关于偶倍奇零原则的粗浅认识
定积分应用题详解
3
3
(A) g 0 axdx ;
g h (C) axdx ; 2 0
h
(B) g 0 hxdx ;
(D) g 2axdx .
0 h
h
二、填空题
1.
1
2x x 1 x
2
1
dx Leabharlann 答案 : ln 2答案 :
2.
1
1 x (1 x )
0
dx
4
2
3. 若 f(x) 有一个原函数 tanx, 则
(1) 因已知半球可看作此半 圆绕 y 轴旋转而成 的立体, 故半球内高为h 的球缺的体积即水深 为 h 时水池内水的体积为
V ( h) x dy ( 2 Ry y 2 )dy
2 0 0
h
h
又设水深 h 时已注水的时间为t , 则有 V ( h) at ,
即 ( 2 Ry y 2 )dy at
定积分应用题
一.选择题 1.抛物线 y2 = 4x及直线x=3 围成的图形绕 x 轴旋转 一周而成的立体体积V = [ B ]. (A)18; (B)18; (C)243/8; (D)243 /8. 2.半径为 R 的半球形水池装满了水，现将水全部抽 出，需要做的功W=[ C ] R R 2 2 2 x gdx; (A) ( R x ) gdx; (B) 0
( 0 ) g ( R x )( H R x) dx
2 2
H
o
提出水面后的微功为
x
y
dW2 g y 2 dx ( R x)
g ( R x )( R x) dx
奇偶校验——精选推荐
奇偶校验奇偶校验原理（转载）什么是奇校验、偶校验、奇偶校验,什么是奇偶校验对数据传输正确性的⼀种校验⽅法。
在数据传输前附加⼀位奇校验位，⽤来表⽰传输的数据中"1"的个数是奇数还是偶数，为奇数时，校验位置为"0"，否则置为"1"，⽤以保持数据的奇偶性不变。
例如，需要传输"11001110"，数据中含5个"1"，所以其奇校验位为"0"，同时把"110011100"传输给接收⽅，接收⽅收到数据后再⼀次计算奇偶性，"110011100"中仍然含有5个"1"，所以接收⽅计算出的奇校验位还是"0"，与发送⽅⼀致，表⽰在此次传输过程中未发⽣错误。
奇偶校验就是接收⽅⽤来验证发送⽅在传输过程中所传数据是否由于某些原因造成破坏。
具体⽅法如下：奇校验：就是让原有数据序列中（包括你要加上的⼀位）1的个数为奇数1000110（0）你必须添0这样原来有3个1已经是奇数了所以你添上0之后1的个数还是奇数个。
偶校验：就是让原有数据序列中（包括你要加上的⼀位）1的个数为偶数1000110（1）你就必须加1了这样原来有3个1要想1的个数为偶数就只能添1了。
⼤家⼀定会问，如何计算奇偶性呢，在计算机内有⼀种特殊的运算它遵守下⾯的规则：1+1=0; 1+0=1; 0+1=1; 0+0=0;我们把传送过来的1100111000逐位相加就会得到⼀个1，应该注意的的，如果在传送中1100111000变成为0000111000，通过上⾯的运算也将得到1，接收⽅就会认为传送的数据是正确的，这个判断正确与否的过程称为校验。
⽽使⽤上⾯⽅法进⾏的校验称为奇校验，奇校验只能判断传送数据中奇数个数据从0变为1或从1变为0的情况，对于传送中偶数个数据发⽣错误，它就⽆能为⼒了。
高等数学I(1)复习题
