大一高数试题及答案[1]资料

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大一(第一学期)高数期末考试题及答案

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .(A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导。

2. )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα。

(A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无穷小;(C)()x α是比()x β高阶的无穷小; (D)()x β是比()x α高阶的无穷小。

3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则( )。

(A)函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值;(C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设(A)22x (B )222x+(C )1x - (D )2x +。

二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. =+→xx x sin 2)31(l i m 。

6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin -dx xx x .三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y 。

高数b1大一期末试题及答案

高数b1大一期末试题及答案

高数b1大一期末试题及答案一、选择题(每题4分,共20分)1. 函数f(x)=x^3-3x+1在区间(-∞,+∞)上是:A. 递增函数B. 递减函数C. 先递减后递增D. 先递增后递减答案:C2. 设函数f(x)=x^2-4x+c,若f(x)在[0,2]上是增函数,则c的取值范围是:A. c≥0B. c≤0C. c≥4D. c≤4答案:C3. 极限lim(x→0) (sinx/x)的值是:A. 0B. 1C. -1D. 不存在答案:B4. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率是:A. 2B. 1C. 0D. -1答案:A5. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6,若f(x)在(1,2)内有唯一的零点,则该零点是:A. 1B. 2C. 3/2D. 1/2答案:C二、填空题(每题4分,共20分)1. 设函数f(x)=x^2-2x+3,f(1)=____。

答案:22. 函数y=ln(x)的导数是y'=____。

答案:1/x3. 设数列{an}满足a1=1,an+1=2an,则数列{an}的通项公式为an=____。

答案:2^(n-1)4. 曲线y=x^3-3x+1在x=1处的切线方程是y=____。

答案:3x-25. 设函数f(x)=x^3-3x+1,f'(x)=____。

答案:3x^2-3三、解答题(每题10分,共60分)1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间(1,2)内的零点。

答案:令f(x)=0,解得x=3/2,所以零点为3/2。

2. 求曲线y=x^3-3x+1在点(1,1)处的切线方程。

答案:首先求导数f'(x)=3x^2-3,代入x=1得到f'(1)=0。

切点为(1,1),所以切线方程为y=1。

3. 求极限lim(x→0) (e^x-1)/x。

答案:令f(x)=(e^x-1)/x,求导得到f'(x)=e^x/x-(e^x-1)/x^2。

(整理)大一高数试题及答案[1].

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大一高数试题及答案一、填空题(每小题1分,共10分)________ 11.函数y=arcsin√1-x2+────── 的定义域为_________√1-x2_______________。

2.函数y=x+ex上点(0,1)处的切线方程是______________。

f(Xo+2h)-f(Xo-3h)3.设f(X)在Xo可导且f'(Xo)=A,则lim───────────────h→o h= _____________。

4.设曲线过(0,1),且其上任意点(X,Y)的切线斜率为2X,则该曲线的方程是____________。

x5.∫─────dx=_____________。

1-x416.limXsin───=___________。

x→∞ X7.设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。

_______R √R2-x28.累次积分∫ dx∫ f(X2+Y2)dy化为极坐标下的累次积分为____________。

0 0d3y3d2y9.微分方程─── +──(─── )2的阶数为____________。

dx3xdx2∞ ∞10.设级数∑ an发散,则级数∑ an _______________。

n=1 n=1000二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的()内,1~10每小题1分,11~20每小题2分,共30分)(一)每小题1分,共10分11.设函数f(x)=── ,g(x)=1-x,则f[g(x)]=()x111①1-── ②1+── ③ ──── ④xxx1-x12.x→0 时,xsin──+1是()x①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量3.下列说法正确的是()①若f( X )在 X=Xo连续,则f( X )在X=Xo可导②若f( X )在 X=Xo不可导,则f( X )在X=Xo不连续③若f( X )在 X=Xo不可微,则f( X )在X=Xo极限不存在④若f( X )在 X=Xo不连续,则f( X )在X=Xo不可导4.若在区间(a,b)内恒有f'(x)〈0,f"(x)〉0,则在(a,b)内曲线弧y=f(x)为()①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧5.设F'(x) =G'(x),则()① F(X)+G(X) 为常数② F(X)-G(X) 为常数③ F(X)-G(X) =0dd④ ──∫F(x)dx=──∫G(x)dxdxdx16.∫ │x│dx=()-1① 0② 1③ 2④ 37.方程2x+3y=1在空间表示的图形是()①平行于xoy面的平面②平行于oz轴的平面③过oz轴的平面④直线x8.设f(x,y)=x3+y3+x2ytg── ,则f(tx,ty)=()y①tf(x,y)②t2f(x,y)1③t3f(x,y)④ ──f(x,y)t2an+1∞9.设an≥0,且lim───── =p,则级数∑an()n→∞ a n=1①在p〉1时收敛,p〈1时发散②在p≥1时收敛,p〈1时发散③在p≤1时收敛,p〉1时发散④在p〈1时收敛,p〉1时发散10.方程y'+3xy=6x2y是()①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程③可分离变量的微分方程④二阶微分方程(二)每小题2分,共20分11.下列函数中为偶函数的是()①y=ex②y=x3+1③y=x3cosx④y=ln│x│12.设f(x)在(a,b)可导,a〈x1〈x2〈b,则至少有一点ζ∈(a,b)使()①f(b)-f(a)=f'(ζ)(b-a)②f(b)-f(a)=f'(ζ)(x2-x1)③f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(b-a)④f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(x2-x1)13.设f(X)在 X=Xo 的左右导数存在且相等是f(X)在 X=Xo 可导的()①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件d14.设2f(x)cosx=──[f(x)]2,则f(0)=1,则f(x)=()dx①cosx②2-cosx③1+sinx④1-sinx15.过点(1,2)且切线斜率为4x3的曲线方程为y=()①x4②x4+c③x4+1④x4-11 x16.lim─── ∫ 3tgt2dt=()x→0 x3 01① 0② 1③ ── ④ ∞3xy17.limxysin───── =()x→0 x2+y2y→0① 0② 1③ ∞ ④ sin118.对微分方程y"=f(y,y'),降阶的方法是()① 设y'=p,则y"=p'dp② 设y'=p,则y"=───dydp③设y'=p,则y"=p───dy1dp④ 设y'=p,则y"=── ───pdy∞ ∞19.设幂级数∑ anxn在xo(xo≠0)收敛,则∑ anxn在│x│〈│xo│()n=o n=o①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与an有关sinx20.设D域由y=x,y=x2所围成,则∫∫ ─────dσ=()D x1 1 sinx① ∫ dx∫ ───── dy0 x x__1 √y sinx② ∫ dy∫ ─────dx0 y x__1 √x sinx③ ∫ dx∫ ─────dy0 x x__1 √x sinx④ ∫ dy∫ ─────dx0 x x三、计算题(每小题5分,共45分)___________/x-11.设y=/────── 求y' 。

大一高数试题及答案

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大一高数试题及答案一、选择题(每题4分,共20分)1. 函数f(x)=x^2在区间(-∞, +∞)上的单调性是:A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减答案:A2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是:A. 0B. 1C. -1D. ∞答案:B3. 函数f(x)=x^3-3x+1的极值点是:A. x=1B. x=-1C. x=0D. x=2答案:A4. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率是:A. 0B. 1C. 2D. -2答案:C5. 曲线y=e^x与直线y=ln x的交点个数是:A. 0B. 1C. 2D. 3答案:B二、填空题(每题4分,共20分)1. 函数f(x)=x^2-4x+3的最小值是________。

答案:-12. 极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^3+2x^2-5)的值是________。

