浙教版八年级上册全等三角形中几种模型

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八年级上册数学三角形模型大全

八年级上册数学三角形模型大全
八年级上册数学三角形模型包括以下几种：
1. A字模型：∠1 + ∠2 = ∠c + 180°。

2. 高分角模型：高分角等于底角差的一半。

3. 八字模型：两翼和相等。

4. 飞镖模型：∠d = ∠a + ∠b + ∠c。

5. 镖分分模型：上下之和等于中间两倍。

6. 八字加角分线模型：上下之和等于中间两倍。

7. 双角平分线模型—内内：内内90°+1/2。

8. 双角平分线模型—外外：外外90°-1/2。

9. 双角平分线模型—内外：本质上有某些关联。

10. 一内一外模型：由三角形的一个内角平分线和一个外角平分线产生夹角。

11. 两内模型：两个内角平分线的夹角。

12. 两外模型：两个外角平分线的夹角。

以上内容仅供参考，可以请教数学老师或查看教辅资料，以获取更多有关三角形模型的解题技巧和方法。

浙教版八年级数学上册全等三角形之手拉手模型、倍长中线-截长补短法

手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA 平分∠BOC 变形：例1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2)DC AE =(3)AE 与DC 之间的夹角为︒60 (4)DFB AGB ∆≅∆ (5)CFB EGB ∆≅∆ (6)BH 平分AHC ∠ (7)AC GF //变式精练1：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ （2）DC AE =（3）AE 与DC 之间的夹角为︒60（4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠变式精练2：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2）DC AE =(3）AE 与DC 之间的夹角为︒60(4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？（2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？（4）HD 是否平分AHE ∠？例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？（2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？（4）HD 是否平分AHE ∠？例4：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ，问：（1）DBC ABE ∆≅∆是否成立？（2）AE 是否与CD 相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？（4）HB 是否平分AHC ∠？例5：如图，点A. B. C 在同一条直线上，分别以AB 、BC 为边在直线AC 的同侧作等边三角形△ABD 、△BCE.连接AE 、DC ，AE 与DC 所在直线相交于F ，连接FB.判断线段FB 、FE 与FC 之间的数量关系，并证明你的结论。

全等三角形中的常见压轴题五种模型全攻略—2023-2024学年八年级数学上册(浙教版)(解析版)