一、填空题1．函数)(x f 在点0x 处极限)(lim 0x f x x →存在是)(x f 在点0x 处连续的_____条件.2．)(x f 在点0x 处连续是函数)(x f 在点0x 处可导的______条件. 3．)(x f 在点0x 处可导是函数)(x f 在点0x 处连续的______条件.4．x ＝3是函数22)3()3sin()(--=x x x f 的_______(可去、跳跃、无穷)间断点.5．x ＝3是函数2)3()3sin()(--=x x x f 的_______(可去、跳跃、无穷)间断点. 6．x ＝2是函数)2()2tan()(--=x x x f 的_______(可去、跳跃、无穷)间断点.二计算下列极限 1．30sin sin tan limx x x x -→. 2．20)1(sin tan lim --→x x e x x x . 3．)1ln(sin tan lim 20x x xx x +-→. 4．)1(ln sin tan lim 20x x x x x +-→5．232)11(lim n n n +∞→ 6．nn n 3)111(lim ++∞→ 7．n n n 5)11(lim +∞→ 8．242)11(lim n n n -∞→ 9．13)111(lim -∞→--n n n 10．23)11(lim -∞→-n n n第二章练习题1．7sec sin ln 2-+=x x x x y ，求y ' 2．⎰++=21cos ln sin xdx x x x x y 求y '.3．方程y xe y=+1确定函数)(x y y =，求=x dxdy.4．方程0sin cos 52=-++y y y x 确定函数)(x y y =，求dx dy .5．方程0sin 21=+-y y xe y确定函数)(x y y =，求dy dx dy 及.一、利用罗比达法则求极限 1．30sin limx x x x -→ 2．30sin tan limx xx x -→3．)1(ln sin tan lim 20x x x x x +-→ 4．20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→5．)3ln()1ln(lim 2x x x +++∞→ 6．)3ln()1ln(lim 7x x x +++∞→二、求函数251 +=-xy 的凹凸区间和拐点。
2019考研数学一真题(含答案解析)
2019年考研数学一真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.当0→x 时，若x x tan -是与kx 是同阶无穷小，则=k2.设函数,0()ln ,0x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则0x =是()f x 的3.设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是A.1nn u n∞=∑ B.11(1)n n n u ∞=-∑ C.11(1n n n uu ∞=+-∑ D.2211()n n n uu ∞+=-∑（B ）的反例，取1n u n=-（C ）的反例，取1n u n =-，111n n u u n+-=-，对应的级数发散4.设函数2(,)xQ x y y=，如果对上半平面(0)y >内的任意有向光滑封闭曲线C 都有(,)d (,)d 0CP x y x Q x y y +=⎰ ，那么函数(,)P x y 可取为（）A.23x y y - B.231x y y- C.11x y- D.1x y-【分析与解答】答案：D 为了满足条件，一需要函数在积分区域内没有暇点，此题主要指的是没有使得被积函数分母为0的点，注意到上半平面(0)y >时，x 可以取到0，即y 轴正半轴上的点，这些点会使得（C ）选项无意义，为（C ）选项的暇点，排除（C ）选项。
