空间几何——平行与垂直证明
空间中的平行与垂直例题和知识点总结
空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。
理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。
下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。
一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。
2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。
证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。
又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。
（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。
2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。
证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。
因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。
又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。
因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。
（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。
2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。
空间几何中的平行与垂直
空间几何中的平行与垂直在空间几何中，平行和垂直是两个重要的概念。
它们用来描述线、面和空间中的关系，帮助我们理解和解决各种几何问题。
本文将介绍平行和垂直的定义、判定方法，以及它们在空间几何中的应用。
一、平行的定义和判定在平面几何中，我们知道两条直线要想平行，它们的斜率必须相等。
但是在空间几何中，直线不再只有斜率这一个属性，因此平行的定义也有所不同。
在空间中，我们把两条直线称为平行线，当且仅当它们处于不同平面上，且不相交。
也就是说，两条平行线可以看作是两个相互平行且不相交的平面上的交线。
判定平行的方法有以下几种：1. 通过判断两条直线的方向向量是否平行。
如果两条直线的方向向量相等或成比例，那么它们是平行的。
2. 通过判断两条直线上的一点到另一条直线的垂足距离是否为0。
如果两条直线上的所有垂足距离都为0，那么它们是平行的。
3. 通过判断两个平面的法向量是否平行。
如果两个平面的法向量相等或成比例，那么它们是平行的。
二、垂直的定义和判定在空间几何中，垂直用来描述直线、平面和空间中的相互关系。
两条直线、两个平面或一条直线与一个平面之间的垂直关系都具有重要意义。
在空间中，我们把两条直线称为垂直线，当且仅当它们在某个平面上相交，并且互相垂直。
也就是说，两条垂直线可以看作是相互垂直的平面上的交线。
判定垂直的方法有以下几种：1. 通过判断两条直线的方向向量的数量积是否为0。
如果两条直线的方向向量的数量积为0，那么它们是垂直的。
2. 通过判断直线上的一点到另一条直线的垂足是否在另一条直线上。
如果两条直线上的所有垂足都在另一条直线上，那么它们是垂直的。
3. 通过判断一条直线的方向向量是否与一个平面的法向量垂直。
如果一条直线的方向向量与一个平面的法向量垂直，那么它们是垂直的。
三、平行和垂直的应用平行和垂直在空间几何中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 平行线的应用：平行线可用于构建平行四边形、矩形等各种图形。
空间几何的平行与垂直判定
空间几何的平行与垂直判定空间几何是数学中的一个重要分支，涉及到直线、平面、点等概念的研究。
其中，平行和垂直是空间几何中常见的关系，本文将对平行和垂直的判定方法进行详细介绍。
一、平行的判定方法在空间几何中，平行是指两个线(线段)或两个平面永远不会相交的关系。
下面将介绍几种常见的平行判定方法。
1. 直线的平行判定给定两条直线l1和l2，如果它们的斜率相等且不相交，则可以判定l1与l2平行。
即若直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，且k1≠k2时，则l1和l2平行。
2. 平面的平行判定对于两个平面P1和P2，如果它们的法向量相等或平行，则可以判定P1与P2平行。
二、垂直的判定方法在空间几何中，垂直是指两个线(线段)或两个平面之间的相互垂直关系。
下面将介绍几种常见的垂直判定方法。
1. 直线的垂直判定给定两条直线l1和l2，如果它们的斜率互为倒数且不相交，则可以判定l1与l2垂直。
即若直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，并且k1·k2=-1时，则l1和l2垂直。
2. 平面的垂直判定对于两个平面P1和P2，如果它们的法向量互为倒数且不平行，则可以判定P1与P2垂直。
三、平行与垂直的应用举例平行和垂直关系在实际问题中经常被应用。
以下是几个应用举例。
1. 平行线与垂直线的交点问题当两条平行线相交时，它们的交点无穷多个；而当两条垂直线相交时，它们的交点只有一个。
这一性质在导弹拦截等领域具有重要意义。
2. 平行四边形及其性质平行四边形是指具有两对平行边的四边形。
它们的特点是相对边相等、对角线相交于对角线的中点、对角线互相平分等。
平行四边形的性质在建筑设计等领域有广泛应用。
3. 垂直投影与三视图在工程绘图中，垂直投影是指将物体在垂直方向上的投影。
根据垂直投影可以得到物体的平面图、前视图、左视图、右视图等，这些视图通常用于工程设计、建筑规划等领域。
4. 共线与共面条件若一条直线与一个平面相交，那么这条直线上的任意一点与该平面上的任意一点以及该平面上的任意一条直线都共线。
平行垂直判断与性质
.用符号表示为
a⊥α,b⊥α
⇔a
2.平面与平面垂直 (1)定义:相交成直二面角的两个平面,叫作互相垂直的平面. (2)判定定理:如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直.用
a⊂α,a⊥β⇔α⊥β. 符号表示为
(3)性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们 交线 线垂直于另一个平面.用符号表示为 α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l ⇔a⊥β.
(2)判定定理:如果一个平面内的两条 相交 直线与另一个平面平行,那么这两个 平面平行.用符号可表示为 a⊂α,b⊂α,a∩b=A,a∥β,b∥β ⇒β∥α. (3)性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线 平行
α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b 用符号可表示为
.
⇒a∥b.
二、空间几何中的垂直问题 1.直线与平面的垂直
直的性质定理. 答案 C
2.如图,在空间四边形 ABCD 中,M∈AB,N∈AD,且 系是
������������ ������������ ������������ ������������
=
,则直线 MN 与平面 BDC 的位置关
.
解析 答案
由
������������ ������������ ������������ ������������
=
,得 MN∥BD.又 MN⊄平面 BDC,BD⊂平面 BDC,所以 MN∥平面 BDC.
平行
3.设α,β是两个不重合的平面,a,b 是两条不同的直线,给出下列条件:
①α,β都平行于直线 a,b; ②a,b 是α内两条直线,且 a∥β,b∥β; ③若 a,b 相交,且都在α,β外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β.