答案:03. 函数f(x)=x^3+2x^2-5x+1的驻点是________。

答案:x=-3或x=14. 曲线y=ln x在点(1,0)处的切线方程是________。

答案:y=x-15. 曲线y=e^x与y=x^2的交点坐标是________。

答案:(0,1)和(1,e)三、计算题(每题10分,共30分)1. 求极限lim(x→0) [(x^2+1)/(x-1)]。

答案:-12. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值。

答案:极小值点x=1,极小值f(1)=0;极大值点x=3,极大值f(3)=4。

3. 求曲线y=x^2-4x+3在x=2处的切线方程。

答案:y=-x+1四、证明题(每题15分,共15分)证明:函数f(x)=x^3在区间(-∞, +∞)上是单调递增的。

答案:略五、应用题(每题15分,共15分)1. 某工厂生产一种产品,其成本函数为C(x)=0.01x^2+0.5x+100,其中x为生产量(单位:千件)。

求该产品的成本最低时的生产量。

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

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页眉内容大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .(A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导.2. )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.(A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无穷小;(C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则( ).(A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值;(C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设(A )22x (B )222x +(C )1x - (D )2x +.二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin -dx xx x .三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. . 求,, 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续,=⎰10()()g x f xt dt,且→=0()limx f x A x ,A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题(本大题10分)14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ,过点(,)01,且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分)15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ;(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减,证明对任意的[,]∈01q ,1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续,且)(0=⎰πx d x f ,cos )(0=⎰πdx x x f .证明:在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ,使.0)()(21==ξξf f (提示:设⎰=xdxx f x F 0)()()解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 解:方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==,(0)1y '=-10. 解:767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解:101233()2x f x dx xe dx x x dx---=+-⎰⎰⎰123()1(1)xxd e x dx--=-+--⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解:由(0)0f =,知(0)0g =。

高数(大一上)期末试题及答案

高数(大一上)期末试题及答案

高数(大一上)期末试题及答案第一学期期末考试试卷(1)课程名称:高等数学(上)考试方式:闭卷完成时限:120分钟班级:学号:姓名:得分:一、填空(每小题3分,满分15分)1.lim (3x^2+5)/ (5x+3x^2) = 02.设 f''(-1) = A,则 lim (f'(-1+h) - f'(-1))/h = A3.曲线 y = 2e^(2t) - t 在 t = 0 处切线方程的斜率为 44.已知 f(x) 连续可导,且 f(x)。

0,f(0) = 1,f(1) = e,f(2) = e,∫f(2x)dx = 1/2ex,则 f'(0) = 1/25.已知 f(x) = (1+x^2)/(1+x),则 f'(0) = 1二、单项选择(每小题3分,满分15分)1.函数 f(x) = x*sinx,则 B 选项为正确答案,即当x → ±∞ 时有极限。

2.已知 f(x) = { e^x。

x < 1.ln x。

x ≥ 1 },则 f(x) 在 x = 1 处的导数不存在,答案为 D。

3.曲线 y = xe^(-x^2) 的拐点是 (1/e。

1/(2e)),答案为 C。

4.下列广义积分中发散的是 A 选项,即∫dx/(x^2+x+1)在区间 (-∞。

+∞) 内发散。

5.若 f(x) 与 g(x) 在 (-∞。

+∞) 内可导,且 f(x) < g(x),则必有 B 选项成立,即 f'(x) < g'(x)。

三、计算题(每小题7分,共56分)1.lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)sinx)lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)/x)*x*cosxlim x(e^(2x)-e^(-x))/(sinx/x)*cosxlim (2e^(2x)+e^(-x))/(cosx/x)应用洛必达法则)2.lim {arcsin(x+1) + arcsin(x-1) - 2arcsin(x)}/xlim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - 2arcsin(x)/√(1+x^2)}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x+1)^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x-1)^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)]} π/2 (应用洛必达法则)3.y = y(x) 由 x + y - 3 = 0 确定,即 y = 3 - x,因此 dy/dx = -1.4.f(x) = arctan(2x-9) - arctan(x-3) 的导数为 f'(x) = 1/[(2x-9)^2+1] - 1/[(x-3)^2+1],因此 f'(x)。

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大一高数试题及答案一、填空题(每小题1分,共10分)1.函数 的定义域为______________________。

22111arcsin xx y -+-= 2.函数上点( 0,1 )处的切线方程是______________。

2e x y += 3.设f(X )在可导,且,则0x A (x)f'=hh x f h x f h )3()2(lim000--+→= _____________。

4.设曲线过(0,1),且其上任意点(x ,y )的切线斜率为2x ,则该曲线的方程是____________。

5._____________。

=-⎰dx xx41 6.__________。

=∞→xx x 1sinlim 7.设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。

9.微分方程的阶数为____________。

22233)(3dx y d x dxy d + ∞ ∞10.设级数 ∑ an 发散,则级数 ∑ an _______________。

n=1 n=1000二、单项选择题。

(1~10每小题1分,11~20每小题2分,共30分)1.设函数则f[g(x)]= ( ) x x g xx f -==1)(,1)( ① ② ③ ④xx 11-x 11-x -112.是 ( )11sin +xx ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量3.下列说法正确的是 ( )①若f( X )在 X =Xo 连续, 则f( X )在X =Xo 可导 ②若f( X )在 X =Xo 不可导,则f( X )在X =Xo 不连续 ③若f( X )在 X =Xo 不可微,则f( X )在X =Xo 极限不存在 ④若f( X )在 X =Xo 不连续,则f( X )在X =Xo 不可导 4.若在区间(a,b)内恒有,则在0)(",0)('><x f x f (a,b)内曲线弧y=f(x)为 ( )①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧5.设,则 ( ))(')('x G x F = ① F(X)+G(X) 为常数 ② F(X)-G(X) 为常数 ③ F(X)-G(X) =0 ④⎰⎰=dx x G dxddx x F dxd )()( 1 6.( )=⎰-dx x 11-1① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 7.方程2x+3y=1在空间表示的图形是 ( ) ①平行于xoy面的平面 ②平行于oz轴的平面 ③过oz轴的平面 ④直线8.设,则f(tx,ty)yx y x y x y x f tan),(233++==( )① ②),(y x tf),(2y x f t ③ ④ ),(3y x f t ),(12y x tan +1 ∞9.设an ≥0,且lim ───── =p,则级数 ∑an ( ) n→∞ a n=1 ①在p〉1时收敛,p〈1时发散 ②在p≥1时收敛,p〈1时发散 ③在p≤1时收敛,p〉1时发散 ④在p〈1时收敛,p〉1时发散10.方程 y'+3xy=6x2y 是 ( ) ①一阶线性非齐次微分方程 ②齐次微分方程③可分离变量的微分方程 ④二阶微分方程 (二)每小题2分,共20分11.下列函数中为偶函数的是 ( ) ①y=ex ②y=x3+1③y=x3cosx ④y=ln│x│12.设f(x)在(a,b)可导,a〈x1〈x2〈b,则至少有一点ζ∈(a,b)使( )①f(b)-f(a)=f'(ζ)(b-a) ②f(b)-f(a)=f'(ζ)(x2-x1) ③f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(b-a) ④f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(x2-x1)13.设f(X )在 X =Xo 的左右导数存在且相等是f(X )在 X =Xo 可导的 ( )①充分必要的条件 ②必要非充分的条件 ③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件d14.设2f(x)cosx=──[f(x)]2,则f(0)=1,则f(x)=()dx①cosx②2-cosx③1+sinx④1-sinx15.过点(1,2)且切线斜率为4x3的曲线方程为y=()①x4②x4+c③x4+1④x4-11 x16.lim───∫3tgt2dt=()x→0x3 01①0②1③──④∞3xy17.limxysin─────=()x→0x2+y2y→0①0②1③∞④sin118.对微分方程y"=f(y,y'),降阶的方法是()①设y'=p,则y"=p'dp②设y'=p,则y"=───dydp③设y'=p,则y"=p───dy1dp④设y'=p,则y"=─────pdy∞∞19.设幂级数 ∑ an xn 在xo (xo ≠0)收敛, 则 ∑ an xn 在│x│〈│xo│( )n=o n=o①绝对收敛 ②条件收敛 ③发散 ④收敛性与an 有关sinx20.设D域由y=x,y=x2所围成,则∫∫ ─────dσ= ( ) D x 1 1 sinx① ∫ dx ∫ ───── dy 0 x x__1 √y sinx② ∫ dy ∫ ─────dx 0 y x __1 √x sinx③ ∫ dx ∫ ─────dy 0 x x __1 √x sinx④ ∫ dy ∫ ─────dx 0 x x三、计算题(每小题5分,共45分)1.设求 y’ 。

