探寻神奇的幻方课件.
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综合与实践 探寻神奇的幻方(课件)-2023-2024学年七年级数学上册课堂教学精品系列(北师大版)
9个数分三组，每组“等差”，组组间“等差”
1.通过本节课的学习，你在知识方面都有那些收获？ 2.在解决本节 课三阶幻方填写问题的过程中，你经历了怎样的过程，总结了怎样的 问题解决的思路和方法，感悟到了哪些数学思想？积累了哪些数学活 动经验？ 3.在学习的过程中你自己参与活动的表现怎么样？其他同学 的发言和分享对你的学习有怎样的帮助和启发？
438 492 9 5 1⑦ 3 5 7⑧ 276 816
精析
a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3
为什么中间数字是幻和的三分之一？
设幻和为M 所以a1+b2+c3=M
a3+b2+c1=M b1+b2+b3=M 所以 (a1+b2+c3)+(a3+b2+c1)+(b1+b2+b3)=3 M 所以 (a1+b1+c1+a3+b3+c3)+3b2=3 M
1.下列各图是三阶幻方的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.“洛书”即三阶幻方,它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相
等,则幻方中a的值是（ ） A.5 B. 7 C.9 D.11
4 63 5
a
3.“洛书”即三阶幻方,它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相
等,则幻方中a的值是（ ）A.6 B. 12 C.18 D. 24
2 M +3b2=3 M 3b2= M
精练
请你将下面两组数分别填入3×3的方格中，使得每行、每列、每 条对角线上的三个数之和都相等。（1）- 4，- 3，-2，-1，0 ，1 ，2 ，3 ，4.（2） 2 ，4 ，6 ，8 ，10 ，12 ，14，16，18.
1.通过本节课的学习，你在知识方面都有那些收获？ 2.在解决本节 课三阶幻方填写问题的过程中，你经历了怎样的过程，总结了怎样的 问题解决的思路和方法，感悟到了哪些数学思想？积累了哪些数学活 动经验？ 3.在学习的过程中你自己参与活动的表现怎么样？其他同学 的发言和分享对你的学习有怎样的帮助和启发？
438 492 9 5 1⑦ 3 5 7⑧ 276 816
精析
a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3
为什么中间数字是幻和的三分之一？
设幻和为M 所以a1+b2+c3=M
a3+b2+c1=M b1+b2+b3=M 所以 (a1+b2+c3)+(a3+b2+c1)+(b1+b2+b3)=3 M 所以 (a1+b1+c1+a3+b3+c3)+3b2=3 M
1.下列各图是三阶幻方的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.“洛书”即三阶幻方,它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相
等,则幻方中a的值是（ ） A.5 B. 7 C.9 D.11
4 63 5
a
3.“洛书”即三阶幻方,它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相
等,则幻方中a的值是（ ）A.6 B. 12 C.18 D. 24
2 M +3b2=3 M 3b2= M
精练
请你将下面两组数分别填入3×3的方格中，使得每行、每列、每 条对角线上的三个数之和都相等。（1）- 4，- 3，-2，-1，0 ，1 ，2 ，3 ，4.（2） 2 ，4 ，6 ，8 ，10 ，12 ，14，16，18.
北师大版初中数学七上 综合与实践 -探索神奇的幻方 课件
●每行、每列、每条对角线上的三个数 之和分别是多少？你是如何计算的?
●能否改变上述幻方中数字的位置，使它 们仍然满足你发现的那些相等关系？
●在你所构造的幻方中，最核心的位置是 什么？有没有“成对”的数？
●你还有没有新的发现？
1、将2，3，4，5，6，7，8，9， 10填入到3×3的方格中，使得每 行、每列、每条对角线上的三个 数之和相等。
谢 谢！
合理安排时间，就等于节约时间。——培根 不要抱怨自己所处的环境，如果改变不了环境，那么就改变自己的心态。 不要试图交到一个完美的朋友，也不要交到很多朋友。 孩子，你是老师捧在手里的微笑。——王静 熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 当你跌到谷底时，那正表示，你只能往上，不能往下! 不过，一切纪律都当小心地施用，除了诱导学生去把他们的工作完全作好以外，没有别种目的。——夸美纽斯 在没有明智的家庭教育的地方，父母对孩子的爱只能使孩子变成畸形发展。这种变态的爱有许多种，其中主要的有”1娇纵的爱；2专横的爱； 3赎买式的爱。 世事喧嚣，人生寂寞。 青春如此华美，却在烟火在散场。 懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正敢的人才能所向披靡。 一个人的度量是一种精神力量，是一股强大的文明力量。 名人之所以能够成为名人，是因为他们在同伴嬉乐或休息时不停地攀登；凡人之所以成为凡人，是因为别人忙于攀登时他却安然入睡。
之和相等。
2.自行选取一组数构造一个三阶幻方,使得每 一行、每一列和对角线上的三数之和都等于 60.
B类 3.用1,3,5,10,12,14,19,21,23构造一个三阶 幻方。
A类 4.用25个数构造一个五阶幻方.