空间几何中的平行与垂直关系及证明方法
空间几何中的平行与垂直关系及证明方法在空间几何中，平行与垂直是两个重要的关系概念。
平行指的是两条直线或两个平面永远不相交，而垂直则表示两条直线或两个平面相互垂直相交。
这两个概念在几何学中有广泛的应用，并且可以通过一些证明方法来确定两条直线或两个平面是否平行或垂直。
首先，我们来讨论平行关系。
在空间几何中，两条直线平行的条件是它们的方向向量平行。
方向向量是指直线上的两个不同点连线所得到的矢量。
如果两条直线的方向向量平行，那么它们就是平行的。
例如，考虑两条直线L1和L2，它们的方向向量分别为a和b。
如果a与b平行，即a与b的夹角为0度或180度，那么L1和L2就是平行的。
除了方向向量平行外，两条直线还可以通过斜率来确定是否平行。
斜率是指直线上任意两点之间的纵坐标差与横坐标差的比值。
如果两条直线的斜率相等，那么它们也是平行的。
例如，考虑两条直线L1和L2，它们的斜率分别为m1和m2。
如果m1等于m2，那么L1和L2就是平行的。
在空间几何中，垂直关系的确定方法与平行关系类似。
两条直线垂直的条件是它们的方向向量垂直。
如果两条直线的方向向量垂直，那么它们就是垂直的。
例如，考虑两条直线L1和L2，它们的方向向量分别为a和b。
如果a与b垂直，即a与b的内积为0，那么L1和L2就是垂直的。
除了方向向量垂直外，两条直线还可以通过斜率的乘积来确定是否垂直。
如果两条直线的斜率之积为-1，那么它们也是垂直的。
例如，考虑两条直线L1和L2，它们的斜率分别为m1和m2。
如果m1乘以m2等于-1，那么L1和L2就是垂直的。
对于平面的平行与垂直关系，我们可以将其扩展到三维空间中。
两个平面平行的条件是它们的法向量平行。
法向量是指垂直于平面的矢量。
如果两个平面的法向量平行，那么它们就是平行的。
同样地，两个平面垂直的条件是它们的法向量垂直。
如果两个平面的法向量垂直，那么它们就是垂直的。
在证明平行与垂直关系时，我们可以利用向量的性质和运算法则。
立体几何中平行与垂直证明方法归纳
本文档系统总结归纳了立体几何中平行与垂直证明方法，
特别适合于高三总复习时对学生构建知识网络、探求解题
思路、归纳梳理解题方法。是一份不可多得的好资料。
一、“平行关系”常见证明方法
（一）直线与直线平行的证明
1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行
2) 利用三角形中位线性质
2) 利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等
3) 利用定义：两个平面没有公共点
二、“垂直关系”常见证明方法
（一）直线与直线垂直的证明
1) 利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。
2) 看夹角：两条共（异）面直线的夹角为 90°，则两直线互相垂直。
3) 利用直线与平面垂直的性质：
3) 利用空间平行线的传递性（即公理 4）： a ∥ c 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 b ∥ c
4) 利用直线与平面平行的性质定理：
a∥b
如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那
a ∥
β
a
a
a∥b
b
α
b
么这条直线和交线平行。
5) 利用平面与平面平行的性质定理：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
// a a // b b
6) 利用直线与平面垂直的性质定理：
11
ab
v1.0 可编辑可修改
垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 7) 利ba用平面内直线a∥ 与直b 线垂直的性质：
在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
3) 利用直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。
空间几何中的平行与垂直关系
空间几何中的平行与垂直关系在空间几何中，平行和垂直关系是两个基本的概念，它们在我们的日常生活和数学应用中扮演着重要角色。
本文将探讨空间几何中的平行和垂直关系，并介绍其定义、特性以及相关的应用。
一、平行关系在空间几何中，平行关系是指两条直线或两个平面永远不相交。
如果我们将其数学表达，可以用以下方式表示：定义1：设直线l和m都在同一个平面内，如果l和m上的任意两点A和B的连线AB与l上的另一点C所在的直线相交，那么l与m平行，记作l ∥ m。
定义2：设平面α和β，如果平面α上任意一条直线与平面β上的任意一条直线所确定的两个轴线互相平行，那么平面α和平面β平行，记作α∥β。
平行关系具有以下特性：性质1：如果两条直线平行，则它们的任意一对相交线段的比值都相等。
性质2：如果一个平面与两个平行平面相交，则它们的任意一对相交线段的比值都相等。
性质3：如果两条直线分别与一组平行直线相交，那么它们的对应角相等。
段平行、平面平行以及平面与线段平行的基本依据。
在工程学和建筑学中，平行关系用于设计和绘图中的垂直标尺、平行线、平行导板等。
此外，在计算机图形学、地理学和导航系统等领域，平行关系也扮演着重要的角色。
二、垂直关系垂直关系是指两条直线或两个平面之间的关系，其中一条直线或一个平面与另一条直线或另一个平面的法线垂直。
我们可以用以下方式表示垂直关系：定义3：设直线l和m在同一个平面内，如果l和m上的任意一对相交直线的法线互相垂直，那么l与m垂直，记作l ⊥ m。
定义4：设平面α和β，如果平面α上的任意一条直线与平面β上的任意一条直线的法线互相垂直，那么平面α和平面β垂直，记作α⊥β。
垂直关系具有以下特性：性质4：如果两条直线垂直，则它们的任意一对相交角互为直角。
性质5：如果一个直线与一个平面垂直，则该直线上的任意一条边与该平面上任意一条边所确定的两个角互为直角。
性质6：如果两个平面垂直，则它们的任意一对相交线互为直角。
空间几何中的平行与垂直关系
空间几何中的平行与垂直关系在空间几何中，平行与垂直关系是两种重要的几何关系。
它们在解决几何问题、计算坐标和推导定理等方面起着至关重要的作用。
通过研究平行和垂直关系，我们可以更好地理解空间中的几何性质，并应用于实际问题的求解。
1. 平行关系平行关系是指两条或多条直线在空间中永远不会相交。
在平行线之间不存在任何交点，它们的方向相同或者互为反向。
为了表示平行关系，我们可以使用"//"符号，如AB // CD。
在三维空间中，平行关系的判断可以通过以下方法确定：- 斜率法：对于两条直线L1和L2，如果它们的斜率相等，则L1与L2平行。
具体计算时，我们可以求两条直线上某一点的斜率，如果斜率相等，则可以判断它们是平行的。
- 向量法：如果两条直线的方向向量是平行的，则它们是平行的。
我们可以通过求取两条直线的方向向量，然后比较它们是否平行来判断平行关系。
平行关系的性质：- 平行线具有相同的斜率。
- 平行线之间的距离是恒定的，任意两点到另一条直线的距离相等。
- 平行线与平面的交线是平行的。
2. 垂直关系垂直关系是指两条直线或直线与平面的交线之间的关系。
在垂直关系中，直线或直线段与垂直交线之间的夹角为90度。
在三维空间中，判断垂直关系的方法有：- 向量法：如果两条直线的方向向量相互垂直，则它们是垂直的。
通过计算两条直线的方向向量，然后判断它们是否相互垂直。
- 斜率法：如果两条直线的斜率的乘积为-1，则它们是垂直的。
具体计算时，我们可以求两条直线上某一点的斜率，然后计算斜率的乘积，如果结果为-1，则可以判断它们是垂直的。
垂直关系的性质：- 垂直关系是相互垂直的直线或者直线与平面之间的关系。
在直角坐标系中，垂直关系可以表示为两直线斜率的乘积为-1。
- 垂直交线之间的夹角为90度。
- 垂直关系通常用于解决与直角、垂直性质相关的问题，例如计算两直线之间的距离、垂直偏移等。