大一高数必考试题及答案

大一高数必考试题及答案

大一高数必考试题及答案一、选择题(每题4分,共20分)1. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数是()。

A. 0B. 2C. 1D. -1答案:C2. 曲线y=x^3-3x+2在x=1处的切线斜率是()。

A. -1B. 0C. 1D. 2答案:D3. 以下哪个选项是不定积分∫x^2dx的结果()。

A. x^3/3 + CB. 3x^2 + CC. x^3 + CD. x^2 + C答案:A4. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是()。

A. 0B. 1C. πD. 2答案:B5. 函数y=e^x的不定积分是()。

A. e^x + CB. e^(-x) + CC. x*e^x + CD. 1/e^x + C答案:A二、填空题(每题4分,共20分)1. 函数f(x)=2x+3的反函数是f^(-1)(x)=_________。

答案:(x-3)/22. 定积分∫(0 to 1) x^2dx的值是_________。

答案:1/33. 函数y=ln(x)的导数是y'=_________。

答案:1/x4. 极限lim(x→∞) (1/x)的值是_________。

答案:05. 函数y=x^2-4x+4的最小值是y_min=_________。

答案:0三、计算题(每题10分,共40分)1. 计算定积分∫(0 to 2) (x+1)dx,并求出该曲线在x=0到x=2之间的面积。

解:∫(x+1)dx = (1/2)x^2 + x | (0 to 2) = (1/2)(2^2) + 2 - (1/2)(0^2) - 0 = 3面积为3。

2. 求函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1在区间[1,3]上的定积分。

解:∫(x^3-6x^2+9x+1)dx = (1/4)x^4 - 2x^3 + (9/2)x^2 + x | (1 to 3) = [(1/4)(3^4) - 2(3^3) + (9/2)(3^2) + 3] - [(1/4)(1^4) - 2(1^3) + (9/2)(1^2) + 1] = 93. 求函数y=x^2-4x+4在x=2处的切线方程。

大一高数试卷试题含解答.docx

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大一高数试题及解答大一高数试题及答案一、填空题(每小题1分,共10分)________121.函数y=arcsin√1-x+──────的定义域为_________√1-x2_______________。

2.函数y=x+ex上点(0,1)处的切线方程是 ______________。

f( Xo+2 h)-f( Xo-3 h)3.设f( X)在 Xo 可导且f ' (Xo)=A,则lim───────────────h→o h=_____________ 。

4.设曲线过(0,1),且其上任意点(X,Y)的切线斜率为2X,则该曲线的方程是____________。

x5.∫─────dx=_____________。

1-x416.limXsin───=___________。

x→∞X7.设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)= ____________。

_______R22√R-x8.累次积分∫dx∫f(X2+Y2)dy化为极坐标下的累次积分为____________。

00d3y3d2y9.微分方程───+──(─── )2的阶数为 ____________。

dx3xdx2∞∞10.设级数∑an 发散,则级数∑an _______________。

n=1n=1000二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的()内,1~10每小题1分,11~20每小题2分,共30分)(一)每小题1分,共10分11.设函数f(x)=──,g(x)=1-x,则f[g(x)]=()x111①1-──②1+──③ ────④xxx1-x12.x→ 0 时,xsin──+1是()x①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量3.下列说法正确的是()①若f( X )在 X =Xo连续,则f(X)在X=Xo 可导②若f( X )在 X =Xo不可导,则f( X )在 X=Xo 不连续③若f( X )在 X =Xo不可微,则f( X )在 X=Xo 极限不存在④若f( X )在 X =Xo不连续,则f( X )在 X=Xo 不可导4.若在区间(a,b)内恒有f' (x)〈0,f " (x)〉0,则在(a,b)内曲线弧y=f(x)为()①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧5.设F '(x)=G'(x),则()①F(X) +G (X)②F(X) -G (X)③F(X) -G (X)为常数为常数=0d④ ──∫F(x)dxd=──∫G(x)dxdxdx16.∫ │x│dx=()-1① 0② 1③ 2④ 37.方程2x+3y=1在空间表示的图形是()①平行于xoy面的平面②平行于oz轴的平面③过oz轴的平面④直线x8.设f(x,y)=x3+y3+x2ytg──,则f(tx,ty)=()y①tf(x,y)②t2f(x,y)1③t3f(x,y)④──f(x,y)t2an+1∞9.设a n≥0,且lim─────=p,则级数∑an()n→∞an=1①在p〉1时收敛,p〈1时发散②在p≥1时收敛,p〈1时发散③在p≤1时收敛,p〉1时发散④在p〈1时收敛,p〉1时发散210.方程y'+3xy=6xy是①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程③可分离变量的微分方程④二阶微分方程(二)每小题2分,共20分11.下列函数中为偶函数的是()①y=e③y=xx3②y=x3+1④y=ln│x│12.设f(x)在(a,b)可导,a〈x〈1 x〈2 b,则至少有一点ζ∈(a,b)使()①f(b)-f(a)=f ' (ζ)(b-a)②f(b)-f(a)=f ' (ζ)(x2-x 1)③f(x 2)-f(x 1)=f'(ζ)(b-a)④f(x 2)-f(x 1)=f'(ζ)(x2-x 1)13.设f( X)在 X =Xo 的左右导数存在且相等是f( X)在 X =Xo 可导的()①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件d14.设2f(x)cosx=──[f(x)]2,则f(0)=1,则f(x)=()dx①cosx②2-cosx③1+sinx④1-sinx15.过点(1,2)且切线斜率为4x3的曲线方程为y=()①x 4 4②x 4+c41x16.lim─── ∫ 3tgt2dt=()x→0x301① 0② 1③ ──④ ∞3xy17.limxysin─────=()x→0x 2+y 2y→0③∞① 0②1④sin118.对微分方程y"=f(y,y'),降阶的方法是()①设y ' =p,则y"=p'dp②设y ' =p,则y"=───dydp③设y ' =p,则y"=p───dy1dp④设y ' =p,则y" =─────pdy∞∞n19.设幂级数∑ anx在x(oxo≠0)n收敛,则∑ anx在│x│〈│xo│()n=on=o①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与an 有关sinx20.设D域由y=x,y=x2 所围成,则∫∫ ─────dσ=()Dx11sinx① ∫ dx∫ ───── dy0xx__1√ysinx② ∫ dy∫─────dx0yx__1√xsinx③ ∫ dx∫─────dy0xx__1√xsinx④ ∫ dy∫─────dx0xx三、计算题(每小题5分,共45分)___________y'1.设。

'(1)大一数学试题及答案

'(1)大一数学试题及答案

①tf(x,y) ②t2f(x,y)

