信息论与编码课件第二章
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信息论与编码-第2讲-信源及信息度量1
自信息含义
当事件xi发生以前：表示事件xi发生的不确定性。 当事件xi发生以后：表示事件xi所含有（或所提供）的信
息量。在无噪信道中，事件xi发生后，能正确无误地传输到 收信者，所以I(xi)可代表接收到消息xi后所获得的信息量。 这是因为消除了I(xi)大小的不确定性，才获得这么大小的信 息量。
2.1.1 单符号离散信源的数学模型
(1) 信源的描述方法 (2) 单符号离散信源数学模型
(1) 信源的描述方法
在通信系统中收信者在未收到消息以前，对信源发出 什么消息是不确定的。
① 离散信源：输出的消息常常是以一个个符号形式出现，
这些符号的取值是有限的或可数的。 单符号离散信源：只涉及一个随机事件，可用随机变量描述。 多符号离散信源：每次输出是一个符号序列，序列中每一位出现
② 联合自信息量
信源模型为
x2 y1 ,, x2 ym ,, xn y1 ,, xn y m XY x1 y1 ,, x1 ym , P( XY ) p( x y ),, p( x y ), p( x y ),, p( x y ),, p( x y ),, p( x y ) 1 m 2 1 2 m n 1 n m 1 1
计算y1与各种天气之间的互信息量 对天气x1，不必再考虑 对天气x2， I ( x2 ; y1 ) log2 p( x2 / y1 ) log2 1/ 2 1(比特) p( x ) 1/ 4
i i
验概率的函数。
函数f [p(xi)]应满足以下4个条件 根据上述条件可以从数学上证明这种函数形式是对 数形式。
《信息论与编码》课件1第2章
I(ai)是一个随机变量并不难理解。因为ai发生可以使收 信者获得大小为I(ai)的自信息，然而在信源未发出消息之 前，收信者不仅对ai是否发生具有不确定性，而且对于能 够获得多少自信息也是不确定的。因此，伴随着X=ai的随 机发生而发生的自信息I(ai)是一个随机变量，并且与随机 变量X具有相同的概率分布, 即自信息I(ai)是一个发生概率 为P(X=ai)
如果消息ai已发生，则该消息发生所含有的自信息定 义为
1
1
I (ai ) log P(ai ) log pi
(2.4)
第2章 离散无记忆信源与信息熵
可以很容易地证明, 自信息的定义满足上面提出的四个
(1) 此自信息的定义是根据消息发生的概率建立的一个 工程定义，而不是根据这个消息对人的实际意义而建立的 定义。这一纯粹技术性的定义仅仅抓住了“信息”一词在
(2) 自信息I(ai) 在消息ai发生之前，自信息I(ai)表示ai发生的不确定性; 在消息ai发生以后，自信息I(ai)表示ai所含有的（或提
第2章 离散无记忆信源与信息熵
(3) 在式(2.4)中关于对数的底未作明确规定。这是 因为对数的底仅仅影响到度量的单位，实际中可根据
如果取对数的底为2，则所得信息量的单位为比特 （bit， binary unit），此时logx用lbx
第2章 离散无记忆信源与信息熵
第2章 离散无记忆信源与信息熵
2.1 离散无记忆信源 2.2 自信息和熵 2.3 熵函数的性质 2.4 联合事件的熵及其关系 2.5 连续信源的信息测度 习题2
第2章 离散无记忆信源与信息熵
信息理论的研究对象是以各类信息的获取、表示、 传输和处理为目的的信息系统。图2-1给出了一个典型 的通信系统物理模型。在这样的通信系统中，一个贯 穿始终的、最基本的问题便是信息，即信源输出的是 信息，在系统中传输的是信息，接收者获得的也是信 息。可见，在信息理论的学习和研究中，首先需要对
如果消息ai已发生，则该消息发生所含有的自信息定 义为
1
1
I (ai ) log P(ai ) log pi
(2.4)
第2章 离散无记忆信源与信息熵
可以很容易地证明, 自信息的定义满足上面提出的四个
(1) 此自信息的定义是根据消息发生的概率建立的一个 工程定义，而不是根据这个消息对人的实际意义而建立的 定义。这一纯粹技术性的定义仅仅抓住了“信息”一词在
(2) 自信息I(ai) 在消息ai发生之前，自信息I(ai)表示ai发生的不确定性; 在消息ai发生以后，自信息I(ai)表示ai所含有的（或提
第2章 离散无记忆信源与信息熵
(3) 在式(2.4)中关于对数的底未作明确规定。这是 因为对数的底仅仅影响到度量的单位，实际中可根据
如果取对数的底为2，则所得信息量的单位为比特 （bit， binary unit），此时logx用lbx
第2章 离散无记忆信源与信息熵
第2章 离散无记忆信源与信息熵
2.1 离散无记忆信源 2.2 自信息和熵 2.3 熵函数的性质 2.4 联合事件的熵及其关系 2.5 连续信源的信息测度 习题2
第2章 离散无记忆信源与信息熵
信息理论的研究对象是以各类信息的获取、表示、 传输和处理为目的的信息系统。图2-1给出了一个典型 的通信系统物理模型。在这样的通信系统中，一个贯 穿始终的、最基本的问题便是信息，即信源输出的是 信息，在系统中传输的是信息，接收者获得的也是信 息。可见，在信息理论的学习和研究中，首先需要对
信息论与编码,曹雪虹,课件第2章-2
信息论与编码
第二章
信源与信息熵
内容
2.1 信源的描述和分类 2.2 离散信源熵和互信息 2.3 离散序列信源的熵 2.4 连续信源的熵和互信 2.5 冗余度
3
信源的分类
• 离散信源
– 指发出在时间和幅度上都是离散分布的离散 消息的信源，如文字、数字、数据等符号都 是离散消息。
{ 离散
{ { 信源
W1
W2
W3
W4
• 稳态分布概率
W1
3 35
,
W2
6 35
,
W3
6 35
,
W4
4 7
• 稳态后的符号概率分布
p(a1)
i
p(a1
|
si
)
p(siΒιβλιοθήκη )1 23 35
1 3
6 35
1 4
6 35
1 5
4 7
9 35
p(a2 )
i
p(a2
|
si )
p(si )
1 2
3 35
2 3
6 35
(1)1/2
s2 01
00 s1
(0)1/4
(0)1/3 (1)3/4
10 s3
(1)2/3
s4 0 2 / 3 0 4 / 5
11 (0)1/5
s4
(1)4/5
8
Wi pij W j
i
1 2
W1
1 2
W1
W1 W2 W3 W4 1
1 3
W2
2 3 W2
1 2
W3
3 4
W3
1 5
W4
4 5 W4
3 4
6 35
第二章
信源与信息熵
内容
2.1 信源的描述和分类 2.2 离散信源熵和互信息 2.3 离散序列信源的熵 2.4 连续信源的熵和互信 2.5 冗余度
3
信源的分类
• 离散信源
– 指发出在时间和幅度上都是离散分布的离散 消息的信源，如文字、数字、数据等符号都 是离散消息。
{ 离散
{ { 信源
W1
W2
W3
W4
• 稳态分布概率
W1
3 35
,
W2
6 35
,
W3
6 35
,
W4
4 7
• 稳态后的符号概率分布
p(a1)
i
p(a1
|
si
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1 3
6 35
1 4