总结：在空间几何中，平行与垂直关系是两种重要的几何关系。
空间几何中的线面平行与垂直关系
空间几何中的线面平行与垂直关系在空间几何中，线面平行与垂直关系是十分重要的概念。
本文将从理论与实践相结合的角度，深入探讨线面平行和垂直的定义、性质以及它们在几何问题中的应用。
一、线面平行的定义与性质在空间几何中，我们首先需要明确线面平行的定义。
所谓线面平行，即是指直线与平面之间没有交点，也就是直线在平面上没有交点或与平面平行于同一方向。
1. 定义：若直线与平面之间没有交点，则可称该直线与该平面平行。
2. 性质：a) 平行线切割平行面所得的截线互相平行；b) 平行线分别平行于同一平面的两条直线互相平行；c) 平行线与同一平面上的交线所形成的内、外两个角互为对顶角，即内角和外角互补；d) 平行线与同一平面上的交线所形成的同旁内、外两个角互为对顶角，即同旁内角和同旁外角互补；等等。
二、线面垂直的定义与性质与线面平行相对的是线面垂直，线面垂直是指直线和平面之间存在直角关系。
1. 定义：若直线与平面之间存在且仅存在一条垂直于该平面的直线，则可称该直线与该平面垂直。
2. 性质：a) 垂直于同一平面的两条直线互相平行或重合；b) 垂直线同时与同一平面的交线所形成的内、外两个角互为对顶角，即内角和外角互补；c) 垂直线与同一平面上的直线交叉点处所形成的垂直角为直角；等等。
三、线面平行与垂直关系的应用线面平行与垂直关系在几何问题中经常被使用，并具有广泛的应用。
1. 平行线、平面的判定：a) 通过点确定平行线；b) 通过已知直线和点确定平行线；c) 通过已知两个平行线和一点确定平面；等等。
2. 垂直线、平面的判定：a) 通过已知直线和一点确定垂直线；b) 通过已知两个垂直线和一点确定平面；c) 通过已知直线和平面的判定确定垂直线；等等。
4. 线面平行、垂直关系的证明：通过应用平行线、垂直线的性质，可以进行线面平行与垂直关系的证明，进一步解决各类几何问题。
5. 空间图形的计算：在线面平行与垂直关系的基础上，我们可以利用相关性质和定理进行空间图形的计算，如平行截线定理、垂直截线定理等。
空间几何的平行与垂直关系知识点总结
空间几何的平行与垂直关系知识点总结在空间几何中，平行与垂直关系是非常重要的概念，它们贯穿于整个几何学习的始终。
理解和掌握这些关系对于解决空间几何问题至关重要。
下面，我们就来详细总结一下空间几何中平行与垂直关系的相关知识点。
一、线线平行1、平行线的定义在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2、线线平行的判定定理（1）同位角相等，两直线平行。
（2）内错角相等，两直线平行。
（3）同旁内角互补，两直线平行。
3、线线平行的性质定理（1）两直线平行，同位角相等。
（2）两直线平行，内错角相等。
（3）两直线平行，同旁内角互补。
4、空间中直线平行的传递性如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
二、线面平行1、线面平行的定义如果一条直线与一个平面没有公共点，那么这条直线与这个平面平行。
2、线面平行的判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
3、线面平行的性质定理如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线与交线平行。
三、面面平行1、面面平行的定义如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行。
2、面面平行的判定定理（1）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
（2）如果两个平面都平行于同一条直线，那么这两个平面平行。
3、面面平行的性质定理（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。
（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
四、线线垂直1、线线垂直的定义如果两条直线所成的角为直角，那么这两条直线互相垂直。
2、线线垂直的判定定理（1）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任意一条直线。
（2）如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线。
五、线面垂直1、线面垂直的定义如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
空间几何体的平行与垂直判断
空间几何体的平行与垂直判断在三维空间中，平行和垂直是几何学中常用的关系。
正确地判断空间几何体间的平行和垂直关系对于解决各种几何问题非常重要。
本文将介绍如何准确判断空间几何体的平行和垂直关系，并提供相关示例。
一、空间几何体的平行关系判断要判断两个空间几何体是否平行，我们需要考虑它们的方向。
具体而言，如果两个几何体的方向向量平行且不共线，则它们是平行的。
以直线为例，如果两条直线的方向向量平行且不共线，那么它们是平行的。
假设直线l1的方向向量为v1=(a1,b1,c1)，直线l2的方向向量为v2=(a2,b2,c2)，则当v1与v2平行且不共线时，l1与l2平行。
同样地，平面和平面也可以通过方向向量来判断平行关系。
设平面P1的法向量为n1=(a1,b1,c1)，平面P2的法向量为n2=(a2,b2,c2)，则当n1与n2平行且不共线时，P1与P2平行。
二、空间几何体的垂直关系判断空间几何体的垂直关系判断与平行关系类似，也需要考虑其方向。
如果两个几何体的方向向量垂直，则它们是垂直关系。
对于直线和平面的垂直关系判断，有以下规律：1. 直线和平面垂直：一个直线与一个平面垂直，当且仅当该直线的方向向量与该平面的法向量垂直。
2. 平面和平面垂直：若两个平面的法向量互相垂直，则这两个平面垂直。
即当一个平面的法向量与另一个平面的法向量垂直时，它们是垂直关系。
需要注意的是，垂直关系的判断并不仅仅依赖于法向量的垂直性。
在实际问题中，我们还需要考虑几何体之间的交点、距离等因素。
下面通过一些例子来对空间几何体的平行和垂直关系进行具体说明：例一：判断两条直线的平行关系已知直线l1和l2的方程分别为：l1:l2:通过比较直线l1和l2的方向向量，我们可以判断它们的平行关系。
例二：判断两个平面的垂直关系已知平面P1和P2的方程分别为：P1:P2:通过比较平面P1和P2的法向量，我们可以判断它们的垂直关系。
总结起来，判断空间几何体的平行和垂直关系主要依赖于方向向量和法向量的比较。
空间立体几何中的平行、垂直证明
∴DE∥平面 PAB.
精选ppt
H
构造平行四边行法
23
(2)证明 在直角梯形中，CB⊥AB， 又∵平面 PAB⊥平面 ABCD， 且平面 PAB∩平面 ABCD＝AB， ∴CB⊥平面 PAB. ∵CB⊂平面 PBC， ∴平面 PBC⊥平面 PAB.
精选ppt
看到中点找中点
D1 A1
DE A
C1
B1
F
C B
精选ppt
7
定理应用
空间中的平行
方法一）：构造平行四边形
D1 A1
DE A
M
C1
B1
F
C
N
B
精选ppt
8
定理应用
空间中的平行
方法二）：构造平行平面
D1 A1
DE A
C1
B1
F
HC B
精选ppt
9
定理应用
空间中的平行
例 2.如图所示， P在 AB四 C 中D 棱 ，锥 已知 A四 BC 是 边 D 形 平行四M 边 ,N分 形别 ，是ＰＡ点 ，， ＢＣ的中 证明：ＭＮＤ ／／面PＰＣ
精选ppt
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分析： (1)证明线面平行只需在平面内找一条和 该直线平行的直线即可，也可转化为经过这条直线 的平面和已知平面平行；(2)证明面面垂直，只需在 一个平面内找到另一个平面的垂线.