通过人们的研究， 发现幻方种类有许许多多…….
平方幻方
不仅具有一般幻方的 性质，而且它们（每 行、每列及每条对角 线上的数字）的平方 和也等于另外的定值。
《综合与实践：探寻神奇的幻方》课件
成对出现的数为：4与6，9与1，2与8，3与7。
为什么5必须放在中间? 为什么会有“成对”出现的数呢? 先独立思考，再组内交流，说说你的理由。
如图，将九个数字分别用 a,b,c,d,e,f,g,h,i来表示， ∵1-9这九个数的和为45 ∴每行、每列、每条对角线上的三个 数之和都是15，
即：a+e+i=15, c+e+g=15, b+e+h=15,
日一二三四 五 六 12345 6 7 8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
第2题
五、课后作业，拓展延伸 3.（选做题）自行选取一组数构造一个三阶幻方，
使得每行、每列和每条对角线上的三个数之和都 等于60.
每行、每列、每条对角线上的三个数之和都 是中心数的3倍。
（6）你还有什么新的发现？
二、合作探索，研究幻方 想一想，学以致用
在图中所示的两个广义的三阶幻方中分别给出了 3个数，你能将其余六个数填上吗？
3 4 -1 3个数的和=6
-6 -5 -10
-2 2 6 501
中心数=6÷3 3个数的和=6
492 357 816
abc de f gh i
三式相加得(a+b+c+i+g+h)+3e=45, 又∵ a+b+c=15, i+g+h=15,
∴ e=5
492
二、合作探索，研究幻方
357
816 （5）在如图所示的三阶幻方中，中心方格中的数5
与每行、每列和每条对角线上的三个数之和之间分
北师大版七年级上册数学 综合与实践 探寻神奇的幻方 课件(共15张PPT)
现的那些相等关系？
492 357 816
三阶幻方
探究二
自主学习、合作探究
4.在你构造的幻方中，最核心 位置是什么？在这个位置上出现的 数是几？它与相邻的其它两数的和 有什么关系？有没有“成对”的数？
5.你还有什么新的发现？
492 357 816
三阶幻方
探究三
七年级数学
幻和为15时为什么中间 的数一定是 5 呢?
19 11 15 8
15
8 1 6 15 3 5 7 15 4 9 2 15
15 15 15 15
探究二
自主学习、合作探究
在图中的三阶幻方中,
1.每行、每列、每条对角线
上的三个数之和分别是多少？
2.如果把和相等的每一组数
分别连线，这些线段会构成一个
怎样的图形？
3.你能否改变上述幻方中数
字的位置，使它们仍然满足你发
“洛书”传说
传说夏禹治水时，在黄河支流的洛水中浮出一 只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案，古人认 为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制伏。 他们发现，这个图案每一列、每一行及对角线加 起来的数字和都是一样的。后人称这个图案为 “洛书”。即现在的三阶幻方。
我国的幻方后来传到了国外，幻方多彩的变 幻特征吸引了许多国外的数学家们。从16、17世 纪到现在，全世界尤其是西方构造幻方非常盛行。
672 618 1 5 9③7 5 3④ 834 294
816 834 3 5 7⑤ 1 5 9⑥ 492 672
438 492 9 5 1⑦ 3 5 7⑧ 276 816
活动三
用三阶幻方游戏实验幻和为偶数的构 造方法是否和幻和为奇数的方法一样？
如：用2、3、4、5、6、7、8、9、10 构造幻方。
北师大版七年级上册数学综合与实践探寻神奇的幻方课件
幻方网站与博客 1.中国幻方 （幻方学会主席的博客） 2.幻立方博客 3.幻环研究博客 4.广州市幻方数棋科技网站---玩数棋 5.陈钦梧幻方世界
变化的是形式 不变的是规律 以不变应万变 就是数学奥秘
洛书故事
公元前三千多年，有条洛河经常发大水，皇帝夏
禹带领百姓去治理洛河，这时，从水中浮起一只大乌 如果你已经被“幻方知识”吸引，你可以
468 927
492 357
816
幻方中每一个数字都加同一个数，所得方格仍是幻方.
挑战自我 270
中级
第 2关
135 6 -1 4
492 357
816
幻方中每一个数字都减同一个数，所得方格仍是幻方.
挑战自我
中级
8 18 4
第 3关
6 10 14 16 2 12
492 357
816
幻方中每一个数字都乘同一个不为零的数，
挑战自我
高级
请你设计一个幻和为60的三阶幻方。
第 2关
挑战自我
高级
请你设计一个幻和为60的三阶幻方。
4+15 9+15 2+15
3+15 20 7+15
8+15 1+15 6+15
4×4 3×4
9×4
20
2×4 7×4
第 2关
8×4 1×4 6×4
总结收获：
一、幻方的智力开发功能。
围棋盘是一个19阶方阵，象棋盘是一个八 阶方阵(其将帅宫是一个三阶方阵)， 它们的 走法原理均同幻方的布局原理相关。
a+e+i+b+e+h+c+e+g=3m 幻方已应用于“建路”，“爵当曲线”，“七座桥”等的位置解析学及组合解析学中。
变化的是形式 不变的是规律 以不变应万变 就是数学奥秘
洛书故事
公元前三千多年，有条洛河经常发大水，皇帝夏
禹带领百姓去治理洛河，这时，从水中浮起一只大乌 如果你已经被“幻方知识”吸引，你可以
468 927
492 357
816
幻方中每一个数字都加同一个数，所得方格仍是幻方.
