《鲁棒控制》-1-鲁棒控制问题的提出和描述_32201772

伺服电机状态方程：
z (t ) = A( z (t)) + Bu (t )
x(t ) = Cz (t )
其中
A( z (t )) = A0 + f ( z (t )) f (z(t)) ≤α z(t) + β
范数有界摄动描述的一般情形：
x (t ) = Aox (t ) + Bou (t ) + ΔAx (t ) + ΔBu (t ) y (t ) = Cox (t ) + ΔCx (t )
第一章 鲁棒控制问题的提出和描述
1.1 频域不确定模型
1.1.1 参数摄动描述
考虑右图所示 RC 电路，其传递函数为
uo = Gp ( s) ui ,
假设标称值为
Gp
(s)
=
1 RCs
+1
R = Ro = 10Ω, C = Co = 10−1F 则标称模型为
Gp
(s)
=
Go
(s)
=
s
1 +1
但是，电阻、电容的值可能不精确,因为：
⎪ ⎨
q = [q1 q2
]ql T ,
⎪ ⎬
⎪ ⎪
qi ∈ ⎣⎡qi , qi ⎦⎤ , i = 1, 2,..., l
⎪ ⎪
⎪
⎪
⎩
⎭
其中Q已知, 即ai (i),bj (i)和qi,qi已知。
函数 ai (q)和bj (q)的可能形式：
[1] 系数摄动： a ∈[a, a ] [2] 线性摄动： ( ) a q = Pq, P ∈ R(n+1)×l [3] 仿射摄动： a (q) = Pq + a0 [4] 多线性摄动： a (q) = q1q2 + q3 [5] 一般非线性摄动： a (q) = q13 + sin(q2 )
(s)
,
x = 0,25,60
当温度在 0 度到 60 度之间变化时，受控对象由一模型集合来描述：
G (s) = [1+ Δ]P(s)
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其中
Δ( jω) ≤ W ( jω) ， W (s) = (s + 30)(s + 60)
30* 60* 10
1.1.3 混合摄动描述
ui
R C
uo
1、物理参数的值具有一定的偏差；
2、由于工作环境的变化和运行时间的增加，物理参数值会发生变化：
R = Ro ± ΔR = 10 ±10×10%Ω C = Co ± ΔC = 10−1 ±10−1 × 20%F 则
G (s) = 1 , R ∈[9,11], C ∈[0.08, 0.12]
线性定常受控对象可能含有参数摄动和模型摄动，即具有混合摄动：
Gp (s) = Go (s) + ΔG (s) Go (s) ∈G or Q ΔG (s) = W1 (s) Δ (s)W2 (s) Δ(s)∈Ω
1.2 时域不确定模型
1.2.1 系数区间摄动
还以 RC 电路为例：
x
(t
)
=
−
1 RC
x
(t
Δ(s)
（1）加性模型摄动
Gp (s) = Go (s) + ΔG (s)
其中
Go
(s)
=
1 RCs
+1
，
ΔG
(s)
=
W1
(s)
Δ(s),
W1
(s)
=
RCs RCs +1
Cε
R
Rε
uo
C
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线性定常受控对象加性模型摄动的一般形式：
Gp (s) = Go (s) + ΔG (s) ΔG (s) = W1 (s) Δ (s)W2 (s)
燃油喷入控制系统
ΔG Go
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不同环境温度下的幅频特性
P0
(s)
=
−1.736e−2s2 s3 + 98.34s2
+ 4.939e2s + 9.223e3s
− +
3.137e5 8.771e4
P25
(s)
=
5.498s2 + 4.007e2s − 4.444e5 s3 + 93.72s2 + 9.520e3s + 1.214e5
线性定常受控对象乘性模型摄动的一般形式：
Gp (s) = Go (s) ⎡⎣I + ΔG (s)⎤⎦
ΔG (s) Go (s)
ΔG Go
Gp (s) = ⎡⎣I + ΔG (s)⎤⎦ Go (s) ΔG (s) = W3 (s) Δ (s)W4 (s), Δ (s) ∈ Ω W3 (s)，W4 (s)为已知实有理函数
1.1.2 模型摄动描述
若考虑线路电阻和寄生电容，则
uo =
Rε
+
1 Cs
ui
Rε
+
1 Cs
+
1 R
1 + Cε s
=
(