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第七章 第六节 第一课时 证明平行与垂直
则 A(0， 3 ，0)，D(0，0，0)，E(1，0，t)，B(－1，0，0)，B1(－1，0，2t)，
A，
3
，0)，D→E
＝1，0，t
，
→ A1N
＝(－1，－
3
，
2λt－2t)，
设平面 ADE 的法向量 n＝(x，y，z)，
则nn··DD→→AE＝＝x＋3yt＝z＝00 ，取 z＝1，得 n＝(－t，0，1)，
z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可知 D(0，0，0)，B(1，2，0)，A(1，0，0)，C(0，
2，0)，S(0，0， 3 )，
→ BS
＝(－1，－2，
3 )，D→C ＝(0，2，0)，
假设存在 M，N 满足 MN⊥CD 且 MN⊥SB.
∵M 在线段 CD 上，可设B→M ＝λB→S ＝(－λ，－2λ， 3 λ)(λ∈[0，1]). ∵D→M ＝D→B ＋B→M ＝(1，2，0)＋(－λ，－2λ， 3 λ)＝(1－λ，2－2λ， 3 λ)， ∴M 的坐标(1－λ，2－2λ， 3 λ)，
N 在线段 SB 上，可设 N(0，y，0)，y∈[0，2]，
则N→M ＝(1－λ，2－2λ－y， 3 λ).
要使 MN⊥CD 且 MN⊥SB，则NN→ →MM· ·DB→→SC＝＝00，，
又B→S ＝(－1，－2， 3 )，D→C ＝(0，2，0)， 可得2－（（2－1－2λλ－）y－）2＝（02－2λ－y）＋3λ＝0 ， 解得 λ＝14 ∈[0，1]，y＝32 ∈[0，2]. 故存在 M，N 使 MN⊥CD 且 MN⊥SB， 其中 M 是线段 SB 靠近 B 的四等分点，N 是线段 CD 靠近 C 的四等分点．
∵PB⊄平面 EFG，∴PB∥平面 EFG.
8.7空间向量在立体几何中的应用——证明平行与垂直
1.用向量表示直线或点在直线上的位置(1)给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数t ，以A 为起点作向量AP →＝t a ，则此向量方程叫做直线l 以t 为参数的参数方程.向量a 称为该直线的方向向量.(2)对空间任一确定的点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在唯一的实数t ，满足等式OP →＝(1－t )OA →＋tOB →，叫做空间直线的向量参数方程. 2.用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1 ∥u 2. 3.用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( × ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的.( × ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.( √ ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.( √ ) (5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行.( × )(6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行.( × )1.平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k 等于( ) A.2 B.－4 C.4 D.－2 答案 C解析 ∵α∥β，∴两平面法向量平行， ∴－21＝－42＝k－2，∴k ＝4. 2.已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( ) A.(－1,1,1) B.(1，－1,1) C.(－33，－33，－33) D.(33，33，－33) 答案 C解析 设n ＝(x ，y ，z )为平面ABC 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，∴x ＝y ＝z .故选C.3.已知直线l 的方向向量为v ＝(1,2,3)，平面α的法向量为u ＝(5,2，－3)，则l 与α的位置关系是____________. 答案 l ∥α或l ⊂α解析 ∵v ·u ＝0，∴v ⊥u ，∴l ∥α或l ⊂α.4.(教材改编)设u ，v 分别是平面α，β的法向量，u ＝(－2,2,5)，当v ＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为________；当v ＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________. 答案 α⊥β α∥β解析 当v ＝(3，－2,2)时，u ·v ＝(－2,2,5)·(3，－2,2)＝0⇒α⊥β. 当v ＝(4，－4，－10)时，v ＝－2u ⇒α∥β.5.(教材改编)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是________. 答案 垂直解析 以A 为原点，分别以AB →，AD →，AA 1→所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A (0,0,0)，M (0,1，12)，O (12，12，0)，N (12，0,1)，AM →·ON →＝(0,1，12)·(0，－12，1)＝0， ∴ON 与AM 垂直.题型一 利用空间向量证明平行问题例1 如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点.求证：PB ∥平面EFG . 证明 ∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，∴AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (2，0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0，0,2)，E (0,0,1)，F (0,1,1)，G (1，2,0). ∴PB →＝(2,0，－2)，FE →＝(0，－1,0)，FG →＝(1,1，－1)， 设PB →＝sFE →＋tFG →，即(2,0，－2)＝s (0，－1,0)＋t (1,1，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2.∴PB →＝2FE →＋2FG →，又∵FE →与FG →不共线，∴PB →，FE →与FG →共面. ∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG . 引申探究本例中条件不变，证明平面EFG ∥平面PBC . 证明 ∵EF →＝(0,1,0)，BC →＝(0,2,0)， ∴BC →＝2EF →，∴BC ∥EF .又∵EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， ∴EF ∥平面PBC ，同理可证GF ∥PC ，从而得出GF ∥平面PBC . 又EF ∩GF ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ， ∴平面EFG ∥平面PBC .思维升华 (1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .证明 方法一 如图，取BD 的中点O ，以O 为原点，OD 、OP 所在射线分别为y 、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz .由题意知，A (0，2，2)，B (0，－2，0)，D (0，2，0). 设点C 的坐标为(x 0，y 0,0). 因为AQ →＝3QC →，所以Q ⎝⎛⎭⎫34x 0，24＋34y 0，12.因为M 为AD 的中点，故M (0，2，1). 又P 为BM 的中点，故P ⎝⎛⎭⎫0，0，12， 所以PQ →＝⎝⎛⎭⎫34x 0，24＋34y 0，0.又平面BCD 的一个法向量为a ＝(0,0,1)，故PQ →·a ＝0. 又PQ ⊄平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD .方法二 在线段CD 上取点F ，使得DF ＝3FC ，连接OF ，同方法一建立空间直角坐标系，写出点A 、B 、C 的坐标，设点C 坐标为(x 0，y 0,0). ∵CF →＝14CD →，设点F 坐标为(x ，y,0)，则(x －x 0，y －y 0,0)＝14(－x 0，2－y 0,0)，∴⎩⎨⎧x ＝34x 0y ＝24＋34y∴OF →＝(34x 0，24＋34y 0,0)又由方法一知PQ →＝(34x 0，24＋34y 0,0)，∴OF →＝PQ →，∴PQ ∥OF .又PQ ⊄平面BCD ，OF ⊂平面BCD ， ∴PQ ∥平面BCD .题型二 利用空间向量证明垂直问题 命题点1 证线面垂直例2 如图所示，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点.求证：AB 1⊥平面A 1BD .证明 方法一 设平面A 1BD 内的任意一条直线m 的方向向量为m .由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m ＝λBA 1→＋μBD →.令BB 1→＝a ，BC →＝b ，BA →＝c ，显然它们不共面，并且|a |＝|b |＝|c |＝2，a ·b ＝a·c ＝0，b·c ＝2，以它们为空间的一个基底，则BA 1→＝a ＋c ，BD →＝12a ＋b ，AB 1→＝a －c ，m ＝λBA 1→＋μBD →＝⎝⎛⎭⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ， AB 1→·m ＝(a －c )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ＝4⎝⎛⎭⎫λ＋12μ－2μ－4λ＝0.故AB 1→⊥m ，结论得证. 方法二 如图所示，取BC 的中点O ，连接AO . 因为△ABC 为正三角形， 所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1， 所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，分别以OB →，OO 1→，OA →所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，D (－1,1,0)，A 1(0,2，3)， A (0,0，3)，B 1(1,2,0).