③t3f(x,y) ④ ──f(x,y)
t2
an+1 ∞
9.设an≥0,且lim ───── =p,则级数 ∑an( )
n→∞ a n=1
①在p〉1时收敛,p〈1时发散
②在p≥1时收敛,p〈1时发散
③在p≤1时收敛,p〉1时发散
④在p〈1时收敛,p〉1时发散
10.方程 y'+3xy=6x2y 是 ( )
C. D.
15.满足下述何条件,级数 一定收敛( )
A. B.
C. D.
16.幂级数 ( )
A. B.(0,2)
C. D.(-1,1)
17.设 ,则 ( )
A. B.
C. D.
18.函数z=(x+1)2+(y-2)2的驻点是( )
A.(1,2)B.(-1,2)
C.(-1,-2)D.(1,-2)
19. ( )
(一)每小题1分,共10分
1.③ 2.③ 3.④ 4.④ 5.②
6.② 7.② 8.⑤ 9.④ 10.③
(二)每小题2分,共20分
11.④ 12.④ 13.⑤ 14.③ 15.③
16.② 17.① 18.③ 19.① 20.②
三、计算题(每小题5分,共45分)

1.解:lny=──[ln(x-1)-lnx-ln(x+3)] (2分)
A.0B.1C.-1D.2
20.微分方程 满足初始条件y(0)=2的特解是( )
A.y=x+cosx+1B.y=x+cosx+2
C.y=x-cosx+2D.y=x-cosx+3
二、简单计算题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)

大一高数b1期末考试题及答案解析

大一高数b1期末考试题及答案解析

大一高数b1期末考试题及答案解析一、选择题(每题5分,共20分)1. 以下哪个选项是微分的定义?A. 函数在某点的导数B. 函数在某点的切线斜率C. 函数在某点的极限D. 函数在某点的增量答案:C解析:微分是函数在某点的极限,即函数增量与自变量增量之比当自变量增量趋近于零时的极限。

2. 函数f(x)=x^3+2x-1的导数是?A. 3x^2+2B. x^3+2C. 2x^2+2D. x^2+2x答案:A解析:根据导数的定义,f'(x)=3x^2+2。

3. 以下哪个选项是定积分的定义?A. 函数在某区间的原函数B. 函数在某区间的增量C. 函数在某区间的极限D. 函数在某区间的差分答案:C解析:定积分是函数在某区间的极限,即函数在该区间上所有小矩形面积的和的极限。

4. 曲线y=x^2与x轴围成的面积是?A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1/4答案:A解析:曲线y=x^2与x轴围成的面积可以通过定积分计算,即∫(0,1)x^2dx=1/3。

二、填空题(每题5分,共20分)1. 已知函数f(x)=x^2-3x+2,求f'(x)=________。

答案:2x-3解析:根据导数的定义,f'(x)=2x-3。

2. 函数f(x)=ln(x)的导数是________。

答案:1/x解析:自然对数函数ln(x)的导数是1/x。

3. 求定积分∫(0,1)x^2dx的值。

答案:1/3解析:通过计算定积分∫(0,1)x^2dx=1/3。

4. 曲线y=x^3与x轴围成的面积是________。

答案:1/4解析:曲线y=x^3与x轴围成的面积可以通过定积分计算,即∫(0,1)x^3dx=1/4。

三、解答题(每题10分,共20分)1. 求函数f(x)=e^x的导数。

答案:f'(x)=e^x解析:指数函数e^x的导数仍然是e^x。

2. 求定积分∫(0,2)e^xdx的值。

答案:e^2-1解析:通过计算定积分∫(0,2)e^xdx=e^2-1。

大一高等数学试题及答案

大一高等数学试题及答案

大一高等数学试题及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 下列函数中,不是周期函数的是()。

A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)2. 函数f(x) = x^2 + 3x - 2的零点个数是()。

A. 0B. 1C. 2D. 33. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是()。

A. 0B. 1C. 2D. 无穷大4. 曲线y = x^3 - 2x^2 + 3在x = 1处的切线斜率是()。

A. -1B. 0C. 1D. 25. 以下哪个不是微分方程dy/dx = y/x的解()。

A. y = x^2B. y = x^3C. y = x^(-1)D. y = x6. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是()。

A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 17. 函数f(x) = ln(x)在区间[1, e]上的值域是()。

A. [0, 1]B. [1, e]C. [0, e]D. [1, 2]8. 以下哪个是复合函数f(g(x))的导数()。

A. f'(g(x)) * g'(x)B. f(g(x)) * g'(x)C. f'(x) * g'(x)D. f(x) * g'(x)9. 以下哪个是泰勒级数展开的公式()。

A. f(x) = ∑[n=0 to ∞] (f^(n)(a) / n!) * (x - a)^nB. f(x) = ∑[n=1 to ∞] (f^(n)(a) / n!) * (x - a)^nC. f(x) = ∑[n=0 to ∞] (f^(n)(a) / (n+1)!) * (x - a)^nD. f(x) = ∑[n=1 to ∞] (f^(n)(a) / (n+1)!) * (x - a)^n10. 以下哪个是拉格朗日中值定理的条件()。

A. f(x) 在区间[a, b]上连续B. f(x) 在区间(a, b)上可导C. f(x) 在区间[a, b]上可导D. f(x) 在区间(a, b)上连续且可导答案:1-5 C B B C A 6-10 B A A D D二、填空题(每题2分,共10分)1. 若f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 6,则f'(x) = __________。

大学大一高数试题及答案

大学大一高数试题及答案

大学大一高数试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 设函数f(x)=x^2-4x+3,若f(a)=0,则a的值为()。

A. 1B. 3C. -1D. 2答案:B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值为()。

A. 0B. 1C. ∞D. -1答案:B3. 若函数f(x)在点x=a处可导,则()。

A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处不连续D. f(x)在x=a处的导数为0答案:A4. 设数列{a_n}满足a_1=1,a_{n+1}=2a_n+1,n∈N*,则a_3的值为()。

A. 5B. 7C. 9D. 11答案:C二、填空题(每题5分,共20分)1. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx的值为______。

答案:1/32. 若矩阵A=\[\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}\],则A 的行列式det(A)为______。

答案:-23. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6,f'(x)=3x^2-12x+11,则f'(1)的值为______。

答案:24. 函数y=ln(x)的反函数为______。

答案:e^y三、解答题(每题10分,共60分)1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+4x-12在x=2处的切线方程。

答案:首先计算f'(x)=3x^2-6x+4,代入x=2得到f'(2)=6,然后计算f(2)=0,所以切线方程为y-0=6(x-2),即y=6x-12。

2. 计算级数∑(1到∞) (1/n^2)的和。

答案:该级数为π^2/6。

3. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2,求f(x)的极值点。

答案:首先求导f'(x)=3x^2-6x,令f'(x)=0,解得x=0或x=2。

然后计算二阶导数f''(x)=6x-6,代入x=0和x=2,得到f''(0)<0,f''(2)>0,所以x=0是极大值点,x=2是极小值点。

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .(A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导.2. )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.(A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无穷小;(C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则( ).(A )函数()F x 必在0x =处取得极大值;(B )函数()F x 必在0x =处取得极小值;(C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

(A )22x (B )222x +(C )1x - (D )2x +.二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 4.=+→xx x sin 2)31(lim .5. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x x x f d cos )(则 .6.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .7. =-+⎰21212211arcsin -dx xx x .三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)8. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 9.设函数)(x f 连续,=⎰1()()g x f xt dt,且→=0()limx f x A x ,A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题(本大题10分)11. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ,过点(,)01,且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程.五、解答题(本大题10分)12. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ;(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)13. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减,证明对任意的[,]∈01q ,1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.14. 设函数)(x f 在[]π,0上连续,且0)(0=⎰πx d x f ,0cos )(0=⎰πdx x x f .证明:在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ,使.0)()(21==ξξf f (提示:设⎰=xdxx f x F 0)()()解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1、D2、A3、C4、C二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 解:方程两边求导0,0x y ==,(0)1y '=-10. 解:767u x x dx du == 11. 解:101233()2xf x dx xe dx x x dx---=+-⎰⎰⎰12. 解:由(0)0f =,知(0)0g =。

