点的复合运动的矩阵矢量法
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图 ３ 动系绕空同定轴转动
经过 以上各步骤的分解 ， 动系绕空问任意轴 的 旋转就变成 了绕定系各坐标轴的旋转 ， 由此不难推
导 出动点 的位置矢 量 、 速度 矢量 及 加 速度 矢量 表 达
式（ 参见文献［］。 ２） 动点 的位 置 由下式 确定
， ＝
’ ．
肼
‘
’Ｍ
叙必 基 词 型
中圈分类号 ：Ｂ￣ Ｔ Ｉ－
墼
２一
Ｏ 前言
在理论力学中， 对点的合成运动及剐体的平面 运动的求解通常采用运动的合成与分解及矢量分析 的方法， 这样做， 从物理意义上直观明了、 易于理解 ， 但对于处理较为复杂的空问运动， 其分析与计算过 程却很繁琐， 而对于牵连运动是转动 的情况则还须 判断科氏加速度的方向， 其局限性还在于不利于计 算机编程 ， 这对于工程上较为复杂的问题 显得很不
．
ｙ Ａ一 Ａ ・ ，，） Ａ・ ， Ａ － 拍 各点 的相对位置不变．］ ； 成， Ｔ （ ， Ｔ ； ０ ） ・ 一 ＋ ・ ｒ ｃ 在推导作复合 运动的刚体上
（１ １）
点的运动参量计算公式时， 只要将动点在动系中的 位置 矢量 （ ， （ Ｙ） 刚体作平 面 复合 运 动 时）和 （ ， 刚体作空间复合运动时） Ｙ， （ ） 视作常量 ， 其 对时间的一阶及二 阶导数为零 ， 不难推导出作平面 或空间复合运动的刚体上任意点 的绝对位置、 速度、 加速度计算公式 ， 这方面， 限于本文篇幅， 在此不作
’
—
．
（ ， ｚ） Ｙ ，
２ 作空间运动的点的运动分析
根据以上方法 ， 对作空 间复台运动的点可推导
出以下计算公式。
２１ 牵连运动 为空 间平动 时 ．
（０ １）
动点的位置由下式确定
，： （ ，ｏ， ） 如一 ｙ ＋（ ， ＝） ＂ Ｙ ， （） ７
卢
十 ：
ｃ 葛 ｏ ｓ 卢
ｓ ｙ：ｅ ｉ ｎ ｙ ｃｓ ； 。ｙ＝
＝
（ ， ，）
机 械
工 程
学 报
』＋ ｌ ｆ Ｍ
第３ ６卷第 ４期
Ａ 由于动坐标系是绕定轴旋转． 所以代表旋转轴
－
，
一
口 ． ， ，０’ ・（ ；
・
．
（３ １）
标原点平动 ， 同时又绕空 间确定方 向的轴转动 ， 这 时， 动点的位置 ， 、 速度 加速度按以下形式计算。
２ ｓｌ Ｃ Ｉ－ Ｈ． Ｐ ｄ ｉｅ Ｗ ＫＩ 【 ｌ ， ｄｆ Ｃ ａ ｉｅ瑚 ｃ ａ ｄ ｌ ｓ ｎ Ｍｅｈ ｎ ｍｓ ｃ ａｉ ｓ Ｄ ｓ ｎＴ ｒｎｏ：ｏｎ ＷⅡ ＆ ｅｉ ｏｏ ｌ Ｊｈ ｇ Ｃ ｉ ｅｔｒＢ ｓ ｎ ９ ８４ ｈｃ ￣ ｈ ｅ ＨＭ ｅ１７ ：５～５ ０ Ｙ Ｂ 腑
进一步对上式求导得加速度计算公式为
以上二式中， 各符号的意义如下
Ａ ： Ｍ ＋ ， ・Ｍ — ｐ， ｙ
，
详细讨论。
—
，
ＡＴ ： Ｍ ＋ ． ・Ｍ ７
ｐ， ，
３ 结论
以上各公式对于解决工程实际中的具体问题具 有十分重要的意义 ， 尤其对于解决复杂的空间机构 的运动及动力学问题具有实际应用价值。 在具体应 用 中， 当已知牵连 运动和相对运 动或刚体 的运动 时 ， 利用以上公式不难求出动点的各运动参量， 反过来 ， 也可结合解方程组或数值计算的方法， 求出为得到
１２ 牵连运动为转动时 ． 设动系相对于定系的转角为 ， 动系的角速度 为 ， 如图 ２ 所示 ， Ｐ的位置由下式确定 点
，
。
１ 作平面复合运动的点 的运动分析
图 ２ 动系作转动时
１１ 牵 连运动 为平动 时 ．
ｃ
如图 １ 所示 ， 定坐标 系 为 Ｏｙ 动 坐标 系为 ｘ， ０ 点 Ｐ的位置由下式确定 ｙ ，
某种 运动规 律而 需要 的运动 ， 为解决 正 向或逆 向动