挑战自我 270
中级
第 2关
135 6 -1 4
492 357
816
幻方中每一个数字都减同一个数，所得方格仍是幻方.
挑战自我
中级
8 18 4
第 3关
6 10 14 16 2 12
492 357
816
幻方中每一个数字都乘同一个不为零的数，
挑战自我
高级
请你设计一个幻和为60的三阶幻方。
第 2关
挑战自我
高级
请你设计一个幻和为60的三阶幻方。
4+15 9+15 2+15
3+15 20 7+15
8+15 1+15 6+15
4×4 3×4
9×4
20
2×4 7×4
第 2关
8×4 1×4 6×4
总结收获：
一、幻方的智力开发功能。
围棋盘是一个19阶方阵，象棋盘是一个八 阶方阵(其将帅宫是一个三阶方阵)， 它们的 走法原理均同幻方的布局原理相关。
a+e+i+b+e+h+c+e+g=3m 幻方已应用于“建路”，“爵当曲线”，“七座桥”等的位置解析学及组合解析学中。
综合实践课程探寻神奇的幻方课件北师大版七年级数学上册
深入探究3
给定9个数，如何填写三阶幻方？
模型a：1 2 3 4 5 6 7 8 9
a-3：-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 2(a-3)：-4 -2 0 2 4 6 8 10 12
492 357 816
1 6 -1 024 5 -2 3
2 12 -2 048 10 -4 6
深入探究3
幻方的一般规律：
新课引入
洛书（九宫 图）
49 2
四海三山八仙 洞，
35 7 81 6
九龙王子一枝 莲。
二七六郎赏月 半，
河出图，洛出书，圣人则之。 ——《易·系辞周上围》十五月团 圆。
新课引入
幻方的定义：
一般地，一个n行n列的正方形方格中，每行、 每列和每条对角线上的数字和都相等，这样的数
字方阵称为n阶幻方。 其中这个数字和叫作幻和。
深入探究2
【总结归纳】给定9个数，如何填写三阶幻方？
（1）确定幻和：9数之和÷3 （2）确定中心数：幻和÷3 （3）确定数字配对 （4）确定数字分布
深入探究3
给定9个数，如何填写三阶幻方？
模型a：1 2 3 4 5 6 7 8 9 （1） -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 （2） -4 -2 0 2 4 6 8 10 12
分享交流：为什么中心数字一定是5？
1 2345678 9
深入探究2
分享交流：将1,2,3,4,5,6,7,8,9填在方格中构
成幻方，中心数填什么？
设9个数分别为 a b c
d ef gh i
用字母表示数 具有一般性！
则：(a+e+i)+（b+e+h）+（c+e+g）+（d+e+f）=15×4 (a+b+c+d+e+f+g+h+i)+3e=60 45+3e=60 e=5
探寻神奇的幻方ppt
展望
01
幻方在数学领域的应用
幻方作为一种具有特殊性质的矩阵，在数学领域有着广泛的应用。例
如，幻方可以用于解决一些线性代数、组合数学和图论等问题。
02 03
幻方在其他领域的应用
除了在数学领域的应用外，幻方还被广泛应用于其他领域，如计算机 科学、信息科学、物理学等。这些领域的研究者可以利用幻方的性质 来解决一些与实际生活相关的问题。
负数阶幻方的构造方法
负数阶幻方是一种由(-n)×(-n)个元素组成的正方 形矩阵，其中n为正整数。
中心法：将幻方划分为四个相等的子区域，每个 子区域包含(-n-1)/2×(-n-1)/2个元素。将每个子 区域的中心元素放置在幻方对应位置上，然后按 照规律填充其他元素。
奇数阶幻方构造方法可以扩展到负数阶幻方，只 需将阶数取相反数即可。
幻方可以用于解决组合问题，例如通过构造幻方，可以找到某 些组合问题的最优解。
幻方可以用于研究组合性质，例如通过观察幻方中的数字规律 ，可以揭示出一些组合性质和组合恒等式。
在几何学中的应用
01
几何学是研究形状、大小、位置和变化的数学分支。幻方作为一种几何结构， 在几何学中有着广泛的应用。
02
幻方可以用于研究几何形状的对称性和周期性，例如通过构造具有特定对称性 的幻方，可以找到某些几何形状的最优填充方式。
幻方可以用于研究代数结构和性质，例如通过 观察幻方中的数字规律，可以揭示出一些代数 结构和性质。
05
幻方在其他领域的应用
在计算机科学中的应用
程序设计和编码
幻方可以被用来检测程序的正确性和效率，因为它们具有完美的数学性质。例如 ，程序员可以使用幻方来检测算法的正确性，或者在编写代码时使用幻方来优化 代码结构。
探寻神奇的幻方ppt
❖按照纵横格数字的个数，可以分为三阶 幻方(九宫格）、四阶幻方、五阶幻方、六 阶幻方……
刚才的这个方格就是一个三阶幻方，又叫九宫格。
观察数字之间的关系，你发现了什么？
49 2 35 7 8 16
九宫之义 法以灵龟 二四为肩 六八为足 左三右七 戴九履一 五居中央
数字游戏
规则：
在空格处填上合适的数， 使各行、各列、各对角线上 的所有数字的和相等。
初级
中级
数字游戏
规则：
在空格处填上合适的数， 使各行、各列、各对角线上 的所有数字的和相等。
初级
中级
初级
第1 关
294
75 3
618
492 357 816
294 753 618
它们发生了怎样的变化？是通过 什么方式得到的？还可以怎样变 化？
—— 在旋转中看
294 753 618
旋转的研究方法
（4）幻方中每一个数先扩大相同的倍数， 再同时加、减同一个数所得方格仍是幻方.