( RεCs +1)( RCε s +1) RεCs +1)( RCε s +1) + RCs
ui
=
1 RCs
+1
+
RCs i ( RεCs +1)( RCε s +1) −1 RCs +1 ( RεCs +1)( RCε s +1) + RCs
RCs +1
或
G
(
s
)
=
τ
1 s +1
,
τ ∈[0.72,1.32]
----参数摄动模型 ----系数摄动模型
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主动支撑系统
1/4 车模型：
乘车人体重不同时，参数 M 会相异。
线性定常受控对象系数摄动模型的一般形式：
Gp (s)∈G
⎧ ⎪⎪ ⎨
bm s m an s n
P60
(s)
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=
4.677s2 − 2.859e2s − 5.053e5 s3 + 91.53s2 + 1.008e4s + 1.762e5
闭环控制系统：加入积分环节
加入积分环节后，受控对象的描述为：
Gx (s) = [1+ Δx ] P (s)
其中
P
(
s
)
=
1 s
P25
(
s)
,
Δx
(s)
=
Px
( s) − P25 P25 ( s)
R C
uo
x(t) = A(q) x(t)+ B(q)u(t) y(t) = C(q) x(t)
A(q) = {aij (q)}, B (q) = {bij (q)} C (q) = {cij (q)}
q = [q1 q2
]ql T
qi ≤ qi ≤ qi 其中已知： qi , qi
1.2.2 范数有界摄动
j
线性定常受控对象参数摄动模型的一般形式：
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Gp (s)∈Q
⎧ ⎪ ⎪
bm an
( (
q) q)
sm sn
+ +
bm−1 an−1
(q) sm−1 + (q) sn−1 +
+ b1 (q) s + b0 + a1 (q) s + a0
(q) (q)
⎫ ,⎪ ⎪
注意，在上述镇定问题例中 G1 ( s) = 0 ，这意味着要设计稳定的控制器，使得 其同时镇定 G2 (s) 和 G3 (s) 。
用稳定的控制器镇定闭环系统的问题称为强镇定问题。
1.4 鲁棒控制问题描述
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……嵌齿效应
其中函数 f ⎡⎣x (t ),u (t ),t⎤⎦ 和h ⎡⎣x (t ),u (t ),t⎤⎦ 已知，不确定性 Δ f ⎡⎣x (t ),u (t ),t⎤⎦ 和 Δh ⎡⎣x (t ),u (t ),t⎤⎦ 具有某已知性质。
若 Δ f ⎡⎣x (t ),u (t ),t⎤⎦ 和Δh ⎡⎣x (t ),u (t ),t⎤⎦ 具有一阶范数阶，则 Δ f ⎡⎣x (t ),u (t ),t⎤⎦ ≤ ξ f (t ) x (t ) + ζ f (t ) u (t ) + γ f (t ) Δh ⎡⎣x (t ),u (t ),t⎤⎦ ≤ ξh (t ) x (t ) + ζ h (t ) u (t ) + γ h (t ) 其中 • 表示范数，若其为欧氏范数，而 z = [ z1, z2, , zn ]T ，则
其中
Ao , Bo , Co给定 Δ A = EaΔa D a , ΔB = EbΔb D b , ΔC = EcΔc D c ,
Ea和D a给定, Eb和D b给定, Ec和D c给定,
Δa ≤ 1 Δb ≤ 1 Δc ≤ 1
1.2.3 非线性时变摄动
非线性时变摄动描述的一般形式为：
x (t ) = f ⎡⎣x (t ),u (t ),t⎤⎦ + Δ f ⎡⎣x (t ),u (t ),t⎤⎦ y (t ) = h ⎡⎣x (t ),u (t ),t⎤⎦ + Δh ⎡⎣x (t ),u (t ),t⎤⎦
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同时镇定问题例 1：
G1
(
s
)
=
0,
G2
(
s)
=
2 17
i
s s
−1 +1
,
G3
(
s
)
=
(s −1)2 (9s − 8)(s +1)
参考文献：MCSS, 1993, p.135。
同时镇定问题例 2：
G1
(
s
)
=
0,
G2
(
s
)
=
2 16
i
s s
−1 +1
