2020～2021学年中考数学《数轴上的动点问题》专题讲义

《数轴上的动点问题》专题讲义

一．动点问题的处理方法

“点-线-式”三步

二．动点问题的解题步骤

1.列点：将已知点用具体的数表示，未知动点用含t的式子表示

①点的左右移动：数轴上的点向左移动用减法，移动几个单位长度就减去几，

向右移动用加法，移动几个单位长度就加上几。

②点的表示：通常用含t的式子表示数轴上的动点，可以根据动点的位置、速度和移动的方向将点表示出来。

例题1：如图，数轴上点A表示的数为-3，点B表示的数为6，动点P从A出发向右运动，速度2为每秒个单位长度，动点Q从B出发向左运动，速度为每秒3个单位长度，t秒后，求动点P、Q表示的数。

2.列线：利用两点间距离的表示方法将线段用具体的数或式子表示出来

数轴上两点之间的距离三种表示方式：

①如果两个点所表示的数的大小已知，直接用较大的数减去较小的数；

②如果两个点所表示的数的大小未知，则用两个数的差的绝对值表示；

③动点的起始点和终止点之间的线段可以用动点所走的路程表示。

例题2：数轴上点A表示的数为-3，点B表示的数为6，动点P从A出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，动点Q从B出发向左运动，速度为每秒3个单位长度，t秒后，求线段AB、AQ、BP、PQ、AP、BQ的长。

3.列式：解决数轴上的动点问题的一个重要方法就是方程法，可以根据题目中的线段之间的数量关系，列出方程并解方程

例题3：已知数轴上A、B两点对应数分别为-2和4，P为数轴上一点，对应的数为x。若点P到A、B两点的距离相等，求点P对应的数。

三、动点问题的常用工具

1.中点公式：如图，数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，C点表示的数为c，且B为A、C中点，

则b=2c

a

2.解绝对值方程：

①|a|=b，则a=±b ②|a|=|b|，则a=±b ③|x-a|+|x-b|=c（零点分段法）

3.分类讨论思想：

例题4：已知数轴上两点A、B对应的数分别为-3、5，P为数轴上的动点，其对应的数为x。数轴上是否存在点P，使得点P到A、B的距离之和为10，若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由。

四、动点问题的常见题型

1.点的重合问题：通常是相遇与追击问题，通过点的运动状态可以判断出两个动点重合，重合则两个点表示的数相等，将两个动点用含t的式子表示出来，并令两个式子相等。

例题5 ：已知数轴上有A，B，C三点，分别代表﹣30，﹣10，10，两只电子蚂蚁甲，乙分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒．

（1）甲，乙在数轴上的哪个点相遇？

（2）多少秒后，甲到A，B，C的距离和为48个单位？

（3）在甲到A、B、C的距离和为48个单位时，若甲调头并保持速度不变，则甲，乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由．

2.中点问题：

①题目中明确说明其中一个点为另外两个点的中点，如：A、B、C三点，点A是点B、C的中点，直接利用中点公式列方程

②题目中说三个点有一个点是另外两个点的中点，如：A、B、C三点，有一点是另外两个点的中点，分三种情况进行讨论，然后利用中点公式列方程

例题6：如图，数轴原点为O，A、B是数轴上的两点，点A对应的数是1，点B对应的数是﹣4，动点P、Q 同时从A、B出发，分别以1个单位/秒和3个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t ＞0）．

（1）AB两点间的距离是；动点P对应的数是（用含t的代数式表示）；动点Q对应的数是（用含t的代数式表示）．

（2）几秒后，点O恰好为线段PQ中点？

（3）几秒后，恰好有OQ=2PO？

3、线段长及线段的和、差、倍、比关系问题

解题思路：题目中通常会说点与点之间的距离，即线段的长度，条件中会给出两条线段的和、差、倍数、或比例关系，先将题目中的线段用两点间的距离表示出来，然后根据具体的关系列方程，当动点之间的位置无法确定时，通常用绝对值来表示线段长度。

（1）线段之长问题（线段之和问题、线段之比问题、线段倍数问题、线段相等问题）

例题7：如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是a、b和8，O是原点，且（a+20）2+|b+10|=0．（1）填空：a= ，b= ；

（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和C分别以每秒3个单位长度和7个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t，用含t的代数式表示BC和AB的长；并探索：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由．

（3）现有动点P、Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动；当点P移动到B点时，点Q才从A点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点P到达C点时，点Q就停止移动，设点P移动的时间为t秒，

问：①当t为多少时，点Q追上点P；

②当t为多少时，P、Q两点相距6个单位长度？

4.线段定值问题：题目中给出几条线段的关系，要求判断其是否为定值，先将所给线段都用两点间的距离表示出来，然后再将题目中所给的式子用线段表示出来，化简之后可以将t消去，所得值为常数，因此可以确定是定值。

例题8：如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足|a+2|+（c﹣6）2=0．

若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC．

（1）a= ，b= ，c= ；

（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．

①当t=1时，则AC= ，AB= ；

②当t=2时，则AC= ，AB= ；

③请问在运动过程中，3AC﹣4AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．