1、 请你用1，4，7，10， 13，16，19，22，25这九个 数设计一个三阶幻方。
二四为肩 六八为足 左三右七 戴九履一 五居中央
2、 请你设计一个幻和为60 的三阶幻方。
高级
总结收获：
除了我们刚刚探究的三阶幻方 幻方的种类还有许许多多……
龟背上的这些数填到表格中，你 能发现什么？
49 2 35 7 8 16
每一行、每一列、每一条对角线上三个 数的和，有什么特点？
关于幻方
❖每行、每列、每条对角线上的几个数字的 和都相等的方格，叫“幻方”。把幻方中位 于对角线交点的数叫做中心数。
❖每行、每列或每条对角线上的几个数字的 和叫“幻和”。 ❖幻方，又称纵横图、奇方或方阵、魔阵等。
刚才的这个方格就是一个三阶幻方，又叫九宫格。
观察数字之间的关系，你发现了什么？
49 2 35 7 8 16
九宫之义 法以灵龟 二四为肩 六八为足 左三右七 戴九履一 五居中央
数字游戏
规则：
在空格处填上合适的数， 使各行、各列、各对角线上 的所有数字的和相等。
初级
中级
数字游戏
规则：
在空格处填上合适的数， 使各行、各列、各对角线上 的所有数字的和相等。
初级
中级
初级
第1 关
294
75 3
618
492 357 816
294 753 618
它们发生了怎样的变化？是通过 什么方式得到的？还可以怎样变 化？
—— 在旋转中看
294 753 618
旋转的研究方法
（4）幻方中每一个数先扩大相同的倍数， 再同时加、减同一个数所得方格仍是幻方.
1、 请你用1，4，7，10， 13，16，19，22，25这九个 数设计一个三阶幻方。
二四为肩 六八为足 左三右七 戴九履一 五居中央
2、 请你设计一个幻和为60 的三阶幻方。
高级
总结收获：
除了我们刚刚探究的三阶幻方 幻方的种类还有许许多多……
龟背上的这些数填到表格中，你 能发现什么？
49 2 35 7 8 16
每一行、每一列、每一条对角线上三个 数的和，有什么特点？
关于幻方
❖每行、每列、每条对角线上的几个数字的 和都相等的方格，叫“幻方”。把幻方中位 于对角线交点的数叫做中心数。
❖每行、每列或每条对角线上的几个数字的 和叫“幻和”。 ❖幻方，又称纵横图、奇方或方阵、魔阵等。
(完整版)《探寻神奇的幻方》优质课件
28 4 3 31 35 10 36 18 21 24 11 1 7 23 12 17 22 30 8 13 26 19 16 29 5 20 15 14 25 32 27 33 34 6 2 9
• 百子回归碑是一幅十阶幻方，中央四数连读即 “ 1999 · 12 · 20 ”，标示澳门回归日。百子回 归碑是一部百年澳门简史，可查阅四百年来澳门 沧桑巨变的重大历史事件以及有关史地、人文资 料等。
-1 4 -3
8 18 4
10 25 4
-2 0 2
6 10 14
7 13 19
3 -4 1
16 2 12
22 1 16
想一想：各组的9个数与原来9个数有什么关系？ 这9个数可以由原来9个数怎么变过来？
活动三：开动脑筋
（1）请各组再列举出九个数，将它们填到3×3 的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的 三个数之和相等.