大一高等数学期末考试试卷及复习资料详解

大一高等数学期末考试试卷及复习资料详解

大一高等数学期末考试试卷及复习资料详解大一高等数学期末考试试卷(一)一、选择题(共12分)1.(3分)若/3= 2XXV0,为连续函数,则d的值为().a+ x,x>0(A)I (B) 2 (C)3 (D)-I2.(3分)已知厂⑶=2,则Ii y "7⑶的值为().λ→0 2hOOl (B) 3 (C)-I (D)I23.(3分)定积分∫>Λ∕1-COS23Xdx的值为()•■⑷ 0 (B)-2 (C)I (D) 24.(3分)若/⑴在“勺处不连续,则/3在该点处()・(A)必不可导(B)—定可导(C)可能可导(D)必无极限二、填空题(共12分)1.(3分)平面上过点(0,1),且在任意一点(Λ∙,y)处的切线斜率为3疋的曲线方程为_________________________ .2.( 3 分)∫ ι(x2+x4 Sin XyIX = _______ 1-3.(3 分)IilnX2 Sin丄= ・.r→υX4.(3分)y = 2√ -3√的极大值为________________ —2 (6分)设尸冕,求*JT + 1三、计算题(共42分)1.(6 分)求Iim史S.∙*→υ Sin 3x^3.(6分)求不定积分JXIn(I+十)厶.x .v<ι4.(6 分)求J /(X-1)JΛ∖其中/(x)= < l + cosχ,e' +l,x> 1.5.(6分)设函数y = f(x)由方程JO e,M + [cos∕d∕ = 0所确定,求dy.6.( 6 分)设 f f{x)dx = Sin + C,求j + 3)dx.7.(6 分)求极限IinJI÷-Γn→30k 2/7 7四、解答题(共28分)1.(7 分)设,Γ(lnx) = l+x,且/(0) = 1,求32.(7分)求由曲线y = cosx[-^-<x<^及X轴所围成图形绕着X轴旋I 2 2)转一周所得旋转体的体积.3.(7分)求曲线y = x3-3√÷24x-19在拐点处的切线方程•4.(7分)求函数y = x + √∏7在[-5,1]上的最小值和最大值.五、证明题(6分)设厂(X)在区间[“]上连续,证明i a f^dx = ¥ [/(“) + f(b)]+1 [(X - a)(x - b)fj)dx.(二)一、填空题(每小题3分,共18分)1.设函数/(χ)= 2χ2~1 ,则"1是心)的第_________ 类间断点.X -3x + 23.=∙v→∞V X)4・ 曲线 V 在点(扣)处的切线方程 为 ・5 .函数J = 2X 3-3X 2在[-1,4]上的最大值 _________________ ,最小值 __________ .二、 单项选择题(每小题4分,共20分)1.数列&”}有界是它收敛的( )•(A)必要但非充分条件; (C)充分必要条件; 2.下列各式正确的是((B)充分但非必要条件; (D)无关条件.)・(A) je-χdx=e"x+C i(B) J In X(IX = _ + C ; (C)JI 2∕x=2hl (l 2x)+C ;(D) f —5—JX = Inlllx+ C ・' ,J XInX3-设/(x)在RM 上,广(x)>O 且厂(x)>0,则曲线y = f(x)在[“问上•6.∣∙arctanx J l +x 2(IX(小沿X轴正向上升且为凹(B)沿兀轴正向下降且为凹的;的;(D)沿X轴正向下降且为凸(C)沿兀轴正向上升且为凸的;的.则/(x)在兀=0处的导? :( )•4. 设/(*)=XInX ’⑷等于1;(C)等于O ;(D)不存在•5.已知Ihn/(x)= 2,以下结论正确的是()•G)函数在工=1处有定义且/(1)=2 ; (B)函数在;V = I处的某去心邻域内有定义;(C)函数在2 1处的左侧某邻域内有定义;(D)函数在21处的右侧某邻域内有定义.三、计算(每小题6分,共36分)1.求极限:HlnX2 sinx→0X2.已知y = ln(l + χ2),求几3.求函数J = >0)的导数.5.J X COS XdX ・丄 16.方程y x =X y确定函数y = f(x)f求八四、(H)分)已知/为/(X)的一个原函数,求∫x2∕(x}∕x.五、(6分)求曲线,=壮7的拐点及凹凸区间.六、(10 分)设J广(√∑)/X = X(e、' +1)+C ,求/(X)・(三)填空题(本题共5小题,每小题4分,共20分)・±J_(1)⅛(COSX)r = ________ 石________ .(2)曲线A = Xlnx上及直线X-y + l= °平行的切线方程为y =x-∖(3 )已知f f(e x) = xe~x,且/(D = O ,则大一高等数学期末考试试卷及复习资料详解/(X)= _________ /Cv)= 2(In X)________ .X 211(4)曲线V =3777的斜渐近线方程为 _______ V= 3Λ^9,二、选择题(本题共5小题,每小题4分,共20分)・(1)下列积分结果正确的是(D )(2)函数/W 在[恥]内有定义,其导数广⑴的图形如图1-1所示, 则(D ) •(A)刁宀都是极值点.⑻ g ,/3)),(£,/(£))都是拐点.(C) F 是极值点.,U 是拐点. (D) WJy))是拐点,勺是极值点.(3) 函数y = qe v ÷C 2e-÷A -e'满足的一个微分方程是(D ).(A) /-y-2>∙ = 3xe t . (B) /-y-2y = 3e v . (C) / + y-2y = 3Λ∙e c .(D) / + y~2y = 3e r .lim∕(⅞)-∕(⅞~z0 (4) 设/W 在%处可导,则I h 为(A ) •⑷ 广仇). (B) -f ,M.(C) O. (D)不存在.(5)下列等式中正确的结果是((A) (J* /(x)"∙χ)'Z=/W-(C) 町 /(χ)"χ]=/W -) 微分方程= (V+1)-的通解为三、计算J (本 共4小题,每小题6分,共24分).y =3 _5 "3 O(或令 √Γ+χ = r)四、解答题(本题共4小题,共29分)•1. (本题6分)解微分方程r-5∕÷6j = xe -.解:特征方程r 2-5r + 6 = 0 ------------- 1分 特征解斤=2,r 2 =3. ------------ 1分 3x大一高等数学期末考试试卷及复习资料详解 恤(丄—丄)1∙求极限j X-I In —X 11. xlnx-x+1Iim (—— _ ——)IIm ---------In XIUn I XTl x-1 I---- + In xh ∖x Iim x →,X -1 + xln1.1 + In X 1 IUn -------- =— j 1 + In X +1 2Λ = In Sin t2.方程尸COSWSinf 确定V 为X 的函数,dy y ,(f)-=-一 =∕sm∕, 解 JX 十⑴求dx 及Jx 2 .(3分) (6分)arctan JX3. 4.计算不定积分J石(1+『. arctanA∕√7—— (i + χ)=21 arctan √7t∕ arctan y ∕x ——解 Hatan 仇=2 J √x(l + x)=(arctan2+C ——「一 dx4.计算定积分如+曲.'3χ(l -VTTX) 0解 分)oT7⅛7_ V dx = 一J(:(I-、/i+x)〃X(6分)LL i∖l4/1 «\ ? r V 八2.(本题7分)一个横放着的圆柱形水桶(如图4-1),桶内盛有半桶水,设桶的底半径为R ,水的比重为乙计算桶的一端面上所受的压力.解:建立坐标系如图3.(本题8分)设/B在S】上有连续的导数,f(u) = f(b) = θ9且∫O∕2(X)JΛ =1^试求∫>∕ω∕解:J:Xf(X)f∖x)dx = £ Xf(X)df(x) 2 分= -∫n^^W ------------ 2 分=IV 2(Λ-)⅛-|£72(X)厶一一2 分4.(本题8分)过坐标原点作曲线>, = h^的切线,该切线及曲线y =lnx及X轴围成平面图形D.⑴(3) 求D的面积A;⑵(4) 求D绕直线X = e旋转一周所得旋转体的体积V.解:(1)设切点的横坐标为",则曲线y = In Λ在点(⅞Jn ⅞)处的切线方程y = Inx0 + —(X-X0).氐__I分由该切线过原点知山心-1 = 0,从而心=匕所以该切线的方程为1y = -X.平面图形D的面积1V = -X(2)切线"及X轴及直线Xe所围成的三角形绕直线Xe旋转V I = -7te1所得的圆锥体积为,3 2分曲线尸IZ及X轴及直线所围成的图形绕直线Xe旋转所得的旋转体体积为V2=(oπ(e-e>)2dy9】分因此所求旋转体的体积为V=V l-V2=-^2-e y)2dy = -(5e2-∖2e + 3).五、证明题(本题共1小题,共7分)•1.证明对于任意的实数Y , eJl + x.e x = l + x + —Λ2≥l + x2解法二设fM = e x-x~^则/(0) = 0.因为f f M = e x-∖. 1 分当Xno时,f,M≥o.f(χ)单调增加,/(χ)≥∕(θ)=o.当x≤0时,∕,ω≤0.∕(Λ∙)单调增加,/(X)≥/(0) =0. 所以对于任意的实数X, ∕3≥°∙即e'≥l + I 解法三:由微分中值定理得,R -1 = “ -60 =^(X-O) = ^Xt 其中§位于0 到X 之一1分2分A = V -ey)dy = ~e~^∙解法一:2分2分1分2分间。