另外为了使闭环积分为0，需要满足(,)(,)Q x y P x y x y ∂∂=∂∂，容易算出2(,)1Q x y x y∂=∂，只有（D ）选项满足2(,)1P x y y y∂=∂5.设A 是3阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若E A A 22=+,且4=A ,则二次型Ax x T规范形为A.232221y y y ++ B.232221y y y -+ C.232221y y y -- D.232221y y y ---【分析与解答】答案：C22221,2λλλ+=⇒+=⇒=-A A E ，说明A 的特征值只能在1,2-中选择（这一点很重要，用化零多项式得到的特征值包含A 的所有特征值，有可能会多了假根，但绝对不会漏根），再由于所有特征值之积等于行列式，由于4=A ，可知矩阵A 的特征值必为1,2,2--，特征值两负一正，根据惯性定理，选（C ）。
奇偶校验概念的深入理解
奇偶校验概念的深入理解奇偶校验这个概念在逻辑设计里面经常会用到，但有的人对奇偶校验的理解很混乱。
奇偶校验是对数据传输正确性的一种校验方法。
在数据传输前附加一位奇校验位，用来表示传输的数据中"1"的个数是奇数还是偶数，为奇数时，校验位置为"0"，否则置为"1"，用以保持数据的奇偶性不变。
奇偶校验位 (Parity)是指或者奇数或甚至对一个数字的性质。
奇偶校验通常用在数据通信中来保证数据的有效性。
每个设备必须决定是否它将被用为偶校验，奇校验，或非校验。
发送设备添加1s在每个它发送的每条串上或决定这个数是偶数或奇数。
然后，它添加一个额外的位，叫做校验位，到这个串上。
如果偶校验在使用，校验位将这些位置为偶数；如果奇校验在使用，校验位将这些位置为奇数。
例如，需要传输"11001110"，数据中含5个"1"，所以其奇校验位为"0"，同时把"110011100"传输给接收方，接收方收到数据后再一次计算奇偶性，"110011100"中仍然含有5个"1"，所以接收方计算出的奇校验位还是"0"，与发送方一致，表示在此次传输过程中未发生错误。
奇偶校验就是接收方用来验证发送方在传输过程中所传数据是否由于某些原因造成破坏。
具体方法如下：奇校验：就是让原有数据序列中（包括你要加上的一位）1的个数为奇数1000110（0）你必须添0这样原来有3个1已经是奇数了所以你添上0之后1的个数还是奇数个。
偶校验：就是让原有数据序列中（包括你要加上的一位）1的个数为偶数1000110（1）你就必须加1了这样原来有3个1要想1的个数为偶数就只能添1了。
大家一定会问，如何计算奇偶性呢，在计算机内有一种特殊的运算它遵守下面的规则：1+1=0; 1+0=1; 0+1=1; 0+0=0;我们把传送过来的1100111000逐位相加就会得到一个1，应该注意的的，如果在传送中1100111000变成为0000111000，通过上面的运算也将得到1，接收方就会认为传送的数据是正确的，这个判断正确与否的过程称为校验。
对称性求解积分
(x y z)2dV
x2dV y2dV z2dV xydV yzdV xzdV
3
z2dV 3
2
d
sin d
R r4 cos2 dr 6
sin cos2 d
R r4dr
0
0
0
0
0
4 R5.
5
D
解：如图所示，积分区域D关于x轴对称，且f(x,-y)=-(xy+y3 )=-f(xy)
即f (x, y)是关于y的奇函数，由定理知， (xy y3)dxdy=0. D
计算 （x+y+z）2dV ,其中是x2 y2 z2 R2的球体.
解由对称性知
xydV yzdV xzdV, x2dV y2dV z2dV,
D
答案：1. ln 2 2.- 2 3. a b
2Hale Waihona Puke 52利用对称性简化二重积分计算
1、I=
z ln(x2 1 x2
y2 y2
zz22)dxdydz,
其中为x2
y2
z2
1.