6 35
1 5
4 7
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p(a2 )
i
p(a2
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1 2
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(1)1/2
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(0)1/4
(0)1/3 (1)3/4
10 s3
(1)2/3
s4 0 2 / 3 0 4 / 5
11 (0)1/5
s4
(1)4/5
8
Wi pij W j
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W1
1 2
W1
W1 W2 W3 W4 1
1 3
W2
2 3 W2
1 2
W3
3 4
W3
1 5
W4
4 5 W4
3 4
6 35
精品课件-信息论、编码及应用-第2章
第2章 离散信源及其信息测度
第2章 离散信源及其信息测度
2.1 单符号离散信源的数学模型 2.2 自信息和信息函数 2.3 信息熵 2.4 信息熵的基本性质 2.5 联合熵和条件熵的分解与计算 2.6 信息熵的解析性质 2.7 离散信源的最大熵值 2.8 多符号离散平稳信源 2.9 多符号离散平稳无记忆信源及其信息熵 2.10 多符号离散平稳有记忆信源及其信息熵 2.11 信源的相关性与冗余度
第2章 离散信源及其信息测度
第2章 离散信源及其信息测度
上述对应的数学表达式为
(2-3)
I(ai；bj)=I(ai)－I(ai|bj)
为了便于引出一个重要的结果，我们不妨假定信道中没有
噪声的随机干扰，这时，显然有bj=ai本身，收信者确切无误地 收到信源发出的消息。那么，收到bj后，对ai仍然存在的不确 定性等于0，即I(ai|bj)=0。这样，根据式(2-3)，收到bj后，从 bj中获取关于ai的信息量为I(ai；bj)=I(ai)－I(ai|bj)=I(ai), 这个I(ai)也就是ai本身所含有的信息量，即信源能提供的全部 信息量，我们称I(ai)为ai的自信息量。
(1) 若P(a1)>P(a2)，则I(a1)<I(a2)，即f[P(ai)]是P(ai) 的单调递减函数；
(2) 若P(ai)=0，则f [P(ai)]→∞； (3) 若P(ai)=1，则f [P(ai)]=0；
第2章 离散信源及其信息测度
(4) 若两个事件ai和bj统计独立，则ai和bj的联合信息量应 等于它们各自的信息量之和，即I(aibj)=I(ai)+I(bj)。如有两 个统计独立的信源X和Y，它们的信源空间分别是
{1，2，3，4，5，6}中的任何一个，不可能是这个集合以外的符号，
第2章 离散信源及其信息测度
2.1 单符号离散信源的数学模型 2.2 自信息和信息函数 2.3 信息熵 2.4 信息熵的基本性质 2.5 联合熵和条件熵的分解与计算 2.6 信息熵的解析性质 2.7 离散信源的最大熵值 2.8 多符号离散平稳信源 2.9 多符号离散平稳无记忆信源及其信息熵 2.10 多符号离散平稳有记忆信源及其信息熵 2.11 信源的相关性与冗余度
第2章 离散信源及其信息测度
第2章 离散信源及其信息测度
上述对应的数学表达式为
(2-3)
I(ai；bj)=I(ai)－I(ai|bj)
为了便于引出一个重要的结果，我们不妨假定信道中没有
噪声的随机干扰，这时，显然有bj=ai本身，收信者确切无误地 收到信源发出的消息。那么，收到bj后，对ai仍然存在的不确 定性等于0，即I(ai|bj)=0。这样，根据式(2-3)，收到bj后，从 bj中获取关于ai的信息量为I(ai；bj)=I(ai)－I(ai|bj)=I(ai), 这个I(ai)也就是ai本身所含有的信息量，即信源能提供的全部 信息量，我们称I(ai)为ai的自信息量。
(1) 若P(a1)>P(a2)，则I(a1)<I(a2)，即f[P(ai)]是P(ai) 的单调递减函数；
(2) 若P(ai)=0，则f [P(ai)]→∞； (3) 若P(ai)=1，则f [P(ai)]=0；
第2章 离散信源及其信息测度
(4) 若两个事件ai和bj统计独立，则ai和bj的联合信息量应 等于它们各自的信息量之和，即I(aibj)=I(ai)+I(bj)。如有两 个统计独立的信源X和Y，它们的信源空间分别是
{1，2，3，4，5，6}中的任何一个，不可能是这个集合以外的符号，
信息论基础课件2[1][1].1.1- 2
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r i 1
a2
…
ar p(ar)
p(a2) …
0 p(a i ) 1i 1,2, r
p(a i ) 1
信息论与编码-信源熵
需要注意的是，大写字母X,Y,Z代表随机变量，指 的是信源整体，带下标的小写字母代表随机事件的 某一结果或信源的某个元素。两者不可混淆。
信息论与编码-信源熵
(4) 如p(xi)=1，则I(xi) =0 ;(必然事件不含有任何不确定 性，所以不含有任何信息量）
(5) 自信息量也是一个随机变量，它没有确定的值。
信息论与编码-信源熵
例2、 设有12枚同值硬币，其中有一枚为假币，且只知道假币
的重量与真币的重量不同，但不知究竟是轻是重。现采 用天平比较两边轻重的方法来测量（因无法码）。问至 少需要称多少次才能称出假币？ 解：用天平每称一次能获得一定的信息量，能消除部分的不 确定性。测量若干次后，能消除全部不确定性，获得全部信 息，也就能确定出假币。 设“在12枚同值硬币中，某一枚为假币”该事件为a, p(a ) 1 / 12 则 p 又设“假币是重、或是轻”该事件为b，则(b) 1 / 2
(5)当X与Y相互独立时，
p( y j / xi ) p( y j ), p( xi / y j ) p( xi ), p( xi y j ) p( xi ) p( y j )
( 6) p( x i / y j ) p( x i y j )
p( x i y j )
i 1
n
p( y j / xi )
i 1 n j 1 i 1 j 1 i 1
n
m
n
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p( xi y j ) p( y j ), p( xi y j ) p( xi )
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…
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p(a2) …
0 p(a i ) 1i 1,2, r
p(a i ) 1
信息论与编码-信源熵
需要注意的是，大写字母X,Y,Z代表随机变量，指 的是信源整体，带下标的小写字母代表随机事件的 某一结果或信源的某个元素。两者不可混淆。
信息论与编码-信源熵
(4) 如p(xi)=1，则I(xi) =0 ;(必然事件不含有任何不确定 性，所以不含有任何信息量）