大一高数试题及答案

大一高数试题及答案

大一高数试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 设函数f(x)=x^3-3x,求f'(x)的值。

A. 3x^2-3B. x^2-3C. 3x^2+3D. x^3-3答案:A2. 求极限lim(x→0) (sinx/x) 的值。

A. 0B. 1C. 2D. -1答案:B3. 设曲线y=x^2+1与直线y=2x+3相交于点A和点B,求交点的横坐标。

A. -2, 1B. 1, 2C. -1, 2D. 1, -2答案:C4. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx。

A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1/4答案:B二、填空题(每题5分,共20分)5. 设函数f(x)=x^2-4x+3,求f(2)的值。

答案:-16. 求不定积分∫(1/x) dx。

答案:ln|x|+C7. 设函数f(x)=e^x,求f'(x)的值。

答案:e^x8. 计算定积分∫(0,π) sinx dx。

答案:2三、解答题(每题10分,共60分)9. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。

解:首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11,令f'(x)=0,解得x=1或x=11/3。

当x<1或x>11/3时,f'(x)>0,函数单调递增;当1<x<11/3时,f'(x)<0,函数单调递减。

因此,x=1为极大值点,x=11/3为极小值点。

10. 求曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线方程。

解:首先求导数y'=3x^2-6x,代入x=1得y'|_(x=1)=-3。

切线方程为y-0=-3(x-1),即y=-3x+3。

11. 计算二重积分∬D (x^2+y^2) dxdy,其中D是由x^2+y^2≤4所围成的圆域。

解:将二重积分转换为极坐标系下的形式,即∬D (x^2+y^2) dxdy = ∫(0,2π) ∫(0,2) (ρ^2) ρ dρ dθ = 8π。

大一上高等数学(I )试题及答案

大一上高等数学(I )试题及答案

高等数学(I )一.填空题(每小题5分,共30分)1. 已知0)(2sin lim 30=+>-x x xf x x , 则20)(2lim xx f x +>-= 。

2. 曲线x y ln =上曲率最大的点为__________________。

3. 极限]cos 1[cos lim x x x -+∞>-的结果是_________。

4. 极限 20arcsin lim ln(1)x x x x x →-+=_____________。

5. 曲线)0()1ln(>+=x xe x y 的斜渐近线为( )。

6. 当1→x 时,已知1-x x 和k x a )1(-是等价无穷小,则a =_____,.___=k二、计算题(每小题5分,共20分) 1. x x x x e sin 1023lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+->-2.dx e x x 32⎰ 3.dx x ⎰+cos 2114. 22(tan 1)x e x dx +⎰三.(6分)已知曲线)(x y y =的参数方程⎩⎨⎧++==)41ln(2arctan 2t t y t x ,求22dx y d dx dy ,。

四.(8分)设xx x f )1ln()(ln +=,求⎰dx x f )(五.(10分)设)(x f 31+=x ,把)(x f 展开成带Peano 型余项的n 阶麦克劳林公式,并求).0()50(f六(12分).已知)(x f 是周期为5的连续函数,它在0=x 的某邻域内满足关系式)sin 1(x f +-)(8)sin 1(3x x x f α+=-,其中)(x α是当0→x 时比x 高阶的无穷小,且)(x f 在1=x 处可导,求曲线)(x f y =在点))6(,6(f 处的切线方程。

七.(14分)设函数)(x f 在],[b a 上具有连续导函数)(x f ',且0)()(==b f a f , 证明:2)(4)(a b M dx x f b a -≤⎰,其中|)(|],[x f Max M b a x '=∈。

大一高数复习题及答案

大一高数复习题及答案

大一高数复习题及答案1. 极限的概念和性质- 极限的定义:设函数f(x)在点x=a的某个邻域内都有定义,如果存在一个实数A,对于任意给定的正数ε,总存在一个正数δ,使得当0 < |x-a| < δ时,都有|f(x)-A| < ε,则称A是f(x)当x趋近于a时的极限,记作lim(x→a)f(x)=A。

- 极限的性质:极限的非负性、极限的乘法法则、极限的和法则等。

答案:极限是微积分中的基础概念,它描述了函数在某一点附近的行为。

极限的性质包括极限的非负性,即如果f(x)和g(x)在x趋近于a时的极限都存在,那么lim(x→a)[f(x)g(x)] =[lim(x→a)f(x)][lim(x→a)g(x)],以及极限的和法则,即lim(x→a)[f(x)+g(x)] = lim(x→a)f(x) + lim(x→a)g(x)。

2. 导数与微分- 导数的定义:设函数f(x)在点x=a处可导,则f'(a)是f(x)在x=a处的导数,定义为f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) - f(a)] / h。

- 微分的定义:如果函数f(x)在某点x=a处可导,则称f(x)在x=a 处有微分,记作dy = f'(a)dx。

答案:导数是函数在某一点处的瞬时变化率,而微分则是导数与自变量增量的乘积。

导数的计算通常涉及到极限的概念,而微分则用于近似计算函数值的变化。

3. 不定积分与定积分- 不定积分的定义:设函数f(x)在区间I上可积,则其不定积分F(x)是满足F'(x) = f(x)的函数,记作∫f(x)dx = F(x) + C,其中C为常数。

