材料力学第五章粱弯曲时的位移
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 3 lx x EIw F C x C 1 2 2 6
0 该梁的边界条件为：在 x=0 处 w ，w =0
于是得
C 0 ， C 0 1 2
第五章 梁弯曲时的位移
从而有
转角方程
2 Fxl Fx q w EI 2 EI
2 3 Fx l Fx 挠曲线方程 w 2EI 6EI
第五章 梁弯曲时的位移
Ⅱ. 挠曲线近似微分方程的积分及边界条件
Mx w EI
求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为
EI w M x
后进行积分，再利用边界条件确定积分常数。
第五章 梁弯曲时的位移
当全梁各横截面上的弯矩
可用一个弯矩方程表示时(例如
图中所示情况)有
第五章 梁弯曲时的位移
该梁的边界条件为 在 x=0 处 w=0，
在 x=l 处 w=0
4 4 q l l C 0及 EIw | C l 0 2 x l 1 2 6 12
这也是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。
第五章 梁弯曲时的位移
在横力弯曲下，梁的横截面上除弯矩M=M(x)外，还 有剪力FS=FS(x)，剪力产生的剪切变形对梁的变形也会产
生影响。但工程上常用的梁其跨长l 往往大于横截面高度h
的10倍，此时剪力FS对梁的变形的影响可略去不计，而有
1 M x x EI x
第五章 梁弯曲时的位移
在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；
顺时针转向的转角q为正，逆时针转向的转角q为负。
第五章 梁弯曲时的位移
§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
Ⅰ. 挠曲线近似微分方程的导出 在§4-4中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况
下中性层的曲率为
M EI 1
第五章 梁弯曲时的位移
§5-1 梁的位移—ห้องสมุดไป่ตู้挠度和转角
直梁在对称平面xy内弯曲时其原来的轴线AB将弯曲成 平面曲线AC1B。梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直 于x轴方向的线位移w称为挠度，横截面对其原来位置的角
位移q 称为横截面的转角。
第五章 梁弯曲时的位移
弯曲后梁的轴线——挠曲线为一平坦而光滑的曲线， 它可以表达为w=f(x)，此式称为挠曲线方程。由于梁变形 后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面的转角q 也就 是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角，从而有转
第五章 梁弯曲时的位移
若由于梁上的荷载不连续等原因使得梁的弯矩方程
需分段写出时，各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同。
而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积分 常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条件 外，还需利用相邻两段梁在交界处的连续条件。这两类 条件统称为边界条件。
第五章 梁弯曲时的位移
根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值，
以及挠曲线应光滑连续描出了挠曲线的示意图。
第五章 梁弯曲时的位移
可见该梁的qmax和wmax均在x=l的自由端处。于是有
2 2 2 Fl Fl Fl q q | max x l EI 2 EI 2 EI
3 3 3 Fl Fl Fl w w | m ax x l 2 EI 6 EI 3 EI
第五章 梁弯曲时的位移
再注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值w" ，正弯矩对 应于负值的w" ，故从上列两式应有 w M x /2 23 EI 1 w
由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略 Mx 去，于是得挠曲线近似微分方程 w EI
第五章 梁弯曲时的位移
从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作(参见《高等 数学上册》，同济大学，P212）
1 w 3 /2 2 x 1w
式中，等号右边有正负号是因为曲率1/为度量平面曲线 (挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而w"是q = w' 沿x方 向的变化率，是有正负的。
角方程：
q tan q w f x
第五章 梁弯曲时的位移
(a)
(b)
直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲
变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件
有关。图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同， 所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程度(也就 是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度和 转角则明显不同。
挠曲线近似微分方程为
q 2 EI w M x lx x 2
以x为自变量进行积分得：
2 3 qlx x EI w C 1 2 2 3
3 4 q lx x EIw C x C 1 2 2 6 12
例题5-1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，
并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。
第五章 梁弯曲时的位移
解：该梁的弯矩方程为
M x F l x
挠曲线近似微分方程为
EI w M x F l x
以x为自变量进行积分得 x2 F EI w C 1 lx 2
第五章 梁弯曲时的位移
思考: 试求图示等截面悬臂梁在所示坐标系中的挠曲线
方程和转角方程。积分常数C1和C2等于零吗？
第五章 梁弯曲时的位移
例题5-2 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，
并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。
第五章 梁弯曲时的位移
解：该梁的弯矩方程为
ql 1 2 q 2 M x x qx lx x 2 2 2
EI w M x d x C 1
EIw M x d x d x C x C 1 2
以上两式中的积分常数C1， C2由边界条件确定后即可得出梁