(5) 自信息量也是一个随机变量，它没有确定的值。
信息论与编码-信源熵
例2、 设有12枚同值硬币，其中有一枚为假币，且只知道假币
的重量与真币的重量不同，但不知究竟是轻是重。现采 用天平比较两边轻重的方法来测量（因无法码）。问至 少需要称多少次才能称出假币？ 解：用天平每称一次能获得一定的信息量，能消除部分的不 确定性。测量若干次后，能消除全部不确定性，获得全部信 息，也就能确定出假币。 设“在12枚同值硬币中，某一枚为假币”该事件为a, p(a ) 1 / 12 则 p 又设“假币是重、或是轻”该事件为b，则(b) 1 / 2
(5)当X与Y相互独立时，
p( y j / xi ) p( y j ), p( xi / y j ) p( xi ), p( xi y j ) p( xi ) p( y j )
( 6) p( x i / y j ) p( x i y j )
p( x i y j )
i 1
n
p( y j / xi )
i 1 n j 1 i 1 j 1 i 1
n
m
n
m
n
p( xi y j ) p( y j ), p( xi y j ) p( xi )
信息论与编码第二讲
n维n重空间R
k维n重 码空间C
G
n-k维n重
对偶空间D
H
图3-1 码空间与映射
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c是G空间的一个码字，那么由正交性得到：
c HT= 0
0代表零阵，它是[1×n]×[n×(n-k)]=1×(n-k)矢量。
上式可以用来检验一个n重矢量是否为码字：若等式成立，该 n重是码字，否则不是码字。
m G =C
张成码空间的三个基，
本身也是码字。
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信息空间到码空间的线性映射
信息组(m2 m1 m0 )
000
001 010
011 100
101
110 111
码字(c5 c4 c3 c2 c1c0 )
000000
001011 010110
011101 100111
2.3译码平均错误概率
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第18页，此课件共84页哦
2.4 译码规则
第19页，此课件共84页哦
2.4.1 最大后验概率译码准则
第20页，此课件共84页哦
例题
第21页，此课件共84页哦
第22页，此课件共84页哦
2.4.2 极大似然译码准则
式中，E(RS)为正实函数，称为误差指数，它与RS、C的关系 如下图所示。图中，C1、C2为信道容量，且C1＞C2。
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2.2 信道编码基本思想
第11页，此课件共84页哦
第12页，此课件共84页哦
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信息论与编码第2章信源与信息熵PPT课件
pji(l)p(ul Si |ul1Sj)
p(Si |Sj)
pji表示从第(l-1)时刻到第l时刻的状态 转移概率，称为一步状态转移概率。 此时，信源的随机状态序列服从马尔
四、 马尔可夫信源的状态转移图
【补充】 马尔可夫信源的状态序列在数学模型上 可以用马尔可夫链的状态转移图来描述 信源。
状态转移图也可称为香农线图。
2. 数学条件
② 信源某一时刻(l)所处的状态只由当前 输出的符号和前一时刻(l-1)信源的状 态唯一确定。 即：
p(ul Si | xl ak,ul1 Sj ) p(Si | ak,Sj )
(Si,Sj S; ak A)
三、 n阶马尔可夫信源的条件
3. 状态转移概率
设信源在第(l-1)时刻处于状态Sj时， 下一时刻转移到Si的状态概率为：
四、 马尔可夫信源的状态转移图
状态转移图的元素
① 每个圆圈代表一个状态。
② 状态之间的有向线段代表某一状态向 另一状态的转移。
③ 有向线的一侧标注发出的某符号ak和 条件概率p(ak|Sj)。 ak:p(ak|Sj)
S1
S2
【例2.5】
设一个二元一阶马尔可夫信源，信 源符号集为A={0,1}，条件概率为 p(0|0)=0.25，p(0|1)=0.50， p(1|0)=0.75，p(1|1)=0.50。 试画出该信源的状态转移图。 【课本P64 例3.5.2】
假设信源发出的消息x用二进码011表示接收到每个二进制码元后得到有关2012128492222符号符号符号2012128502222平均互信息量其中2012128512222熵的性质对称性确定性香农辅助定理最大熵定理条件熵小于无条件熵20121285222222012128532222对称性信息熵相同2012128542222确定性香农辅助定理loglog2012128552222最大熵定理条件熵小于无条件熵2012128562222平均互信息的性质互易性与熵和条件熵及联合熵关系极值性凸性函数性质信息不增性原理2012128572222同理2012128582222互易性2012128592222平均互信息与熵的关系2012128602222互信息量与熵的关系2012128612222极值性2012128622222凸性函数当条件概率分布给定时平均互信息量是输入概率分布的上凸函数当集合x的概率分布保持不变时平均互信息量是条件概率分布的下凸函数2012128632222信息不增性条件下假设在2012128642323离散无记忆信源的序列熵离散有记忆信源的序列熵2012128652323离散无记忆信源的序列熵ililil2012128662323离散无记忆信源的序列熵平均每个符号熵消息熵2012128672323离散有记忆信源的序列熵和消息熵2012128682323eg求信源的序列熵和平均符号熵361191118211342918792012128692323离散有记忆信源的序列熵和消息熵结论1是l的单调非增函数结论3是l的单调非增函数2012128702323马氏链极限熵左边遍历马氏链对于齐次2012128712323右边2012128722323eg求马氏链平均符号熵三个状态2012128732424幅度连续的单个符号信源熵loglimloglim2012128742424幅度连续的单个符号信源熵互信息条件熵联合熵相对熵2012128752424波形信源熵随机波形信源取条件熵相对熵2012128762424最大熵定理具有最大熵当它是均匀分布时变量对于定义域有限的随机限峰功率最大熵定理dxdxdxdxdxdxdxdxdxdxdxdxdxdxdx2012128772424最大熵定理限平均功率最大熵定理
p(Si |Sj)
pji表示从第(l-1)时刻到第l时刻的状态 转移概率，称为一步状态转移概率。 此时，信源的随机状态序列服从马尔
四、 马尔可夫信源的状态转移图
【补充】 马尔可夫信源的状态序列在数学模型上 可以用马尔可夫链的状态转移图来描述 信源。
状态转移图也可称为香农线图。
2. 数学条件
② 信源某一时刻(l)所处的状态只由当前 输出的符号和前一时刻(l-1)信源的状 态唯一确定。 即：
p(ul Si | xl ak,ul1 Sj ) p(Si | ak,Sj )