- 定积分的定义:设函数f(x)在区间[a, b]上可积,则其定积分为∫[a, b]f(x)dx,表示从x=a到x=b的曲线下面积。

答案:不定积分是求函数原函数的过程,而定积分则是计算函数在一定区间上的累积效果。

不定积分的结果包含一个任意常数C,而定积分的结果是一个具体的数值。

大一高数试题及答案

大一高数试题及答案

大一高数试题及答案一、选择题1. 设函数 f(x) = x^2 + 3x + 2,下面哪个选项是其导函数?A. f'(x) = 2x + 3B. f'(x) = 2x + 6C. f'(x) = x^2 + 3x + 2D. f'(x) = 3x^2 + 2x + 32. 已知函数 f(x) 连续,则 f(x) = 3x 的解集为:A. x ∈ RB. x = 3C. x = 0D. x = -33. 设函数 y = x^3 - 2x^2 + 3x + 4,求其极值点。

A. (1, 6)B. (-1, -3)C. (0, 4)D. (2, 2)二、计算题1. 求函数 f(x) = 2x^2 + 5x - 3 的两个零点。

2. 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 4 在 x = 2 处的导数值。

三、解答题1. 求函数 f(x) = x^2 + 3x + 2 的顶点坐标及对称轴方程。

2. 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 4 在整个定义域上的单调区间。

答案解析:一、选择题1. A解析:由 f(x) = x^2 + 3x + 2,对 x 进行求导得到 f'(x) = 2x + 3。

2. A解析:由 f(x) = 3x,函数 f(x) 直接写出,解集为整个实数集 R。

3. B解析:求导得到 f'(x) = 3x^2 - 4x + 3,令 f'(x) = 0 解得 x = -1,代入原函数求得 y = -3,故极值点为 (-1, -3)。

二、计算题1. 首先,通过求根公式或配方法可得到两个零点 x1 = 1 和 x2 = -1.5。

2. 对函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 4 进行求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x + 2,将 x = 2 代入得到 f'(2) = 8。

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大一高数试题及答案一、填空题(每小题1分,共10分)________ 11.函数y=arcsin√1-x2+────── 的定义域为_________√1-x2_______________。

2.函数y=x+ex上点(0,1)处的切线方程是______________。

f(Xo+2h)-f(Xo-3h)3.设f(X)在Xo可导且f'(Xo)=A,则lim───────────────h→o h= _____________。

4.设曲线过(0,1),且其上任意点(X,Y)的切线斜率为2X,则该曲线的方程是____________。

x5.∫─────dx=_____________。

1-x416.limXsin───=___________。

x→∞ X7.设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。

_______R √R2-x28.累次积分∫ dx∫ f(X2+Y2)dy化为极坐标下的累次积分为____________。

0 0d3y3d2y9.微分方程─── +──(─── )2的阶数为____________。

dx3xdx2∞ ∞10.设级数∑ an发散,则级数∑ an _______________。

n=1 n=1000二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的()内,1~10每小题1分,11~20每小题2分,共30分)(一)每小题1分,共10分11.设函数f(x)=── ,g(x)=1-x,则f[g(x)]=()x111①1-── ②1+── ③ ──── ④xxx1-x12.x→0 时,xsin──+1是()x①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量3.下列说法正确的是()①若f( X )在 X=Xo连续,则f( X )在X=Xo可导②若f( X )在 X=Xo不可导,则f( X )在X=Xo不连续③若f( X )在 X=Xo不可微,则f( X )在X=Xo极限不存在④若f( X )在 X=Xo不连续,则f( X )在X=Xo不可导4.若在区间(a,b)内恒有f'(x)〈0,f"(x)〉0,则在(a,b)内曲线弧y=f(x)为()①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧5.设F'(x) =G'(x),则()① F(X)+G(X) 为常数② F(X)-G(X) 为常数③ F(X)-G(X) =0dd④ ──∫F(x)dx=──∫G(x)dxdxdx16.∫ │x│dx=()-1① 0② 1③ 2④ 37.方程2x+3y=1在空间表示的图形是()①平行于xoy面的平面②平行于oz轴的平面③过oz轴的平面④直线x8.设f(x,y)=x3+y3+x2ytg── ,则f(tx,ty)=()y①tf(x,y)②t2f(x,y)1③t3f(x,y)④ ──f(x,y)t2an+1∞9.设an≥0,且lim───── =p,则级数∑an()n→∞ a n=1①在p〉1时收敛,p〈1时发散②在p≥1时收敛,p〈1时发散③在p≤1时收敛,p〉1时发散④在p〈1时收敛,p〉1时发散10.方程y'+3xy=6x2y是()①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程③可分离变量的微分方程④二阶微分方程(二)每小题2分,共20分11.下列函数中为偶函数的是()①y=ex②y=x3+1③y=x3cosx④y=ln│x│12.设f(x)在(a,b)可导,a〈x1〈x2〈b,则至少有一点ζ∈(a,b)使()①f(b)-f(a)=f'(ζ)(b-a)②f(b)-f(a)=f'(ζ)(x2-x1)③f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(b-a)④f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(x2-x1)13.设f(X)在 X=Xo 的左右导数存在且相等是f(X)在 X=Xo 可导的()①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件d14.设2f(x)cosx=──[f(x)]2,则f(0)=1,则f(x)=()dx①cosx②2-cosx③1+sinx④1-sinx15.过点(1,2)且切线斜率为4x3的曲线方程为y=()①x4②x4+c③x4+1④x4-11 x16.lim─── ∫ 3tgt2dt=()x→0 x3 01① 0② 1③ ── ④ ∞3xy17.limxysin───── =()x→0 x2+y2y→0① 0② 1③ ∞ ④ sin118.对微分方程y"=f(y,y'),降阶的方法是()① 设y'=p,则y"=p'dp② 设y'=p,则y"=───dydp③ 设y'=p,则y"=p───dy1dp④ 设y'=p,则y"=── ───pdy∞ ∞19.设幂级数∑ anxn在xo(xo≠0)收敛,则∑ anxn在│x│〈│xo│()n=o n=o①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与an有关sinx20.设D域由y=x,y=x2所围成,则∫∫ ─────dσ=()D x1 1 sinx① ∫ dx∫ ───── dy0 x x__1 √y sinx② ∫ dy∫ ─────dx0 y x__1 √x sinx③ ∫ dx∫ ─────dy0 x x__1 √x sinx④ ∫ dy∫ ─────dx0 x x三、计算题(每小题5分,共45分)___________/x-11.设y=/────── 求y' 。

