现代信号处理复习题

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1、已知0()2cos(2)a x t f t π=式中0f =100HZ,以采样频率s f =400Hz 对()a x t 进行采样，得到采样信号

ˆ()a x

t 和时域离散信号()x n ，试完成下面各题： （1）写出()a x t 的傅里叶变换表示式()a X j Ω； （2）写出()a x t 和()x n 的表达式；

（3）分别求出()a x t 的傅里叶变换和()x n 的傅里叶变换。 解：（1）

0()()2cos()j t

j t

a a X j x t e

dt t e

dt

∞

∞

-Ω-Ω-∞

-∞

∞Ω==Ω⎰⎰

()a X j Ω=（2）

ˆ((a x

t x n 2参数：

（1（2（3（4解：（1（2）（3）（4提高138KHZ 采样，对采到的2N 个样点做2N 点DFT 。问：他的目的能达到吗？ 答：不能，因为他忽略了数字频率和模拟频率的区别。

提高采样频率s f ，N 固然大了，数字频率（单位圆）上的样点数确实增加了，但从模拟频率谱看，样点一点也没有变得密集，这是因为数字频率π2总是对应模拟频率s f 。采样频率由s f 到2s

f 增加一倍，N 也增加一倍，但模拟频率的采样间隔Hz N

f

N f s s 10022==一点也没有变。所以，增大采

样频率，只能提高数字频率的分辨率222(N

N ππ→，不能提高模拟频率的分辨率。 4、在A/D 变换之前和D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，他们分别起什么作用？

解：在D A /变换之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称为“抗折叠”滤波器。

在A D /变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称为“平滑”滤波器。

5、已知10,)

1)(1(1)(12

<<---=

-a az az a z H ，分析其因果性和稳定性。 解：)(z H 的极点为1,z a z a -==，

（1）收敛域1z a -<≤∞，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应()()()n n h n a a u n -=-，这是一个因果序列，但不收敛。

（2）收敛域a z <≤0，对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应

()()(1)n n h n a a u n -=---，这是一个非因果且不收敛的序列。

（3）收敛域1a z a -<<，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定

9解：1015（1（2 （3（4 解：3.1

*

1

ˆ()()()N m xx n r

m x n x n m N

=-==+∑

ˆˆ

()()j j n BT

xx

m P e r m e ωω∞

-=-∞

=∑

周期图法简单，不用估计自相关函数，且可以用FFT 进行计算。

4.经典谱估计得致命缺点是频率分辨率低，其原因是傅里叶变换域是无限大，而用作估计的

观察数据只有有限个，认为剩余的数据为0，造成系统偏差。改进的方法有：1.平均周期法2.窗函数法3.修正的周期图求平均法。

16、如图所示的RC 电路，若输入电压的功率谱密度为X （ω），求输出电压的功率谱密度 Y （ω）。

解：RC 电路系统的频率响应函数为

H （ω）=

1H （ω）

2

Y （ω）=H 17t ），求)(R R X 、τ其中⊗18（1（2（3（422其中，j W 解答：

梯度矢量▽，初级输入与刺激输入的互相关P 以及初级输入的自相关R 之间的关系为： ∇=2+2RW P -

在LMS 算法中，使用∇的瞬时估计，则有 j ∇=-2j P +2j R j W =-2j X j y +2j X T j X j W (1) =-j j 2()2j j j j X y X W e X -=- 其中T j j j j e y X W =-

用（1）式替换最速下降法的梯度，我们得到基本的Widrow-Hopf 的LMS 算法：

其中j e =y T

j j j W X -

23、自适应滤波器的特点及应用范围 答案：由于滤波器的参数可以按照某种准则自动地调整到满足最佳滤波的要求；实现时不需要任何

R

C Y(ω)

X(ω)

关于信号和噪声的自相关特性，尤其当输入统计特性变化时，自适应滤波器都能调整自身的参数来满足最佳滤波的需要，即具有学习和跟踪的性能。当符合下面几个情况时都可以应用自适应滤波(1)需要滤波器特性变化以自适应改变的情况时（2）当信号和噪声存在频谱重叠时（3）噪声占据的频谱是时变或未知。例如电话回声对消，雷达信号处理，导航系统，通信信道均衡和生物医学信号增强。

25、怎样判断随机过程}),({T t t X ∈是宽平稳随机过程？并证明随机过程0),sin()cos()(>+=t t Z t Y t X θθ是宽平稳过程，其中，Y,Z 是相互独立的随机变量，且2,0σ====DZ DY EZ EY 。 答：（1）如果)(t X 满足，如下条件： （a ）}),({T t t X ∈是二阶矩过程；

（b ）对任意T t ∈，==)()(t EX t m X 常数；

（c

（2） 证明：

因为Y,Z )]([2t X E )(=t EX cos[[),(22Y E t s R X ===σ所以，{X 26、若{)(τX R 答：（1）（a ）(X R （b ）(X R （c ）|X R （d ）若（e ）若

（2）若+∞<⎰∞

-ττd R X |)(|，根据辛钦—维纳定理

ττωωτ

d e R S j X X -+∞∞

-⎰=)()()(τX R =ωωπωτ

d e S j X )(21⎰+∞

∞

- 自相关函数)(τX R 和功率谱)(ωX S 是一对傅里叶变换对。 27、从随机过程的平稳性上考虑，卡尔曼滤波的适用范围？

答案：卡尔曼滤波不仅适用于平稳随机过程，同样也适用于非平稳随机过程。

29、设有两个线性时不变系统如图所示，它们的频率响应函数分别为1()H ω和2()H ω。若两个系统

输入同一个均值为零的平稳过程()X t ，它们的输出分别为1()Y ω、2()Y ω。问如何设计1()H ω和2()

H ω才能使1()Y ω、2()Y ω互不相关。 解答：