(Si,Sj S; ak A)
三、 n阶马尔可夫信源的条件
3. 状态转移概率
设信源在第(l-1)时刻处于状态Sj时， 下一时刻转移到Si的状态概率为：
四、 马尔可夫信源的状态转移图
状态转移图的元素
① 每个圆圈代表一个状态。
② 状态之间的有向线段代表某一状态向 另一状态的转移。
③ 有向线的一侧标注发出的某符号ak和 条件概率p(ak|Sj)。 ak:p(ak|Sj)
S1
S2
【例2.5】
设一个二元一阶马尔可夫信源，信 源符号集为A={0,1}，条件概率为 p(0|0)=0.25，p(0|1)=0.50， p(1|0)=0.75，p(1|1)=0.50。 试画出该信源的状态转移图。 【课本P64 例3.5.2】
假设信源发出的消息x用二进码011表示接收到每个二进制码元后得到有关2012128492222符号符号符号2012128502222平均互信息量其中2012128512222熵的性质对称性确定性香农辅助定理最大熵定理条件熵小于无条件熵20121285222222012128532222对称性信息熵相同2012128542222确定性香农辅助定理loglog2012128552222最大熵定理条件熵小于无条件熵2012128562222平均互信息的性质互易性与熵和条件熵及联合熵关系极值性凸性函数性质信息不增性原理2012128572222同理2012128582222互易性2012128592222平均互信息与熵的关系2012128602222互信息量与熵的关系2012128612222极值性2012128622222凸性函数当条件概率分布给定时平均互信息量是输入概率分布的上凸函数当集合x的概率分布保持不变时平均互信息量是条件概率分布的下凸函数2012128632222信息不增性条件下假设在2012128642323离散无记忆信源的序列熵离散有记忆信源的序列熵2012128652323离散无记忆信源的序列熵ililil2012128662323离散无记忆信源的序列熵平均每个符号熵消息熵2012128672323离散有记忆信源的序列熵和消息熵2012128682323eg求信源的序列熵和平均符号熵361191118211342918792012128692323离散有记忆信源的序列熵和消息熵结论1是l的单调非增函数结论3是l的单调非增函数2012128702323马氏链极限熵左边遍历马氏链对于齐次2012128712323右边2012128722323eg求马氏链平均符号熵三个状态2012128732424幅度连续的单个符号信源熵loglimloglim2012128742424幅度连续的单个符号信源熵互信息条件熵联合熵相对熵2012128752424波形信源熵随机波形信源取条件熵相对熵2012128762424最大熵定理具有最大熵当它是均匀分布时变量对于定义域有限的随机限峰功率最大熵定理dxdxdxdxdxdxdxdxdxdxdxdxdxdxdx2012128772424最大熵定理限平均功率最大熵定理
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CONTENTS
01 添加目录标题 03 信息度量与熵
02 信息论与编码的基 本概念
04 信源编码
05 信道编码
06 加密与解密技术
07 信息安全与认证技 术
添加章节标题
信息论与编码的基本概 念
信息论的发展历程
1948年，香农提出信 息论，奠定了信息论
提高安全性
优点：安全性 高，速度快，
易于实现
应用：广泛应 用于电子商务、 网络通信等领
域
发展趋势：随 着技术的发展， 混合加密技术 将更加成熟和
完善
信息安全与认证技术
数字签名技术
数字签名：一种用于验证信息来源和完整性的技术 数字签名算法：RSA、DSA、ECDSA等 数字证书：用于存储数字签名和公钥的文件 数字签名的应用：电子邮件、电子商务、网络银行等
汇报人：PPT
熵越小，表示信息量越小，不确 定性越小
熵是概率分布的函数，与概率分 布有关
信源编码
定义：无损信源编码是指在编码过 程中不丢失任何信息，保持原始信 息的完整性。
无损信源编码
应用：无损信源编码广泛应用于音 频、视频、图像等媒体数据的压缩 和传输。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
特点：无损信源编码可以保证解码 后的信息与原始信息完全一致，但 编码和解码过程通常比较复杂。
古典密码学：公元前400年，古希腊人使用替换密码 近代密码学：19世纪，维吉尼亚密码和Playfair密码出现 现代密码学：20世纪，公钥密码体制和数字签名技术出现 当代密码学：21世纪，量子密码学和后量子密码学成为研究热点
信息论与编码全部PPT课件
汇报人：PPT
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CONTENTS
01 添加目录标题 03 信息度量与熵
02 信息论与编码的基 本概念
04 信源编码
05 信道编码
06 加密与解密技术
07 信息安全与认证技 术
添加章节标题
信息论与编码的基本概 念
信息论的发展历程
1948年，香农提出信 息论，奠定了信息论
提高安全性
优点：安全性 高，速度快，
易于实现
应用：广泛应 用于电子商务、 网络通信等领
域
发展趋势：随 着技术的发展， 混合加密技术 将更加成熟和
完善
信息安全与认证技术
数字签名技术
数字签名：一种用于验证信息来源和完整性的技术 数字签名算法：RSA、DSA、ECDSA等 数字证书：用于存储数字签名和公钥的文件 数字签名的应用：电子邮件、电子商务、网络银行等
汇报人：PPT
熵越小，表示信息量越小，不确 定性越小
熵是概率分布的函数，与概率分 布有关
信源编码
定义：无损信源编码是指在编码过 程中不丢失任何信息，保持原始信 息的完整性。
无损信源编码
应用：无损信源编码广泛应用于音 频、视频、图像等媒体数据的压缩 和传输。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
特点：无损信源编码可以保证解码 后的信息与原始信息完全一致，但 编码和解码过程通常比较复杂。
古典密码学：公元前400年，古希腊人使用替换密码 近代密码学：19世纪，维吉尼亚密码和Playfair密码出现 现代密码学：20世纪，公钥密码体制和数字签名技术出现 当代密码学：21世纪，量子密码学和后量子密码学成为研究热点
第2章-1信息论与编码
• 离散无记忆信源
– 所发出的各个符号是相互独立的，发出的符 号序列中的各个符号之间没有统计关联性， 各个符号的出现概率是它自身的先验概率。 • 例如扔骰子，每次试验结果必然是1～6点中的 某一个面朝上。 • 用一个离散型随机变量X来描述这个信源输出 的消息。
X 1 2 3 4 5 6 P 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6
9
信源的描述
• 一个离散信源发出的各个符号消息的集合为：
X {x1 , x2 ,, xn }
• 它们的概率分别为
a,b,c,…z
P { p( x1 ), p( x2 ), , p( xn )}
