2018线性代数试卷A
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华南农业大学期末考试试卷（A 卷）
2017-2018 学年第2学期 考试科目：线性代数 考试类型：（闭卷）考试 考试时间：120分钟
学号 姓名 年级专业
T A 表示矩阵A 的转置矩阵，1A -表示矩阵A 的逆矩阵，A 表示方阵A 的行列式
, I
表示单位矩阵，O 表示零矩阵.
请直接在本试卷上作答。答案写在草稿纸上无效。
一. 选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题的选项中，只
有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内 1. 下列命题成立的是（ ）
(A) 若A O ≠，则0A ≠ （B ） 若0A ≠，则A O ≠； (C) 若AB AC =，则B C =； （D ） 若AB O =，则A O =或B O =
2. 已知n 阶行列式0A =，则下列表述正确的是（ ）
（A ）A 的秩为n ； （B ）A 可逆；
（C ）方程0AX =仅有零解； （D ）A 的行向量组线性相关
3．已知43⨯矩阵A 的列向量组线性无关，则T A 的秩等于( )
（A ）1 (B) 2 （C ）3 （D ）4
4．若矩阵A 与对角矩阵100010001D -⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭
相似，则
3A =（ ）
（A ） I （B ） D （C ） I - （D ） A
5. 设4阶矩阵A 的秩为3，
12,ηη为非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解，c 为任意常数，则该方程组的通解为（ ）
（A ）12
12c
ηηη-+ （B ）
12
12c ηηη-+
（C ）1212c ηηη++ （D ）1212c ηη
η++
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）
6. 2017201820182019
= ________________________________________________________．
7. 12123,,,,ααβββ均为4维列向量，1123(,,,)A αβββ=，2123(,,,)B αβββ=，
1A =，4B = ，则A B +=____________________________________________．
8. 已知方阵A ，且满足方程220A A I --=，则A 的逆矩阵1A -=_____________．
9. 2λ=为可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵1
312A -⎛⎫
⎪⎝⎭
有一个特征值________.
10. 若二次型()32212
3222132122,,x ax x x x x x x x x f ++++=是正定二次型，则a 的
取值范围是___________________________________________________________．
三、计算题（本大题共3小题，每小题8分，满分24分）
11. 设123231A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭, 301211B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭
, 求32A B -及T AB .
12. 计算行列式x a b c
a x
b c
a b x c +
+
+
.
13. 已知
100
110
111
A
-⎛⎫
⎪
=-
⎪
⎪
-
⎝⎭
，求1
A-.
四、解答题（本大题共5小题，满分41分）
14. (满分9分) 求下列向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用这个极大无关组线性表示
()()()()T T T T
12343,1,1,,1,1,3,2,1,5,,0,2,4αααα==-=-=-.
15. (满分10分) 设线性方程组
1234123412
342202132x x x x x x x x x x x x a
+--=⎧⎪
--+=⎨⎪+--=⎩
试确定a 的值，使方程组有解，并求出其全部的解.
16. (满分6分) 设T (6,2,2,10)α=-- ，T
(2,1,2,4)β=--，求
（1）α与β的距离αβ-； （2）α与β的内积[,]αβ ； （3）α与β的夹角θ.
17.（满分9分）设二次型222
12312313(,,)22f x x x x x x x x =+++，
(1) 求f 的矩阵A ; (2) 求矩阵A 的特征值; (3) 写出f 的标准型； (4) 写出f 的正惯性指标.
18. (满分7分) 设η为b AX =()0≠b 的一个解，12,,
,n r ξξξ-为对应齐次线性
方程组0=AX 的基础解系，证明12,,,,n r ξξξη-线性无关.