向量共线定理

练习：
1、设e1，e2是两个共线的向量，已知AB 2e1 ke2， CB e1 3e2 ,CD 2e1 e2。若A、B、D三点共线， 求实数k的值。 2、设二个非零向量e1，e2不共线，如果AB 2e1 3e2， BC 6e1 23e2，CD 4e1 8e2，求证A、B、D三点共线。 3、在OAB中，两条中线AD、BE交于点G， 若OA a，OB b，用a，b表示OG。
(2)三点A、C、D是否共线？为什么？
(3)向量 AC与BD共线吗？ 4）设e1，e2是不共线的两个向量，AB 3e1 2e2，
BC 2e1 4e2，CD ke1 4e2，且A、C、D三点
共线，则实数k =
（
思考1：
一般地，设e1，e2是不共线的两个向量，， R， 若e1 e2 0,则 0 ， 0 。
反之，若e1 ，e2是不共线的两个向量，
且 0， 0，则 e1 e2 0
例1
设AB 2 a 5b ，BC 2a 8b，CD 3 a b 。 2 求证：A、B、D三点共线。
例2 如图，ΔABC中，C为AB中点。试问：
能否用OA，OB来表示向量OC ?
A 书P65 例4
C
OC OA OB 1 OA OB 1 1 1
O
B
思考2：如果λ>0 ，点C在什么位置？ λ<0呢？ λ=0呢？ λ>0 时，点C在AB之间 λ<0 时，点C在AB或BA的延长线上 λ=0时，C点与A点重合
例3
已知OA和OB是不共线向量，AC t AB t R,





a aa 第一分配律

第二分配律


a
b

a

b




练习：
a
已知非零向量 a ，求向量 的模
结论：① a 是单位向量 | a |
|a|
a
②与 a 同向的单位向量是 | a |
OC 1 OA 1 OB A 22
C
变1：若点C为AB边上靠 近B点的三等分点呢？ A
O
OC 1 OA 2 OB
33
变2：若点C为AB边上靠 O 近B点的四等分点呢？ A
B
C B
OC 1 OA 3 OB
44
O
C B
变3：
如图，ΔABC中，C为直线AB上一点。且
AC CB 1，则OC OA OB
③与a
反向的单位向量是

|
a a
|
④与 a 平行的单位向量是 a |a|
复习：
二、向量共线定理
对于两个向量 a(a 0)，b，如果有一个实
数λ，使得 b a(a 0)，那么 b 与 a
是共线向量；反之，如果 b 与a(a 0)是 共线向量，那么有且只有一个实数λ，使
得b a。
说明：
①要证向量 a，b共线，只须证明存在实数λ ，使
得 b a 即可。
②推广：a // b 存在实数1，2，使得1a 2b
利用向量共线定理可以解决点共线或线共点的问题。
问Biblioteka Baidu1：
设e1，e2是不共线的两个向量，AB 3e1 2e2， BC 2e1 4e2，CD 2e1 4e2. (1)向量 AC与CD是否共线？为什么？
试用OA和OB表示OC。
思考：
设O、A、B、C为平面上任意四点，且存在实数 s，t，
使 OC sOA tOB
若A、B、C三点共线，则
；
反之，若s+t=1，则
。
结论：设O为平面上任一点，则A、B、C三点共线
OC 1 t OA tOB t R
或 A、B、C三点共线 OC sOA tOB ，其中s+t=1
复习：
一、向量的数乘
定 实数 与向量 a 的积是一个向量，记作a ，它的长度和 义 方向规定如下：
（1） a a
（2）当 0 时，a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时，
a的方向与 a 的方向相反；特别地，当 0 或 a0 时， a0
运算律：
a a 结合律