的转角方程和挠曲线方程。
第五章 梁弯曲时的位移
边界条件(这里也就是支座处的约束条件)的示例如 下图所示。
0 该梁的边界条件为：在 x=0 处 w ，w =0
于是得
C 0 ， C 0 1 2
第五章 梁弯曲时的位移
从而有
转角方程
2 Fxl Fx q w EI 2 EI
2 3 Fx l Fx 挠曲线方程 w 2EI 6EI
第五章 梁弯曲时的位移
Ⅱ. 挠曲线近似微分方程的积分及边界条件
Mx w EI
求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为
EI w M x
后进行积分，再利用边界条件确定积分常数。
第五章 梁弯曲时的位移
当全梁各横截面上的弯矩
可用一个弯矩方程表示时(例如
图中所示情况)有
第五章 梁弯曲时的位移
该梁的边界条件为 在 x=0 处 w=0，
在 x=l 处 w=0
4 4 q l l C 0及 EIw | C l 0 2 x l 1 2 6 12
这也是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。
第五章 梁弯曲时的位移
在横力弯曲下，梁的横截面上除弯矩M=M(x)外，还 有剪力FS=FS(x)，剪力产生的剪切变形对梁的变形也会产
生影响。但工程上常用的梁其跨长l 往往大于横截面高度h
的10倍，此时剪力FS对梁的变形的影响可略去不计，而有
1 M x x EI x
第五章 梁弯曲时的位移
在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；
顺时针转向的转角q为正，逆时针转向的转角q为负。
第五章 梁弯曲时的位移
§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
Ⅰ. 挠曲线近似微分方程的导出 在§4-4中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况
下中性层的曲率为
M EI 1
第五章 梁弯曲时的位移
§5-1 梁的位移—ห้องสมุดไป่ตู้挠度和转角
直梁在对称平面xy内弯曲时其原来的轴线AB将弯曲成 平面曲线AC1B。梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直 于x轴方向的线位移w称为挠度，横截面对其原来位置的角
位移q 称为横截面的转角。
第五章 梁弯曲时的位移
弯曲后梁的轴线——挠曲线为一平坦而光滑的曲线， 它可以表达为w=f(x)，此式称为挠曲线方程。由于梁变形 后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面的转角q 也就 是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角，从而有转
第五章 梁弯曲时的位移
若由于梁上的荷载不连续等原因使得梁的弯矩方程
需分段写出时，各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同。
而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积分 常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条件 外，还需利用相邻两段梁在交界处的连续条件。这两类 条件统称为边界条件。
第五章 梁弯曲时的位移
根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值，
以及挠曲线应光滑连续描出了挠曲线的示意图。
第五章 梁弯曲时的位移
可见该梁的qmax和wmax均在x=l的自由端处。于是有
2 2 2 Fl Fl Fl q q | max x l EI 2 EI 2 EI
3 3 3 Fl Fl Fl w w | m ax x l 2 EI 6 EI 3 EI
第五章 梁弯曲时的位移
再注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值w" ，正弯矩对 应于负值的w" ，故从上列两式应有 w M x /2 23 EI 1 w
由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略 Mx 去，于是得挠曲线近似微分方程 w EI
第五章 梁弯曲时的位移
从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作(参见《高等 数学上册》，同济大学，P212）
1 w 3 /2 2 x 1w
式中，等号右边有正负号是因为曲率1/为度量平面曲线 (挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而w"是q = w' 沿x方 向的变化率，是有正负的。
角方程：
q tan q w f x
第五章 梁弯曲时的位移
(a)
(b)
直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲
变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件
有关。图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同， 所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程度(也就 是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度和 转角则明显不同。
挠曲线近似微分方程为
q 2 EI w M x lx x 2
以x为自变量进行积分得：
2 3 qlx x EI w C 1 2 2 3
3 4 q lx x EIw C x C 1 2 2 6 12
例题5-1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，
并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。
第五章 梁弯曲时的位移
解：该梁的弯矩方程为
M x F l x
挠曲线近似微分方程为
EI w M x F l x
以x为自变量进行积分得 x2 F EI w C 1 lx 2
第五章 梁弯曲时的位移
思考: 试求图示等截面悬臂梁在所示坐标系中的挠曲线
方程和转角方程。积分常数C1和C2等于零吗？
第五章 梁弯曲时的位移
例题5-2 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，
并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。
第五章 梁弯曲时的位移
解：该梁的弯矩方程为
ql 1 2 q 2 M x x qx lx x 2 2 2
EI w M x d x C 1
EIw M x d x d x C x C 1 2
以上两式中的积分常数C1， C2由边界条件确定后即可得出梁
的转角方程和挠曲线方程。
第五章 梁弯曲时的位移
边界条件(这里也就是支座处的约束条件)的示例如 下图所示。