• 如中间两列上部（系十九世纪）：“ 1887 ”年 《中葡条约》正式签署，从此成为葡人上百年 （距今 100 余 13 年）“永久管理澳门”的法律 依据。又如中间两列下部（系二十世纪）： “ 49 ”年中华人民公和国成立，从此中国人民 站起来了；“ 97 ”年香港回归祖国。
• 第一列和第六列中六个数的平方和也相等： 282+362+72+82+52+272=2947 102+12+302+292+322+92=2947
而一般的幻方根本不具有这个特性.
• 第二，这个幻方去掉最 外面一层，中间剩下的 部分仍然是一个四阶幻 方。这个四阶幻方由 11 到 26 这 16 个数组成， 其每行，每列及两条对 角线上的 4 个数之和都 是 74 。更为奇特的是， 这个4阶幻方还是一个完 美幻方。即各条泛对角 线上的4个数之和也都是 74 。
探寻神奇的幻方 PPT课件 1 北师大版
9
可以用九宫之义来说明这九个 数字的填法 10 6
3
它与幻和 的关系
第
1
关 4 9 2 3 5 7 8 1 6
8 7
2
理由：幻方中每一个数字都加同一个数，所得 方格仍是幻方.
中级
2
1
7它与幻和 0
的关系
第
2
关 4 9 2 3 5 7 8 1 6
3
-1
5
6
4
理由：幻方中每一个数字都减同一个数，所得 方格仍是幻方.
探究二： 刚才的这个方格就是一个三阶幻方，又叫九宫格。
观察数字之间的关系，你发现了什么？
4 3 8 9 5 1
九宫之义 法以灵龟 二四为肩 六八为足 左三右七 戴九履一 五居中央
2
7 6
数字游戏
规则：
在空格处填上合适的数， 使各行、各列、各对角线上 的所有数字的和相等。
初级
中级
数字游戏
规则：
在空格处填上合适的数， 使各行、各列、各对角线上 的所有数字的和相等。
综合与实践一
数学北师大版七年级上册
探寻神奇的幻方
洛书故事
洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源。 公元前三千多年， 有条洛河经常发大水，皇帝夏禹带领百姓去治理洛河，这 时，从水中浮起一只大乌龟，背上有奇特的图案,献给大禹。 大禹依此治水成功，遂划天下为九州。
你们知道龟背上的数字各是多少吗？ 你能把它们填到空格里吗？
（4）幻方中每一个数先扩大相同的倍数， 再同时加、减同一个数所得方格仍是幻方.
练习
1、 请你用1，4，7，10， 13，16，19，22，25这九个 数设计一个三阶幻方。
二四为肩 六八为足 左三右七 戴九履一 五居中央
可以用九宫之义来说明这九个 数字的填法 10 6
3
它与幻和 的关系
第
1
关 4 9 2 3 5 7 8 1 6
8 7
2
理由：幻方中每一个数字都加同一个数，所得 方格仍是幻方.
中级
2
1
7它与幻和 0
的关系
第
2
关 4 9 2 3 5 7 8 1 6
3
-1
5
6
4
理由：幻方中每一个数字都减同一个数，所得 方格仍是幻方.
探究二： 刚才的这个方格就是一个三阶幻方，又叫九宫格。
观察数字之间的关系，你发现了什么？
4 3 8 9 5 1
九宫之义 法以灵龟 二四为肩 六八为足 左三右七 戴九履一 五居中央
2
7 6
数字游戏
规则：
在空格处填上合适的数， 使各行、各列、各对角线上 的所有数字的和相等。
初级
中级
数字游戏
规则：
在空格处填上合适的数， 使各行、各列、各对角线上 的所有数字的和相等。
综合与实践一
数学北师大版七年级上册
探寻神奇的幻方
洛书故事
洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源。 公元前三千多年， 有条洛河经常发大水，皇帝夏禹带领百姓去治理洛河，这 时，从水中浮起一只大乌龟，背上有奇特的图案,献给大禹。 大禹依此治水成功，遂划天下为九州。
你们知道龟背上的数字各是多少吗？ 你能把它们填到空格里吗？
（4）幻方中每一个数先扩大相同的倍数， 再同时加、减同一个数所得方格仍是幻方.
练习
1、 请你用1，4，7，10， 13，16，19，22，25这九个 数设计一个三阶幻方。
二四为肩 六八为足 左三右七 戴九履一 五居中央
探寻神奇的幻方(课件)-2023-2024学年北师大版六年级下册数学
课堂小结
这节课，我们由远古时代的重大发现 出发，一起探究了神奇的幻方，感受了我 们祖先伟大的智慧和创造力，我们中华文 明源远流长，作为新时代的青少年学习了 这一课，你一定收获很多，让我们畅所欲 言吧。
经过这一路的探索，我们都做了很多。
其实，我们每个人都是我们民族优秀文化 的传承人，让我们肩负起传承民族文明优 秀文化的使命，将敢于探索的精神发扬到 我们的学习、生活中去。
834 159 672
816 357 492
294 753 618
438 951 276
672 159 834
276 951 438
合作研学
4、在你构造的 幻方中，最核心位 置的数是什么？有 没有“成对”的数 ？
492 357 816
5、你还有什么新的发现？Fra bibliotek勇于尝试
1.补全以下两个幻方
10 5 4 11 6 7
基础作业 1.将-3，-2，-1,0,1,2,3,4,5,填入到3×3的方格中，使得每行、每
列、每条对角线的三个数之和相等。 2.自行选取一组数构造一个三阶幻方，使得每行、每列、每条
对角线的三个数之和都等于60.