设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，BA 1→＝(－1,2，3)，BD →＝(－2,1,0). 因为n ⊥BA 1→，n ⊥BD →，故⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝0，n ·BD →＝0，⇒⎩⎨⎧－x ＋2y ＋3z ＝0，－2x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝2，z ＝－3，故n ＝(1,2，－3)为平面A 1BD 的一个法向量， 而AB 1→＝(1,2，－3)，所以AB 1→＝n ，所以AB 1→∥n ， 故AB 1⊥平面A 1BD . 命题点2 证面面垂直例3 如图，在三棱锥P ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上.已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2. (1)证明：AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3.试证明平面AMC ⊥平面BMC . 证明 (1)如图所示，以O 为坐标原点，以射线OP 为z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0)，A (0，－3,0)， B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4).于是AP →＝(0,3,4)， BC →＝(－8,0,0)，∴AP →·BC →＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0， 所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC . (2)由(1)知|AP |＝5，又|AM |＝3，且点M 在线段AP 上， ∴AM →＝35AP →＝⎝⎛⎭⎫0，95，125， 又BC →＝(－8,0,0)，AC →＝(－4,5,0)，BA →＝(－4，－5,0)， ∴BM →＝BA →＋AM →＝⎝⎛⎭⎫－4，－165，125， 则AP →·BM →＝(0,3,4)·⎝⎛⎭⎫－4，－165，125＝0， ∴AP →⊥BM →，即AP ⊥BM ，又根据(1)的结论知AP ⊥BC ，且BM ∩BC ＝C ， ∴AP ⊥平面BMC ，于是AM ⊥平面BMC . 又AM ⊂平面AMC ，故平面AMC ⊥平面BCM . 思维升华 证明垂直问题的方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然 ，也可证直线的方向向量与平面法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可.(1)如图所示，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点.求证： ①DE ∥平面ABC ； ②B 1F ⊥平面AEF .证明 ①如图建立空间直角坐标系Axyz ， 令AB ＝AA 1＝4，则A (0,0,0)，E (0,4,2)，F (2,2,0)，B (4,0,0)，B 1(4,0,4). 取AB 中点为N ，连接CN ， 则N (2,0,0)，C (0,4,0)，D (2,0,2)， ∴DE →＝(－2,4,0)，NC →＝(－2,4,0)，∴DE →＝NC →，∴DE ∥NC ，又∵NC ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC . 故DE ∥平面ABC .②B 1F →＝(－2,2，－4)，EF →＝(2，－2，－2)，AF →＝(2,2,0). B 1F →·EF →＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， B 1F →·AF →＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.∴B 1F →⊥EF →，B 1F →⊥AF →，即B 1F ⊥EF ，B 1F ⊥AF ， 又∵AF ∩EF ＝F ，∴B 1F ⊥平面AEF .(2)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角.①求证：CM ∥平面P AD ； ②求证：平面P AB ⊥平面P AD .证明 ①以C 为坐标原点，分别以CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ， ∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PBC ＝30°.∵PC ＝2，∴BC ＝23，PB ＝4.∴D (0,1,0)，B (23，0,0)，A (23，4,0)，P (0,0,2)， M (32，0，32)， ∴DP →＝(0，－1,2)，DA →＝(23，3,0)，CM →＝(32，0，32)，令n ＝(x ，y ，z )为平面P AD 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，∴⎩⎨⎧z ＝12y ，x ＝－32y ，令y ＝2，得n ＝(－3，2,1).∵n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，∴n ⊥CM →，又CM ⊄平面P AD ， ∴CM ∥平面P AD .②取AP 的中点E ，则E (3，2,1)，BE →＝(－3，2,1). ∵PB ＝AB ，∴BE ⊥P A .又∵BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0， ∴BE →⊥DA →，∴BE ⊥DA ，又P A ∩DA ＝A ，∴BE ⊥平面P AD ， 又∵BE ⊂平面P AB ， ∴平面P AB ⊥平面P AD .题型三 利用空间向量解决探索性问题例4 如图，棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC 和∠A 1AC 均为60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD . (1)求证：BD ⊥AA 1；(2)求二面角D －A 1A －C 的余弦值；(3)在直线CC 1上是否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，若存在，求出点P 的位置，若不存在，请说明理由. (1)证明 设BD 与AC 交于点O ，则BD ⊥AC ，连接A 1O ，在△AA 1O 中，AA 1＝2，AO ＝1，∠A 1AO ＝60°，∴A 1O 2＝AA 21＋AO 2－2AA 1·AO cos 60°＝3， ∴AO 2＋A 1O 2＝AA 21， ∴A 1O ⊥AO .由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥平面ABCD .以OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)，A 1(0,0，3)，C 1(0,2，3). 由于BD →＝(－23，0,0)，AA 1→＝(0,1，3)， AA 1→·BD →＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0， ∴BD →⊥AA 1→，即BD ⊥AA 1. (2)解 由于OB ⊥平面AA 1C 1C ，∴平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(1,0,0). 设n 2＝(x ，y ，z )为平面DAA 1D 1的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AA 1→＝0，n 2·AD →＝0， 即⎩⎨⎧y ＋3z ＝0，－3x ＋y ＝0，取n 2＝(1，3，－1)，则〈n 1，n 2〉即为二面角D －A 1A －C 的平面角，∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝55，所以，二面角D －A 1A －C 的余弦值为55. (3)解 假设在直线CC 1上存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，设CP →＝λCC 1，P (x ，y ，z )，则(x ，y －1，z )＝λ(0,1，3). 从而有P (0,1＋λ，3λ)，BP →＝(－3，1＋λ，3λ). 设n 3＝(x 3，y 3，z 3)⊥平面DA 1C 1，则⎩⎪⎨⎪⎧n 3⊥A 1C 1→，n 3⊥DA 1→，又A 1C 1→＝(0,2,0)，DA 1→＝(3，0，3)，则⎩⎨⎧2y 3＝0，3x 3＋3z 3＝0，取n 3＝(1,0，－1)，因为BP ∥平面DA 1C 1，则n 3⊥BP →， 即n 3·BP →＝－3－3λ＝0，得λ＝－1， 即点P 在C 1C 的延长线上，且C 1C ＝CP .思维升华 对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”.在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点. (1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论. (1)证明 如图，分别以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0,0,0)， A (a,0,0)，B (a ，a,0)， C (0，a,0)，E ⎝⎛⎭⎫a ，a2，0， P (0,0，a )，F ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2.EF →＝⎝⎛⎭⎫－a 2，0，a 2，DC →＝(0，a,0). ∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，即EF ⊥CD .(2)解 设G (x,0，z )，则FG →＝⎝⎛⎭⎫x －a 2，－a 2，z －a 2， 若使GF ⊥平面PCB ，则由FG →·CB →＝⎝⎛⎭⎫x －a2，－a 2，z －a 2·(a,0,0) ＝a ⎝⎛⎭⎫x －a 2＝0，得x ＝a2；由FG →·CP →＝⎝⎛⎭⎫x －a2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a ) ＝a 22＋a ⎝⎛⎭⎫z －a 2＝0，得z ＝0. ∴G 点坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，0，0，即G 点为AD 的中点.17.