• p(xi): xi的先验概率
• 单符号离散信源的数学模型—概率空间
x2 xn X x1 P p( x ) p( x ) p( x ) 1 2 n
p
j
ij
1
21
• 若信源处于某一状态si ,当它发出一个符号后,所 处状态就变了,任何时候信源处于什么状态完全 由前一时刻的状态和发出符号决定。 • 系统在任一时刻可处于状态空间S ={ s1,s2,…,sQ} 中的任意一个状态,状态转移时, • 状态转移概率矩阵 p11 p1Q P p( s j | si ) pQ1 pQQ • 符号条件概率矩阵
20
马尔可夫信源
• 设信源在时刻m处于si状态,它在下一时刻(m+1)状 态转移到sj的转移概率为： pij(m) = p{Sm+1=sj| Sm= si}=p{sj | si}
• pij(m)：基本转移概率（一步转移概率）
• 若pij(m)与m 的取值无关,则称为齐次马尔可夫链 pij= p{Sm+1=sj| Sm= si}= p{S2=sj| S1= si} • pij具有下列性质： pij≥0
– 所发出的各个符号是相互独立的，发出的符 号序列中的各个符号之间没有统计关联性， 各个符号的出现概率是它自身的先验概率。 • 例如扔骰子，每次试验结果必然是1～6点中的 某一个面朝上。 • 用一个离散型随机变量X来描述这个信源输出 的消息。
X 1 2 3 4 5 6 P 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6
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信源的描述
• 一个离散信源发出的各个符号消息的集合为：
X {x1 , x2 ,, xn }
• 它们的概率分别为
a,b,c,…z
P { p( x1 ), p( x2 ), , p( xn )}
• p(xi): xi的先验概率
• 单符号离散信源的数学模型—概率空间
x2 xn X x1 P p( x ) p( x ) p( x ) 1 2 n
p
j
ij
1
21
• 若信源处于某一状态si ,当它发出一个符号后,所 处状态就变了,任何时候信源处于什么状态完全 由前一时刻的状态和发出符号决定。 • 系统在任一时刻可处于状态空间S ={ s1,s2,…,sQ} 中的任意一个状态,状态转移时, • 状态转移概率矩阵 p11 p1Q P p( s j | si ) pQ1 pQQ • 符号条件概率矩阵
20
马尔可夫信源
• 设信源在时刻m处于si状态,它在下一时刻(m+1)状 态转移到sj的转移概率为： pij(m) = p{Sm+1=sj| Sm= si}=p{sj | si}
• pij(m)：基本转移概率（一步转移概率）
• 若pij(m)与m 的取值无关,则称为齐次马尔可夫链 pij= p{Sm+1=sj| Sm= si}= p{S2=sj| S1= si} • pij具有下列性质： pij≥0
信息论与编码技术chap2信源及其熵.ppt
例：语音信号、热噪声信号、遥控系统中有关电压、 温度、压力等测得的连续数据等等。
数学模型：连续型的概率空间。即：
X p(x)
(a, b)
p(x)
满足
b
p(x)dx 1
a
或
R
p(
x)
或 p(x)dx 1
R
平稳随机序列信源
总体特点：
信源输出的消息由一系列符号序列所组成，可用N
维随机矢量 X＝(X1,X2,…,XN)描述，且随机矢量X
更一般情况：随机波形信源
实际信源输出的消息常常是时间和取值都是连续 的。这类信源称为随机波形信源。
随机波形信源在某一固定时间 t0 的可能取值是连 续和随机的。对于这种信源输出的消息，可用随 机过程来描述。
例：语音信号X(t)、热噪声信号n(t)、电视图像信 号X(r(t),g(t),b(t))等时间连续函数。
p(ai) (i=1,2,…,q) 满足： q p(ai ) 1
i 1
则：
X P(x)
a1
P(a1
)
a2 P(a2 )
a3 P(a3 )
... ... ... ...
aq P(aq )
▪概率空间能表征离散信源的统计特性，因此也称概率 空间为信源空间。
连续信源
特点：输出是单个符号（代码）的消息，输出消 息的符号集A的取值是连续的，可用一维的连 续型随机变量X 来描述。
数学模型是X信源空间的N重空间：
XN
P(iBiblioteka )1P(1
)
2 P( 2 )
... ...
qN P( qN
)
N
其中，P( i ) P(aik ), ik (1,2,..., q) k 1
《信息论与编码》课件
发展趋势与未来挑战
探讨信息论和编码学领域面临的未 来挑战。
介绍多媒体数字信号压缩和编码技术的发展和应用。
可靠的存储与传输控制技术
解释可靠存储和传输控制技术在信息论中的重要性。
生物信息学中的应用
探讨信息论在生物信息学领域的应用和突破。
总结与展望
信息论与编码的发展历程
回顾信息论和编码学的发展历程和 里程碑。
信息技术的应用前景
展望信息技术在未来的应用前景和 可能性。
介绍误码率和信噪比的定义和关系。
2
码率与修正码率的概念
解释码率和修正码率在信道编码中的重要性。
3
线性码的原理与性质
探讨线性码的原理、特点和应用。
4
编码与译码算法的实现
详细介绍信道编码和译码算法的实现方法。
第四章 信息论应用
无线通信中的信道编码应用
探索无线通信领域中信道编码的应用和进展。
多媒体数字信号的压缩与编码技术
《信息论与编码》T课 件
# 信息论与编码 PPT课件
第一章 信息的度量与表示
信息的概念与来源
介绍信息的定义，以及信息在各个领域中的来源和 应用。
香农信息熵的定义与性质
介绍香农信息熵的概念和其在信息论中的重要性。
信息量的度量方法
详细解释如何度量信息的数量和质量。
信息压缩的基本思路
探讨信息压缩的原理和常用方法。
第二章 信源编码
等长编码与不等长编码
讨论等长编码和不等长编码的特点 和应用领域。
霍夫曼编码的构造方法与 性质
详细介绍霍夫曼编码的构造和优越 性。
香农第一定理与香农第二 定理
解释香农第一定理和香农第二定理 在信源编码中的应用。
PPT信息论与编码-第2章 离散信源资料
3 有记忆信源
p( X) p( X i aki ), ki 1,2,
i 1
N
,q
信源先后发出的符号是互相依赖的,如中文序列; 需要引入条件概率分布说明它们之间的关联性; 实际上信源发出符号只与前若干个符号(记忆长 度)有较强的依赖关系.
2018年11月23日星期五 3（-10:55），4（-11:50） 12
2018年11月23日星期五
3（-10:55），4（-11:50）
3
2.1 信源的数学模型及分类
研究对象: 通过消息(信息载荷者)研究信源; 研究范围:
不研究信源的内部结构、产生消息原因和方法; 研究信源输出可能消息的数目和不确定性;
描述方法: 用一个样本空间X及其概率测度
P——概率空间[X,P]描述信源;
f [ pi ] log pi
2018年11月23日星期五 3（-10:55），4（-11:50） 19
2.2.1 自信息
4 自信息的两个含义
当事件ai发生以前, 表示事件ai发生的不确定性;
当事件ai发生以后, 表示事件ai所含有(或所提供) 的信息量.