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力学问题即刚性机械系统的动力学问题提供了一定
一
式（１ 中， １） 第一项为牵连速度， 第二项为相对 速度。 １） 第一项为牵连加速度 ， 式（２ 中， 它由两个分 项组成， 其中， 第一分项 为牵连加速度 的切 向分量 ， 第二分项为牵连加速度 的法 向分量 ， 第二项为科 氏 加速度， 第三项为相对加速度。 由于在推导过程中运 用了矢量表达方式， 因此 ， 以上各公式表达中已包含 了方 向， 所以不必另行判断速度、 加速度各分量的方
连 晋毅
太原 ００２ ） ３０４
Ｄ ｌ 上一。
（ 原重型机械 学院工程 机械教研 室 太
摘要
利用线性代数中矩阵运算和矢量分析 的方法 ， 了 复台运动的点 的绝对 位置 、 和加速度计算 公式 ， 推导 作 速度
简化 了具体的分析过程 ， 且便于利用计算机求解较为复杂 的空问运动 。
Ｍ
— ， ｙ ＝
ｒ０卢 ０ 一ｓ ￣ ｓ ｃ ｉ １ ｎ
式中 （ ， ， ） ％ｒ ｒ —— 动 系坐标原点在定系 中 ｒ
的位 置矢量
Ｊ０ １ ０ Ｊ
Ｌｓｎ ｉ 口 ０ ｃｓ Ｊ ０口
（ ， ） Ｙ ， Ｌ一 动点在动系中的位置矢量 上式对时间求一阶导数得点 Ｐ的速度为
向。 ２３ 动 系 为空 间 复合 运动 的情 况下 点 的位 置 、 ． 速
的理论依据和新的便捷手段。 对于作空间复合运动 的刚体的运动分析， 在理论力学中有十分详细的描 述， 在实际应用中有各种各样的表现形式， 本文旨在 运用线性代 数的方 法找 出其 中的 一般 规律 ， 为简化 分析过程 、 减少错误的发生 以及求解更为复杂 的运 动提供一点新的理论依据， 同时也为简化计算机编 程提供更为便捷的手段 ， 在此基础上还可以进一步 推 导刚体绕 定点 的运 动和更为 复杂 的空 间运动 。
第３ ６卷第 ４ 期 ２００ ０年 ４月
机
械
工
程
学 报
ｖ ｌ３ Ｈ０ ４ ０ ６ ．
ＣＨＩ ＮＥｓ Ｊ Ｅ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＭＥＣＨＡＮＩ ＣＡＬ Ｅ ＮＧＩ ＥＲＩ ＮＥ ＮＧ
点 的复合运 动 的矩 阵矢 量 法
’
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：
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，
则旋转过程不必进行上述分解 ， 而对于公式（０ ， ｄ＝（ ． ， ｏ— ＋ 麝 ． Ａ 一 Ｙ ）＋ １）只 五， ，． ＣＡ・ 。 ・ （ Ｚ） — ： ， ， 要在相对位置矢量前直接乘 以相应的矩阵 』 … Ａ ｌ、 ｆ 『 船 Ｏ ２ 矾 ．・ ・ ， ， ） Ａ・ Ａ （ ＋Ａ ・ ．・ ： 或 … 或 … ： 可以了） 因此以上各式 中矩 就 ， Ａ ・（ ， ） ｘ， （５ １） 一 一 阵 』 、ｆ 、ｆ 、ｆ ｌ ｆ 』 』 』 为 常数 矩 阵 ， 以 ｌ ｌ ｌ 所 以上推导了动系 中作任意运动 的点 的绝对位 式（Ｏ １）中只有两 个变量 ， 即矩 阵 』 … ＝ ｌ ｆ 和矢 量 （ ， ？ ０ 通过适当变换 ， 置、 速度 、 加速度计算公式 ， 可以将这 ９ １ Ｙ， ， ：） 从而推 导得动点 的速 度计算公式 如下 些公式运用到刚体运动中去 ， 这是因为 ， 同一刚体上
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（ ） （ ） ｃ 鲁， 警， ｚ ＋
进一步对时间求导得点 Ｐ的加速度为
