苏教版高中数学必修五等差数列教案(1)

第 3 课时：§2.2 等差数列（1）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.通过实例，理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列
2.掌握“叠加法”求等差数列公式的方法，掌握等差数列的的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题；
3.掌握等差数列的常规简单性质，并能应用于解题
4.正确认识使用等差数列的多种表达形式，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项，能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；
5.探索活动中培养学生观察、分析的能力，培养学生由特殊到一般的归纳能力（苏）
二、过程与方法
1.经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程（让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念）；
2.由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。

三、情感、态度与价值观
1. 通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。

2.培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。

【教学重点与难点】：
重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式
难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法；体会等差数列与一次函数之间的联系。

【学法与教学用具】：
1.学法：引导学生概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。

2.教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
教材33P 引例：
①第23届到第28届奥运会举行的年份为：1984，1988，1992，1996，2000，2004
②某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过3分钟，收话费0.2元，以后每分钟收话费0.1元，那么通话费按从小到大的次序依次为：0.2,0.20.1,0.20.12,0.20.13,++⨯+⨯L
③如果1年期储蓄的月利率为1.65%，那么将10000元分别存1个月，2个月，3个月，……12个月，所得的本利和依次为100001000016.5,1000016.52,1000016.512++⨯+⨯L
问题：上面这些数列有何共同特征？
二、研探新知
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数
列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）。

名称：AP ；首项 )(1a ；公差 )(d
注意：
（1）从第二项起．．．．．，后一项减去前一项的差等于同一个常数．．．．．
，这个常数就是公差。

（2）公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；若0=d 则该数列为常数列
（3）对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，*
∈≥N n n ,2，则此数列是等差数列，d 为公差。

思考：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？
2.等差数列的通项公式的推导：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】
已知等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，求n a ．
（1） 归纳法：Q 由等差数列的定义：
Λ
ΛΛΛd
a d d a d a a d a d d a d a a d
a a 3)2(2)(1134112312+=++=+=+=++=+=+= 由此归纳为 d n a a n )1(1-+= 当1=n 时 11a a = （成立）
由上述关系还可得：d m a a m )1(1-+= 即：d m a a m )1(1--=
则：=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+--
即等差数列的第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ ∴ d=
n
m a a n m -- （2）累加法
∵{}n a 是等差数列，∴当2n ≥时，有21a a d -=，32a a d -=，43a a d -=…… 1n n a a d --=，将上面1n -个等式的两边分别相加，得：1(1)n a a n d -=-
∴1(1)n a a n d =+-，当1n =时，上面的等式也成立。

注意：（1）等差数列的通项公式是关于n 的一次函数
（2）如果通项公式是关于n 的一次函数，则该数列成AP 证明如下：
A n
B A B A n A B An a n )1()()1(-++=++-=+=，它是以B A +为首项，A 为公差的AP ）。

（3）等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。

（4）图象：一条直线上的一群孤立点
3.等差数列的性质
（1）=n a d m n a m )(-+
（2）d =n
m a a n m -- （3）等差数列的通项公式是关于n 的一次函数
（4）如果通项公式是关于n 的一次函数，则该数列成AP
（5）在d n a a n )1(1-+=中n ，n a ，1a ，d 四数中已知三个可以求出另一个
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1（教材33P 例1）
例2（教材34P 例2）
例3（教材36P 例1）第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次。

奥运会如因故不能进行，届数照算。

（1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；
（2）2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？
解：（1）由题意：举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列，∴*18964(1)18924()n a n n n N =+-=+∈
（2）假设2008,n a =则200818924n =+，得29n =假设2050n a =，205018924n =+无正整数解。

答：所求的通项公式是*18924()n a n n N =+∈，2008年北京奥运会是第29届奥运会，2050年不举行
奥运会。

说明：由此例说明等差数列项的判断方法。

例4 （教材36P 例2）在等差数列{}n a 中，已知310a =，928a =，求12a ．
解：由题意可知：11
210828a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得14a =，3d =， ∴124(121)337a =+-⨯=
四、巩固深化，反馈矫正
1.梯形的最高一级宽33cm ，最低一级宽110cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。

2.在1-与7中间插入三个数a ，b ，c ，使得这5个数成等差数列，求a ，b ，c ．
3.求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.
4.100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
5.在等差数列{}n a 中，4a ＝9，9a ＝－6，求满足54=n s 的所有n 的值．
6．{}n a 是等差数列，证明{}n ka b +为等差数列。

（两种方法）
7．在等差数列{}n a 中，若410a =，719a =，求18a ．（两种方法）
8．①在等差数列{}n a 中，278136a a a a +++=，求69a a +．
②在等差数列{}n a 中，14812152a a a a a ---+=，求313a a +的值。

9．已知三个数成等差数列，其和为15，首末两项的积为9，求这三个数？（等差数列的设法）
五、归纳整理，整体认识
通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：n a －1-n a =d ，（),2*∈≥N n n .
其次，要会推导等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=，并掌握其基本应用。

最后，还要注意一重要关系式：=n a d m n a m )(-+和n a q pn += (p 、q 是常数)的理解与应用.
六、承上启下，留下悬念
七、板书设计（略）
八、课后记：。