在无噪信道中, 事件ai发生后, 能正确无误地传输到 收信者, 所以可代表接收到消息ai后所获得的信息 量.这是因为消除了I(ai)大小的不确定性, 才获得这 么大的信息量。
2018年11月23日星期五 3（-10:55），4（-11:50） 4
2.1 信源的数学模型及分类
分类方法:
根据消息的不同随机性质进行分类;
随机变量
随机矢量
信源可能输出的消息数:
离散信源
连续信源.
2018年11月23日星期五
《信息论、编码及应用》课件第2章
r
H (X ) P(ai )logP(ai )
i1
H[P(a1), P(a2 ),, P(ar )]
H(P)
(2-11)
第2章 离散信源及其信息测度
2.4.2 对称性 根据式(2-11)，并根据加法交换律可知，当变量P1，
P2，…，Pr的顺序任意互换时，熵函数的值保持不变，即 H (P1, P2 ,, Pr ) H (P2 , P1,, Pr ) H (Pr , Pr1,, P1) (2-12)
在数学上可证明，同时满足以上四个公理条件的函数形 式为
I (ai )
f
[P(ai
)]
l
b
1 P(ai
)
lb P(ai )
(2-7)
在式(2-7)和后面的章节中，采用以2为底的对数，所得信息量的 单位为比特。
第2章 离散信源及其信息测度
2.3 信 息 熵
2.3.1 信息熵的数学表达式 为了求得整个信源所提供的平均信息量，首先，我们应
存在的平均不确定性。例如有三个信源X1，X2，X3，它们的 信源空间分别是：
X1
P(
X
1
)
a1 0.5
0a.25,
X2
P(
X
2
)
a1 0.7
0a.23,
X3 P( X 3
)
a1 0.99
a2 0.01
(3) 用信息熵H(X)来表示随机变量X的随机性。
第2章 离散信源及其信息测度
第2章 离散信源及其信息测度
第2章 离散信源及其信息测度
2.1 单符号离散信源的数学模型 2.2 自信息和信息函数 2.3 信息熵 2.4 信息熵的基本性质 2.5 联合熵和条件熵的分解与计算 2.6 信息熵的解析性质 2.7 离散信源的最大熵值 2.8 多符号离散平稳信源 2.9 多符号离散平稳无记忆信源及其信息熵 2.10 多符号离散平稳有记忆信源及其信息熵 2.11 信源的相关性与冗余度
信息论与编码第二版第2章ppt
则消息所含的信息量为 60×H(X)=114.3bit
3. 联合熵和条件熵 （1）联合熵（共熵）
联合熵是联合符号集合（X,Y）的每个元素对
(xi , y j ) 的自信息量的概率加权统计平均值，它表
示X和Y同时发生的不确定度。定义为
H XY pxi , yjI xi , yj ij pxi , yj log pxi yj ij
H
(V
|
u0
)
H
(1 4
,
3) 4
0.82bit
/
符号
（2）已知发出的符号，求收到符号后得到的信息量；
11
H (V | U ) p(ui , v j ) log p(v j | ui ) i0 j0
p(u0 , v0 ) p(v0 | u0 ) p(u0 ) 3 / 8 p(u0 , v1) 1/ 8 p(u1, v0 ) 1/ 4 p(u1, v1) 1/ 4
P(x 0, y 0) P( y 0 | x 0)P(x 0) 1/ 2 P(x 0, y ?) 1/ 6, P(x 0, y 1) 0 P(x 1, y 0) 0, P(x 1, y ?) 1/ 6 P(x 1, y 1) 1/ 6
H (Y | X ) p(xi , yi ) log p( yi | xi ) 0.88bit / 符号 ij
“o”的自信息量 I (o)= - log2 0.001=9.97 bit;
例: 居住某地区的女孩中有25％是大学生，在女大学生中有75％ 身高为1.6m以上，而女孩中身高1.6m以上的占总数一半。假如得 知“身高1.6m以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息 量？
解：设x1为女孩是大学生； x2为身高1.6m以上的女孩； 则p( x1)=1/4 ; p (x2)=1/2;
3. 联合熵和条件熵 （1）联合熵（共熵）
联合熵是联合符号集合（X,Y）的每个元素对
(xi , y j ) 的自信息量的概率加权统计平均值，它表
示X和Y同时发生的不确定度。定义为
H XY pxi , yjI xi , yj ij pxi , yj log pxi yj ij
H
(V
|
u0
)
H
(1 4
,
3) 4
0.82bit
/
符号
（2）已知发出的符号，求收到符号后得到的信息量；
11
H (V | U ) p(ui , v j ) log p(v j | ui ) i0 j0
p(u0 , v0 ) p(v0 | u0 ) p(u0 ) 3 / 8 p(u0 , v1) 1/ 8 p(u1, v0 ) 1/ 4 p(u1, v1) 1/ 4
P(x 0, y 0) P( y 0 | x 0)P(x 0) 1/ 2 P(x 0, y ?) 1/ 6, P(x 0, y 1) 0 P(x 1, y 0) 0, P(x 1, y ?) 1/ 6 P(x 1, y 1) 1/ 6
H (Y | X ) p(xi , yi ) log p( yi | xi ) 0.88bit / 符号 ij
“o”的自信息量 I (o)= - log2 0.001=9.97 bit;
例: 居住某地区的女孩中有25％是大学生，在女大学生中有75％ 身高为1.6m以上，而女孩中身高1.6m以上的占总数一半。假如得 知“身高1.6m以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息 量？
解：设x1为女孩是大学生； x2为身高1.6m以上的女孩； 则p( x1)=1/4 ; p (x2)=1/2;
信息论与编码课件第二章
信源分类和描述
无记忆信源
X N N ( )N (X 1,X 2, ,X N ) N (X l) l 1
有记忆信源
p ( X l|X l 1 ,X l 2 , ,X l m )
信息的特性
事件（消息）的信息量大小与其不确定 度（概率）有关
事件概率越小，信息量越大 确定性事件的信息量为零，不可能事件
I (x ) y I (x ) I (y |x )p (x) yp (x )p (y|x )
I (x ;y ) I (x ) I (x |y ) I(x;y)loagp(px(x|)y) I (x ;y |z ) I (x |z ) I (x |y )z I (x ;y ) I (x ) I (y ) I (x )y
pX (x)0p
1 1p
离散信源信息熵的含义
H(X)表示信源的平均不确定度——平均 信息量
H(X)表示信源的随机性 H(X)表示信源输出每个符号所提供的平
均信息量 H(X)表示信宿所能获得的最大信息量
条件自信息量与条件熵
条件自信息量定义
I ( x|y ) = log 1 = - log p(x|y) p(x | y)
1
3
pXYZ (0,0,0) 8 , pXYZ (0,1,0) 8
3
1