全等模型专题：全等三角形中的常见压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【解题模型一四边形中构造全等三角形解题】 ........................................................................................ 1 【解题模型二一线三等角模型】 ............................................................................................................... 8 【解题模型三三垂直模型】..................................................................................................................... 15 【解题模型四倍长中线模型】 ................................................................................................................. 22 【解题模型五旋转模型】 (28)【典型例题】【解题模型一四边形中构造全等三角形解题】例题：（2023春·广东梅州·八年级校联考开学考试）已知如图，四边形ABCD 中，AB BC =，AD CD =，求证：A C ∠=∠．【答案】见解析【分析】连接BD ，已知两边对应相等，加之一个公共边BD ，则可利用SSS 判定ABD CBD ≌△△，根据全等三角形的对应角相等即可证得．【详解】证明：连接BD ，AB CB =，BD BD =，AD CD =，SSS ABD CBD ∴≌（）． A C ∴∠=∠．【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有SSS ，SAS ，ASA ，HL 等．【变式训练】【答案】他的发现正确，理由见解析【分析】根据全等三角形的判定和性质直接证明即可．【详解】解：他的发现正确，理由如下：在ABD △与ACD 中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ABD ACD △≌△，∴BAD CAD ∠=∠，ADB ADC ∠=∠，∴AD 不仅平分BAC ∠，且平分BDC ∠．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 2．（2023秋·湖南常德·八年级统考期末）中国现役的第五代隐形战斗机歼−20的机翼如图，为适应空气动力的要求，两个翼角,A B ∠∠必须相等．(1)实际制造中，工作人员只需用刻度尺测量PA PB =，CA CB =就能满足要求，说明理由； (2)若30,40A P ∠=︒∠=︒，求ACB ∠的度数．【答案】(1)见解析 (2)100°【分析】（1）连接PC ，证明APC BPC ≌△△，即可解答．（2）由三角形的外角的性质即可解答．【详解】（1）证明：如图，连接PC ，在APC △和BPC △中，PA PB CA CB PC PC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴APC BPC ≌△△（SSS ）, ∴A B ∠=∠．（2）∵APC BPC ≌△△，30,40A P ∠=︒∠=︒， ∴30A B ==︒∠∠，∵C C A B A E C B E =+∠∠∠，,,ACE APC A BCE BPC B ∠=∠+∠∠=∠+∠ ∴23040100ACB APC A BPC B A BPA B ∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=⨯︒+︒=︒．【点睛】本题考查了三角形全等和外角的性质，掌握三角形全等是解题的关键．3.如图，在四边形ABCD 中，CB AB ⊥于点B ，CD AD ⊥于点D ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE AF =，CE CF =．(1)若8AE =，6CD =，求四边形AECF 的面积；(2)猜想∠DAB ，∠ECF ，∠DFC 三者之间的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)48(2)∠DAB ＋∠ECF ＝2∠DFC ，证明见解析【解析】【分析】（1）连接AC ，证明△ACE ≌△ACF ，则S △ACE ＝S △ACF ，根据三角形面积公式求得S △ACF 与S △ACE ，根据S 四边形AECF ＝S △ACF ＋S △ACE 求解即可；（2）由△ACE ≌△ACF 可得∠FCA ＝，∠FAC ＝∠EAC ，∠AFC ＝∠AEC ，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC ＋∠BEC ＝∠FCA ＋∠FAC ＋∠ECA ＋∠EAC ＝∠DAB ＋∠ECF ．可得∠DAB ＋∠ECF ＝2∠DFC (1)解：连接AC ，如图，在△ACE 和△ACF 中AE AFCE CF AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△ACF （SSS ）．∴S △ACE ＝S △ACF ，∠FAC ＝∠EAC ．∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CD＝CB＝6．∴S△ACF＝S△ACE＝12AE·CB＝12×8×6＝24．∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC证明：∵△ACE ≌△ACF，∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．∵∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补，∴∠DFC＝∠BEC．∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．4．在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．(1)试说明：DE=DF：(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？【答案】(1)见解析；(2)CE+BG=EG，理由见解析；(3)当∠EDG=90°-12α时，（2）中结论仍然成立．【解析】【分析】（1）首先判断出C DBF ∠=∠，然后根据全等三角形判定的方法，判断出ΔΔCDE BDF ≅，即可判断出DE DF =．（2）猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系为：CE BG EG +=．首先根据全等三角形判定的方法，判断出ABD ACD∆≅∆，即可判断出60BDA CDA ∠=∠=︒；然后根据60EDG ∠=︒，可得CDE ADG ∠=∠，ADE BDG ∠=∠，再根据CDE BDF ∠=∠，判断出EDG FDG ∠=∠，据此推得ΔΔDEG DFG ≅，所以EG FG =，最后根据CE BF =，判断出CE BG EG +=即可．（3）根据（2）的证明过程，要使CE BG EG +=仍然成立，则12EDG BDA CDA CDB ∠=∠=∠=∠，即11(180)9022EDG αα∠=︒−=︒−，据此解答即可．(1)证明：360CAB C CDB ABD ∠+∠+∠+∠=︒，60CAB ∠=︒，120CDB ∠=︒，36060120180C ABD ∴∠+∠=︒−︒−︒=︒，又180DBF ABD ∠+∠=︒，C DBF ∴∠=∠，在CDE ∆和BDF ∆中，CD BDC DBF CE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ΔΔ()CDE BDF SAS ∴≅，DE DF ∴=．(2)解：如图，连接AD ，猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系为：CE BG EG +=．证明：在ABD ∆和ACD ∆中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，ΔΔ()ABD ACD SSS ∴≅，111206022BDA CDA CDB ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒，又60EDG ∠=︒，CDE ADG ∴∠=∠，ADE BDG ∠=∠，由（1），可得ΔΔCDE BDF ≅，CDE BDF ∴∠=∠，60BDG BDF ∴∠+∠=︒，即60FDG ∠=︒，EDG FDG ∴∠=∠，在DEG ∆和DFG ∆中，DE DF EDG FDG DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ΔΔ()DEG DFG SAS ∴≅， EG FG ∴=，又CE BF =，FG BF BG =+，CE BG EG ∴+=；(3)解：要使CE BG EG +=仍然成立，则12EDG BDA CDA CDB ∠=∠=∠=∠，即11(180)9022EDG αα∠=︒−=︒−，∴当1902EDG α∠=︒−时，CE BG EG +=仍然成立．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，此题是一道综合性比较强的题目，有一定的难度，能根据题意推出规律是解此题的关键．【解题模型二一线三等角模型】例题：（2023春·七年级课时练习）【探究】如图①，点B 、C 在MAN ∠的边AM AN 、上，点E 、F 在MAN ∠内部的射线AD 上，12∠∠、分别是ABE 、CAF V 的外角．若AB AC =，12BAC ∠=∠=∠，求证：ABE CAF V V ≌．【应用】如图②，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，AB BC >，点D 在边BC 上，2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上，12BAC ∠=∠=∠，若ABC 的面积为9，则ABE 与CDF 的面积之和为．【答案】探究：见解析；应用：6【分析】探究：根据A BAE ABE ∠=∠∠，BAC CAF BAE ∠=∠+∠，得出ABE CAF ∠=∠，根据12∠=∠，得出AEB CFA ∠=∠，再根据AAS 证明即可；应用：根据全等三角形的性质得出：ABECAFSS=，进而得出CDFCAFACDSSS+=，根据2CD BD =，ABC的面积为9，得出263ACDABCSS ==，即可得出答案．【详解】探究证明：∵A BAE ABE ∠=∠+∠，BAC CAF BAE ∠=∠+∠，又∵1BAC ∠=∠， ∴ABE CAF ∠=∠， ∵12∠=∠， ∴AEB CFA ∠=∠，在ABE 和CAF V 中，AEB CFA ABE CAF AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS ABE CAF △≌△；应用解：∵ABE CAF V V ≌， ∴ABECAFS S=，∴CDFCAFACDSSS+=，∵2CD BD =，ABC 的面积为9， ∴263ACDABCSS ==，∴ABE 与CDF 的面积之和为6，故答案为：6．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．【变式训练】≌ABF CAD ；，在ABC 中，．若ABC 的面积为与CDE 的面积之比．【答案】（1）证明见详解；（2）成立，证明见详解；（3）1:4【分析】（1）根据90BAC BFE CDE ∠=∠=∠=︒即可得到90BAF CAF ∠+∠=︒，90DCA CAF ∠+∠=︒，从而得到BAF DCA ∠=∠，即可得到证明；（2）根据BAC BFE CDE ∠=∠=∠得到BAF CAF DCA CAF ∠+∠=∠+∠，即可得到BAF DCA ∠=∠，即可得到证明；（3）根据ABC 的面积为15，2CE BE =，即可得到5ABE S =△，10AEC S =，结合2DE AD =可得103ADC S =△，203EDC S =，根据AB AC =，BAC BFE CDE ∠=∠=∠得到≌ABF CAD ，即可得到BEF S ，即可得到答案；【详解】（1）证明：∵90BAC BFE CDE ∠=∠=∠=︒，∴90BFA CDA ∠=∠=︒，90BAF CAF ∠+∠=︒，90DCA CAF ∠+∠=︒， ∴BAF DCA ∠=∠，在ABF △与CAD 中，∵BFA CDA BAF DCA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(AAS)ABF CAD ≌；（2）解：成立，理由如下， ∵BAC BFE CDE ∠=∠=∠，∴BAF CAF DCA CAF ∠+∠=∠+∠，BFA CDA ∠=∠， ∴BAF DCA ∠=∠，在ABF △与CAD 中，∵BFA CDA BAF DCA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(AAS)ABF CAD ≌；（3）解：∵ABC 的面积为15，2CE BE =， ∴5ABE S =△，10AECS=，∵2DE AD =， ∴103ADC S =△，203EDCS =，∵BAC BFE CDE ∠=∠=∠，∴BAF CAF DCA CAF ∠+∠=∠+∠，BFA CDA ∠=∠，∴BAF DCA ∠=∠，在ABF △与CAD 中，∵BFA CDA BAF DCA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(AAS)ABF CAD ≌ ∴105533BEF S =−=， ∴520:1433BEF CDE S S ==::；【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质及同高不同底三角形的面积，解题的关键是根据内外角关系得到三角形全等的条件．【答案】(1)①BE CF =；②180BCA α+∠=︒(2)EF BE AF =+【分析】（1）①由90BCA ∠=︒，90BEC CFA α∠=∠==︒，可得BCE CAF ∠=∠，从而可证BCE CAF ≌△△，故BE CF =；②添加180BCA α+∠=︒，可证明BCA BEF ∠=∠，则ACF CBE ∠=∠，根据AAS 可证明BCE CAF ≌△△，即可得证①中的结论仍然成立；（2）题干已知条件可证BCE CAF ≌△△，故BE CF =，EC FA =，从而可证明EF BE AF =+．【详解】（1）解：①BE CF =，理由如下：∵90BCA ∠=︒，∴90ACF BCE ∠+∠=︒，∵90BEC AFC α∠===∠︒，∴90ACF CAF ∠+∠=︒，∴BCE CAF ∠=∠，∵AC BC =，∴()AAS BCE CAF △≌△，∴BE CF =；②添加180BCA α+∠=︒，使①中的结论仍然成立，理由如下：∵BEC CFA α∠=∠=，∴180180BEF BEC α∠=︒−∠=︒−，∵BEF EBC BCE ∠=∠+∠，∴180EBC BCE α∠+∠=︒−，∵180BCA α+∠=︒，∴180BCA α∠=︒−，∴180BCA BCE ACF α∠=∠+∠=︒−，∴EBC ACF ∠=∠，∵AC BC =，BEC CFA α∠=∠=，∴()AAS BCE CAF △≌△，∴BE CF =；故答案为：180BCA α+∠=︒；（2）EF BE AF =+，理由如下：∵BCA α∠=，∴180180BCE FCA BCA α∠+∠=︒−∠=︒−，∵BEC α∠=，∴180180EBC BCE BEC α∠+∠=︒−∠=︒−，∴EBC FCA ∠=∠，∵AC BC =，BEC CFA α∠=∠=，∴()AAS BEC CFA △≌△，∴BE CF =，EC FA =，∴EF EC CF FA BE =+=+，即EF BE AF =+．【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．3．在直线m 上依次取互不重合的三个点,,D A E ，在直线m 上方有AB AC =，且满足BDA AEC BAC α∠=∠=∠=．(1)如图1，当90α=︒时，猜想线段,,DE BD CE 之间的数量关系是____________；(2)如图2，当0180α<<︒时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在ABC 中，BAC ∠是钝角，AB AC =，,BAD CAE BDA AEC BAC ∠<∠∠=∠=∠，直线m 与CB 的延长线交于点F ，若3BC FB =，ABC 的面积是12，求FBD 与ACE 的面积之和．【答案】(1)DE ＝BD+CE(2)DE ＝BD+CE 仍然成立，理由见解析(3)△FBD 与△ACE 的面积之和为4【解析】【分析】（1）由∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90°得到∠BAD+∠EAC ＝∠BAD+∠DBA ＝90°，进而得到∠DBA ＝∠EAC ，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CAE，得出S△ABD ＝S△CEA，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S△ABF即可得出结果．(1)解：DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE．(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；(3)解：∵∠BAD＜∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠CAE＝∠ABD，在△ABD和△CAE中，ABD CAEBDA CEAAB AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴S△ABD＝S△CAE，设△ABC 的底边BC 上的高为h ，则△ABF 的底边BF 上的高为h ，∴S △ABC ＝12BC•h ＝12，S △ABF ＝12BF•h ，∵BC ＝3BF ，∴S △ABF ＝4，∵S △ABF ＝S △BDF+S △ABD ＝S △FBD+S △ACE ＝4，∴△FBD 与△ACE 的面积之和为4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．【解题模型三三垂直模型】例题：（2023春·广东广州·九年级专题练习）如图，90,,ACB AC BC BE CE ∠=︒=⊥于E ，AD CE ⊥于D ，2.7cm, 1.8cm AD DE ==．(1)求证：ACD CBE ≌．(2)求BE 的长．【答案】(1)见解析；(2)0.9cm BE =．【分析】（1）由垂直得90ADC CEB ∠=∠=︒，求出ACD CBE ∠=∠，然后利用AAS 即可证明ACD CBE ≌；（2）根据全等三角形的性质可得 2.7cm CE AD ==，BE CD =，根据CD CE DE =−求出CD 即可得到BE 的长．【详解】（1）证明：∵AD CE ⊥，BE CE ⊥，∴90ADC CEB ∠=∠=︒，∵90ACB ∠=︒，∴90ACD ACB BCE BCE ∠=∠−∠=︒−∠，∵90CBE BCE ∠=︒−∠，∴ACD CBE ∠=∠，在ACD 与CBE △中，ADC CEB ACD CBE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AAS ACD CBE ≌；（2）解：由（1）知，ACD CBE △△≌， ∴ 2.7cm CE AD ==，BE CD =，∵ 2.7 1.80.9cm CD CE DE =−=−=，∴0.9cm BE =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和全等三角形对应边相等的性质是解题的关键．【变式训练】 1．（2023春·河北邯郸·七年级校考阶段练习）已知：90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CM ⊥，BE CM ⊥，垂足分别为D ，E ．在ACD 和CBE ∴ACD CBE ≌，（ CD BE =∵ACD CBE ≌，【答案】(1)①CBE ∠；同角的余角相等；ADC BEC ∠∠=，ACD CBE ∠=∠，AC BC =；AAS ；②AD CE =(2)不成立，DE BE AD −=，见解析【分析】（1）根据同角的余角相等，全等三形的判定方法角角边分析处理；（2）根据同角的余角相等，全等三形的判定方法角角边分析处理，注意观察图形，得出线段间的数量关系；【详解】（1）∵AD CM ⊥，BE CM ⊥，∴90ACB BEC ADC Ð=Ð=Ð=°，∴90ACD BCE ∠+∠=︒，90BCE CBE ∠+∠=︒，∴ACD ∠= CBE ∠ （同角的余角相等）在ACD 和CBE 中， ADC BEC ∠∠=，ACD CBE ∠=∠，AC BC = ，∴ACD CBE ≌，（ AAS ）∴CD BE =．②结论：AD BE DE =+．理由：∵ACD CBE ≌，∴ AD CE = ，∵CE CD DE BE DE =+=+，∴AD BE DE =+．（2）不成立，结论：DE BE AD −=．理由：∵AD CM ⊥，BE CM ⊥，∴90ACB BEC ADC Ð=Ð=Ð=°，∴90ACD BCE ∠+∠=︒，90BCE CBE ∠+∠=︒，∴ACD CBE ∠=∠在ACD 和CBE △中，ADC CEB ACD CBE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ACD CBE △△≌，（AAS ）∴AD CE =，CD BE =，∴DE BE DE DC CE AD -=-==．