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…ຫໍສະໝຸດ Baidu
进一步求导得点 Ｐ的加速度为
：
１９１ ． 收到韧稿 ， ９ １￣ 收到修改稿 ９９Ｃ６ ０ １ ９２６ ９
参
考
文
献
限于篇 幅， 这里仅限于讨论动系作随动系坐标
原点 的平 动和绕 通过 动系 坐标 原 点 的矢量 的转 动。 但该矢量为定 向矢 量 的情况 ， 即动系 一 方面 随坐 亦
１ 哈尔 滨工业大学理论力学教研室编 理论 力学 （ 上册）． 北京 ： 人民教育 出版社 ，１８ ：２ —３ １ ９ １３４ ５
，＝ （ ， ） （ ， ‰， ＋ Ｙ ） （） １
一
…
ｏ －￣ ８ 唧ｏ ； ｓ］ ｉ ｎ
㈤
对上式求导得点 Ｐ的速度为
ｖ＝ Ⅲ ・ ＋ ・ ， ＋ （ Ｙ） ・ ， ） （） （ ５
上式对时问求导得点 Ｐ的速度为
ｖ ：
式中， 第一项为牵连速度 ， 第二项为相对速度
的单位矢量 ｅ 及 、 ｙ是确定的（ 对于 ｅ 注： …ｅ 同时 ｙ： （。， ； ） ， ＋Ａ 一 ｒ Ａ （ ， ） 一 Ｙ ， ＋ ＝ 零即旋转轴平行于 ， ， 轴或平行于 轴、 轴的情况， Ａ ・ Ａ （ ， ， ） ・ （４ １）
嚣
００ ４ ０ 年 月
， ， ＼
Ｙ
史清录等 ： 点的复合运动的矩阵矢量法
／ ＼
Ｙ
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２Ｊ Ｐ ・ ．Ｊ Ｐ １． ａ・ ＋ Ｉ ，＋ ・ ， Ｊ
（） ６
ｚ 轴旋转９角。 动系绕 轴旋转 一 角。 动系绕 ④ ⑤ Ｙ 轴旋转 ＋口角。
由式（） ６ 可以看出， 动点的绝对加速度由４ 部分 组成 ， 第一项为牵连加速度的切向分量 ， 第二项为牵 连加速度 的法向分量， 第三项为科氏加速度， 它正是 动系的角速度与动点的相对速度的矢量积的二倍 ， 其方向可通过乘 以矩阵 也 ＋ 反映出来 ， 第四项为 相对加速度 。 以上 推导 是在 假 定动 系 与定 系坐 标原 点重台 的情况下进行的， 对于动系与定 系坐标原点 不重台的情况， 只要在公式（） （） （） ４ 、５ 、６ 前面加上 动系坐标原点的相应运动参量就可以了。 由上述推 导得出的结果与理论力学中用运动合成及数学中求 极限的方法得出的结果完全相 同， 其优点在 于： ① 在推导过程中不必运用较多的力学原理及概念。 ③ 在解决实际问题 时， 不必判断哥氏加速度及其他各 运动参量的方向， 丽只要建立恰 当的坐标系并给出 动系的变化规律 （ 牵连运动） 和动点在 动系中的运 动规律就可以了。 便于利用计算机编程并减少错 ③ 位的发生， 这正是矩阵运算的优点。
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（ 鲁， 。警，，）ｓ 鲁， 警） （ 。， ＋ ｃ
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进一步求导得点 Ｐ的加速度为
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２２ 牵连运动为绕空间定轴转动时 ． 如 图 ３ 示 ， 系为 Ｏ 定系为 Ｏｙ ， 里 所 动 ｘＹ＝， ｘｚ这
图 １ 动系作平动时
方便， 同时也容 产生错误， 为此， 本文利用矩阵运
算和向量分析的方法， 推导了作任意复合运动 的点 的绝对位置、 速度和加速度的计算公式 ， 也可根据这 些公式反过来解要求的运动 ， 所得 的结果与用理论 力学中得出的结果完全一致。 利用这些公式 ， 不但简 化了对运动的分析过程， 减少了错误的发生 ， 同时还 便于利用计算机编程 ， 即使是 较复杂的空间运动也 可用简单的几条语句完成， 以下详述推导过程。