利用向量法解决立体几何问题典例 (12分)(2014·湖北)如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2).(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由. 规范解答解 以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .[1分]由已知得B (2,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,1,0)，F (1,0,0)，P (0，0，λ)，M (2,1,2)，N (1,0,2)，BC 1→＝(－2,0,2)，FP →＝(－1,0，λ)，FE →＝(1,1,0)，MN →＝(－1，－1,0)，NP →＝(－1,0，λ－2).[3分] (1)证明 当λ＝1时，FP →＝(－1,0,1)， 因为BC 1→＝(－2,0,2)， 所以BC 1→＝2FP →，即BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ， 故直线BC 1∥平面EFPQ .[7分](2)解 设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧ FE →·n ＝0，FP →·n ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0. 于是可取n ＝(λ，－λ，1).[9分]同理可得平面PQMN 的一个法向量为m ＝(λ－2,2－λ，1).若存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角，则m ·n ＝(λ－2,2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22.[11分] 故存在λ＝1±22，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角.[12分] 温馨提醒 (1)利用向量法证明立体几何问题，可以建坐标系或利用基底表示向量；(2)建立空间直角坐标系时，要根据题中条件找出三条互相垂直的直线；(3)利用向量除了可以证明线线平行、垂直，线面、面面平行、垂直外，还可以利用向量求夹角、距离，从而解决线段长度问题、体积问题等.[方法与技巧]1.用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想.2.两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断.(2)建立空间直角坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题.[失误与防范]用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a ∥b ，只需证明向量a ＝λb (λ∈R )即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1.若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( )A.l ∥αB.l ⊥αC.l ⊂αD.l 与α相交答案 B解析 ∵n ＝－2a ，∴a 与α的法向量平行，∴l ⊥α.2.已知平面α内有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α内A.P (2,3,3)B.P (－2,0,1)C.P (－4,4,0)D.P (3，－3,4)答案 A解析 逐一验证法，对于选项A ，MP →＝(1,4,1)，∴MP →·n ＝6－12＋6＝0，∴MP →⊥n ，∴点P 在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内.3.若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( )A.相交B.平行C.在平面内D.平行或在平面内答案 D解析 ∵AB →＝λCD →＋μCE →，∴AB →、CD →、CE →共面，∴AB 与平面CDE 平行或在平面CDE 内.4.如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为( )A.(1,1,1)B.(23，23，1) C.(22，22，1) D.(24，24，1) 答案 C解析 设M 点的坐标为(x ，y,1)，AC ∩BD ＝O ，则O (22，22，0)， 又E (0,0,1)，A (2，2，0)，∴OE →＝(－22，－22，1)，AM →＝(x －2，y －2，1)， ∵AM ∥平面BDE ，∴OE →∥AM →，∴⎩⎨⎧ x －2＝－22，y －2＝－22，⇒⎩⎨⎧ x ＝22，y ＝22.5.已知平面α内的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是___________________________________.解析 设平面α的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由m ·AB →＝0，得x ·0＋y －z ＝0⇒y ＝z ，由m ·AC →＝0，得x －z ＝0⇒x ＝z ，取x ＝1，∴m ＝(1,1,1)，m ＝－n ，∴m ∥n ，∴α∥β.6.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1).对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________.答案 ①②③解析 ∵AB →·AP →＝0，AD →·AP →＝0，∴AB ⊥AP ，AD ⊥AP ，则①②正确.又AB →与AD →不平行，∴AP →是平面ABCD 的法向量，则③正确.∵BD →＝AD →－AB →＝(2,3,4)，AP →＝(－1,2，－1)，∴BD →与AP →不平行，故④错误.7.如图，四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD＝2，E ，F ，H 分别是线段P A ，PD ，AB 的中点.求证：(1)PB ∥平面EFH ；(2)PD ⊥平面AHF .证明 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .∴A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，E (0,0,1)，F (0,1,1)，H (1,0,0).(1)∵PB →＝(2,0，－2)，EH →＝(1,0，－1)，∴PB →＝2EH →，∴PB ∥EH .∵PB ⊄平面EFH ，且EH ⊂平面EFH ，∴PB ∥平面EFH .(2)PD →＝(0,2，－2)，AH →＝(1,0,0)，AF →＝(0,1,1)，∴PD →·AF →＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，PD →·AH →＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0，∴PD ⊥AF ，PD ⊥AH ，又∵AF ∩AH ＝A ，∴PD ⊥平面AHF .8.如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ .证明 如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 、DP 、DC 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz .依题意有Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)，则DQ →＝(1,1,0)，DC →＝(0,0,1)，PQ →＝(1，－1,0).∴PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0.即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ，又DQ ∩DC ＝D ，∴PQ ⊥平面DCQ ，又PQ ⊂平面PQC ，∴平面PQC ⊥平面DCQ .9.如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，P A ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面P AB ；(2)求证：平面P AD ⊥平面PDC .证明 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，∴E (12，1，12)，F (0,1，12)，EF →＝(－12，0,0)，PB →＝(1,0，－1)，PD →＝(0,2，－1)，AP →＝(0,0,1)，AD →＝(0,2,0)，DC →＝(1,0,0)，AB →＝(1,0,0).(1)∵EF →＝－12AB →，∴EF →∥AB →，即EF ∥AB ， 又AB ⊂平面P AB ，EF ⊄平面P AB ，∴EF ∥平面P AB .(2)∵AP →·DC →＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD →·DC →＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，∴AP →⊥DC →，AD →⊥DC →，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC .又AP ∩AD ＝A ，∴DC ⊥平面P AD .∵DC ⊂平面PDC ，∴平面P AD ⊥平面PDC .B 组 专项能力提升(时间：25分钟)10.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱BC ，DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________.答案 1解析 以D 1A 1，D 1C 1，D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴B 1E →＝(x －1,0,1)，∴FB →＝(1,1，y )，由于B 1E ⊥平面ABF ，∴FB →·B 1E →＝(1,1，y )·(x －1，0,1)＝0⇒x ＋y ＝1.11.