高考文科数学复习_极坐标与参数方程

平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位和角的

正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。

2．极坐标系内一点的极坐标

平面上一点到极点的距离称为极径，与轴的夹角称为极角，有序实数对

就叫做点的极坐标。

（1）一般情况下，不特别加以说明时表示非负数；

当时表示极点；

当时，点的位置这样确定：作射线，

使，在的反向延长线上取一点，使得，点即为所求的点。（2）点与点（）所表示的是同一个点，即角与的

终边是相同的。

综上所述，在极坐标系中，点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应，

即，, 均表示同一个点.

3. 极坐标与直角坐标的互化

当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（①极点与原点重合；②极轴与轴正半轴重合；

③长度单位相同），平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下

关系：

直角坐标化极坐标：；

极坐标化直角坐标：.

此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系.

4. 直线的极坐标方程：

（1）过极点倾斜角为的直线：或写成及.

5. 圆的极坐标方程：

（1）以极点为圆心，为半径的圆：.

（2）若，，以为直径的圆：

知识点三：参数方程

1. 概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数：

，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）.

相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。

知识点四：常见曲线的参数方程

1．直线的参数方程

（1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为：

（为参数）；

其中参数的几何意义：，有，即表示直线上任一点M到定点

的距离。（当在上方时，，在下方时，)。

（2）过定点，且其斜率为的直线的参数方程为：

（为参数，为为常数，）；

其中的几何意义为：若是直线上一点，则。

2．圆的参数方程

（1）已知圆心为，半径为的圆的参数方程为：

（是参数，）；

特别地当圆心在原点时，其参数方程为（是参数）。

（2）参数的几何意义为：由轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。

（3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的

参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。

3. 椭圆的参数方程

（1）椭圆（）的参数方程（为参数）。

（2）参数的几何意义是椭圆上某一点的离心角。

如图中，点对应的角为（过作轴，

交大圆即以为直径的圆于），切不可认为是。

（3）从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。

椭圆上任意一点可设成，

为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。

4. 双曲线的参数方程

双曲线（,）的参数方程为（为参数）。5. 抛物线的参数方程

抛物线()的参数方程为（是参数）。

参数的几何意义为：抛物线上一点与其顶点连线的斜率的倒数，即。