pXYZ (1,0,0) 8 , pXYZ (1,1,1) 8
pXYZ (1,1,0) pXYZ (0,0,1) pXYZ (1,0,1) pXYZ (0,1,1) 0
根据上述概率分布函数，分别求得：
H ( X ) H (Y ) 1(bit )
I(x;y)loagp(px(x|)y)
例
设某班学生在一次考试中获优（A）、良（B）、中（C） 、及格（D）和不及格（E）的人数相等。当教师通知某甲 ：“你没有不及格”，甲获得了多少比特信息？为确定自己 的成绩，甲还需要多少信息？
无记忆信源
X N N ( )N (X 1,X 2, ,X N ) N (X l) l 1
有记忆信源
p ( X l|X l 1 ,X l 2 , ,X l m )
信息的特性
事件（消息）的信息量大小与其不确定 度（概率）有关
事件概率越小，信息量越大 确定性事件的信息量为零，不可能事件
I (x ) y I (x ) I (y |x )p (x) yp (x )p (y|x )
I (x ;y ) I (x ) I (x |y ) I(x;y)loagp(px(x|)y) I (x ;y |z ) I (x |z ) I (x |y )z I (x ;y ) I (x ) I (y ) I (x )y
pX (x)0p
1 1p
离散信源信息熵的含义
H(X)表示信源的平均不确定度——平均 信息量
H(X)表示信源的随机性 H(X)表示信源输出每个符号所提供的平
均信息量 H(X)表示信宿所能获得的最大信息量
条件自信息量与条件熵
条件自信息量定义
I ( x|y ) = log 1 = - log p(x|y) p(x | y)
1
3
pXYZ (0,0,0) 8 , pXYZ (0,1,0) 8
3
1
pXYZ (1,0,0) 8 , pXYZ (1,1,1) 8
pXYZ (1,1,0) pXYZ (0,0,1) pXYZ (1,0,1) pXYZ (0,1,1) 0
根据上述概率分布函数，分别求得：
H ( X ) H (Y ) 1(bit )
I(x;y)loagp(px(x|)y)
例
设某班学生在一次考试中获优（A）、良（B）、中（C） 、及格（D）和不及格（E）的人数相等。当教师通知某甲 ：“你没有不及格”，甲获得了多少比特信息？为确定自己 的成绩，甲还需要多少信息？
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的信息量为无穷大 信息量具有可加性
离散信源符号的信息量
信息量定义
I(x)loagp(1x)-loagp(x)
信息量单位
• 对数的底a = 2时，信息量单位为比特( bit） • 对数的底a = e时，信息量单位为奈特( nat） • 对数的底a = 3时，信息量单位为铁特( Tet） • 对数的底a = 10时，信息量单位为哈特( Hart）
联合自信息量与联合熵
联合自信息量定义
I ( xy ) = log 1 = - log p(xy) p( xy )
联合熵定义(联合自信息量的统计平均)
H(XY)= E XY I(x)y= x X yYp(x)yI(x)y
= p(x)lyop(g x)y
x Xy Y
自信息量、条件信息量、联合信息量 三者之间的关系
符号序列信源 XN （N次扩展信源）
X ,p ( x ) p ( ( x x 1 1 , , x x 1 1 , , , , x x 1 1 ) )p ( ( x x 2 2 , , x x 1 1 , , , , x x 1 1 ) ) p ( ( x x q q , , x x q q , , , , x x q q ) )
I ( x ) I y ( x ) I ( y |x ) I ( x ) I y ( y ) I ( x |y )
当事件x 和事件y 相互独立时有
I(x |y ) I(x ) I(y|x ) I(y ) I ( x ) y I ( x ) I ( y )
信息熵、条件熵、联合熵 三者之间的关系
信源分类和描述
无记忆信源
X N N ()N (X 1 ,X 2 , ,X N ) N (X l) l 1
有记忆信源
p ( X l|X l 1 ,X l 2 , ,X l m )
信息的特性
事件（消息）的信息量大小与其不确定 度（概率）有关
事件概率越小，信息量越大 确定性事件的信息量为零，不可能事件
或 X N ,p ( x ) p ( ( x x 1 1 , , x x 1 1 , , , , x x 1 1 ) )p ( ( x x 2 2 , , x x 1 1 , , , , x x 1 1 ) ) p ( ( x x q q , , x x q q , , , , x x q q ) )
H ( X ) H ( Y X ) H ( Y |X ) H ( X ) H ( Y Y ) H ( X |Y )
当集合X 和集合Y 相互独立时有
H (X |Y ) H (X ) H (Y |X ) H (Y ) H ( X ) H Y ( X ) H ( Y )
例题 有两个二元随机变量X和Y，它们的联合概率
信息论与编码课件第二章
第二章 信源和信息熵
信源分类和描述 离散信源的信息熵 连续信源的信息熵
第二章 作业
教材第59页~62页 2.1，2.2，2.3(1)(2)，2.4， 2.8，2.13，2.14， 2.16
信源分类和描述
离散信源 连续信源
单符号信源 符号序列信源
无记忆信源 有记忆信源
条件自信息量定义
I ( x|y ) = log 1 = - log p(x|y)
p(x | y)
条件熵定义(条件自信息量的统计平均)
H(X|y)=
E X I(x|y)=
p (x |y )lo p (x g |y )
x X
H(X|Y)= E Y H (X |y )= p(y)H(X|y) yY
H (X |Y ) P (x )ly o P (x |g y ) x X y Y
为
p(xy) x = 0 x = 1 y = 0 1/8 3/8 y = 1 3/8 1/8
并定义另一随机变量Z=X·Y（一般乘积)，试计算：
(1) 熵 H(X)、H(Y)、H(Z)、H(X, Z)、 H(Y, Z) 、 H(X, Y, Z)
(2) 条件熵 H(X|Y)、H(X|Z)、H(Z|X)、H(Z|Y)、 H(Y|Z)、H(Y|XZ)、H(Z|XY)
H ( X ) p lp o ( 1 p ) g l1 o p ) g
pX (x)0 p
1 1p
离散信源信息熵的含义
H(X)表示信源的平均不确定度——平均 信息量
H(X)表示信源的随机性 H(X)表示信源输出每个符号所提供的平
均信息量 H(X)表示信宿所能获得的最大信息量
条件自信息量与条件熵
为：
Z0 1
Z0 1
X
Y
Hale Waihona Puke 0 1/2 00 1/2 0
1 3/8 1/8 1 3/8 1/8
(3) 互信息 I(X;Y), I(X;Z), I(Y;Z); I(X;Y|Z), I(Y;Z|X)和I(X;Z|Y)
解：(1)根据 X 和 Y 的联合概率分布，分别求 得 X 、Y 和 Z 的边沿概率分布如下：
X0 1 p½ ½
Y0 1 p½ ½