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段D 1Q与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN →的实数λ有________个.答案 2解析 建立如图的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则P (x ，y,2)，O (1，1,0)，∴OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x ＋12，y ＋12，1， 又知D 1(0,0,2)，∴Q (x ＋1，y ＋1,0)，而Q 在MN 上，∴x Q ＋y Q ＝3，∴x ＋y ＝1，即点P 坐标满足x ＋y ＝1.∴有2个符合题意的点P ，即对应有2个λ.12.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 的中点.(1)求证：B 1E ⊥AD 1；(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由.(1)证明 以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫a 2，1，0，B 1(a,0,1)，故AD 1→＝(0,1,1)，B 1E →＝⎝⎛⎭⎫－a 2，1，－1，AB 1→＝(a,0,1)，AE →＝⎝⎛⎭⎫a 2，1，0. ∵B 1E →·AD 1→＝－a 2×0＋1×1＋(－1)×1＝0， ∴B 1E ⊥AD 1.(2)解 假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0).使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP →＝(0，－1，z 0).又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z ).∵n ⊥平面B 1AE ，∴n ⊥AB 1→，n ⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋z ＝0，ax 2＋y ＝0. 取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝⎝⎛⎭⎫1，－a 2，－a . 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →，有a 2－az 0＝0， 解得z 0＝12. 又DP ⊄平面B 1AE ，∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12. 13.如图所示，四棱锥S —ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点.(1)求证：AC ⊥SD .(2)若SD ⊥平面P AC ，则侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面P AC .若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由.(1)证明 连接BD ，设AC ∩BD ＝O ，则AC ⊥BD .由题意知SO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，OB →，OC →，OS →分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图.设底面边长为a ，则高SO ＝62a ， 于是S ⎝⎛⎭⎫0，0，62a ，D ⎝⎛⎭⎫－22a ，0，0， B ⎝⎛⎭⎫22a ，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，22a ，0，OC →＝⎝⎛⎭⎫0，22a ，0， SD →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，0，－62a ，则OC →·SD →＝0. 故OC ⊥SD .从而AC ⊥SD .(2)解 棱SC 上存在一点E ，使BE ∥平面P AC .理由如下：由已知条件知DS →是平面P AC 的一个法向量，且DS →＝⎝⎛⎭⎫22a ，0，62a ，CS →＝⎝⎛⎭⎫0，－22a ，62a ，BC →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a ，0. 设CE →＝tCS →，则BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋tCS → ＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a (1－t )，62at ， 而BE →·DS →＝0⇔t ＝13. 即当SE ∶EC ＝2∶1时，BE →⊥DS →.而BE 不在平面P AC 内，故BE ∥平面P AC .∴存在一点E ，使得BE ∥平面P AC ，此时SE ∶EC ＝2.。
空间几何中的平行与垂直关系
空间几何中的平行与垂直关系在空间几何中，平行和垂直是我们常见的几何关系。
平行指两条直线或者两个平面永远不会相交，而垂直指两条直线或者两个平面相互成直角。
这两种关系在数学和实际生活中都有广泛的应用。
本文将探讨平行和垂直的定义、性质以及在几何中的重要应用。
一、平行关系平行线是指两条直线不相交，且永远保持相同的距离。
根据平行线的定义，我们可以得出以下性质：1. 平行线具有传递性，即若线段AB与线段BC平行，则线段AB与线段AC也平行。
2. 平行线之间不存在交点，也不能相互交叉。
3. 平行线与一条直线的交点与另一条直线平行。
4. 平行线具有对称性，即若线段AB与线段CD平行，则线段CD与线段AB也平行。
平行关系在空间几何中有很多应用，比如在平行四边形和三角形的性质证明中经常用到。
平行线也是解决几何难题的重要手段，如求解截面积和体积等问题。
二、垂直关系垂直是指两条直线或者两个平面相互成直角。
根据垂直关系的定义，我们可以得出以下性质：1. 垂直于同一条直线的两条直线彼此平行。
2. 两个平面相互垂直的条件是它们的法向量垂直。
3. 直线与平面垂直，则直线上的任意一条线段与平面上的任意一条线段相互垂直。
垂直关系在几何中也有广泛的应用。
在建筑设计中，垂直关系是测量和布局的基础。
在空间坐标系中，垂直关系可以用来识别空间中的平面，具有重要的实际应用价值。
总结：平行和垂直是空间几何中常见的几何关系。
两条平行线永远不会相交，而两条垂直线相互成直角。
它们在各自的定义中包含了一系列的性质和特点，这些性质和特点为我们解决几何问题提供了重要的线索。
在几何证明中，平行和垂直关系是解决问题的关键步骤之一。
我们可以利用这些关系性质，推导出更多有关几何形状和结构的定理。
在实际生活中，平行和垂直关系也有广泛的应用。
比如在建筑设计、物体测量等方面都需要考虑平行和垂直的关系，以保证结构的稳定性和功能的实现。
通过理解和应用平行和垂直关系，我们可以更好地理解和解决与空间几何相关的问题，提高数学思维能力和几何分析能力。
专题11 立体几何 11.3平行与垂直证明 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(解析版)
所以 EF∥BC．
又因为 EF⊄平面 PBC，BC⊂平面 PBC，
△PAD 是正三角形，平面 PAD⊥平面 PBD．
（Ⅰ）求证：PA⊥BD；
（Ⅱ）设二面角 P﹣BD﹣A 的大小为α，直线 PA 与平面 PBC 所成角的大小为β，求 cos
（α+β）的值．
【解答】（Ⅰ）证明：∵∠BAD＝45°，AD＝1，�� = 2，
∴由余弦定理，得：
BD=
1 + 2 − 2 × 1 × 2 × ���45° =1，…（2 分）
性质定理
行，则过这条直线的任一
∵l∥α，
平面与此平面的交线与
l⊂β，α∩β
该直线平行(简记为“线面
＝b，∴l∥b
平行⇒线线平行”)
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
判定定理
图形语言
符号语言
一个平面内的两条相交
∵a∥β，b
直线与另一个平面平行，
∥β，a∩b
则这两个平面平行(简记
＝P，a⊂α，
⊥AC，
所以 PA⊥面 ABC，
因为 BC⊂平面 ABC，
所以 PA⊥BC．
又因为 AB⊥BC，且 PA∩AB＝A，
所以 BC⊥面 PAB．
…．（9 分）
（Ⅲ）解：当点 F 是线段 AB 中点时，过点 D，E，F 的平面内的任一条直线都与平面 PBC
平行．
取 AB 中点 F，连 EF，连 DF．
由（Ⅰ）可知 DE∥平面 PBC．
��
理由．
【解答】（Ⅰ）证明：取 AB 中点 O，连接 EO，DO．
因为 EA＝EB，所以 EO⊥AB． …（2 分）
空间直线与直线、面平行或垂直的判定
空间直线1. 空间两条直线的三种位置关系—相交、平行、异面.2. 公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.3．异面直线所成的角直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．4．异面直线的距离和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离．[要点内容]1．空间两条直线的三种位置关系—相交、平行、异面。
相交直线和平行直线都是共面直线，异面直线是立体图形。
2．空间两直线的位置关系分类从有无公共点的角度看，可分为两类：（1）两条直线有且仅有一个公共点—相交直线；3．异面直线概念的理解“不同在任何一个平面内的两条直线”，是指这两条直线不能同时在任何一个平面内。
注意：分别在某两个平面内的两条直线，不一定是异面直线，它们可能是相交直线，也可能是平行直线，如图。
4．异面直线的画法及判定画异面直线时，以平面为衬托，可使两直线不能共面的特点显示得更清楚，如图判定两条直线是异面直线的方法：方法一，利用：“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。
”方法二，利用反证法，假设这两条直线不是异面直线，推导出矛盾。
这可能是与公理矛盾、与定理矛盾、与定义矛盾、与已知条件或事实矛盾等。
5．对于两条异面直线所成的角的定义应注意以下几点：（1）取直线a′、b′所成的锐角（或直角）作为异面直线a、b所成的角。
（2）在这个定义中，空间一点是任意选取的，根据等角定理，可以判定异面直线a和b 所成的角和a′和b′所成的锐角（或直角）相等，而与点O的位置无关。
（3）由于异面直线a、b所成的角与点O的位置无关，一般情况下，可将点O取在直线a或b上。
高中数学 -空间立体几何中的平行、垂直证明定理总结 (1)
l n
☺ 简称：线线垂直，线面垂直.