√ x(x+3)sin(9x2-16)2.求lim─────────── 。

x→4/3 3x-4dx3.计算∫ ─────── 。

(1+ex)2t 1 dy4.设x=∫(cosu)arctgudu,y=∫(sinu)arctgudu,求─── 。

0 t dx5.求过点A(2,1,-1),B(1,1,2)的直线方程。

___6.设u=ex+√y+sinz,求du。

x asinθ7.计算∫ ∫ rsinθdrdθ 。

0 0y+18.求微分方程dy=(──── )2dx通解。

x+139.将f(x)=───────── 展成的幂级数。

(1-x)(2+x)四、应用和证明题(共15分)1.(8分)设一质量为m的物体从高空自由落下,空气阻力正比于速度(比例常数为k〉0)求速度与时间的关系。

___ 12.(7分)借助于函数的单调性证明:当x〉1时,2√x〉3-── 。

x附:高数(一)参考答案和评分标准一、填空题(每小题1分,共10分)1.(-1,1)2.2x-y+1=03.5A4.y=x2+115.──arctgx2+c26.17.ycos(xy)π/2 π8.∫ dθ ∫ f(r2)rdr0 09.三阶10.发散二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的()内,1~10每小题1分,11~20每小题2分,共30分)(一)每小题1分,共10分1.③ 2.③ 3.④ 4.④ 5.②6.② 7.② 8.⑤ 9.④ 10.③(二)每小题2分,共20分11.④ 12.④ 13.⑤ 14.③ 15.③16.② 17.① 18.③ 19.① 20.②三、计算题(每小题5分,共45分)11.解:lny=──[ln(x-1)-lnx-ln(x+3)](2分)211111──y'=──(────-──-────)(2分)y2x-1xx+3__________1/x-1111y'=── /──────(────-──-────)(1分)2√ x(x+3)x-1xx+318xcos(9x2-16)2.解:原式=lim──────────────── (3分)x→4/3 318(4/3)cos[9(4/3)2-16]=────────────────────── =8(2分)31+ex-ex3.解:原式=∫───────dx(2分)(1+ex)2dxd(1+ex)=∫─────-∫─────── (1分)1+ex(1+ex)21+ex-ex1=∫───────dx+───── (1分)1+ex1+ex1=x-ln(1+ex)+───── +c(1分)1+ex4.解:因为dx=(cost)arctgtdt,dy=-(sint)arctgtdt(3分)dy-(sint)arctgtdt所以─── =──────────────── =-tgt(2分)dx(cost)arctgtdt5.解:所求直线的方向数为{1,0,-3}(3分)x-1y-1z-2所求直线方程为────=────=──── (2分)10-3__ __6.解:du=ex +√y + sinzd(x+√y+sinx)(3分)__一、D C A C A B C C B A D A B A D A D B D A二课程代码:00020一、单项选择题(本大题共20小题,每小题2分,共40分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设函数=-=)x 2(f 1x x)x 1(f ,则( )A.x211- B.x12- C.x 2)1x (2- D.x)1x (2- 2.已知f(x)=ax+b,且f(-1)=2,f(1)=-2,则f(x)=( ) A.x+3 B.x-3 C.2x D.-2x 3.=+∞→xx )1x x (lim ( )A.eB.e -1C.∞D.14.函数)1x )(2x (3x y -+-=的连续区间是( )A.),1()2,(+∞---∞B.),1()1,(+∞---∞C.),1()1,2()2,(+∞-----∞D.[)+∞,35.设函数⎩⎨⎧-=-≠++=1x a 1x )1x ln()1x ()x (f 2 , , 在x=-1连续,则a=( )A.1B.-1C.2D.06.设y=lnsinx,则dy=( ) A.-cotx dxB.cotx dxC.-tanx dxD.tanx dx7.设y=a x (a>0,a ≠1),则y (n)==0x ( )A.0B.1C.lnaD.(lna)n8.设一产品的总成本是产量x 的函数C(x),则生产x 0个单位时的总成本变化率(即边际成本)是( ) A.x)x (C B.x x x)x (C =C.dx )x (dC D.0x x dx )x (dC = 9.函数y=e -x -x 在区间(-1,1)内( ) A.单调减小 B.单调增加 C.不增不减 D.有增有减 10.如可微函数f(x)在x 0处取到极大值f(x 0),则( ) A.0)x (f 0=' B.0)x (f 0>' C.0)x (f 0<'D.)x (f 0'不一定存在11.='+⎰dx )]x (f x )x (f [( ) A.f(x)+C B.⎰dx )x (xf C.xf(x)+CD.⎰+dx )]x (f x [12.设f(x)的一个原函数是x 2,则⎰=dx )x (xf ( ) A.C 3x 3+B.x 5+CC.C x 323+D.C 15x 5+ 13.⎰-=88xdx e3( )A.0B.dx e28x3⎰C.⎰-22xdx eD.⎰-22x 2dx e x 314.下列广义积分中,发散的是( )A.⎰10xdx B.⎰1x dxC.⎰103xdxD.⎰-1x1dx15.满足下述何条件,级数∑∞=1n nU一定收敛( )A.有界∑=n1i iUB.0U lim n n =∞→C.1r U Ulim n1n n <=+∞→ D.∑∞=1n n|U|收敛16.幂级数∑∞=-1n n)1x (的收敛区间是( )A.(]2,0B.(0,2)C.[)2,0D.(-1,1)17.设yx 2ez -=,则=∂∂yz( ) A.yx 2e-B.yx 222e yx -C.yx 2e yx 2--D.yx 2e y1--18.函数z=(x+1)2+(y-2)2的驻点是( ) A.(1,2) B.(-1,2) C.(-1,-2) D.(1,-2) 19.=⎰⎰π≤≤π≤≤2y 02x 0ydxdy cos x cos ( )A.0B.1C.-1D.220.微分方程x sin 1dxdy+=满足初始条件y(0)=2的特解是( ) A.y=x+cosx+1 B.y=x+cosx+2 C.y=x-cosx+2 D.y=x-cosx+3二、简单计算题(本大题共5小题,每小题4分,共20分) 21.求极限 .1n )n 3n (lim n --+∞→22.设).1(y ,x y x1'=求23.求不定积分⎰+.dx xcos x sin 1x2cos24.求函数z=ln(1+x 2+y 2)当x=1,y=2时的全微分. 25.用级数的敛散定义判定级数∑∞=++1n .1n n 1的敛散性三、计算题(本大题共4小题,每小题6分,共24分)26.设.y zy x z x,)u (F ,x y u ),u (xF xy z ∂∂+∂∂=+=求为可导函数 27.计算定积分 I ⎰=21.dx x ln x28.计算二重积分dxdy )y x cos(I D22⎰⎰+=,其中D 是由x 轴和2x 2y -π=所围成的闭区域.29.求微分方程0e y dxdyxx =-+满足初始条件y(1)=e 的特解. 四、应用题(本大题共2小题,每小题8分,共16分) 30.已知某厂生产x 件某产品的成本为C=25000+200x+ 问.x 4012(1)要使平均成本最小,应生产多少件产品?(2)如产品以每件500元出售,要使利润最大,应生产多少件产品? 31.求由曲线x y =,直线x+y=6和 10.设函数y =ln x ,则它的弹性函数ExEy=_____________. 11.函数f (x )=x 2e -x 的单调增加区间为______________. 12.不定积分⎰+32d x x=__________________.13.设f (x )连续且⎰+=xx x t t f 022cos d )(,则f (x )=________________.14.微分方程x d y -y d x =2d y 的通解为____________________.15.设z=x e xy ,则yx z∂∂∂2=______________________.三、计算题(一)(本大题共5小题,每小题5分,共25分)16.设函数f(x)=⎩⎨⎧≤+>-0130e x x x k x 在x =0处连续,试求常数k .17.求函数f(x)=x x2sin e +x arctan x 的导数. 18.求极限xx x x x sin e lim 20-→.19.计算定积分⎰π202d 2sin x x .20.求不定积分⎰++211x x d x .四、计算题(二)(本大题共3小题,每小题7分,共21分) 21.求函数f (x )=x 3-6x 2+9x -4在闭区间[0,2]上的最大值和最小值. 22.已知f (3x +2)=2x e -3x ,计算⎰52d )(x x f .23.计算二重积分⎰⎰Dy x y x d d 2,其中D 是由直线y =x ,x =1以及x 轴所围的区域.五、应用题(本大题9分)24.已知矩形相邻两边的长度分别为x,y ,其周长为4.将矩形绕其一边旋转一周得一旋转体(如图).问当x,y各为多少时可使旋转体的体积最大?21 -3/222 -e^-123 x- arctgx + C24 3/225 y + 2 = 026 t^2f(x,y)27 -1/(2sqrt(x)sqrt(y))28 2pi/329 1/230 (c_1x + c_2 ) e^(4x)三四一、D C A C A B C C B A D A B A D A D B D A二21 -3/222 -e^-123 x- arctgx + C24 3/225 y + 2 = 026 t^2f(x,y)27 -1/(2sqrt(x)sqrt(y))28 2pi/329 1/230 (c_1x + c_2 ) e^(4x) 三四。

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