5-2相似矩阵详解 - 360文档中心

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第二节相似矩阵
一、相似矩阵的概念与性质二、利用相似变换将矩阵对角化三、实对称矩阵的性质四、利用正交矩阵将实对称矩阵对角化五、小结
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一. 相似矩阵的概念与性质
定义5.2 设A，B都是n阶方阵，如果存在一个
可逆矩阵P，使
P 1 AP B ,
则称A与B是相似的，称 P 1 AP 为对A作相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.
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例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？且求矩阵P 1 2 2 2 1 2 (1) A 2 2 4 ( 2) A 5 3 3 2 1 0 2 4 2
解
1
求得基础解系 3 (1, 2, 2)T
即A有 3个线性无关的特征向量 ,因而A可对角化.
2 2 4
2
2 4 2
(1) 由 A E 2 2
2 7 0
得 1 2 2, 3 7.
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将 1 2 2 代入 A E x 0, 由
1 2 2 A 2 E 2 4 4 2 4 4
由 P 1 AP , 得AP P ,
1 p1 , 2 p2 ,, n pn . 1 p1 , p2 ,, pn
A p1 , p2 ,, pn Ap1 , Ap2 ,, Apn
于是有
Api i pi
i 1,2,, n.
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可见 i 是A的特征值, 而P 的列向量 pi 就是 A的对应于特征值 i的特征向量.
p1 , p2 , 因Hale Waihona Puke Baidu， , pn线性无关.
反之,由于A恰好有n个特征值, 并可对应地求得n个特征向量p1 , p2 , 构成矩阵P , 使AP P .
又由于p1 , p2 , , pn线性无关, 所以P可逆.
得基础解系
1 2 2 0 0 0 0 0 0
2 0 1 0 , 2 1 . 1 1
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同理 , 对3 7, 代入 A E x 0,
的特征多项式相同, 但不相似. （2）若A与一个对角矩阵相似，则对角矩阵的对角线元素为A的特征值. 非零对角线元素的个数为A的秩, 对角线元素的乘积为A的行列式.
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二、利用相似变换将方阵对角化
对 n 阶方阵 A , 若可找到可逆矩阵 P , 使 P 1 AP 为对角阵, 这就称为把方阵A对角化 .
相似矩阵的性质: 性质1 证相似矩阵具有相同的秩及相同的行列式. 若A与B相似，则存在可逆矩阵P，使
P 1 AP B ,
则A与B等价，所以秩相同，且
B P 1 A P A .
性质2
相似矩阵若可逆，则逆矩阵也相似.
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性质3 若A与B相似,则Ak与Bk相似,其中k为自然数.
证由 P 1 AP B , 得
(P 1 AP )k B k
(P 1 AP ) P 1 Ak P
而 (P 1 AP )k (P 1 AP )(P 1 AP )
所以 Ak 与B k 相似。定理5.1 相似矩阵有相同的特征多项式及相同的特征值. 证 A与B相似
可逆阵P , 使得P 1 AP B
定理5 .2
n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化)
的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量 .
证明假设存在可逆阵 P , 使P 1 AP 为对角阵,
把 P 用其列向量表示为P p1 , p2 ,, pn .
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1 2 即 A p1 , p2 ,, pn p1 , p2 ,, pn n
9
pn ,这n个特征向量即可
命题得证.
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注：
（1）方阵A如果能够对角化，则对角矩阵Λ在
不计λk的排列顺序时Λ是唯一的，称为A的相
似标准形。（2）相似变换矩阵P就是A的n个线性无关的特征向量作为列向量排列而成的。
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推论1 如果 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等，则 A 与对角阵相似．
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矩阵的相似关系是一种等价关系，即有（1）自反性
因为E 1 AE A.
（2）对称性
因P AP B, 则
（3）传递性
1

P
1
1
1
BP 1 A
因为P AP B, Q BQ C ,
1
则 PQ A PQ C .
1
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说明如果 A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵 A不一定能对角化，但如果能找到 n个线性无关的特征向量， A 还是能对角化．推论2 如果对于n阶方阵A的任一k重特征值 λ，有 r(A－λ E)=n－k，则A可对角化。
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利用相似变换将矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为： 1. 由|A E | 0, 求 A的特征值; 2. 由 A i E x 0, 求出A的特征向量 ; 3. 将n个线性无关的特征向量组成矩阵P.
B E P AP P
1 1
E P
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P 1 A E P P 1 A E P A E .
注：（1）定理的逆命题并不成立，即特征多项式
相同的矩阵不一定相似.例
1 A 0 1 1 , B 1 0 0 1