复习定理
空间中的垂直
2．直线与平面垂直性质
判定：如果一条直线和一个平面垂直,则称这条直线和这 个平面内任意一条直线都垂直.
l m
l
m
☺ 简称：线面垂直，线线垂直.
复习定理
空间中的垂直
3．平面与平面垂直判定
判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个 平面互相垂直.
(1)求证：BC1∥平面 CA1D； (2)求证：平面 CA1D⊥平面 AA1B1B. 证明：(1)连结AC1交A1C于E，连结DE．
∵AA1C1C为矩形，则E为AC1的中点． 又D是AB的中点，
∴在△ABC1中，DE∥BC1.
E
又DE⊂平面CA1D，
BC1⊄平面CA1D，
∴BC1∥平面CA1D.
证明：(2)∵AC＝BC， D为AB的中点， ∴在△ABC中，AB⊥CD.
空间中的平行与垂直 定理总结
复习定理
空间中的平行
1.直线与平面平行的判定
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则 该直线与此平面平行．
a
b
a
//
b
a // b
☺ 简称：线线平行，线面平行.
复习定理
空间中的平行
2.直线与平面平行的性质
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行．
①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若α⊥γ,β⊥γ,
则α∥β；
③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若α∥β,β∥γ,
m⊥α,则m⊥γ.
正确的命题是( C)
A.①③
B.②③
C.①④
D.②④
解析 ②中平面α与β可能相交，③中m与n可以
向量法证明平行与垂直-人教版高中数学
第02讲一向量法证明平行与垂直知识图谱-利用向量证明空间中的平行关系-利用向星证明空间中的垂直关系宜线的方向向量与直线的向量方程利用向量方法证明线面平行关系利用向星方法证明线线与面面的平行关系利用向星方法证明线线垂直平面的法向星利用向星方法证明线面垂直利用向量方法证明面面垂直第02讲-向量法证明平行与垂直错题回顾利用向量证明空间中的平行关系知识Si井一・直线的方向向量与直线的向量方程1.点的位置向量在空间中，我们取一定点0作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量成来表示，我们把向量质称为点P的位置向量.2.直线的方向向量空间中任一直线I的位置可以由I上的一个定点A以及一个定方向确定，如图，点村是直线，上的一点，向量或表示直线［的方向向量，则对于直线［上任一点户，有步弟，这样点工和向量成,不仅可以确定直线，的位置，还可具体表示出/上的任意点;直线I上的向量S以及与3共线的向量叫做i的方向向量・3.直线I的向量方程直线上任意一点P定存在实数，，使得衣=龙①，①式可以看做直线［的参数方程，直线f的参数方程还可以作如下表示：对空间中任意一确定点。
，点户在直线［上的充要条件是存在唯一的实数，满足等式灵=鬲*②，如果在，上取后=株，则上式可以化为灸=扇以刀=函硕赤-&)=(1-!)宓H房①；①②③都叫做空间直线的向量参数方程.二•平面的法向量1.平面法向量的定义已知平面a，如果向量成的基线与平面a垂直，则向量成叫作平面”的法向量或者说向量成与平面a正交.2.平面法向量的性质(1)平面“上的一个法向量垂直于平面“共面的所有向量；(2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行.三.用向量方法证明空间中的平行关系1.牺平行设直线4房的方向向量分别是'，5，则要证明4"《或4与"重合，只需要证明加,即M疗.2.线面平行(1)设直线，的方向向量是a,平面。
的法向量是元，要证明〃r/,只需要证明Sz；=o;(2)根据线面平行的判定定理：如果直线(平面夕卜)与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行；所以，要证明2直线和一个平面平行，也可以在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可；(3)根据共面向量定理可知：如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共面向量确定的平面一定平行.已知两个不共线向量名逡与平面“共面，一条直线］的一个方向向量为亍，则由共面向量定理，可得E或［在位内9存在两个实数W,使土戒+>£.3平行(1借能求出平面s月的法向量元足，要证明耻，只需要证明河即可.(2)由面面平行的判定定理：要证明面面平行,只要转化为相应的线面平行、线线平行即可，已知两个不共线的向量相与与平面“共面，则由两平面平行的判定与性质，得。
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∥∥b a b a ∥⇒三、“平行关系”常见证明方法
（一）直线与直线平行的证明
1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质
3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）：
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
4) 利用直线与平面平行的性质定理：
如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那
么这条直线和交线平行。
5) 利用平面与平面平行的性质定理：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
6) 利用直线与平面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线互相平行。
a
b
α
β
b
a a =⋂⊂βαβ
α∥b
a ∥⇒
b a b a ////⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
==γβγαβα β
α
⊥⊥b a b
a ∥⇒α
a
b
7) 利用平面内直线与直线垂直的性质：
在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点
（二）直线与平面平行的证明
1) 利用直线与平面平行的判定定理：
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
2) 利用平面与平面平行的性质推论：
两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。
3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点
（二）平面与平面平行的证明
常见证明方法：
1) 利用平面与平面平行的判定定理：
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
α
b
a
β
α
a
β
αα∥⊂a β
∥a ⇒b
∥a b a αα⊂⊄α
∥a ⇒
2) 利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等 3) 利用定义：两个平面没有公共点
三、“垂直关系”常见证明方法
（一）直线与直线垂直的证明
1) 利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。
2) 看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直。
3) 利用直线与平面垂直的性质：
如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。
4) 利用平面与平面垂直的性质推论：
如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。
α
αββ////∩⊂⊂b a P b a b a =α
β//⇒α
β
b
a
P
α
α
⊥⊂
b a a
b ⊥⇒α
a
b
5) 利用常用结论：
①
一条直线也垂直于第三条直线。
②
如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么这两条直线互相垂直。
（二）1) 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面
等
2) 看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂
直于此平面。
3) 利用直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。
l
b l a b a l ⊥⊥⊂⊂=⋂⊥β
αβαβαb
a ⊥⇒c
a b a ⊥∥c
b ⊥⇒b
a
l
αA
α⊥⇒⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫l b
l a l A b a b a ⊥⊥=⊂⊂ α
α b
α
α∥b a ⊥b
a ⊥⇒。