理论力学6—刚体的基本运动分析

6.1 刚体的平行移动
平动的实例
夹 板 锤 的 锤 头
6.1 刚体的平行移动
2. 平动的特点
定理：当刚体作平动时，刚体内所有各点的轨迹形状完 全相同，而且在每一瞬时，刚体各点的速度相等，各点 的加速度也相等。 证明：
rA rB BA
◆速度 刚体平动时，刚体内任一线段AB 的长度和方向都保持不变。 因而 x


a a a R w
2 2 n 2
4
a tan 2 an w
( Rw ) 2 an Rw 2 R v2
即：转动刚体内任一点的法向加速度(又称向心加速度)的 大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的 乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。
6.3 转动刚体内各点的速度和加速度
如果ω与同号，角速度的绝对 值增加，刚体作加速转动，这 时点的切向加速度 aτ 与速度 v 的指向相同。 如果ω与异号，刚体作减速转 动，aτ与v的指向相反。 点的全加速度为：
6.1 刚体的平行移动
刚体的两种最简单的运动是平行移动和定轴转动。以后可 以看到，刚体的更复杂的运动可以看成由这两种运动的合 成。因此，这两种运动也称为刚体的基本运动。
1. 刚体的平动
在运动过程中，刚 体上任意一条直线 都与其初始位置保 持平行。具有这种 特征的刚体运动， 称为刚体的平行移 动，简称为平动。
6.3 转动刚体内各点的速度和加速度
当刚体绕定轴转动时，刚体内任意一点都作圆周运动，圆心在 轴线上，圆周所在的平面与轴线垂直，圆周的半径 R 等于该点 到轴线的垂直距离。 由于点M绕点O作圆周运动，用自然法表示。点M的弧坐标为
s Rj
动点速度的大小为
ds dj v R Rw dt dt
6.2 刚体绕定轴的转动
匀变速转动公式 w w0 t
1 2 0 w0t t 2
2 w2 w0 2 ( 0 )
工程上常用转速 n 来表示刚体转动的快慢。 n 的单位是转 / 分 (r/min)，ω与n的转换关系为
w
2 n n 0.1n 60 30
因此，研究刚体的平动，可以归结为研究刚体内任一点的运 动。
6.1 刚体的平行移动
平动刚体上各点的速度
平动刚体上各点的加速度
6.1 刚体的平行移动
注意：平动刚体内的点，不一定沿直线运动，也不一定保持 在平面内运动，它的轨迹可以是任意的空间曲线。 如果平动刚体内各点的轨迹都是平面曲线或直线，则这些特 殊情形称为平面平动或直线平动。 由上述定理可见：
6.2 刚体绕定轴的转动
如图，两平面间的夹角用φ表示，称为刚体的转角。
转角φ是一个代数量， 它确定了刚体的位置 。
它的符号规定如下：自z 轴的正端往负端看，从 固定面起按逆时针转向 计算取正值；按顺时针 转向计算取负值。并用 弧度(rad)表示。
6.2 刚体绕定轴的转动
当刚体转动时，角j是时间t的单值连续函数，即
O
z
A
vA
A1
A2
aA
vB
B1
rA
B
rB
aB
B2
y
d BA 0 dt
6.1 刚体的平行移动
故
d d rA rB dt dt
即
vA vB aA aB
◆加速度 上式再对时间t求导一次，即得
即，在每一瞬时，平动刚体内任意两点的速度和加速度分别 相等。 ◆轨迹
由于平动刚体内各点的速度、加速度始终相同，所以刚体内பைடு நூலகம் 有各点的轨迹形状完全相同。
6.3 转动刚体内各点的速度和加速度
点M的加速度有切向加速度和法向加速度。


6.3 转动刚体内各点的速度和加速度
切向加速度为：
dv d ( Rw ) dw a R R dt dt dt
即：转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于刚体的角 加速度与该点到轴线垂直距离的乘积。
它的方向由角加速度的符号决定，当 是正值时，它沿圆周 的切线，指向角φ的正向；否则相反。 法向加速度为：
当刚体作平动时，只须给出刚体内任意一点的运动，就可以 完全确定整个刚体的运动。这样，刚体平动问题就可看为点 的运动问题来处理。 这样，刚体平动问题就可看为点的运动问题来处理。
综上所述，可以得出刚体平动的特点： 1、平动刚体上的各点具有形状相同的运动轨迹。 2、平动刚体上的各点在某一瞬时具有相同的速度和加速度。 3、刚体平动时的运动分析可以简化为其上任意一点(一般取为 质心)的运动分析。������ ������
6.2 刚体绕定轴的转动
在刚体运动的过程中，若刚体上或其延伸部分上有一条直线始 终不动，具有这样一种特征的刚体的运动称为刚体的定轴转动， 简称转动。该固定不动的直线称为转轴。 刚体定轴转动的特点 当刚体作定轴转动时，转动轴以外的各点都分别在垂直于转轴 的平面内作圆周运动，圆心在该平面与转轴之交点上。 定轴转动实例
j f (t )
这就是刚体绕定轴转动的运动方程。 转角j对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角速度，用w表示:
dj w j dt
角速度的大小表示刚体在该瞬时转动的快慢，即单位时间内 转角的变化。当转角φ随时间而增大时，ω为正值，反之为负 值，这样，角速度的正负号确定了刚体转动的方向。 角速度是代数量，从轴的正端向负端看，刚体逆时针转动时角 速度取正值，反之取负值。
6.2 刚体绕定轴的转动
角速度对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角加速度，用字母 表示，即 dw d 2j w 2 j dt dt 角加速度表征角速度变化的快慢，其单位用rad/s2 (弧度/秒2) 表示。角加速度也是代数量。 和ω正负相同，则角速度的绝对值随时间而增大，即刚体作 加速转动。 反之，两者正负不同，则角速度的绝对值随时间而减小，即 刚体作减速转动。 但减速转动只到ω=0时为止。刚体由静止开始的转动都是加 速转动。
即：定轴转动刚体内任一点的速度, 等于该点的转动半径与刚体角速度 的乘积。 式中v与ω两者正负相同。故速度是沿着点M的轨迹圆周的切 线，指向转动前进的一方。
6.3 转动刚体内各点的速度和加速度
即：转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度与该点到轴 线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向转动的一 方。