Δ (s)∈Ω {Δ (s) Δ (s)满足某些假设}
W1 (s)，W2 (s)为已知实有理函数
例: Δ (s) 稳定且 Δ ( jω ) ≤ r, r为已知正实数
（2）乘性模型摄动：
Gp (s) = Go (s) ⎡⎣1+ ΔG (s)⎤⎦ ΔG (s) = W2 (s)iΔ (s), W2 (s) = RCs
u
G1 (s)
y
G4 (s)
离散摄动描述的一般情形：
u Gp (s) y
其中
Gp (s) ∈ Z {Gi (s),i = 1, 2, , k}
其中 k 个分立模型是已知的，但哪个模型接入系统却不知，或均可能接入系统。
同时镇定问题：对于离散摄动系统，设计一控制器，使得由离散摄动描述中 的任何一个受控对象与控制器构成的闭环系统均是稳定。
( ) z = z12 + z22 + + zn2 1/2
1.3 离散摄动模型
如果系统中存在两个可能损坏的部件：
1、两个部件均正常： y = G1 ( s)u 2、#1 部件损坏： y = G2 ( s)u 3、#2 部件损坏： y = G3 ( s)u
#1
u
y
#2
4、两个部件均损坏： y = G4 ( s)u
其中
a0 = −1.0732, b0 = 1.0732, c0 = 1
Δa ≤ 0.3157 Δb ≤ 0.3157
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门架控制系统
伺服电机模型：
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伺服电机动力学方程：
其中
M
d
2x(t)
dt 2
+
D
dx(t )
{ } { } A = aij , B = bij { } C = cij
aij ≤ aij ≤ aij , bij ≤ bij ≤ bij , cij ≤ cij ≤ cij 其中区间端点是已知的，即αij ,αij (α = a, b, c)。
系数区间摄动描述的更一般情形：
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,
G3
(
s
)
=
2( (17s −
s −1)2 15) ( s
+
1)
参考文献：Sys.Contr.Lett, 1999,vol37,p.173
广义香槟问题：
G1
(s)
=
0, G2
(s)
=
2δ (s −1)
s +1
,
G3
(
s)
=
⎡⎣(1 +
δ
2δ (s −1)2 ) s − (1−δ )⎤⎦
(
s
+1)
参考文献：中国科学 信息科学（E 辑） 2007,vol.37,p.770
dt
+
Fˆ
=
Fm
=
Kt Ia
(t)
Ke
dx(t )
dt
+
La
dIa (t )
dt
+
Ra Ia
(t)
=
u(t)
Fˆ = Fload + Ffriction + Fripple
( ) ( ) Ffriction
=
⎡ ⎢⎣
Fc
+
Fs − Fc
e−( x / xs )δ
+ Fv
x
⎤ ⎥⎦
sign
x
Fripple = Fr ( x)sin (ω x + φ )
仍以 RC 电路为例：
x
(t
)
=
−
1 RC
x
(t
)
+
1 RC
ui
(t
)
uo (t ) = x (t )
考虑参数摄动，则
x (t ) = ax (t ) + bui (t ) uo (t ) = cx (t )
其中
x (t ) = ao x (t ) + boui (t ) + Δax (t ) + Δbui (t ) uo (t ) = co x (t )
)
+
1 RC
ui
(t
)
ui
uo (t ) = x (t )
考虑系数摄动，则
x (t ) = ax (t ) + bui (t ) uo (t ) = cx (t )
其中
a
∈
⎡⎢⎣−
25 15
,
−
25 33
⎤ ⎥⎦
,
b
∈
⎡ ⎢⎣
25 33
,
25 18
⎤ ⎥⎦
,
c =1
系数区间摄动描述的一般情形：
x (t ) = Ax (t ) + Bu (t ) y (t ) = Cx (t )
+ +
bm−1sm−1 + an−1sn−1 +
⎪
⎪⎩
+ b1s + b0 + a1s + a0
ai
∈[ai , ai ],i
=
0,1,..., n;
⎫ ⎪⎪
⎬
bj ∈ ⎡⎣bj ,bj ⎤⎦ , j = 0,1,..., m⎪⎪⎭
其中G已知,
即ai
,
ai
,
bj
,
b
已知。上述系数摄动模型也称为区间对象。