Z0 1 p 7/8 1/8
X和 Z以及Y和 Z的联合概率分布函数分别
信息熵单位
• 对数的底a = 2时，信息熵单位为比特/符号( bit/符号） • 对数的底a = e时，信息熵单位为奈特/符号( nat/符号） • 对数的底a = 3时，信息熵单位为铁特/符号( Tet/符号） • 对数的底a = 10时，信息熵单位为哈特/符号( Hart/符号）
离散二元信源的信息熵
信源分类和描述
离散信源
X , p (x )=
x1 p(x1)
x2 p(x2)
xn p(xn)
n
p(xi )1
i1
连续信源
X , (x )=
(a,
(
b) x )
ab(x)dx1
信源分类和描述
单符号信源 X
X ,p (x ) p ( x x 1 1 )
x 2 p (x 2 )
x n p (x n )
离散信源符号的信息量
I(X)=log2(p)
14
12
10
8
6
4
2
P(x)
0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
离散信源的信息熵(Entropy)
信息熵定义(信息量的统计平均或者说数学期望)
H(X) = EI(x)= – p(x)lop(gx) x X
离散信源符号的信息量
信息量定义
I(x)loagp(1x)-loagp(x)
信息量单位
• 对数的底a = 2时，信息量单位为比特( bit） • 对数的底a = e时，信息量单位为奈特( nat） • 对数的底a = 3时，信息量单位为铁特( Tet） • 对数的底a = 10时，信息量单位为哈特( Hart）
联合自信息量与联合熵
联合自信息量定义
I ( xy ) = log 1 = - log p(xy) p( xy )
联合熵定义(联合自信息量的统计平均)
H(XY)= E XY I(x)y= x X yYp(x)yI(x)y
= p(x)lyop(g x)y
x Xy Y
自信息量、条件信息量、联合信息量 三者之间的关系
符号序列信源 XN （N次扩展信源）
X ,p ( x ) p ( ( x x 1 1 , , x x 1 1 , , , , x x 1 1 ) )p ( ( x x 2 2 , , x x 1 1 , , , , x x 1 1 ) ) p ( ( x x q q , , x x q q , , , , x x q q ) )
I ( x ) I y ( x ) I ( y |x ) I ( x ) I y ( y ) I ( x |y )
当事件x 和事件y 相互独立时有
I(x |y ) I(x ) I(y|x ) I(y ) I ( x ) y I ( x ) I ( y )
信息熵、条件熵、联合熵 三者之间的关系
信源分类和描述
无记忆信源
X N N ()N (X 1 ,X 2 , ,X N ) N (X l) l 1
有记忆信源
p ( X l|X l 1 ,X l 2 , ,X l m )
信息的特性
事件（消息）的信息量大小与其不确定 度（概率）有关
事件概率越小，信息量越大 确定性事件的信息量为零，不可能事件
或 X N ,p ( x ) p ( ( x x 1 1 , , x x 1 1 , , , , x x 1 1 ) )p ( ( x x 2 2 , , x x 1 1 , , , , x x 1 1 ) ) p ( ( x x q q , , x x q q , , , , x x q q ) )
H ( X ) H ( Y X ) H ( Y |X ) H ( X ) H ( Y Y ) H ( X |Y )
当集合X 和集合Y 相互独立时有
H (X |Y ) H (X ) H (Y |X ) H (Y ) H ( X ) H Y ( X ) H ( Y )
例题 有两个二元随机变量X和Y，它们的联合概率
信息论与编码课件第二章
第二章 信源和信息熵
信源分类和描述 离散信源的信息熵 连续信源的信息熵
第二章 作业
教材第59页~62页 2.1，2.2，2.3(1)(2)，2.4， 2.8，2.13，2.14， 2.16
信源分类和描述
离散信源 连续信源
单符号信源 符号序列信源
无记忆信源 有记忆信源
条件自信息量定义
I ( x|y ) = log 1 = - log p(x|y)
p(x | y)
条件熵定义(条件自信息量的统计平均)
H(X|y)=
E X I(x|y)=
p (x |y )lo p (x g |y )
x X
H(X|Y)= E Y H (X |y )= p(y)H(X|y) yY
H (X |Y ) P (x )ly o P (x |g y ) x X y Y
为
p(xy) x = 0 x = 1 y = 0 1/8 3/8 y = 1 3/8 1/8
并定义另一随机变量Z=X·Y（一般乘积)，试计算：
(1) 熵 H(X)、H(Y)、H(Z)、H(X, Z)、 H(Y, Z) 、 H(X, Y, Z)
(2) 条件熵 H(X|Y)、H(X|Z)、H(Z|X)、H(Z|Y)、 H(Y|Z)、H(Y|XZ)、H(Z|XY)
H ( X ) p lp o ( 1 p ) g l1 o p ) g
pX (x)0 p
1 1p
离散信源信息熵的含义
H(X)表示信源的平均不确定度——平均 信息量
H(X)表示信源的随机性 H(X)表示信源输出每个符号所提供的平
均信息量 H(X)表示信宿所能获得的最大信息量
条件自信息量与条件熵
为：
Z0 1
Z0 1
X
Y
Hale Waihona Puke 0 1/2 00 1/2 0
1 3/8 1/8 1 3/8 1/8
(3) 互信息 I(X;Y), I(X;Z), I(Y;Z); I(X;Y|Z), I(Y;Z|X)和I(X;Z|Y)
解：(1)根据 X 和 Y 的联合概率分布，分别求 得 X 、Y 和 Z 的边沿概率分布如下：
X0 1 p½ ½
Y0 1 p½ ½
Z0 1 p 7/8 1/8
X和 Z以及Y和 Z的联合概率分布函数分别
信息熵单位
• 对数的底a = 2时，信息熵单位为比特/符号( bit/符号） • 对数的底a = e时，信息熵单位为奈特/符号( nat/符号） • 对数的底a = 3时，信息熵单位为铁特/符号( Tet/符号） • 对数的底a = 10时，信息熵单位为哈特/符号( Hart/符号）
离散二元信源的信息熵
信源分类和描述
离散信源
X , p (x )=
x1 p(x1)
x2 p(x2)
xn p(xn)
n
p(xi )1
i1
连续信源
X , (x )=
(a,
(
b) x )
ab(x)dx1
信源分类和描述
单符号信源 X
X ,p (x ) p ( x x 1 1 )
x 2 p (x 2 )
x n p (x n )
离散信源符号的信息量
I(X)=log2(p)
14
12
10
8
6
4
2
P(x)
0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
离散信源的信息熵(Entropy)
信息熵定义(信息量的统计平均或者说数学期望)
H(X) = EI(x)= – p(x)lop(gx) x X