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，能够由图形的位置关系得出线段之间、角之间的数量关系是解题的关键．2．在△ABC 中，∠BAC =90°，AC=AB ，直线MN 经过点A ，且CD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，EAB DAC∠+∠=度；(2)求证：DE=CD+BE；(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)90°(2)见解析(3)CD= BE + DE，证明见解析【解析】【分析】（1）由∠BAC=90°可直接得到EAB DAC∠+∠=90°；（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS可证△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE = EA+AD = DC+BE．（3）同（2）易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE = AD +DE，所以CD= BE + DE．(1)∵∠BAC=90°∴∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°故答案为：90°．(2)证明：∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°∵∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB∵在△DCA和△EAB中90 ADC BEA DCA EABAC AB ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DCA≌△EAB (AAS)∴ AD=BE且EA=DC由图可知：DE = EA+AD = DC+BE．(3)∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°∵∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB∵在△DCA和△EAB中90 ADC BEA DCA EABAC AB ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DCA≌△EAB (AAS)∴ AD=BE且AE=CD由图可知：AE = AD +DE∴ CD= BE + DE．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质．．如图，已知：在ABC中，）的位置时，求证：ADC CEB≅；【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE=BE-AD【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；（2）结论：DE=AD -BE ．与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC ，能推出△ADC ≌△CEB ，得到AD=CE ，CD=BE ，即可得到答案．（3）结论：DE=BE -AD ．证明方法类似．【详解】解：（1）证明：如图1，∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE ，在△ADC 和△CEB 中，CDA BEC DAC ECBAC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；（2）如图2，∵BE ⊥EC ，AD ⊥CE ，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC ，在△ADC 和△CEB 中，ACD CBE ADC BECAC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ），∴AD=CE ，CD=BE ，∴DE=EC -CD=AD -BE ．（3）DE=BE -AD ；如图3，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠DAC=90°，∴∠DAC=∠ECB ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB DAC ECBAC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴AD=CE ，CD=BE ，∴DE=CD -CE=BE -AD ．【点睛】本题主要考查了余角的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证明△ACD ≌△CBE 是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．【解题模型四倍长中线模型】八年级统考期中）如图，在ABC 中， (1)求BC 边的长的取值范围？(2)若AD 是ABC 的中线，求AD 【答案】(1)17BC <<(2)1722AD << 【分析】（1）根据三角形三边的关系求解即可；（2）延长AD 至E ，使AD DE =，连接BE ，证明ADC EDB V V ≌，得到AC BE =，由三角形三边关系得到17AE <<，则1722AD <<．【详解】（1）解：由三角形的三边关系可知：AC AB BC AC AB −<<+，∵34AB AC ==，，∴17BC <<；（2）解：延长AD 至E ，使AD DE =，连接BE ，在ABE 中，∵BD DC ADC BDE AD DE =∠=∠=，，，∴()SAS ADC EDB ≌△△，∴AC BE =，由三角形的三边关系：BE AB AE BE AB −<<+，∴17AE <<， ∴1722AD <<．【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【变式训练】．如图，在ABC 中，【答案】(1)见解析(2)AC BE =，AC BE ∥(3)2AD BC =，证明见解析【分析】(1)根据三角形全等的判定定理SAS ，即可证得；(2)由ACD EBD △△≌，可得AC BE =，C EBC ∠=∠，据此即可解答；(3)根据三角形全等的判定定理SAS ，可证得BAC ABE ≌，据此即可解答．【详解】（1）证明：AD 是BC 边上的中线，BD CD ∴=，在ACD △与EBD △中AD ED ADC EDBBD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ACD EBD ∴≌；（2）解：ACD EBD ≌，AC BE ∴=，C EBC ∠=∠，∴∥AC BE ，故答案为：AC BE =，AC BE ∥；（3）解：2AD BC =证明：ACD EBD ≌，AC BE ∴=，C EBC ∠=∠，∴∥AC BE ，90BAC ∠=︒90BAC ABE ∴∠=∠=︒在BAC △和ABE △中，90AB BA BAC ABE AC BE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()SAS BAC ABE ∴≌， 2BC AE AD ∴==．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握和运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键． 2．（2023·全国·八年级假期作业）如图1，AD 为△ABC 的中线，延长AD 至E ，使DE ＝AD ．（1）试证明：△ACD ≌△EBD ；（2）用上述方法解答下列问题：如图2，AD 为△ABC 的中线，BMI 交AD 于C ，交AC 于M ，若AM ＝GM ，求证：BG ＝AC ．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．【分析】（1）根据中线的定义，即可得到BD ＝CD ，再根据SAS 即可判定△ACD ≌△EBD ．（2）延长AD 到F ，使AD ＝DF ，连接BF ，根据SAS 证△ADC ≌△FDB ，推出BF ＝AC ，∠CAD ＝∠F ，根据AM ＝GM ，推出∠CAD ＝∠AGM ＝∠BGF ，求出∠BGF ＝∠F ，根据等腰三角形的性质求出即可．【详解】（1）证明：∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，在△ACD 和△EBD 中，CD BD ADC EDBAD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△EBD （SAS ）．（2）证明：延长AD 到F ，使AD ＝DF ，连接BF ，∵AD 是△ABC 中线，∴BD ＝DC ，∵在△ADC 和△FDB 中BD DC ADC BDFAD DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△FDB （SAS ），∴BF ＝AC ，∠CAD ＝∠F ，∵AM ＝GM ，∴∠CAD ＝∠AGM ，∵∠AGM ＝∠BGF ，∴∠BGF ＝∠CAD ＝∠F ，∴BG ＝BF ＝AC ，即BG ＝AC ．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键. 【探究与发现】（1）如图1，AD 是ABC 的中线，延长AD 至点E ，使ED AD =，连接【理解与应用】是DEF 的中线，若是ABC 的中线，【答案】（1）见解析；（2）14x <<；（3）见解析【分析】（1）根据全等三角形的判定即可得到结论；（2）延长EP 至点Q ，使PQ PE =，连接FQ ，根据全等三角形的性质得到3FQ DE ==，根据三角形的三边关系即可得到结论；（3）延长FD 至G ，使得GD DF =，连接BG ，EG ，结合前面的做题思路，利用三角形三边关系判断即可．【详解】（1）证明：CD BD =，ADC EDB ∠=∠，AD ED =，ACD EBD ∴≌，（2）14x <<；如图，延长EP 至点Q ，使PQ PE =，连接FQ ，在PDE ∆与PQF ∆中，PE PQ EPD QPFPD PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，PEP QFP ∴∆≅∆，3FQ DE ∴==，在EFQ ∆中，EF FQ QE EF FQ −<<+，即53253x −<<+，x ∴的取值范围是14x <<；故答案为：14x <<；（3）延长FD 至G ，使得GD =BG ，EG ，在DFC △和DGB 中，DF DG =，CDF BDG ∠=∠，DC DB =，(SAS)DFC DGB ∴≌，BG CF ∴=，在EDF 和EDG △中，DF DG =，90FDE GDE ∠=∠=︒，DE DE =，(SAS)EDF EDG ∴≌，EF EG ∴=，在BEG 中，两边之和大于第三边，BG BE EG ∴+>，又EF EG =，BG CF =，BE CF EF ∴+>【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，正确的作出图形是解题的关键．【解题模型五旋转模型】【答案】（1）见详解；（2）BD=CE，BD⊥CE；（3）902︒−【分析】（1）根据三角形全等的证明方法SAS证明两三角形全等即可；（2）由（1）△AEC≌△ADB可知CE=BD且CE⊥BD；利用角度的等量代换证明即可；（3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD，易知AF平分∠DFC，进而可知∠CFA【详解】（1）∵∠CAB=∠EAD∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，∴∠CAE=∠BAD，∵AB=AC，AE=AD在△AEC和△ADB中，AB ACCAE BAD AE AD=⎧⎪⎨⎪⎩∠=∠=∴△AEC≌△ADB（SAS）（2）CE=BD且CE⊥BD，证明如下：将直线CE与AB的交点记为点O，由（1）可知△AEC≌△ADB，∴ CE=BD，∠ACE=∠ABD，∵∠BOF=∠AOC，∠α=90°，∴∠BFO=∠CAB=∠α=90°，∴ CE⊥BD．（3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD 由（1）知△AEC≌△ADB，∴两个三角形面积相等故AM·CE=AN·BD∴AM=AN∴AF平分∠DFC由（2）可知∠BFC=∠BAC=α∴∠DFC=180°-α∴∠CFA=12∠DFC=902α︒−【点睛】本题考查了全等三角形的证明，以及全等三角形性质的应用，正确掌握全等三角形的性质是解题的关键；【变式训练】 1．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，点D 在边AC 上，且线段BD 绕着点B 按逆时针方向旋转120°能与BE 重合，点F 是ED 与AB 的交点．（1）求证：AE ＝CD ；（2）若∠DBC ＝45°，求∠BFE 的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）∠BFE ＝105°．【分析】（1）根据旋转的性质证明△ABE ≌△CBD （SAS ），进而得证；（2）由（1）得出∠DBC=∠ABE=45°，BD=BE ，∠EBD=120°，最后根据三角形内角和定理进行求解即可．【详解】（1）证明：∵线段BD 绕着点B 按逆时针方向旋转120°能与BE 重合，∴BD ＝BE ，∠EBD ＝120°，∵AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，∴∠ABD+∠DBC ＝∠ABD+∠ABE ＝120°，∴∠DBC ＝∠ABE ，∴△ABE ≌△CBD （SAS ），∴AE ＝CD ；（2）解：由（1）知∠DBC ＝∠ABE ＝45°，BD ＝BE ，∠EBD ＝120°，∴∠BED ＝∠BDE ＝12（180°﹣120°）＝30°，∴∠BFE ＝180°﹣∠BED ﹣∠ABE＝180°﹣30°﹣45°＝105°．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，利用旋转的性质证明是解题的关键．2．问题发现：如图1，已知C 为线段AB 上一点，分别以线段AC ，BC 为直角边作等腰直角三角形，=90ACD ∠︒，CA CD =，CB CE =，连接AE ，BD ，线段AE ，BD 之间的数量关系为______；位置关系为_______．拓展探究：如图2，把Rt ACD △绕点C 逆时针旋转，线段AE ，BD 交于点F ，则AE 与BD 之间的关系是否仍然成立？请说明理由．【答案】问题发现：AE BD =，AE BD ⊥；拓展探究：成立，理由见解析【分析】问题发现：根据题目条件证△ACE ≌△DCB ，再根据全等三角形的性质即可得出答案；拓展探究：用SAS 证ACE DCB ∆≅∆，根据全等三角形的性质即可证得．【详解】解：问题发现：延长BD ，交AE 于点F ，如图所示：∵90ACD ︒=∠，∴90ACE DCB ︒∠=∠=，又∵,CA CD CB CE ==,∴ACE DCB ∆≅∆（SAS ），,AE ED CAE CDB ∴=∠=∠， ∵90CDB CBD ︒∠+∠=，∴90CAE CBD ︒∠+∠=，∴90AFD ︒∠=，∴AF FB ⊥，AE BD ∴⊥，故答案为：AE BD =，AE BD ⊥；拓展探究：成立．理由如下：设CE 与BD 相交于点G ，如图1所示：∵90ACD BCE ︒∠=∠=，∴ACE BCD ∠=∠，又∵CB CE =，AC CD =，∴ACE DCB ∆≅∆（SAS ），∴AE BD =，AEC DBC ∠=∠，∵90CBD CGB ︒∠+∠=，∴90AEC EGF ︒∠+∠=， ∴90AFB ︒∠=，∴BD AE ⊥，即AE BD =，AE BD ⊥【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，手拉手模型，熟练掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解决本题的关键． 3．（2023春·全国·七年级专题练习）在△ABC 中，∠BAC =90°，AC=AB ，直线MN 经过点A ，且CD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，EAB DAC∠+∠=度；(2)求证：DE=CD+BE；(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)90°(2)见解析(3)CD= BE + DE，证明见解析【分析】（1）由∠BAC=90°可直接得到EAB DAC∠+∠=90°；（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS可证△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE = EA+AD = DC+BE．（3）同（2）易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE = AD +DE，所以CD= BE + DE．【详解】（1）∵∠BAC=90°∴∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°故答案为：90°．（2）证明：∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°∵∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB∵在△DCA和△EAB中90 ADC BEA DCA EABAC AB ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DCA≌△EAB (AAS)∴ AD=BE且EA=DC由图可知：DE = EA+AD = DC+BE．（3）∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E ∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°∵∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB∵在△DCA 和△EAB 中90ADC BEA DCA EABAC AB ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DCA ≌△EAB (AAS)∴ AD=BE 且AE=CD 由图可知：AE = AD +DE∴ CD= BE + DE ．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质．八年级假期作业）在ABC 中， (1)【证明推断】求证：DN DM =；小明给出的思路：若要证明DN DM =，只需证明BDN △≌△你根据小明的思路完成证明过程；(2)【延伸发现】连接AE ，BF ，如图所示，求证：AE BF =；【答案】(1)见解析(2)见解析(3)AE BF ⊥，见解析【分析】（1）在ABC 中，根据点D 是BC 的中点，得出2AD BD BC==，由AD BC ⊥，DEF 是直角三角尺，得出90EDF ∠=︒，从而得到BDN ADM ∠=∠，在BDN 和ADM △中，立即证明全等，由性质即可解答DN DM =；（2）根据BDN ADM △≌△，得出BN AM =，BND AMD ∠=∠，DN DM =，从而得到BNF AME ∠=∠，由于DEF 是含45°直角三角尺，推出FN EM =，利用SAS 即可证明BNF 和AME △全等，从而求解；（3）猜想：AE BF ⊥，理由：根据BNF AME △≌△和90FDE ∠=︒，得出90AEM APD ∠+∠=︒，又根据APD FPQ ∠=∠，等量代换得到90FQP ∠=︒从而证明．【详解】（1）证明：在ABC 中，∵AB AC =，90BAC ∠=︒，∴45B C ∠==︒∠，又∵点D 是BC 的中点， ∴2AD BD BC ==，且AD BC ⊥，1452BAD CAD BAC ∠=∠=∠=︒∴90ADN BDN ∠+∠=︒，又∵DEF 是直角三角尺，∴90EDF ∠=︒，即90ADN ADM ∠+∠=︒，∴BDN ADM ∠=∠ 在BDN 和ADM △中45B DAM BD AD BDN ADM ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BDN ADM △≌△，∴DN DM =；（2）证明：∵BDN ADM △≌△∴BN AM =，BND AMD ∠=∠，DN DM =∴BNF AME ∠=∠，且由于DEF 是含45°直角三角尺，∴DF DE =，∴DF DN DE DM −=−即FN EM =在BNF 和AME △中BN AM BNF AMEFN EM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BNF AME △≌△，∴AE BF =；（3）解：作图正确（如图所示）猜想：AE BF ⊥，理由如下：∵BNF AME △≌△，∴BFN AEM ∠=∠，∵90FDE ∠=︒，∴90AEM APD ∠+∠=︒又∵APD FPQ ∠=∠，∴90FPQ BFN ∠+∠=︒，∴90FQP ∠=︒，∴AE BF ⊥．【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角尺的特征、全等三角形的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质．。