解：由被积函数可以看出，此函数是关于z的奇函数，因为关于坐标轴 、坐标原点都对称，则：I=0
2、计算I = (xy y3)dxdy,其中D为由y2 2x与x 2围成的区域
f (x, y)dxdy f (y, x)dxdy
D1
D2
f (x, y)dxdy f (y, x)dxdy
D
D
对称性的应用
例1：设区域D={（x,y)|x2 y2 1, x 0},计算二重积分I = 1 xy dxdy
D 1 x2 y2
例2：计算 x[1 yf (x2 y2 )]dxdy，其中D是由y=x3, y 1, x 1围成的区域，f
让你爱上数学认识数的奇偶性
让你爱上数学认识数的奇偶性数学是一门令人又爱又恨的学科。
对于一些人来说，数学是一个令人头疼的问题，充满了复杂的符号和抽象的概念。
然而，如果我们能够正确理解数的奇偶性，那么数学将变得更加有趣和容易上手。
1. 数的奇偶性概念数是我们生活中常见的一种概念，它是用来表达事物的量的。
在数学中，数可以分为奇数和偶数两种类型。
奇数是指不能被2整除的数，而偶数则正好相反，能被2整除的数。
通过这个简单的概念，我们可以将不同的数进行分类，进一步探索数的特性和性质。
2. 奇偶性的判断规则判断一个数的奇偶性并不困难，我们只需要看这个数是否能被2整除即可。
如果一个数能被2整除，那么它就是偶数；如果一个数不能被2整除，那么它就是奇数。
以此类推，我们可以通过简单的计算和观察，轻松地判断出一个数的奇偶性。
3. 奇数的特性和性质奇数有一些独特的特性和性质，深入了解这些将为我们进一步探索数学世界打下基础。
首先，任何奇数加上偶数都等于奇数。
其次，两个奇数相加的结果是偶数。
此外，奇数也具有呈现规律的特性，如每两个相邻的奇数之间的差都为2。
这些特性和性质的发现可以帮助我们更好地理解奇数的本质。
4. 偶数的特性和性质偶数同样有其独特的特性和性质。
与奇数相反，任何偶数加上偶数的结果还是偶数。
此外，偶数与偶数相加的结果也是偶数。
同样地，偶数之间的差也有规律可循，相邻的两个偶数之间的差也为2。
了解偶数的特性不仅可以帮助我们更加深入地理解数学，还能够为我们解决问题和推导数学公式提供指导。
5. 奇偶性在数学中的应用奇偶性是数学中广泛应用的概念之一。
在代数和数论中，奇偶性的概念被广泛运用于分析和证明问题。
例如，通过奇偶性的判断，我们可以快速判定一个数的质数性质，从而简化了问题的求解过程。
此外，奇偶性概念也在组合数学、离散数学等领域中找到了重要的应用。
6. 培养对数学的兴趣和热爱当我们深入了解数的奇偶性，掌握了相关的概念和性质后，数学将不再是一门难以逾越的学科，而是变成一种有趣的游戏。
高等数学(第二版)上册课件：定积分的计算
0
2
例 5.4.4 计算下列积分.
(1)
2
sin3
xdx;
2
(2)
2
cos2
xdx.
2
分析 三角函数的平方或立方的积分,利用公式降次或变
形,变为已知积分计算.
解
(1)
2
sin3
xdx
2
sin 2
x sin
xdx
2
1 cos2 x dcosx
2
2
2
cosx1 Nhomakorabea3c
os3
x
2
e
ln xdx
1
e
e
e
1 2 1 2 2
e
e
例 5.4.7 设 f x 在 0,1 连续, 且
f
0 1,
f
2 3,
f 2 5,
求
1
0
xf
2
xdx
分析 观察题目,本题是抽象函数的积分,需要用到分部积分法.
解
1
0
xf
2 xdx
1 2
1
0
xdf
2x
1 2
xf
2x1 0
1
0
f
2xdx
因为
f 0 1, f 2 3, f 2 5
分析 连续函数为可积函数，因此被积函数的原函数存在，
可用N-L公式计算.