Ｌ ０
０
１ Ｊ
用单位矢量 Ｐ 代表旋转轴， 动系绕该轴旋转 ， 动点在 动系及定系 中的位置矢量仍 与前面的表示 方法相
同， 为简化起见 ， 图中省略动点及其在动系、 定系中 的分量标志。 为便于公式推导， 动系绕旋转轴 Ｐ的旋 转过程（ 转角为 ｐ 可分解为下述步骤 ： 动系绕 Ｙ ） ① 轴旋转 一 角 。 口 ②动系绕 轴旋转 ＋ｙ ③ 动系绕 角。
经过 以上各步骤的分解 ， 动系绕空问任意轴 的 旋转就变成 了绕定系各坐标轴的旋转 ， 由此不难推
导 出动点 的位置矢 量 、 速度 矢量 及 加 速度 矢量 表 达
式（ 参见文献［］。 ２） 动点 的位 置 由下式 确定
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中圈分类号 ：Ｂ￣ Ｔ Ｉ－
墼
２一
Ｏ 前言
在理论力学中， 对点的合成运动及剐体的平面 运动的求解通常采用运动的合成与分解及矢量分析 的方法， 这样做， 从物理意义上直观明了、 易于理解 ， 但对于处理较为复杂的空问运动， 其分析与计算过 程却很繁琐， 而对于牵连运动是转动 的情况则还须 判断科氏加速度的方向， 其局限性还在于不利于计 算机编程 ， 这对于工程上较为复杂的问题 显得很不
．
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（１ １）
点的运动参量计算公式时， 只要将动点在动系中的 位置 矢量 （ ， （ Ｙ） 刚体作平 面 复合 运 动 时）和 （ ， 刚体作空间复合运动时） Ｙ， （ ） 视作常量 ， 其 对时间的一阶及二 阶导数为零 ， 不难推导出作平面 或空间复合运动的刚体上任意点 的绝对位置、 速度、 加速度计算公式 ， 这方面， 限于本文篇幅， 在此不作
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（ ， ｚ） Ｙ ，
２ 作空间运动的点的运动分析
根据以上方法 ， 对作空 间复台运动的点可推导
出以下计算公式。
２１ 牵连运动 为空 间平动 时 ．
（０ １）
动点的位置由下式确定
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十 ：
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第３ ６卷第 ４期
Ａ 由于动坐标系是绕定轴旋转． 所以代表旋转轴
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标原点平动 ， 同时又绕空 间确定方 向的轴转动 ， 这 时， 动点的位置 ， 、 速度 加速度按以下形式计算。
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进一步对上式求导得加速度计算公式为
以上二式中， 各符号的意义如下
Ａ ： Ｍ ＋ ， ・Ｍ — ｐ， ｙ
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详细讨论。
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３ 结论
以上各公式对于解决工程实际中的具体问题具 有十分重要的意义 ， 尤其对于解决复杂的空间机构 的运动及动力学问题具有实际应用价值。 在具体应 用 中， 当已知牵连 运动和相对运 动或刚体 的运动 时 ， 利用以上公式不难求出动点的各运动参量， 反过来 ， 也可结合解方程组或数值计算的方法， 求出为得到