全等三角形八大基本模型

全等三角形八大基本模型
（原创实用版）
目录
1.全等三角形的定义与性质
2.全等三角形的八大基本模型
1.手拉手模型
2.一线三垂直模型
3.一线三等角模型
4.等腰三角形中边边角模型
5.背对背模型
6.半角旋转模型
7.角分线模型
8.正方形手拉手模型
正文
全等三角形是指两个三角形的对应边和对应角分别相等的三角形。

在解决全等三角形问题时，我们需要了解全等三角形的定义和性质，以及掌握一些常用的模型。

本文将介绍全等三角形的八大基本模型，希望能帮助大家更好地理解和解决全等三角形问题。

1.手拉手模型：两个三角形通过一个公共边，并且这个公共边的两个端点分别与另外两个三角形的顶点相连。

2.一线三垂直模型：两个三角形的一组对应边互相平行，且另外两组对应边互相垂直。

3.一线三等角模型：两个三角形的一组对应边互相平行，且另外两组对应角相等。

4.等腰三角形中边边角模型：两个等腰三角形，其中一个等腰三角形的底边与另一个等腰三角形的腰相等，且两个等腰三角形的底角相等。

5.背对背模型：两个三角形的一组对应边互相垂直，且另外一组对应边互相平行。

6.半角旋转模型：一个三角形通过某个顶点旋转 180 度后与另一个三角形重合。

7.角分线模型：两个三角形的一组对应角相等，且另一组对应边的延长线相交于一点，这个点将延长线分成的两段长度相等。

8.正方形手拉手模型：两个正方形，其中一个正方形的一边与另一个正方形的一边相连，另外两个正方形的边也分别相连。

以上就是全等三角形的八大基本模型，这些模型在解决全等三角形问题时非常实用。

全等三角形的重难点模型(八大题型)(解析版)—八年级数学上册(浙教版)

全等三角形的重难点模型（八大题型）【题型01：平移型】【题型02：翻折型】【题型03：旋转型】【题型04：一线三等角型（三类型）】【题型05：手拉手模型（四大类型）】【题型06：半角模型】【题型07：对角互补模型】【题型08：平行+线段中点构造全等模型】【题型1 平移型】【方法技巧】【典例1】如图，点E，C在线段BF上，AB=DE，BE=CF，AC=DF．(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若∠B=45°，∠F=85°，求∠A的度数．【答案】(1)见解析(2)50°【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理,解题的关键是熟练运用全等三角形的判定．（1）首先根据BE=CF可得BC=EF，即可判定△ABC≌△DEF；（2）首先根据（1）中两三角形全等，可得∠ACB=∠F=85°，在△ABC中根据三角形内角和定理即可求出∠A．【详解】（1）证明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，∴在△ABC和△DEF中，AB=DE AC=DF BC=EF，∴△ABC≌△DEF(SSS)．（2）解：∵△ABC≌△DEF，∠B=45°，∠F=85°，∴∠ACB=∠F=85°，∴∠A=180°―∠ACB―∠B=50°．【变式1-1】如图、点B、E、C、F在一条直线上AB=DE，AC=DF，BE=CF．(1)求证：∠A=∠D；(2)求证：AC∥DF．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】本题考查三角形综合，涉及三角形全等的判定与性质、平行线的判定等知识，熟记相关几何判定与性质是解决问题的关键．（1）由题中条件，利用两个三角形全等的判定定理SSS得到△ABC≌△DEF，再由三角形全等的性质即可得证；（2）由（1）中△ABC≌△DEF得到∠ACB=∠F，再由同位角相等两直线平行即可得证．【详解】（1）证明：∵BE=CF，∴BC=FE，在△ABC 和△DEF 中，AB =DE AC =DF BE =CF∴△ABC≌△DEF (SSS)，∴∠A =∠D ；（2）证明：由（1）知△ABC≌△DEF ，∴ ∠ACB =∠F ，∴ AC∥DF ．【变式1-2】如图，在△ABC 和 △DEF 中，边AC ，DE 交于点H ，AB∥DE ，AB =DE ，BC =EF ．(1)若∠B =55°，∠ACB =100°，求∠CHE 的度数；(2)求证：△ABC≌△DEF ．【答案】(1)∠CHE =25°；(2)证明见解析．【分析】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．（1）根据三角形内角和定理求出∠A ，再根据平行线的性质得出∠CHE =∠A 即可；（2）根据平行线的性质得出∠B =∠DEF ，求出BC =EF ，再根据全等三角形的判定定理推出即可；【详解】（1）解：∵∠B =55°，∠ACB =100°，∴∠A =180°―∠B ―∠ACB =25°，∵AB∥DE ，∴∠CHE =∠A =25°；（2）证明：∵AB∥DE ，∴∠B =∠DEF ，在△ABC 和△DEF 中，AB =DE ∠B =∠DEF BC =EF∴△ABC≌△DEF (SAS)．【变式1-3】如图，点B 、E 、C 、F 在同一直线上，∠A =∠D =90°，BE =CF ，AC =DF ．求证：∠B =∠DEF ．【答案】答案见解析【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键即可得到答案．根据BE =CF 得到BE +EC =EC +CF 即BC =FE ，之后利用HL 证明Rt △ABC≌Rt △DFE 即可得到答案．【详解】证明：∵BE =CF ，∴BE +EC =EC +CF ，即BC =FE ．∵∠A =∠D =90°，则在Rt △ABC 和Rt △DFE 中，BC =FE AC =DE ，∴Rt △ABC≌Rt △DFE(HL)．∴∠B =∠DEF ．【题型2 翻折型】【方法技巧】【典例2】如图，AB=AD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．(1)求证：△ABC≌△ADC；(2)若AB=4，CD=3，求四边形ABCD的面积．【变式2-1】如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D，求证：AC=BD【答案】证明见解析【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，由两个三角形全等的判定定理AAS 得到△ABC≌△BAD (AAS)，再由三角形全等性质即可得证，熟练掌握两个三角形全等判的定定理AAS 及性质是解决问题的关键．【详解】证明：在△ABC 与△BAD 中，∠1=∠2∠C =∠D AB =AB，∴△ABC≌△BAD (AAS)，∴AC =BD ．【变式2-2】如图，已知AD 平分∠BAC ，AB =AC ．求证：△ABD≌△ACD ．【答案】见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据AD 平分∠BAC ，可得∠BAD =∠CAD ，再根据边角边可证明△ABD≌△ACD ．【详解】证明：∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD =∠CAD ，在△ABD 和△ACD 中，∵AB =AC ，∠BAD =∠CAD ，AD =AD ，∴△ABD≌△ACD (SAS)．【变式2-3】如图，AB =AC ，BO =CO ，求证：∠ADC =∠AEB ．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，连接OA ，证明△AOB≌△AOC (SSS)得出∠B =∠C ，再由三角形外角的定义及性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】证明：如图，连接OA ，在△AOB 和△AOC 中，AB =AC OB =OC OA =OA，∴△AOB≌△AOC (SSS)，∴∠B =∠C ，∵∠DOB =∠EOC ，∴∠B +∠DOB =∠C +∠EOC ，∴∠ADC =∠AEB ．【题型3旋转型】【方法技巧】【典例3】如图，在△ABC 和△AEF 中，点E 在BC 边上，∠C ＝∠F ，AC ＝AF ，∠CAF ＝∠BAE ，EF 与AC 交于点G ．（1）试说明：△ABC ≌△AEF ；（2）若∠B ＝55°，∠C ＝20°，求∠EAC 的度数．【答案】（1）见解答；（2）35°．【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠CAF+∠EAC＝∠BAE+∠EAC，即∠BAC＝∠EAF，在△ABC和△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（ASA）；（2）解：∵∠B＝55°，∠C＝20°，∴∠BAC＝180°﹣55°﹣20°＝105°，∵△ABC≌△AEF，∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB＝55°，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝70°，∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝105°﹣70°＝35°．【变式3-1】如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，若∠1＝∠2，∠E＝∠C，AE＝AC，求证：AB＝AD．【答案】证明见解答．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD，∴∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴AB＝AD．【变式3-2】如图，点E在△ABC边AC上，AE＝BC，BC∥AD，∠BAC＝∠ADE．（1）求证：△ABC≌△DEA；（2）若∠CAD＝30°，求∠BCD的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠BCD＝105°．【解答】（1）证明：∵BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAE．在△ABC和△DEA中，∵，∴△ABC≌△DEA（AAS）．（2）解：由（1）知△ABC≌△DEA（AAS），∴AC＝AD，∠ACB＝∠CAD＝30°，∴，∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝30°+75°＝105°．∴∠BCD＝105°．【变式3-3】如图，在△ABC中，点D是BC的中点，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．求证：△BDE≌△CDF．【答案】证明见解答过程．【解答】证明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，在△BDE与△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（AAS）．【变式3-4】如图，∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE，AC＝AE，求证：△ABC≌△ADE．【答案】见解答．【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，即∠BAC＝∠DAE．在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（AAS）．【题型4 一线三等角型】【方法技巧】模型一一线三垂直如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。

浙教版八年级上册全等三角形中几种模型

一、手拉手模型：1手的判别：判断左右，将等腰三角形顶角顶点朝上，左边为左手顶点，右边为右手顶点。

2手拉手的定义两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。

（左手拉左手，右手拉右手）3手拉手基本结论①△ABC≌△AB'C'(SAS)②∠BAB'=∠BOB'③AO平分∠BOC'二、例题例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC（2）AE=DC（3）AE与DC的夹角为60。