能力作业 用1,3,5,10,12,14,19,21,23构造一个三阶幻方。
素养作业 用25个数构造一个五阶幻方。
492 357 816
合作研学
2、如果把和相等 的每一组数分别连 线，这些连线段会 构成一个怎样的图 形？描述你得到的 图形有什么特点？
492 357 816
合作研学
3、你能否改变上述幻方中数 字的位置，使它们依然是一个 三阶幻方？
492 357 816
492 357 816
618 753 294
北师大版初中数学七年级上 册 综合与实践 -探索神奇的幻方 课件
里，使之成为幻方.
2.在下列各图的空格里，填上合适的数，使横行、竖列及两
条对角线上三个数的和都相等.
438
六、拓展
1.将5个2和4个-2这九个数填入3×3的方格里，使得每行、每列、 两条对角线的三个数的乘积都是8. 2.将 12，11 ，10 ，9 ，8 ，7 ，6 ，5 ， 4，3 ，2 ，1 ， 0 ， -1，-2 ，-3 ，-4 ，-5 ，-6 ，-7 ，-8 ，-9 ， -10，
九子斜排
9
3
7
1
九子斜排 上下对易 左右更替 四维挺出
1.请把9个数字 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0，-1，-2 填
在3×3的方格中构成三阶幻方.
-2 -1 6 1 0 4 20 4
阶梯法步骤： 1.排序， 2.画图，
3 -2 5
3.斜排， 4.归位.
6
2、请把9个数字 -8, 8 , -6，6 -4, 4，-2, 0, 2,
294 753 618
三、幻方的应用
数独是一种数学游戏。玩 家需要根据9×9盘面上的已知 数字，推理出所有剩余空格的 数字，并满足每一行、每一列 、每一个粗线宫（3×3）内的 数字均含1-9，不重复.
数独游戏
45
19 99 12 20
97 49
8 16 357 49 2
③
读书人生
八科一生学六回， 三书五经读七春； 四年九创书二本， 读书人生奏强音 .
-11，-12这25个数分别填入6×6的方格中，构成五阶幻方．
只要你在路上，就不要放弃前进的勇气，走走停停的生活会一直继续。 如果为了安全而不和大海在一起，船就失去了存在的意义。 这个世界并不在乎你的自尊，只在乎你做出来的成绩，然后再去强调你的感受。 命是弱者的借口，运是强者的谦辞，辉煌肯定有，就看怎么走。 为了你，很多事我不一定会，但我在努力学。 年轻是我们唯一拥有权利去编织梦想的时光。 受惠的人，必须把那恩惠常藏心底，但是施恩的人则不可记住它。--西塞罗 人生道路，绝大多数人，绝大多数时候，人都只能靠自己。 世上的事就是这样：只要你以积极的态度，勇敢的面对，脚踏实地的努力奋斗，成功就会与你如影随形！我渴望你能成功！——李慎奇 过去不等于未来。 当无事时，应该像有事那样谨慎，当有事时，应像无事时那样镇静。因为漫长的旅途中，实在难以完全避免崎岖和坎坷。 路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原
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• 如中间两列上部（系十九世纪）：“ 1887 ”年 《中葡条约》正式签署，从此成为葡人上百年 （距今 100 余 13 年）“永久管理澳门”的法律 依据。又如中间两列下部（系二十世纪）： “ 49 ”年中华人民共和国成立，从此中国人民 站起来了；“ 97 ”年香港回归祖国。
• 1977年，美国发射了旅行者1号和2号宇宙 飞船，试图与“外星人”建立联系。如何 使地外智慧生命理解地球人的意思，这是 个很困难的事情，世界各国的人们纷纷献 计献策，美国宇航局采纳了其中一些。最 后飞船上携带有两件与数学有关的东西， 一个是勾股数，另一个是一个4阶幻方，这 个幻方，是耆那幻方(Jaina Square) 。
综合与实践
故事
从前 ，有条洛河经常发大水，皇帝夏禹带领百姓去 治理洛河，这时，从水中浮起一只大乌龟，背上有奇 特的图案.
龟背上的图案是 什么意思呢？
龟背上的这些数填到表格中。
洛书
49 2 35 7 8 16
三阶幻方
学习目标
1、运用有理数混合运算，字母表示数及其运算， 探索三阶幻方的特征.
2、经历探索三阶幻方的本质特征，体会类比、归 纳及数形结合的思想，提高探索规律的能力。
课后作业
1.自行选取一组数构造一个三阶幻方,使得每一 行、每一列和对角线上的三数之和都等于60.