证明 假设 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，则
b
a f (x)dx F (b) F (a)
又由复合函数的求导法则知 (t) F ((t)) t ( , ) 是
f ((t))(t) 的一个原函数，所以
f ((t))(t)dt F(( )) F(( )) F(b) F(a)
二重积分轮换对称性
二重积分轮换对称性
首先二重积分对称性的前提是其积分区域关于某条直线对称（常见的有x轴、y轴和y=x），被积函数关于某平面对称。
举个例子（以下出现的对称性可以从二重积分几何意义曲顶柱体的体积的角度来考虑）
一、积分区域关于x轴对称，若被积函数关于平面yoz对称（同号），这时整个区域的积分是一半区域上积分的2倍；若被积函数关于平面yoz对称（异号），这时整个区域的积分值就为0，这就是常说的偶倍奇零。
二、积分区域关于直线y=x对称，若被积函数满足f（x，y）=f （y，x），即交换x和y的位置后函数表达式不变，这时积分值为一半区域积分的2倍；若f（x，y）=-f（y，x），则积分值为0、
三、轮换对称。
积分区域关于直线y=x对称，则交换被积函数x 和y的位置得到的函数的积分和原来的函数的积分值相等。
2017年专升本高数真题答案解析(浙江)
浙江省2017年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学参考答案选择题部分一、选择题:本大题共5小题,每小题4分,共20分。
题号12345答案DACDD1.D 解析:0lim )(lim 10==--→→xx x e x f ，;lim )(lim 10+∞==++→→xx x e x f 所以0=x 是)(x f 的无穷间断点，即属于第二类间断点，选项D 正确。
2.A 解析:选项A ：由积分中值定理：若)(x f 在],[b a 连续，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得()()()ξ=-⎰baf x dx f b a ，选项A 正确。
选项B ：由拉格朗日中值定理：)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得()()'()()ξ-=-f b f a f b a ，选项B 错误。
选项C ：由零点定理：若)(x f 在],[b a 连续，且0)()(<⋅b f a f ，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得()0ξ=f ，选项C 错误。
选项D ：由罗尔定理：若)(x f 在],[b a 连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得()0ξ'=f ，选项D 错误。
3.C 解析:);()(; )()( ; )()('x f dx x f dxd C x f x df C x f dx x f =+=+=⎰⎰⎰⎰=dx x f dx x f d )()(，可见选项C 正确。
4.D 解析:2|2110102110===⎰⎰-x dx x dx x ；所以⎰101dx x收敛，故选项A 错误。
2|arcsin 1110102π==-⎰x dx x ；所以⎰-10211dx x收敛，故选项B 错误。
111lim |)1(1112=+-=-=+∞→∞++∞⎰x x dx x x ；所以⎰+∞121dx x 收敛，故选项C 错误。
反常积分的奇偶对称性
再换元，令 － t1 = T1 ，则
证明 当 x → x0+ 时，则 x0 的右邻域（ x0 ，x0 + δ） ，使得 对 ε ＞ 0 有 x － x0 ＜ ε，x ∈ （ x0 ，x0 + δ） ，此时对应 － x0 有 其左邻域（ － x0 － δ，－ x0 ） ，对上述 ε，有 － x0 － （ － x） = x － x0 ＜ ε，－ x ∈ （ － x0 － δ，－ x0 ） ，所以有 － x → － x0－ ．
高教视野
GAOJIAO SHIYE
3
反常积分的奇偶对称性
◎刘玉霞 （ 国防科技大学国际关系学院基础教学系，江苏 南京 210039）
【摘要】本文讨论反常积分的奇偶对称性，给出相关结 论，并借助实例说明其应用．
【关键词】反常积分； 对称性； 实例
积分学是高等 数 学 重 要 的 组 成 部 分，各 种 积 分 的 烦 琐