（4）△AGB≌△DFB（5）△EGB≌△CFB（6）BH平分∠AHC（7）GF∥AC1、△ABE和△ACF均为等边三角形结论：（1）△ABF≌△AEC .（2）∠BOE＝∠BAE＝60°.（3）OA平分∠EOF .（四点共圆证）拓展：△ABC和△CDE均为等边三角形结论：（1）AD＝BE；（2）∠ACB＝∠AOB；（3）△PCQ为等边三角形；（4）PQ∥AE；HFGE DA B C（5）AP ＝BQ ；（6）CO 平分∠AOE ；（四点共圆证）（7）OA ＝OB ＋OC ；（8）OE ＝OC ＋OD .（（7），（8）需构造等边三角形证明）变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：（1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC（3） AE 与DC 的夹角为60。

（4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC变式练习2：如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：（1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC（3） AE 与DC 的夹角为60。

（4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC变式训练3：两个等腰三角形ABD与BCE ，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=a 连接AE 与CD.问（1）△ABE ≌△DBC 是否成立？（2）AE 是否与CD 相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？（4）HB 是否平分∠AHC ？例2：如图，两个正方形ABCD 和DEFG ，连接AG 与CE ，二者相交于H问：（1）△ADG ≌△CDE 是否成立？（2）AG 是否与CE 相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？例3：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于H.问（1）△ADG≌△CDE是否成立？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？二、半角模型条件：1,+=1802αββθβ=︒且，两边相等.思路：1、旋转辅助线：①延长CD到E，使ED=BM，连AE或延长CB到F，使FB=DN，连AF②将△ADN绕点A顺时针旋转90°得△ABF，注意：旋转需证F、B、M三点共线结论：（1）MN＝BM＋DN；（2）=2CMNC AB；（3）AM、AN分别平分∠BMN、∠MND .2、翻折（对称）辅助线：①作AP⊥MN交MN于点P②将△ADN、△ABM分别沿AN、AM翻折，但一定要证明M、P、N三点共线 .例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM +DN，求证：①.∠MAN=45②.③.AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM.例2拓展：在正方形ABCD 中，已知∠MAN=，若M 、N 分别在边CB 、DC 的延长线上移动， ①.试探究线段MN 、BM 、DN 之间的数量关系. ②.求证：AB=AH.例3.在四边形ABCD 中，∠B+∠D=，AB=AD ，若E 、F 分别在边BC 、CD 上，且满足EF=BE +DF.求证：变式：在四边形ABCD 中，∠B ＝90°，∠D ＝90°，AB ＝AD ，若E 、F 分别为边BC 、CD 上的点，且12EAF BAD ∠=∠，ABC CMN 2=∆45180.21BAD EAF ∠=∠求证：EF ＝BE ＋DF .练习巩固1：（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=21∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将△AE F 绕点A 逆时针旋转，当点分别E 、F 运动到BC 、CD 延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..练习巩固2：已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．（1）如图1，当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时，有BM DN MN +=．当MAN ∠ 绕点A 旋转到BM DN ≠时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．练习巩固3：如图，已知在正方形ABCD 中，∠MAN =45°，连接BD 与AM ，AN 分别交于E 、F 两点。

全等三角形中“一线三等角”模型-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(浙教版)(解析版)

重难点：全等三角形中“一线三等角”模型【知识梳理】图一如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC 。