*2.用25个数构造一个五阶幻方. *3.本课时给出的数，从小到大排列，好像都是
等距的,不“等距”的9个数能否构成三阶幻方 呢？
幻方趣闻
• 百子回归碑是一幅十阶幻方，中央四数连读即 “ 1999 · 12 · 20 ”，标示澳门回归日。百子回 归碑是一部百年澳门简史，可查阅四百年来澳门 沧桑巨变的重大历史事件以及有关史地、人文资 料等。
构造幻方方法介绍
杨辉法 口诀：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。
把1，2，3…9这9个数填入3×3的方格里,变成三阶幻方
1 42 7 53 86
9
9 42
三阶幻方有技巧,
3 5 7 3数斜着先排好,
86 1
上下左右要交换, 然后各自归位了!
换位
归位
课堂小结
通过本节课的学习，你有那些收获？ （1）（三阶）幻方的概念. （2）幻方的特点. （3）能形成幻方的数据的特点和填入方格的方法.
672 618 1 5 9③7 5 3④ 834 294
816 834 3 5 7⑤ 1 5 9⑥ 492 672
438 492 9 5 1⑦ 3 5 7⑧ 276 816
归纳三阶幻方中的规律
1、每行、每列、每条对角线上的三个数 的和相等，都等于幻和。
2、9个数的中位数在幻方的中心位置。
3、幻和为中位数（幻方中心数）的3倍。
• 耆那幻方是在印度哈 周拉合市(Khajuraho) 的耆那教寺庙门前一 块石牌上刻的，是12 －13世纪的产物。它 的任何2×2的方块内 的4个数字和也是34。
7 12 1 14 2 13 8 11 16 3 10 5 9 6 15 4
《射雕英雄传》第29和31回
（瑛姑）双手捧头，苦苦思索，过了一会，忽 然抬起头来，脸有喜色，道：“你的算法自然精 我百倍，可是我问你：将一至九这九个数字排成 三列，不论纵横斜角，每三字相加都是十五，如 何排法？”黄蓉心想：“我爹爹经营桃花岛，五 行生克之变，何等精奥？这九宫之法是桃花岛阵 图的根基，岂有不知之理？”当下低声诵道： “九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足， 左三右七，戴九履一，五居中央。”边说边画， 在沙上画了一个九宫之图。那女子面如死灰。
(1)每行、每列、每条对角线上的三个数的 和相等，都等于幻和。
(2） 幻和等于幻方中心数的三倍。
（3）中心数的左 右、上下、对角线上的两数 的和等于中心数的2 倍 。
(4)角上的数字等于对角相邻两数字和的一半。
2、如果把和相等的每一组数分别连线，和这 些线段会构成一个怎样的图形？每个格有几条 线段经过？
3、通过学习感受数学之美以及祖国文化的博大精 深，增强民族自豪感。
1、幻方的概念（三阶幻方）
每行、每列、每条对角线上的数字的和都相等的方格， 叫“幻方”.它们的和叫幻和，幻方中所有的数叫幻数。
2、幻方的分类
按照行列各有数字的个数，可以分为： 三阶幻方、四阶幻方、五阶幻方、 六阶幻方……
练习1 它们是幻方么？你怎样来判别？
• 3、你能否改变上述幻方中数字的位置，使 它们仍然满足你发现的那些相等关系？
• 4、在你构造的幻方中，最核心位置是什么 ？在这个位置上出现的数是几？有没有“ 成对”出现的数？
• 5、你还有什么新的发现?
—— 在旋转中看
294 753 618
旋转的研究方法
294 276 7 5 3①9 5 1② 618 438
4、每对数的和是幻方中心数的2倍，每 对数的连线都过幻方的“中心”。
5、角上的数字=对角相邻两数字之和÷2
应用拓展：
完成下列三阶幻方
（1）
12
11
18
（2） 9 10 5
(3) 3
17
1
• 探究二
• 想一想：你认为怎样的九个数可以满足三阶幻 方？应怎样把九个数填 入幻方？结合你填好 的幻方说说你的理由。
20 2 6 7 15 8 4 3 15
15 8 1 6 15 3 5 2 15
19 11 15 11 不是
15 15 15 15 是
根据每行、每列、斜着的三个数的和是否都相 等判断是不是幻方.
探究一：三阶幻方的特征
492 357 816
三阶幻方
在图中的三阶幻方中
1、每行、每列、每条对角线上的三个数之和 分别是多少？你能发现哪些相等的关系？
• 1977年，美国发射了旅行者1号和2号宇宙 飞船，试图与“外星人”建立联系。如何 使地外智慧生命理解地球人的意思，这是 个很困难的事情，世界各国的人们纷纷献 计献策，美国宇航局采纳了其中一些。最 后飞船上携带有两件与数学有关的东西， 一个是勾股数，另一个是一个4阶幻方，这 个幻方，是耆那幻方(Jaina Square) 。
综合与实践
故事
从前 ，有条洛河经常发大水，皇帝夏禹带领百姓去 治理洛河，这时，从水中浮起一只大乌龟，背上有奇 特的图案.