１２ 牵连运动为转动时 ． 设动系相对于定系的转角为 ， 动系的角速度 为 ， 如图 ２ 所示 ， Ｐ的位置由下式确定 点
，
。
１ 作平面复合运动的点 的运动分析
图 ２ 动系作转动时
１１ 牵 连运动 为平动 时 ．
ｃ
如图 １ 所示 ， 定坐标 系 为 Ｏｙ 动 坐标 系为 ｘ， ０ 点 Ｐ的位置由下式确定 ｙ ，
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式（１ 中， １） 第一项为牵连速度， 第二项为相对 速度。 １） 第一项为牵连加速度 ， 式（２ 中， 它由两个分 项组成， 其中， 第一分项 为牵连加速度 的切 向分量 ， 第二分项为牵连加速度 的法 向分量 ， 第二项为科 氏 加速度， 第三项为相对加速度。 由于在推导过程中运 用了矢量表达方式， 因此 ， 以上各公式表达中已包含 了方 向， 所以不必另行判断速度、 加速度各分量的方
连 晋毅
太原 ００２ ） ３０４
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（ 原重型机械 学院工程 机械教研 室 太
摘要
利用线性代数中矩阵运算和矢量分析 的方法 ， 了 复台运动的点 的绝对 位置 、 和加速度计算 公式 ， 推导 作 速度
简化 了具体的分析过程 ， 且便于利用计算机求解较为复杂 的空问运动 。
Ｍ
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式中 （ ， ， ） ％ｒ ｒ —— 动 系坐标原点在定系 中 ｒ
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（ ， ） Ｙ ， Ｌ一 动点在动系中的位置矢量 上式对时间求一阶导数得点 Ｐ的速度为
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的理论依据和新的便捷手段。 对于作空间复合运动 的刚体的运动分析， 在理论力学中有十分详细的描 述， 在实际应用中有各种各样的表现形式， 本文旨在 运用线性代 数的方 法找 出其 中的 一般 规律 ， 为简化 分析过程 、 减少错误的发生 以及求解更为复杂 的运 动提供一点新的理论依据， 同时也为简化计算机编 程提供更为便捷的手段 ， 在此基础上还可以进一步 推 导刚体绕 定点 的运 动和更为 复杂 的空 间运动 。
第３ ６卷第 ４ 期 ２００ ０年 ４月
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则旋转过程不必进行上述分解 ， 而对于公式（０ ， ｄ＝（ ． ， ｏ— ＋ 麝 ． Ａ 一 Ｙ ）＋ １）只 五， ，． ＣＡ・ 。 ・ （ Ｚ） — ： ， ， 要在相对位置矢量前直接乘 以相应的矩阵 』 … Ａ ｌ、 ｆ 『 船 Ｏ ２ 矾 ．・ ・ ， ， ） Ａ・ Ａ （ ＋Ａ ・ ．・ ： 或 … 或 … ： 可以了） 因此以上各式 中矩 就 ， Ａ ・（ ， ） ｘ， （５ １） 一 一 阵 』 、ｆ 、ｆ 、ｆ ｌ ｆ 』 』 』 为 常数 矩 阵 ， 以 ｌ ｌ ｌ 所 以上推导了动系 中作任意运动 的点 的绝对位 式（Ｏ １）中只有两 个变量 ， 即矩 阵 』 … ＝ ｌ ｆ 和矢 量 （ ， ？ ０ 通过适当变换 ， 置、 速度 、 加速度计算公式 ， 可以将这 ９ １ Ｙ， ， ：） 从而推 导得动点 的速 度计算公式 如下 些公式运用到刚体运动中去 ， 这是因为 ， 同一刚体上
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：