结论：Rt △BDC ≌Rt △CEA图二如图二，∠D=∠BCA=∠E ，BC=AC 。

结论：△BEC ≌△CDA【考点剖析】例题1．如图，∠A ＝∠B ＝90°，E 是线段AB 上一点，且AE ＝BC ，∠1＝∠2 ．（1）求证：ADE ≌BEC △；（2）若CD ＝10，求DEC 的面积．【详解】（1）∵12∠=∠，C D E BA∴DE CE =，∵∠A ＝∠B ＝90°，在Rt ADE △和Rt BEC △中，DE EC AE BC =⎧⎨=⎩，∴Rt ADE △≌Rt BEC △；（2）∵Rt ADE △≌Rt BEC △，∴ADE BEC ∠=∠，∵90ADE AED ∠+∠=︒，∴90AED BEC ∠+∠=︒，∴90DEC ∠=︒，∵12∠=∠，∴DE CE =，∴DEC 为等腰直角三角形，∴其斜边CD 上的高为5， ∴1105252DEC S =⨯⨯=△．【变式1】．已知，如图，AB ⊥BD 于点B ，CD ⊥BD 于点D ，P 是BD 上一点，且AP=PC ，AP ⊥PC ．（1）求证:△ABP ≌△PDC（2）若AB=3，CD=4，连接AC ，求AC 的长．【详解】（1）证明：,AB BD CD BD ⊥⊥90B D∴∠=∠=︒90BAP APB∴∠+∠=︒AP PC⊥90APB CPD∴∠+∠=︒BAP CPD∴∠=∠AP PC=()ABP PDC AAS∴≅；（2）连接AC，()ABP PDC AAS≅3,4AB BP CD===5 AP∴===在,5 Rt APC AP PC==AC∴==【变式2】如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分别为D、E．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）猜想线段AD、BE、DE之间具有怎样的数量关系，并说明理由；（3）题设条件不变，根据图2可得线段AD、BE、DE之间的数量关系是．（1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠CDA ＝∠BEC ＝90°．∴∠ACD ＋∠DAC ＝90°．∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°．∴∠DAC ＝∠ECB ．在△ADC 和△CEB 中，CDA BEC DAC ECBAC CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADC ≌△CEB ．（2）AD ＝BE ＋DE ．理由如下：由（1）知△ADC ≌△CEB ．∴AD ＝CE ，CD ＝BE ．∴AD ＝CE ＝CD ＋DE ＝BE ＋DE ．（3）DE ＝AD ＋BE ．理由：∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC=90°，∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠CBE ，又∵∠ADC=∠CEB ，AC=CB ，∴△ADC ≌△CEB ，∴AD=CE ，CD=BE ，∵CD+CE=DE ，∴DE=AD+BE ．【变式3】已知：D ，A ，E 三点都在直线m 上，在直线m 的同一侧作ABC ，使AB AC =，连接BD ，CE ．（1）如图①，若90BAC ∠=︒，BD m ⊥，CE m ⊥，求证ABD ACE ≅；（2）如图②，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠，请判断BD ，CE ，DE 三条线段之间的数量关系，并说明理由．【详解】（1）证明：如图①，∵D ，A ，E 三点都在直线m 上，∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°，∵BD ⊥m ，CE ⊥m ，∴∠ADB ＝∠CEA ＝90°，∴∠BAD ＋∠ABD ＝90°，∴∠ABD ＝∠CAE ，在△ABD 和△CAE 中，ADB AEC ABD CAEAB AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD ≌△CAE （AAS ）；（2）DE ＝BD ＋CE ．理由如下：如图②，∵∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，∴由三角形内角和及平角性质，得：∠BAD ＋∠ABD ＝∠BAD ＋∠CAE ＝∠CAE ＋∠ACE ，∴∠ABD ＝∠CAE ，∠BAD ＝∠ACE ，在△ABD 和△CAE 中，＝＝＝⎩∠∠⎪⎨⎪⎧∠∠BAD ACE AB ACABD CAE ，∴△ABD ≌△CAE （ASA ），∴BD ＝AE ，AD ＝CE ，∴DE ＝AD ＋AE ＝BD ＋CE ．【变式4】已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AE 是多点A 的一条直线，且BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于点E.当直线AE 处于如图1的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由.当直线AE 处于如图2的位置时，则BD 、DE 、CE 的关系如何？请说明理由.解析：（1）∵BD ⊥AE,CE ⊥AE∴∠BDA=∠AEC=90°∴∠A BD+∠BAD=90°∵∠BAC=90°（2）在△ABD 和△CAE ∴∠BAD+∠EAC=90°∴∠ABD=∠EAC 在△ABD 和△CAE 中∠ADB=∠CEA=90°∠ABD=∠EAC AB=CA ∴△ABD ≌△CAE(AAS)AD=CE,BD=AE ∵AE=AD+DE ∴BD=DE+CE 中解析：∵∠B=40°[来源:学,科,网Z,X,X,K]∴∠BAD+∠BDA=140°∵∠ADE=40°∴∠CDE+∠BDA=140°∴∠BAD=∠CDE在△ABD 和△DCE 中∠B=∠C∠BAD=∠CDEAB=DC∴△ABD ≌△∠ADB=∠CEA=90°AB=CA ∴△ABD ≌△CAE （AAS ）∴AD=CE,BD=AE∵AE=DE-AD ∴BD=DE-CE.例2、如图，在△ABC 中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D 在线段BC 上运动（D 不与B,C 重合），连接AD ，作∠ADE=40°，DE 交线段AC 于点E.当DC 等于多少是，△ABD ≌△DCE?请证明你的结论.DCE 【变式1】（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝9，点E 在边AC 上，AE的中垂线交BC 于点D ，若∠ADE ＝∠B ，CD ＝3BD ，则CE 等于（）A．3B ．2 【答案】A 【详解】解：∵AB ＝AC ＝9，∴∠B ＝∠C ，∵∠ADE ＝∠B ，∠BAD ＝180°﹣∠B ﹣∠ADB ，∠CDE ＝180°﹣∠ADE ﹣∠ADB ，∴∠BAD ＝∠CDE ，∵AE 的中垂线交BC 于点D ，∴AD ＝ED ，在△ABD 与△DCE 中，BAD CDE B CAD ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△DCE （AAS ），∴CD ＝AB ＝9，BD ＝CE ，∵CD ＝3BD ，∴CE ＝BD ＝3故选：A ．【变式2】（2022秋·八年级课时练习）如图，∠B =∠C =∠FDE =80°，DF =DE ，BF =1.5cm ，CE =2cm ，求BC 的长．【答案】3.5【详解】解：∠B=∠C=∠FDE=80°，100,100BDF EDC BDF BFD ∴∠+∠=︒∠+∠=︒EDC BFD ∴∠=∠在BFD △与CDE 中，B C EDC BFDDE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BFD CDE AAS ∴≅=1.5,=2BF CD BD CE ∴==2 1.5 3.5BC BD DC ∴=+=+=．【过关检测】一．选择题1．（2021秋•九龙坡区校级期末）如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D 、E ，AD ＝7cm ，BE ＝3cm ，则DE 的长是（）A ．3cmB ．3.5cmC ．4cmD ．4.5cm【分析】根据同角的余角相等，得∠CAD ＝∠BCE ，再利用AAS 证明△ACD ≌△CBE ，得CD ＝BE ＝3cm ，CE ＝AD ＝7cm ，从而得出答案．【解答】解：∵AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，∴∠BEC ＝∠CDA ＝90°，∴∠CAD+∠ACD ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD+∠BCE ＝90°，∴∠CAD ＝∠BCE ，在△ACD与△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD＝BE＝3cm，CE＝AD＝7cm，∴DE＝CE﹣CD＝7﹣3＝4cm，故选：C．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△ACD≌△CBE是解题的关键．2．（2021秋•定远县校级期末）如图，E为线段BC上一点，∠ABE＝∠AED＝∠ECD＝90°，AE＝ED，BC ＝20，AB＝8，则BE的长度为（）A．12B．10C．8D．6【分析】根据一线三等角模型证明△ABE≌△ECD，可得AB＝EC，即可解答．【解答】解：∵∠ABE＝∠AED＝90°，∴∠A+∠AEB＝90°，∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠A＝∠DEC，∵∠ABE＝∠ECD＝90°，AE＝ED，∴△ABE≌△ECD（AAS），∴AB＝CE＝8∵BC＝20，∴BE＝BC﹣CE＝20﹣8＝12，故选：A．【点评】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角模型是解题的关键．3．（2021秋•岑溪市期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点B在直线l上，过A作AD⊥l于D，过C作CE⊥l于E．下列给出四个结论：①BD＝CE；②∠BAD与∠BCE互余；③AD+CE＝DE．其中正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】根据同角的余角相等可得∠ABD＝∠BCE，再根据“AAS”可得△ABD≌△BCE，再逐项分析可得结论．【解答】解：∵AD⊥l，CE⊥l，∴∠ADB＝∠BEC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠EBC＝∠BCE+∠EBC＝90°，即∠ABD＝∠BCE，在△ABD和△BEC中，，∴△ABD≌△BCE（AAS），∴BD＝CE，故①正确；∵∠BAD+∠ABD＝90°，∠ABD＝∠BCE，∴∠BAD+∠BCE＝90°，即∠BAD与∠BCE互余，故②正确；∵△ABD≌△BCE，∴AD＝EB，DB＝CE，∵BE+D＝DE，∴AD+CE＝DE，故③正确．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△ABD≌△CBE 是解题的关键．4．（2021秋•龙湾区期中）如图，OA⊥OB，OB＝4，P是射线OA上一动点，连接BP，以B为直角顶点向上作等腰直角三角形，在OA上取一点D，使∠CDO＝45°，当P在射线OA上自O向A运动时，PD的长度的变化（）A．一直增大B．一直减小C．先增大后减小D．保持不变【分析】过点C作CH⊥OB于H，CG⊥OA于G，利用SAS证明△OBP≌△HCB，得OB＝CH＝4，OP＝HB，即可解决问题．【解答】解：过点C作CH⊥OB于H，CG⊥OA于G，∵△CBP是等腰直角三角形，∴BC＝BP，∠CBP＝90°，∴∠HBC+∠OBP＝90°，∵∠CBH+∠HCB＝90°，∴∠OBP＝∠HCB，在△OBP和△HCB中，，∴△OBP≌△HCB（AAS），∴OB＝CH＝4，OP＝HB，∵∠ODC＝45°，CG⊥OD，∴△GCD是等腰直角三角形，∴CG＝DG，∴PD＝GD﹣PG＝CG﹣（OP﹣4）＝4+OP﹣（OP﹣4）＝8，∴PD的长度保持不变，故选：D．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键．二．填空题5．（2022秋•拱墅区期中）如图，直线l上有三个边长分别为a，b，c的正方形，则有a2+c2b2（填“＞”或“＜”或“＝”）．【分析】证△EFG≌△GMH，推出FG＝MH＝c，GM＝EF＝a，再由勾股定理即可得出结论．【解答】解：如图，由正方形的性质得：∠EFG＝∠EGH＝∠GMH＝90°，EG＝GH＝b，∵∠FEG+∠EGF＝90°，∠EGF+∠MGH＝90°，∴∠FEG＝∠MGH，在△EFG和△GMH中，，∴△EFG≌△GMH（AAS），∴FG＝MH＝c，GM＝EF＝a，在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF2+FG2＝EG2，即a2+c2＝b2，故答案为：＝．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，证明△EFG≌△GMH是解题的关键．6．（2022秋•南陵县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，若AD＝8cm，BE＝3cm，则DE＝cm．【分析】由余角的性质可证∠CAD＝∠BCE，即可证明△CDA≌△BEC，可得CD＝BE，CE＝AD，根据DE＝CE ﹣CD，即可解题．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在△CDA和△BEC中，，∴△CDA≌△BEC（AAS），∴CD＝BE，CE＝AD，∵DE＝CE﹣CD，∴DE＝AD﹣BE，∵AD＝8cm，BE＝3cm，∴DE＝5cm，故答案为：5．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△CDA≌△BEC是解题的关键．7．（2021秋•台江区期末）如图，已知∠CDE＝90°，∠CAD＝90°，BE⊥AD于B，且DC＝DE，若BE＝7，AB＝4，则BD的长为．【分析】利用AAS证明△ACD≌△BDE，得BE＝AD，从而解决问题．【解答】解：∵BE⊥AD，∴∠EBD＝∠CAD＝90°，∴∠BDE+∠ADC＝90°，∠BDE+∠E＝90°，∴∠E＝∠ADC，在△ACD和△BDE中，，∴△ACD≌△BDE（AAS），∴BE＝AD，∴BD＝AD﹣AB＝BE﹣AB＝7﹣4＝3，故答案为：3．ACD≌△BDE是解题的关键．8．（2023春•城阳区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，AC⊥DC．过点B作BE⊥CA，垂足为点E．若CD＝2，CE＝6，则四边形ABCD的面积是．【分析】根据垂直定义可得∠ACD＝∠BEA＝∠DAB＝90°，从而可得∠D+∠DAC＝90°，∠DAC+∠EAB＝90°，进而可得∠D＝∠EAB，然后利用AAS证明△ADC≌△BAE，从而可得AC＝BE，DC＝AE＝2，进而可得BE＝AC＝8，最后根据四边形ABCD的面积＝△ADC的面积+△ABC的面积，进行计算即可解答．【解答】解：∵AB⊥AD，AC⊥DC，BE⊥CA，∴∠ACD＝∠BEA＝∠DAB＝90°，∴∠D+∠DAC＝90°，∠DAC+∠EAB＝90°，∴∠D＝∠EAB，∵AD＝AB，∴△ADC≌△BAE（AAS），∴AC＝BE，DC＝AE＝2，∵CE＝6，∴BE＝AC＝AE+CE＝2+6＝8，∴四边形ABCD的面积＝△ADC的面积+△ABC的面积＝DC•AC+AC•BE＝×2×8+×6×6＝8+18＝26，故答案为：26．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角全等模型是解题的关键．9．（2022•铁岭三模）如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为cm．【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；由题意得：AD＝EC＝9cm，DC＝BE＝21cm，∴DE＝DC+CE＝30（cm），答：两堵木墙之间的距离为30cm．故答案为：30．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．10．（2021秋•北仑区期末）如图，等边三角形ABC中，放置等边三角形DEF，且点D，E分别落在AB，BC上，AD＝5，连结CF，若CF平分∠ACB，则BE的长度为．【分析】如图，在BC上截取EG＝BD，连接FG，根据SAS证明△BED≌△GFE，得FG＝CG＝BE，最后证明AD＝2BE可得结论．【解答】解：如图，在BC上截取EG＝BD，连接FG，∵△ABC和△DEF是等边三角形，∴DE＝EF，AB＝BC，∠DEF＝∠B＝∠ACB＝60°，∵∠DEC＝∠BDE+∠B＝∠DEF+∠FEG，∴∠BDE＝∠FEG，在△BED和△GFE中，，∴△BED≌△GFE（SAS），∴∠B＝∠EGF＝60°，BE＝FG，∵FC平分∠ACB，∴∠ACF＝∠ECF＝30°，∵∠EGF＝∠GFC+∠FCG，∴∠GFC＝∠GCF＝30°，∴FG＝CG＝BE，∵AB＝BC，BD＝EG，∴AD＝BE+CG＝2BE＝5，∴BE＝2.5．故答案为：2.5．【点评】本题考查了等边三角形性质，全等三角形判定和性质，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形全等．三．解答题11．（2021秋•嵊州市期末）【问题提出】（1）已知：如图1，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，点C在线段DE上，AC＝BC且AC⊥BC，求证：△ADC≌△CEB．【问题解决】（2）如图2，点D，C，E在直线l上．点A，B在l的同侧，AC⊥BC，若AD＝AC＝BC＝BE＝5cm，CD ＝6cm，求CE的长．【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠A＝∠BCE，然后利用AAS即可证明结论；（2）作AG⊥CD于G，BH⊥CE于H，根据等腰三角形的性质得CG＝3cm，利用勾股定理得AG＝4cm，由（1）同理得，△ACG≌△CBH（AAS），得CH＝AG＝4cm，从而得出答案．【解答】（1）证明：∵AD⊥DE于点D，BE⊥DE，∴∠D＝∠E＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠A＝90°，∴∠A＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：作AG⊥CD于G，BH⊥CE于H，∵AD＝AC，AG⊥CD，∴CG＝3cm，在Rt△ACG中，由勾股定理得，AG＝4cm，由（1）同理得，△ACG≌△CBH（AAS），∴CH＝AG＝4cm，∵BC＝BE，BH⊥CE，∴CE＝2CH＝8cm．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握基本几何模型是解题的关键．12．（2022秋•青田县校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D．求证：△BEC≌△CDA．【分析】根据垂直的定义以及等量代换可知∠CBE＝∠ACD，根据已知条件∠BEC＝∠CDA，∠CBE＝∠ACD，BC＝AC，根据全等三角形的判定AAS即可证明△BEC≌△CDA．【解答】证明：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，∴∠BEC＝∠CDA＝90°，在Rt△BEC中，∠BCE+∠CBE＝90°，在Rt△BCA中，∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠CBE＝∠ACD，在△BEC和△CDA中，∠BEC＝∠CDA，∠CBE＝∠ACD，BC＝AC，∴△BEC≌△CDA．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，本题根据AAS证明两三角形全等，难度适中．13．（2021秋•安陆市校级月考）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【分析】（1）由∠ACB＝90°，得∠ACD+∠BCE＝90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC＝∠CEB ＝90°，根据等角的余角相等得到∠ACD＝∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD＝CE，DC＝BE，即可得到DE＝DC+CE＝BE+AD．（2）根据等角的余角相等得到∠ACD＝∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，DC＝BE，所以DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE．