微分法在几何上的应用06072

其中
f x f x ( x0 , y0 ) f y f y ( x0 , y0 )
例 3 求旋转抛物面z x2 y2 1在点(2,1,4)
处的切平面及法线方程.
例 4 求曲面z ez 2xy 3 在点(1,2,0) 处的
切平面及法线方程.
例 5 求曲面 x2 2 y2 3z2 21 平行于平面
切平面上的点的竖坐标的增量.
若 、 、 表示曲面的法向量的方向角，
并假定法向量的方向是向上的，即使得它与 z 轴 的正向所成的角 是锐角，则法向量的方向余
弦为
cos cos cos
fx
,
1
f
2 x

f
2 y
fy
,
1
f
2 x

f
2 y
1
.
1
f
2 x

f
2 y
(
1 3
,
1 9
,
1 27
)
.
三、 x 1 1

y1 1

z
0
2
或 zx

y2 20

0 .
四、 x y 2z 11 . 2
思考题解答
设切点 ( x0, y0, z0 ),
n {6x0, 2 y0, 2z0},
依题意知切向量为 {3, ,3}
6x0 2 y0 2z0
3 3
y0 x0 ,
z0 3x0,
பைடு நூலகம்
切点满足曲面和平面方程
3 3
x0 x02

2 2
x0 x02

曲面上通过 M 的一切曲线在点 M 的切线都 在同一平面上，这个平面称为曲面在点M 的切平
面.
Ⅰ 曲面方程为
F(x, y,z) 0
M ( x0 , y0 , z0 )
在曲面上任取一条通 过点M的曲线
x (t)
:

y


(t
),
z (t)
n
T
M
切平面方程为
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0, z0 )(z z0 ) 0
Ⅲ
空间曲线方程
F ( x, G( x,
y, z) y, z)

0 , 0
在M ( x0,
y0 , z0 )处,
切向量
T


Fy Gy
Fz , Fz Gz 0 Gz
Fx , Fx Gx 0 Gx
Fy
Gy
0
切线方程
x x0 y y0 z z0 , Fy Fz Fz Fx Fx Fy
曲面在M处的切平面方程为
z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )
切平面 上点的 竖坐标 的增量
函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的全微分
z f ( x, y)在( x0 , y0 )的全微分，表示 曲面 z f ( x, y) 在点( x0 , y0 , z0 ) 处的
第六节 多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线
一、空间曲线的切线与法平面
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限
位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法
平面.

T
M
Ⅰ 空间曲线的方程
x (t)

y


(t
)
(1)
z (t)
(1)式中的三个函数均可导.且
导数不同时为零
z
.M*
设 M ( x0 , y0 , z0 ), 对应于 t t0;
x
M
o
y
曲线在M处的切线方程
x x0 y y0 z z0 .
(t0 ) (t0 ) (t0 )
切向量：切线的方向向量.
T


(t0
),
通过点 M ( x0 , y0 , z0 )而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线.
法线方程为 x x0 y y0 z z0 Fx ( x0, y0, z0 ) Fy ( x0, y0, z0 ) Fz ( x0, y0, z0 )
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.
n {Fx ( x0, y0, z0 ),Fy( x0, y0, z0 ),Fz ( x0, y0, z0 )}
Ⅱ 空间曲面方程形为 z f ( x, y) M ( x0 , y0 , z0 )
令 F(x, y,z) f (x, y) z,
曲面在M处的切平面方程为
fx( x0, y0)(x x0) f y( x0, y0)( y y0) z z0,
曲面在M处的法线方程为
x x0 y y0 z z0 . fx ( x0, y0 ) f y ( x0, y0 ) 1
x 4 y 6z 0的各切平面方程.
例6
在椭球面
x2 a2

y2 b2

z2 c2

1
上求一点，
使它的法线与坐标轴正向成等角
三、小结
空间曲线的切线与法平面
（当空间曲线方程为一般式时，求切向 量注意采用推导法）
曲面的切平面与法线
（求法向量的方向余弦时注意符号）
思考题
如果平面3x y 3z 16 0与椭球面 3 x2 y2 z 2 16相切，求 .
9 x0 9 x02
16 16
0 ,
0
2.
练习题
一、填空题:
1、曲线 x t , y 1 t , z t 2 再对应于t 1 的点
1 t
t
处切线方程为________________；
法平面方程为________________.
2、曲面e z z xy 3 在点(2,1,0) 处的切平面方程为 __________________； 法线方程为__________________.
二、求出曲线 x t, y t 2 , z t 3 上的点,使在该点的切
线平行于平面 x 2 y z 4.
三、求球面 x 2 y 2 z 2 6与抛物面z x 2 y 2 的交线 在(1,1,2) 处的切线方程 .
四、求椭球面 x 2 2 y 2 z 2 1上平行于平面 x y 2z 0的切平面方程.
(t0
),
(t0
)
法平面：过 M0 点且与切线垂直的平面.
(t0 )( x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0
例1
求曲线
:
x

t
0
eu
cos
udu，
y

2sin
t

cos
t
,
z 1 e3t 在t 0处的切线和法平面方程.
Gy Gz 0 Gz Gx 0 Gx Gy 0
法平面方程为
Fy Gy
Fz Gz
0
(
x

x0
)

Fz Gz
Fx Gx
(
0
y

y0 )

Fx Gx
Fy Gy
0
(
z

z0
)

0
例 2 求曲线 x2 y2 z2 6，x y z 0 在 点(1,2, 1)处的切线及法平面方程.
二、曲面的切平面与法线
五、试证曲面 x y z a(a 0)上任何点处的
切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .
练习题答案
x 一、1、

1 2

y
2

z
1 ,2x
8y
16z
1

0；
1 4 8
2、 x

2y 4

0,

x
1
2

y1 2.
z 0
二、
P1
(
1,1,1)及P2
Ⅱ 空间曲线方程
y z

( (
x) ,
x)
在M ( x0 , y0 , z0 )处,
切线方程为
法平面方程为
x x0 y y0 z z0 ,
1 ( x0 ) ( x0 )
( x x0 ) ( x0 )( y y0 ) ( x0 )(z z0 ) 0.