= lim t→ －∞
f（ － y） d（ － y）
－t
= lim f（ y） dy． t→ －∞ －t
显然 t → － ∞ 时有 － t → + ∞ ，所以得
0
0
0
∫ ∫ ∫ I1
= lim t→－∞
f（ y） dy
－t
= lim t→+∞
t
f（ y） dy
= lim t→+∞
t
f（ x） dx
= － I2 ，
f（ x） dx = 0 ．
－∞
0
－∞
证明 由反常积分定义可知
∫ ∫ ∫ +∞
0
+∞
f（ x） dx = f（ x） dx + f（ x） dx
奇零偶倍原则
奇零偶倍原则
奇零偶倍原则的概念是指：相邻的两个数中，如果有一个是奇数，另一个是偶数，那么这两个数就会被扩大到原来的两倍。
这一原则从来不会出现在纸上，但在实际运算中有着至关重要的作用。
奇零偶倍原则在数学当中有着极大的价值，它用来解决数学问题的最快的方法之一。
通过这个原则，可以在短时间内解决复杂的数学问题。
比如，要计算1+2+3+4+5+6+7+8，可以用奇零偶倍原则把它分成(1+2)+(3+4)+(5+6)+(7+8)，从而快速得到36，而不用一个一个去累加，省下了不少时间。
此外，奇零偶倍原则还可以用来解决复杂的问题。
例如，如果要计算“a”和“b”之间从小到大全部整数的和，那么可以先把“（a+b）/ 2”作为求和项，然后用奇零偶倍原则求出每一项的和，最后求出
最终的和。
奇零偶倍原则在应用中也得到了很多的发展。
比如，它可以用来解决多项式的求值问题，也可以用来简化复杂的排列组合的计算过程。
为此，现代科学家们采用奇零偶倍原则的思想来开发各种计算机算法，以提高计算效率。
最后，奇零偶倍原则可以用来解决很多复杂的问题，比如解决博弈论中游戏的最优策略，求解复杂组合的最优构造，甚至于求解推理问题。
由此可见，奇零偶倍原则从简单数学运算到复杂的科学问题，都有它的重要性和价值。
回顾奇零偶倍原则的概念，用它可以非常快速的解决很多的数学
问题，而且它的应用更是不可限量。
无论是在科学研究中，还是在实际应用中，奇零偶倍原则都有它自己独特的价值和重要性。
所以，研究这种原则对于让我们更好地理解数学并运用它，必然具有重要的意义。
偶倍奇零的例题
偶倍奇零的例题在数学中，我们经常会遇到奇数和偶数的概念。
奇数和偶数是整数中最基本的分类，它们之间的区别在于奇数是不能被2整除的，而偶数则可以被2整除。
但是，今天我们要讨论的是奇数和偶数的一个有趣的性质：偶倍奇数等于0。
偶倍奇数等于0是一个很简单的数学定理，但是它在解决一些数学问题时却非常有用。
例如，在代数中，我们经常需要解决方程的问题，而这个定理可以帮助我们更快地解决方程。
下面，我们来看一些例题，了解一下这个定理的应用。
例题1：求解方程x + 3x + 2 = 0解法：根据一元二次方程的求解公式，我们可以得到x的两个解为：$x_1 = frac{-3 + sqrt{3^2 - 4 times 1 times 2}}{2 times 1} = -1$$x_2 = frac{-3 - sqrt{3^2 - 4 times 1 times 2}}{2 times 1} = -2$我们可以发现，当x = -1时，x + 3x + 2 = 0，同时，-1是一个奇数，而-2是一个偶数。
根据偶倍奇数等于0的定理，我们可以得出结论，当x = -1或x = -2时，x + 3x + 2 = 0。
例题2：求解方程x + 4x + 4x = 0解法：我们可以将方程进行因式分解，得到：x(x + 4x + 4) = 0x(x + 2) = 0根据偶倍奇数等于0的定理，我们可以得到结论，当x = 0或x = -2时，x + 4x + 4x = 0。
例题3：求解方程x - 81 = 0解法：我们可以将方程进行因式分解，得到：(x + 9)(x - 9) = 0(x + 3)(x - 3)(x + 9) = 0根据偶倍奇数等于0的定理，我们可以得到结论，当x = 3、-3、3i或-3i时，x - 81 = 0。
我们可以看到，偶倍奇数等于0的定理在解决方程问题时非常有用。
但是，我们也需要注意，这个定理只适用于偶数倍的奇数，例如2×1、4×3、6×5等。
二重积分偶倍奇零原则
二重积分偶倍奇零原则二重积分作为微积分的重要内容之一，具有广泛的应用领域。
在二重积分的计算过程中，常常会遇到奇函数和偶函数，而奇函数和偶函数又与积分的结果有着密切的关系。