（3）DE、AD、BE具有的等量关系为：DE＝BE﹣AD．证明的方法与（2）相同．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE．在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，DC＝BE，∴DE＝DC+CE＝BE+AD；（2）证明：在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，DC＝BE，∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；（3）DE＝BE﹣AD．易证得△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，DC＝BE，∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了直角三角形全等的判定与性质．14．（2021秋•南丹县期末）如图1，∠ABC＝90°，F A⊥AB于点A，D是线段AB上的点，AD＝BC，AF＝BD．（1）判断DF与DC的数量关系为，位置关系为．（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，过点A在AB的另一侧作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC，DF，CF，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．【分析】（1）利用SAS证明△ADF≌△BCD，得DF＝CD，∠ADF＝∠BCD，从而得出∠ADF+∠CDB＝90°，即可证明结论；（2）由（1）同理得△ADF≌△BCD，得DF＝CD，∠ADF＝∠BCD，从而得出∠ADF+∠CDB＝90°，即∠CDF ＝90°．【解答】解：（1）∵AF⊥AB，∴∠DAF＝90°，在△ADF与△BCD中，，∴△ADF≌△BCD（SAS），∴DF＝CD，∠ADF＝∠BCD，∵∠BCD+∠CDB＝90°，∴∠ADF+∠CDB＝90°，即∠CDF＝90°，∴CD⊥DF，故答案为：相等，垂直；（2）成立，理由如下：∵AF⊥AB，∴∠DAF＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠CBD＝90°，∴∠DAF＝∠CBD，在△ADF与△BCD中，，∴△ADF≌△BCD（SAS），∴DF＝CD，∠ADF＝∠BCD，∵∠BCD+∠CDB＝90°，∴∠ADF+∠CDB＝90°，即∠CDF＝90°，∴CD⊥DF．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟悉基本的一线三等角模型是解题的关键．15．（2021秋•东至县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．【分析】由∠AEC＝∠BAC＝α，推出∠ECA＝∠BAD，再根据AAS证明△BAD≌△ACE得CE＝AD，AE＝BD＝3，即可得出结果．【解答】解：∵∠AEC＝∠BAC＝α，∴∠ECA+∠CAE＝180°﹣α，∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠ECA＝∠BAD，在△BAD与△ACE中，，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴CE＝AD，AE＝BD＝3，∵DE＝AD+AE＝10，∴AD＝DE﹣AE＝DE﹣BD＝10﹣3＝7．∴CE＝7．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△BAD≌△ACE是解题的关键．16．（2022秋•沭阳县月考）已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，AC⊥CE，AB＝CD，求证：BC＝DE．【分析】根据直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等．【解答】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD AC⊥CE（已知）∴∠ACE＝∠B＝∠D＝90°（垂直的意义）∵∠BCA+∠DCE+∠ACE＝180°（平角的意义）∠ACE＝90°（已证）∴∠BCA+∠DCE＝90°（等式性质）∵∠BCA+∠A+∠B＝180°（三角形内角和等于180°）∠B＝90°（已证）∴∠BCA+∠A＝90°（等式性质）∴∠DCE＝∠A （同角的余角相等）在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（ASA）∴BC＝DE．（全等三角形对应边相等）【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．17．（2022•鹿城区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE．已知∠1＝∠2，AD＝DE．（1）求证：△ABD≌△DCE；（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长．【分析】（1）根据AAS可证明△ABD≌△DCE；（2）得出AB＝DC＝5，CE＝BD＝3，求出AC＝5，则AE可求出．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD与△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（2）解：∵△ABD≌△DCE，∴AB＝DC＝5，CE＝BD＝3，∵AC＝AB，∴AC＝5，∴AE＝AB﹣EC＝5﹣3＝2．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．18．（2022秋•浠水县期中）已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为，CE与AD的数量关系为；（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得∠CAE＝∠ABD，再利用AAS证明△ABD≌△CAE，得BD ＝AE，CE＝AD；（2）由（1）同理可得△ABD≌△CAE，得BD＝AE，CE＝AD，可得答案；（3）分△DAB≌△ECA或△DAB≌△EAC两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题．【解答】解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD，∴∠CAE＝∠ABD，∵∠BDA＝∠AEC，BA＝CA，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，故答案为：BD＝AE，CE＝AD；（2）DE＝BD+CE，由（1）同理可得△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，∴DE＝BD+CE；（3）存在，当△DAB≌△ECA时，∴AD＝CE＝2cm，BD＝AE＝7cm，∴t＝1，此时x＝2；当△DAB≌△EAC时，∴AD＝AE＝4.5cm，DB＝EC＝7cm，∴t＝，x＝7÷＝，综上：t＝1，x＝2或t＝，x＝．【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．19．（2021秋•岳阳楼区期末）直线l经过点A，△ABC在直线l上方，AB＝AC．（1）如图1，∠BAC＝90°，过点B，C作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：△ABD≌△CAE；（2）如图2，D，A，E三点在直线l上，若∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝α（α为任意锐角或钝角），猜想线段DE、BD、CE有何数量关系？并给出证明；（3）如图3，∠BAC＝90°过点B作直线l上的垂线，垂足为F，点D是BF延长线上的一个动点，连结AD，作∠DAE＝90°，使得AE＝AD，连结DE，CE．直线l与CE交于点G．求证：G是CE的中点．【分析】（1）由直角三角形的性质证出∠ABD＝∠CAE，可证明△ABD≌△CAE（AAS）；（2）证明△ABD≌△CAE（AAS），由全等三角形的性质得出BD＝AE，DA＝EC，则可得出结论；（3）分别过点C、E作CM⊥l，EN⊥l，由（1）可知△ABF≌△CAM，△ADF≌△EAN，得出AF＝CM，AF＝EN，证明△CMG≌△ENG（AAS），由全等三角形的性质得出CG＝EG，则可得出结论．【解答】（1）证明：∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∴∠ABD+∠DAB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAE+∠DAB＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）解：猜想：DE＝BD+CE，∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠ABD+∠DAB＝180°﹣∠BDA＝180°﹣α，∠CAE+∠DAB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，DA＝EC，∴DE＝AE+DA＝BD+CE；（3）证明：分别过点C、E作CM⊥l，EN⊥l，由（1）可知△ABF≌△CAM，△≌△EAN，∴AF＝CM，AF＝EN，∴CM＝EN，∵CM⊥l，EN⊥l，∴∠CMG＝∠ENG＝90°，在△CMG与△ENG中，，∴△CMG≌△ENG（AAS），∴CG＝EG，∴G为CE的中点．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．20．（2021秋•涡阳县期末）如图，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，试回答下列问题：（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当AB∥MN时，∠2＝度；（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AM⊥MN于M，BN⊥MN与N，若AM ＝6，BN＝2，求MN．（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．【分析】（1）先求出∠B＝45°，再用平行线的性质，即可求出答案；（2）先用同角的余角相等判断出∠2＝∠CAM，同理：∠1＝∠CBN，进而判断出△AMC≌△CNB（ASA），得出AM＝CN，MC＝BN（3）同（2）的方法，即可得出结论．【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝90°，∴∠B＝∠A＝45°，∵AB∥MB，∴∠2＝∠B＝45°，故答案为45；（2）∵AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，∴∠AMC＝90°，∠BNC＝90°．∴∠1+∠CAM＝90°，又∵∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠CAM，同理：∠1＝∠CBN，在△AMC和△CNB中，，∴△AMC≌△CNB（ASA），∴AM＝CN，MC＝BN，∴MN＝MC+CN＝AM+BN＝2+6＝8；（3）MN＝BN﹣AM，理由：同（2）的方法得，△AMC≌△CNB（ASA），∴AM＝CN，MC＝BN，∴MN＝MC﹣CN＝BN﹣AM．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出△AMC≌△CNB是解本题的关键．21．（2022•信阳模拟）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．（1）如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是；（2）如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展与应用：如图3，当α＝120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB＝AF，分别连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由．【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（3）先由α＝120°和AF平分∠BAC得到∠BAF＝∠CAF＝60°，然后结合AB＝AF＝AC得到△ABF和△ACF 是等边三角形，然后得到FA＝FC、∠FCA＝∠FAB＝60°，然后结合△BDA≌△EAC得到∠BAD＝∠ACE、AD ＝CE，从而得到∠FAD＝∠FCE，故可证△FAD≌△FCE，从而得到DF＝EF、∠DFA＝∠EFC，最后得到∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠EFC+∠AFE＝60°，即可得证△DEF是等边三角形．【解答】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE．（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（3）△DEF是等边三角形，理由如下，∵α＝120°，AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝60°，∵AB＝AF＝AC，∴△ABF和△ACF是等边三角形，∴FA＝FC，∠FCA＝∠FAB＝∠AFC＝60°，同（2）可得，△BDA≌△AEC，∴∠BAD＝∠ACE，AD＝CE，∴∠FAD＝∠FCE，∴△FAD≌△FCE（SAS），∴DF＝EF，∠DFA＝∠EFC，∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠EFC+∠AFE＝∠AFC＝60°，∴△DEF是等边三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练应用一线三等角模型证明三角形全等．22．（2022秋•东台市月考）【一线三等角模型】如图1：点A、B、C在一条直线上，∠A＝∠DBE＝∠C，当BD＝BE时，有△ABD≌△CEB．理由：∵∠A＝∠DBE，∴∠D+∠DBA＝180°﹣∠A，∠DBA+∠CBE＝180°﹣∠DBE，∴∠D＝∠CBE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣请将全等证明过程补充完整．【模型运用】如图2：∠ABC＝∠CAD＝90°，AB＝4，AC＝AD，求△BAD的面积；【能力提升】如图3：在等边△DEF中，A，C分别为DE、DF边上的动点，AE＝2CD，连接AC，以AC 为边在△DEF内作等边△ABC，连接BF，当点A从点E向点D运动（不与点D重合）时，∠CFB的度数变化吗？如不变请求出它的度数，如变化，请说明它是怎样变化的？【分析】【一线三等角模型】如图1：根据AAS证明三角形全等即可；【模型运用】如图2：过点D作DT⊥BA交BA的延长线于点T．构造全等三角形解决问题即可；【能力提升】∠CFB＝30°不变．如图3中，在CF上取一点N，使得FN＝DC．证明△ADC≌△CNB（SAS），推出BN＝CD，∠D＝∠BNC＝60°，可得结论．【解答】【一线三等角模型】证明：如图1：∵∠A＝∠DBE，∴∠D+∠DBA＝180°﹣∠A，∠DBA+∠CBE＝180°﹣∠DBE，∴∠D＝∠CBE，在△ABD和△CEB中，，∴△ABD≌△CEB（AAS）；【模型运用】解：如图2：过点D作DT⊥BA交BA的延长线于点T．同法可证△ATD≌△CBA（AAS），∴DT＝AB＝4，∴S△ABD＝×AB×DT＝×4×4＝8；【能力提升】解：∠CFB＝30°不变．理由：如图3中，在CF上取一点N，使得FN＝DC．∵△ABC，△DEF都是等边三角形，∴∠D＝∠ACB＝60°，DA＝DF，CA＝CB，∵AE＝2CD，CD＝FN，∴DA＝CN，∵∠ACN＝∠ACB+∠BCN＝∠D+∠CAD，∴∠BCN＝∠DAC，在△ADC和△CNB中，，∴△ADC≌△CNB（SAS），∴BN＝CD，∠D＝∠BNC＝60°，∵NF＝CD，∴NB＝NF，∴∠NBF＝∠NFB，∵∠BNC＝∠NBF+∠NFB＝60°，∴∠NFB＝∠NBF＝30°，∴∠CFB＝30°．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造一线三等角模型，利用全等三角形解决问题．23．（2021秋•江汉区期末）如图，在等边△ABC中，D，E分别为AB，BC边上的点，DE＝EF，∠DEF＝60°．（1）如图1，若点F在AC边上，求证：AD＝CF；（2）如图2，连CF．若∠FCB＝30°，求证：AD＝2BE；（3）如图3，O是BC的中点，点H在△ABC内，∠BHC＝120°，点M，N分别在CH，BH上，MO⊥NO，若∠CAM＝α，直接写出∠BAN的度数（用含有α的式子表示）．【分析】（1）连接DF，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可判断△DEF是等边三角形，则DF＝EF，又△ABC是等边三角形，根据三角形内角和可得出，∠AFD＝∠FEC，所以△ADF≌△CFE（AAS），则AD＝CF；（2）过点F作JK∥AC交AB于点J，交BC于点K，过点F作PI∥AB交AC于P，交BC于点I，连接DF，则△BJK和△CPI是等边三角形，△BDE≌△JFD≌KEF，所以DJ＝BE＝FK，因为AB∥PI，FK∥AC，所以四边形AJFP是平行四边形，则AJ＝PF，易得△CPI为等边三角形，由∠FCB＝30°可得CF平分∠PCI，则FI＝FP，所以FP＝AJ，FK＝BE＝DJ，FI＝FK，所以AJ＝DJ＝BE，即AD＝AJ+DJ＝2BE；（3）延长MO到点G，使OG＝OM，连接NG，BG，NM，作∠ACQ＝∠ABN，且使CQ＝BN，连接MQ，AQ，先得到△BOG≌△COM（SAS），再得到△ACQ≌△ABN（SAS）和△BNG≌△CQM（SAS），所以∠NAM＝∠MAQ ＝∠CAM+∠CAQ＝∠CAM+∠BAN，所以∠CAM+∠BAN＝30°，则∠CAM＝α，所以∠BAN＝30°﹣α．【解答】（1）证明：如图，连接DF，∵DE＝EF，∠DEF＝60°，∴△DEF是等边三角形，∴DF＝EF，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠C＝60°，∵∠AFE＝∠AFD+∠DFE＝60°+∠AFD，∠AFE＝∠C+∠EFC＝60°+∠FEC，∴∠AFD＝∠FEC，∵∠A＝∠C，DF＝EF，∴△ADF≌△CFE（AAS），∴AD＝CF；（2）证明：如图，过点F作JK∥AC交AB于点J，交BC于点K，过点F作PI∥AB交AC于P，交BC于点I，连接DF，∴∠BJK＝∠BAC＝∠BKJ＝∠ACB＝60°＝∠ABC，∠CPI＝∠BAC＝∠B＝∠CIP＝60°＝∠ACB，∴△BJK和△CPI是等边三角形，∵∠DEF＝60°，DE＝EF，∴△DEF是等边三角形，由（1）中结论可知，△BDE≌△JFD≌KEF，∴DJ＝BE＝FK，∵AB∥PI，FK∥AC，∴四边形AJFP是平行四边形，∴AJ＝PF，∵∠FIK＝∠FKI＝60°，∴FI＝FK，∵△CPI为等边三角形，∠FCB＝30°，∴∠FCI＝∠FCP＝30°，∴CF平分∠PCI，∵△CPI是等边三角形，∴FI＝FP，∵FP＝AJ，FK＝BE＝DJ，FI＝FK，∴AJ＝DJ＝BE，即AD＝AJ+DJ＝（3）解：如图，延长MO到点G，使OG＝OM，连接NG，BG，NM，作∠ACQ＝∠ABN，且使CQ＝BN，连接MQ，AQ，∵MO⊥NO，OM＝OG，∴NG＝MN，∵MO＝OG，BO＝OC，∠MOC＝∠BOG，∴△BOG≌△COM（SAS），∴BG＝CM，∠GBO＝∠OCM，∴BG∥CM，∴∠NBG＝180°﹣∠BHC＝60°，∵BHC＝120°，∴∠HBC+∠HCB＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∴∠ABH+∠HBC＝∠ACH+∠HCB＝60°，∴∠ABH＝∠HCB，∠HBC＝∠ACH，∵∠ACQ＝∠ABN，AB＝AC，BN＝CQ，∴△ACQ≌△ABN（SAS），∴AN＝AQ，∠BAN＝∠CAQ，∵∠ACB＝∠ACH+∠BCH＝60°，∠ABN＝∠BCH＝∠ACQ，∴∠MCQ＝∠ACM+∠ACQ＝∠ACH+∠BCH＝60°＝∠NBG，∵BN＝CQ，BG＝CM，∴△BNG≌△CQM（SAS），∴NG＝MQ，∵NG＝NM，∴MQ＝MN，∵AN＝AQ，AM＝AM，∴△NAM≌△QAM（SSS），∴∠NAM＝∠MAQ＝∠CAM+∠CAQ＝∠CAM+∠BAN，又∵∠NAM+∠CAM+∠BAN＝60°，∴∠CAM+∠BAN＝30°，∴∠CAM＝α，∴∠BAN＝30°﹣α．【点评】本题属于三角形的综合题，涉及全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形三线合一等知识，类比思想及构造的思想进行分析，仿造（1）中的结论构造出全等三角形是解题关键．。