龟背上的图案是 什么意思呢？
龟背上的这些数填到表格中。
洛书
49 2 35 7 8 16
三阶幻方
学习目标
1、运用有理数混合运算，字母表示数及其运算， 探索三阶幻方的特征.
2、经历探索三阶幻方的本质特征，体会类比、归 纳及数形结合的思想，提高探索规律的能力。
课后作业
1.自行选取一组数构造一个三阶幻方,使得每一 行、每一列和对角线上的三数之和都等于60.
*2.用25个数构造一个五阶幻方. *3.本课时给出的数，从小到大排列，好像都是
等距的,不“等距”的9个数能否构成三阶幻方 呢？
幻方趣闻
• 百子回归碑是一幅十阶幻方，中央四数连读即 “ 1999 · 12 · 20 ”，标示澳门回归日。百子回 归碑是一部百年澳门简史，可查阅四百年来澳门 沧桑巨变的重大历史事件以及有关史地、人文资 料等。
构造幻方方法介绍
杨辉法 口诀：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。
把1，2，3…9这9个数填入3×3的方格里,变成三阶幻方
1 42 7 53 86
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三阶幻方有技巧,
3 5 7 3数斜着先排好,
86 1
上下左右要交换, 然后各自归位了!
换位
归位
课堂小结
通过本节课的学习，你有那些收获？ （1）（三阶）幻方的概念. （2）幻方的特点. （3）能形成幻方的数据的特点和填入方格的方法.
672 618 1 5 9③7 5 3④ 834 294
816 834 3 5 7⑤ 1 5 9⑥ 492 672
438 492 9 5 1⑦ 3 5 7⑧ 276 816
归纳三阶幻方中的规律
1、每行、每列、每条对角线上的三个数 的和相等，都等于幻和。
2、9个数的中位数在幻方的中心位置。
3、幻和为中位数（幻方中心数）的3倍。
• 耆那幻方是在印度哈 周拉合市(Khajuraho) 的耆那教寺庙门前一 块石牌上刻的，是12 －13世纪的产物。它 的任何2×2的方块内 的4个数字和也是34。
7 12 1 14 2 13 8 11 16 3 10 5 9 6 15 4
《射雕英雄传》第29和31回
（瑛姑）双手捧头，苦苦思索，过了一会，忽 然抬起头来，脸有喜色，道：“你的算法自然精 我百倍，可是我问你：将一至九这九个数字排成 三列，不论纵横斜角，每三字相加都是十五，如 何排法？”黄蓉心想：“我爹爹经营桃花岛，五 行生克之变，何等精奥？这九宫之法是桃花岛阵 图的根基，岂有不知之理？”当下低声诵道： “九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足， 左三右七，戴九履一，五居中央。”边说边画， 在沙上画了一个九宫之图。那女子面如死灰。
(1)每行、每列、每条对角线上的三个数的 和相等，都等于幻和。
(2） 幻和等于幻方中心数的三倍。
（3）中心数的左 右、上下、对角线上的两数 的和等于中心数的2 倍 。
(4)角上的数字等于对角相邻两数字和的一半。
2、如果把和相等的每一组数分别连线，和这 些线段会构成一个怎样的图形？每个格有几条 线段经过？
3、通过学习感受数学之美以及祖国文化的博大精 深，增强民族自豪感。
1、幻方的概念（三阶幻方）
每行、每列、每条对角线上的数字的和都相等的方格， 叫“幻方”.它们的和叫幻和，幻方中所有的数叫幻数。
2、幻方的分类
按照行列各有数字的个数，可以分为： 三阶幻方、四阶幻方、五阶幻方、 六阶幻方……
练习1 它们是幻方么？你怎样来判别？
• 3、你能否改变上述幻方中数字的位置，使 它们仍然满足你发现的那些相等关系？
• 4、在你构造的幻方中，最核心位置是什么 ？在这个位置上出现的数是几？有没有“ 成对”出现的数？
• 5、你还有什么新的发现?
—— 在旋转中看
294 753 618
旋转的研究方法
294 276 7 5 3①9 5 1② 618 438
4、每对数的和是幻方中心数的2倍，每 对数的连线都过幻方的“中心”。
5、角上的数字=对角相邻两数字之和÷2
应用拓展：
完成下列三阶幻方
（1）
12
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• 探究二
• 想一想：你认为怎样的九个数可以满足三阶幻 方？应怎样把九个数填 入幻方？结合你填好 的幻方说说你的理由。
20 2 6 7 15 8 4 3 15
15 8 1 6 15 3 5 2 15
19 11 15 11 不是
15 15 15 15 是
根据每行、每列、斜着的三个数的和是否都相 等判断是不是幻方.
探究一：三阶幻方的特征
492 357 816
三阶幻方
在图中的三阶幻方中
1、每行、每列、每条对角线上的三个数之和 分别是多少？你能发现哪些相等的关系？