本文将围绕二重积分的偶倍奇零原则展开讨论，介绍其定义、性质以及应用等方面的内容。
我们来了解一下二重积分的基本概念。
二重积分是对某个平面区域上的函数进行积分运算，可以理解为在平面上求解函数在该区域上的总体积。
在计算二重积分时，我们常常需要考虑函数的奇偶性质，以便简化计算过程。
在二重积分中，如果被积函数是一个奇函数，即满足f(-x, y) = -f(x, y)，则在对称区间上的积分结果为零。
这是因为在对称区间上，正负部分的面积相等，正好互相抵消。
因此，对于奇函数而言，其在对称区间上的积分结果总是为零。
相反，如果被积函数是一个偶函数，即满足f(-x, y) = f(x, y)，则在对称区间上的积分结果是有限的，且对称区间的积分结果是偶函数在整个区域上的积分结果的两倍。
这是因为偶函数在对称区间上的面积相等，所以对称区间上的积分结果正好是整个区域上积分结果的一半。
通过以上的分析，我们可以得出二重积分偶倍奇零原则的结论：若被积函数是奇函数，则在对称区间上的二重积分结果为零；若被积函数是偶函数，则对称区间上的二重积分结果是整个区域上积分结果的两倍。
在实际应用中，二重积分偶倍奇零原则具有重要的意义。
首先，它可以简化二重积分的计算过程，避免繁琐的计算步骤。
其次，它可以帮助我们判断函数的奇偶性质，进而选择合适的积分区域和变量代换，从而更快地求解二重积分。
此外，在对称区间上的二重积分结果为零的情况下，我们可以利用这一性质来简化问题，减少计算量。
举个例子来说明二重积分偶倍奇零原则的应用。
假设我们需要计算函数f(x, y) = x^2 + y^2在区域D上的二重积分，其中D是一个关于原点对称的区域。
由于函数f(x, y)是一个偶函数，根据二重积分偶倍奇零原则，我们可以将区域D分为两个对称的部分D1和D2，然后计算D1上的二重积分结果，最后将结果乘以2即可得到整个区域D上的积分结果。
谈高等数学各种积分中“偶倍奇零”的结论
谈高等数学各种积分中“偶倍奇零”的结论
李超群;张玉洁;刘智慧
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2014(000)013
【摘要】在一般高等数学教材中,都只论述了定积分情形下"偶倍奇零"的结论.在这篇论文中,我们对二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分中的"偶倍奇零"的结论给了全面的总结和定理证明.
【总页数】2页(P82-83)
【作者】李超群;张玉洁;刘智慧
【作者单位】中国地质大学数理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O172.2
【相关文献】
1.谈文科高等数学中定积分定义的教学
2.浅议已知结论在高等数学计算中的简化作用
3.谈高等数学微积分在实践中的应用
4.一般积分的偶倍奇零性质
5.借助几何图形理解高等数学中的抽象概念和结论
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高数一知识点
第一章~~第三章一、极限数列极限lim n n x ->∞函数极限lim ()x f x ->∞，lim ()x f x →+∞，lim ()x f x →-∞lim ()x x f x ->，0lim ()x x f x -->，0lim ()x x f x +->求极限（主要方法）：（１）100sin 1lim1,lim(1),lim(1)x xx x x xe x e x x->->∞->=+=+=（２）等价无穷小替换（P76）。
当()0x ϕ→时，代换时要注意，只有乘积因子才可以代换。
（3）洛必达法则（000,,0,,0,1,0∞∞⋅∞∞-∞∞∞），只有0,0∞∞可以直接用罗比达法则。
幂指函数求极限：()lim ()ln ()lim ()v x v x u x u x e =；或，令()()v x y u x =，两边取对数ln ()ln ()y v x u x =，若lim ()ln ()v x u x a =，则()lim ()v x a u x e =。
结合变上限函数求极限。
二、连续 00lim ()()x x f x f x ->=左、右连续 000lim ()(),lim ()()x x x x f x f x f x f x -+->->==函数连续⇔函数既左连续又右连续闭区间上连续函数性质：最值，有界，零点（结合证明题），介值，推论。