１９１ ． 收到韧稿 ， ９ １￣ 收到修改稿 ９９Ｃ６ ０ １ ９２６ ９
参
考
文
献
限于篇 幅， 这里仅限于讨论动系作随动系坐标
原点 的平 动和绕 通过 动系 坐标 原 点 的矢量 的转 动。 但该矢量为定 向矢 量 的情况 ， 即动系 一 方面 随坐 亦
１ 哈尔 滨工业大学理论力学教研室编 理论 力学 （ 上册）． 北京 ： 人民教育 出版社 ，１８ ：２ —３ １ ９ １３４ ５
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对上式求导得点 Ｐ的速度为
ｖ＝ Ⅲ ・ ＋ ・ ， ＋ （ Ｙ） ・ ， ） （） （ ５
上式对时问求导得点 Ｐ的速度为
ｖ ：
式中， 第一项为牵连速度 ， 第二项为相对速度
的单位矢量 ｅ 及 、 ｙ是确定的（ 对于 ｅ 注： …ｅ 同时 ｙ： （。， ； ） ， ＋Ａ 一 ｒ Ａ （ ， ） 一 Ｙ ， ＋ ＝ 零即旋转轴平行于 ， ， 轴或平行于 轴、 轴的情况， Ａ ・ Ａ （ ， ， ） ・ （４ １）
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史清录等 ： 点的复合运动的矩阵矢量法
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由式（） ６ 可以看出， 动点的绝对加速度由４ 部分 组成 ， 第一项为牵连加速度的切向分量 ， 第二项为牵 连加速度 的法向分量， 第三项为科氏加速度， 它正是 动系的角速度与动点的相对速度的矢量积的二倍 ， 其方向可通过乘 以矩阵 也 ＋ 反映出来 ， 第四项为 相对加速度 。 以上 推导 是在 假 定动 系 与定 系坐 标原 点重台 的情况下进行的， 对于动系与定 系坐标原点 不重台的情况， 只要在公式（） （） （） ４ 、５ 、６ 前面加上 动系坐标原点的相应运动参量就可以了。 由上述推 导得出的结果与理论力学中用运动合成及数学中求 极限的方法得出的结果完全相 同， 其优点在 于： ① 在推导过程中不必运用较多的力学原理及概念。 ③ 在解决实际问题 时， 不必判断哥氏加速度及其他各 运动参量的方向， 丽只要建立恰 当的坐标系并给出 动系的变化规律 （ 牵连运动） 和动点在 动系中的运 动规律就可以了。 便于利用计算机编程并减少错 ③ 位的发生， 这正是矩阵运算的优点。
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进一步求导得点 Ｐ的加速度为
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２２ 牵连运动为绕空间定轴转动时 ． 如 图 ３ 示 ， 系为 Ｏ 定系为 Ｏｙ ， 里 所 动 ｘＹ＝， ｘｚ这
图 １ 动系作平动时
方便， 同时也容 产生错误， 为此， 本文利用矩阵运
算和向量分析的方法， 推导了作任意复合运动 的点 的绝对位置、 速度和加速度的计算公式 ， 也可根据这 些公式反过来解要求的运动 ， 所得 的结果与用理论 力学中得出的结果完全一致。 利用这些公式 ， 不但简 化了对运动的分析过程， 减少了错误的发生 ， 同时还 便于利用计算机编程 ， 即使是 较复杂的空间运动也 可用简单的几条语句完成， 以下详述推导过程。
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用单位矢量 Ｐ 代表旋转轴， 动系绕该轴旋转 ， 动点在 动系及定系 中的位置矢量仍 与前面的表示 方法相
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