

y

(t
),
z (t)
n
T
M
切平面方程为
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0, z0 )(z z0 ) 0
切平面上的点的竖坐标的增量.
若、、表示曲面的法向量的方向角，
并假定法向量的方向是向上的，即使得它与 z 轴的正向所成的角是锐角，则法向量的方向余
弦为
cos cos cos
fx
,
1
f
2 x

f
2 y
fy
,
1
f
2 x

f
2 y
1
.
1
f
2 x

f
2 y
Ⅲ
空间曲线方程
F ( x, G( x,
y, z) y, z)

0 , 0
在M ( x0,
y0 , z0 )处,
切向量
T

Fy Gy
Fz , Fz Gz 0 Gz
Fx , Fx Gx 0 Gx
Fy
Gy
0
切线方程
x x0 y y0 z z0 , Fy Fz Fz Fx Fx Fy
第六节多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线
一、空间曲线的切线与法平面
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限
位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法
平面.

T
M
Ⅰ 空间曲线的方程
x (t)

y

(t
)
(1)
z (t)
二、求出曲线 x t, y t 2 , z t 3 上的点,使在该点的切
线平行于平面 x 2 y z 4.
三、求球面 x 2 y 2 z 2 6与抛物面z x 2 y 2 的交线在(1,1,2) 处的切线方程 .
四、求椭球面 x 2 2 y 2 z 2 1上平行于平面 x y 2z 0的切平面方程.
思考题解答
设切点 ( x0, y0, z0 ),
n {6x0, 2 y0, 2z0},
依题意知切向量为 {3, ,3}
6x0 2 y0 2z0
3 3
y0 x0 ,
z0 3x0,
切点满足曲面和平面方程
3 3
x0 x02

2 2
x0 x02

(
1 3
,
1 9
,
1 27
)
.
三、 x 1 1

y1 或 zx

y2 20

0 .
四、 x y 2z 11 . 2
x 4 y 6z 0的各切平面方程.
例6
在椭球面
x2 a2

y2 b2

z2 c2

1
上求一点，
使它的法线与坐标轴正向成等角
三、小结
空间曲线的切线与法平面
（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法）
曲面的切平面与法线
（求法向量的方向余弦时注意符号）
思考题
如果平面3x y 3z 16 0与椭球面 3 x2 y2 z 2 16相切，求 .
Ⅱ 空间曲线方程
y z

( (
x) ,
x)
在M ( x0 , y0 , z0 )处,
切线方程为
法平面方程为
x x0 y y0 z z0 ,
1 ( x0 ) ( x0 )
( x x0 ) ( x0 )( y y0 ) ( x0 )(z z0 ) 0.
其中
f x f x ( x0 , y0 ) f y f y ( x0 , y0 )
例 3 求旋转抛物面z x2 y2 1在点(2,1,4)
处的切平面及法线方程.
例 4 求曲面z ez 2xy 3 在点(1,2,0) 处的
切平面及法线方程.
例 5 求曲面 x2 2 y2 3z2 21 平行于平面
9 x0 9 x02
16 16
0 ,
0
2.
练习题
一、填空题:
1、曲线 x t , y 1 t , z t 2 再对应于t 1 的点
1 t
t
处切线方程为________________；
法平面方程为________________.
2、曲面e z z xy 3 在点(2,1,0) 处的切平面方程为 __________________；法线方程为__________________.
通过点 M ( x0 , y0 , z0 )而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线.
法线方程为 x x0 y y0 z z0 Fx ( x0, y0, z0 ) Fy ( x0, y0, z0 ) Fz ( x0, y0, z0 )
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.
n {Fx ( x0, y0, z0 ),Fy( x0, y0, z0 ),Fz ( x0, y0, z0 )}
曲面在M处的切平面方程为
z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )
切平面上点的竖坐标的增量
函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的全微分
z f ( x, y)在( x0 , y0 )的全微分，表示曲面 z f ( x, y) 在点( x0 , y0 , z0 ) 处的
五、试证曲面 x y z a(a 0)上任何点处的
切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .
练习题答案
x 一、1、

1 2

y
2

z
1 ,2x
8y
16z
1

0；
1 4 8
2、 x

2y 4

0,

x
1
2

y1 2.
z 0
二、
P1
(
1,1,1)及P2
(1)式中的三个函数均可导.且
导数不同时为零
z
.M*
设 M ( x0 , y0 , z0 ), 对应于 t t0;
x
M
o
y
曲线在M处的切线方程
x x0 y y0 z z0 .
(t0 ) (t0 ) (t0 )
切向量：切线的方向向量.
T

(t0
),
Ⅱ 空间曲面方程形为 z f ( x, y) M ( x0 , y0 , z0 )
令 F(x, y,z) f (x, y) z,
曲面在M处的切平面方程为
fx( x0, y0)(x x0) f y( x0, y0)( y y0) z z0,
曲面在M处的法线方程为
x x0 y y0 z z0 . fx ( x0, y0 ) f y ( x0, y0 ) 1
(t0
),
(t0
)
法平面：过 M0 点且与切线垂直的平面.
(t0 )( x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0
例1
求曲线
:
x

t
0
eu
cos
udu，
y

2sin
t

cos
t
,
z 1 e3t 在t 0处的切线和法平面方程.