三、导数 0000000()()()()'()limlim x x x f x f x f x x f x f x x x x->->-+-==-V V V 左导数 0000000()()()()'()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---->->-+-==-V V V右导数 0000000()()()()'()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x+++->->-+-==-V V V 微分 ()'y A x z dy Adx y dx ο∆=⋅∆+==可导⇒连续 可导⇔可微 可导⇔既左可导又右可导求导数：（１） 复合函数链式法则[]()'[]'()dy dy du y f u u g x f u g x dx du dx====[()]''[()]'()'[()]([()])'y f g x y f g x g x f g x f g x ==≠（２） 隐函数求导法则两边对x 求导，注意y 、y '是x 的函数。
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关于偶倍奇零原则的粗浅认识
摘要：运用定积分的换元积分法——偶倍奇零，针对定积分的积分区间是关于原点对称且连续，对复杂的定积分按照偶倍奇零运算从而减少不必要的过程。
关键词：定积分 偶倍奇零 连续 对称
1．问题的实际背景
众所周知，定积分的换元积分法是学习定积分中的重点和难点。
在计算定积分时，当然也可以用不定积分的换元法先求出原函数，然后利用牛顿—莱布尼茨公式求出定积分的值，但是在用换元法求原函数时，最后还要带回原来的变量，这一步有时较为复杂，这就要寻求另一种简单的办法。
2.问题的提出
运用定积分的基本换元法求积分值，步骤较为繁琐。
例如：1.dx x x )32(1
12-+⎰- =x x x 33123-+︱11
- =（313
1()3131++---+） =3131
3131--+-+ =-
3
16 2.dx x x
⎰--1121arcsin
=⎰-1
1arcsin arcsin x xd =2)(arcsin 2
1x ︱11-
=])2
()2[(2122ππ--
=0
所以当定积分的积分区间是关于原点对称且连续时，运用偶倍奇零原则是对这类题型解决的最佳办法。
3.解决问题
3.1理论证明
设f(x)、g(x)在区间[-a,a](a>0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x)+f(-x)=A(A 为常数)
证明⎰-a a x g x f )()(=A ⎰a
dx x g 0(）
证明：⎰-a a dx x g x f )((）=⎰-0()(a dx x g x f ）+⎰a dx x g x f 0
))(（
而⎰-0)()(a dx x g x f t x -= ⎰--0)()(a dt t g t f =⎰-a
dx x g x f 0)((）
于是⎰-a a dx x g x f )()(=⎰-a dx x g x f 0)()（+⎰a
dx x g x f 0)()(
=dx x g x f x f a
)()]()([0+-⎰
=A ⎰a
dx x g 0)(
3.2理论的实践
例1.
解:dx x x )32(112-+⎰- =2dx x )3(1
02-⎰ =2(1
03)3(3
1x x - =-3
16
例2.
解:dx x x 23339)4(-+⎰-=dx x ⎰--3
3294
=8dx x ⎰-3
029 (几何意义)
=18π
例3.
解:dx x x x x ⎰
--++112211cos 2=dx x x ⎰--+1122112 =4dx x x ⎰
-+102211 =4dx x
x x ⎰
--10222)11( =4-4dx x ⎰-1021
=4-4×4
π
=4-π
总结：在计算定积分，若满足①积分区间是关于原点对称 ②在定义区间上连续 ③函数不为非奇非偶。
则可灵活的运用偶倍奇零
参考文献
[1]赵树源。
微积分[M].北京.中国人民大学出版社 2009
[2]张天德、张锋。
微积分辅导及习题精解[M] 吉林延边大学出版社.2012
[3]徐文雄.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2006.。