专题02 全等三角形中的六种模型梳理

专题02 全等三角形中的六种模型梳理一、概述全等三角形是初中数学中一个重要且常见的概念，对于几何学的学习具有重要的意义。

在全等三角形的学习中，有六种基本模型，它们是解决全等三角形问题的重要工具。

本文将对全等三角形中的六种模型进行深入探讨和梳理，帮助读者更加全面地理解和掌握这一知识点。

二、模型一：SSS全等模型在全等三角形中，如果两个三角形的三条边分别相等，则可以确定它们是全等三角形，这就是SSS全等模型。

如果已知两个三角形的三边分别相等，那么这两个三角形一定是全等的。

模型二：SAS全等模型SAS全等模型是指如果两个三角形的一条边和夹角以及另一边的长度分别相等，则可以确定它们是全等三角形。

如果已知两个三角形的一个角和两边分别相等，那么可以确定这两个三角形是全等的。

模型三：ASA全等模型在全等三角形中，如果两个三角形的一个角和两个角边相等，则可以确定它们是全等三角形，这就是ASA全等模型。

如果已知两个三角形的一个角和两个角边分别相等，那么可以确认这两个三角形是全等的。

模型四：HL全等模型HL全等模型是指如果两个直角三角形的斜边和一个直角边的长度分别相等，则可以确定它们是全等三角形。

如果已知两个直角三角形的斜边和一个直角边的长度分别相等，那么可以确定这两个三角形是全等的。

模型五：LL全等模型LL全等模型是指如果两个三角形的两个角和一个边分别相等，则可以确定它们是全等三角形。

如果已知两个三角形的两个角和一个边分别相等，那么可以确定这两个三角形是全等的。

模型六：对顶全等模型对顶全等模型是指如果两个三角形的两个对顶角和一个边分别相等，则可以确定它们是全等三角形。

如果已知两个三角形的两个对顶角和一个边分别相等，那么可以确定这两个三角形是全等的。

三、总结与回顾通过上述对全等三角形中六种模型的梳理，我们可以发现几何学中的相似和全等的概念是非常重要的。

在实际问题中，我们可以通过判断形状的相似或全等，推断出一些未知的信息，帮助我们解决问题。

全等模型-角平分线模型-2023-2024学年八年级数学上册常见几何模型全归纳(浙教版)(解析版)

z全等模型-角平分线模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）【模型解读与图示】条件：如图1，为的角平分线、于点A 时，过点C 作. 结论：、≌.图1 图2常见模型1（直角三角形型）条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D 作.结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.）图3 常见模型2（邻等对补型）条件：如图3，OC 是∠COB 的角平分线，AC =BC ，过点C 作CD ⊥O A 、CE ⊥OB 。

结论：①；②；③.OC AOB ÐCA OA ^CA OB ^CA CB =OAC D OBCD ABC D 90C Ð=°AD CAB ÐDE AB ^DC DE =DAC D DAE D ABC D AB AC CD =+180BOA ACB Ð+Ð=°AD BE =2OA OB AD =+z例1．（2023春·四川达州·八年级校考期中）如图，在中，，是的平分线，若，，则的长是（）A ．4B ．3C ．2 D ．1【答案】A【分析】如图，过D 作于E ，利用三角形的面积公式求出，再据角平分线的性质得出答案．【详解】解：如图，过D 作于E ，∵，，∴，∴，∵，即，是的角平分线，∴，故选：A ．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．例2．（2023·河北保定·八年级校考阶段练习）如图，已知、的角平分线、相交于点，Rt ABC △90C Ð=°BD ABC Ð10AB =20ABD S =!CD DE AB ^4DE =DE AB ^10AB =20ABD S =!11102022ABD S AB DE DE =×=´×=!4DE =90C Ð=°DC BC ^BD ABC Ð4CD DE ==ABC ÐEAC ÐBP AP Pz【答案】A【分析】作于点，根据角平分线的判定定理和性质定理，即可判断①结论；根据角平分线的定义和三角形外角的性质，即可判断②结论；先根据四边形内角和，得出，再证明，，得到，，即可判断③结论；根据全等三角形面积相等，即可判断④结论．【详解】解：①作于点，平分，，，平分，，，，点在的角平分线上，平分，①结论正确；②平分，平分，，，，，，，，，②结论正确；③，，，，，，在和中，，，同理可证，，，，，故③结论正确；④，，，，故④结论不正确；综上所述，正确的结论是①②③，故选：A ．PD AC ^D 180MPN ABC Ð=°-Ð()Rt Rt HL AMP ADP !!≌()Rt Rt HL CDP CNP !!≌12APD MPD Ð=Ð12CPD NPDÐ=ÐPD AC ^D BP !ABC ÐPM BE ^PN BF ^PM PN \=AP !EAC ÐPM BE ^PD AC ^PM PD \=PN PD \=\P ACF ÐCP \ACF ÐBP !ABC ÐCP ACF Ð2ABC PBC \Ð=Ð2ACF PCF Ð=ÐACF ABC BAC Ð=Ð+Ð!PCF PBC BPC Ð=Ð+Ð()2ABC BAC PBC BPC \Ð+Ð=Ð+Ð222PBC BAC PBC BPC \Ð+Ð=Ð+Ð2BAC BPC \Ð=Ð12BPC BAC\Ð=ÐPM AB ^!PN BC ^90AMP CNP \Ð=Ð=°360ABC CNP MPN AMP Ð+Ð+Ð+Ð=°!3609090180MPN ABC ABC \Ð=°-°-°-Ð=°-ÐPM PN PD ==!Rt AMP !Rt ADP !AP APPM PD =ìí=î()Rt Rt HL AMP ADP \!!≌()Rt Rt HL CDP CNP !!≌12APD APM MPD \Ð=Ð=Ð12CPD CPN NPDÐ=Ð=Ð()()1111180902222APC APD CPD MPD NPD MPN ABC ABC \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°-Ð=°-ÐRt Rt AMP ADP !""≌Rt Rt CDP CNP !!≌AMP ADP S S \=!!CDP CNP S S =!!AMP CNP ADP CDP APC S S S S S \+=+=!!!!!z【点睛】本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，三角形外角的定义，四边形内角和，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．例3．（2023·福建南平·八年级统考期中）如图所示，，是的中点，平分．（1）求证：是的平分线；（2）若，求的长．【答案】（1）详见解析；（2）8cm.【分析】（1）过点E 分别作于F ，由角平分线的性质就可以得出EF=EC ，根据HL 得，即可得出结论；（2）根据角平分线和平行线的性质求出，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解.【详解】（1）证明：过点E 分别作于F ，∴∠DFE=∠AFE=90°．∵∠B=∠C=90°，∴∠B=∠AFE=∠DFE=∠C=90°．∴CB ⊥AB ，CB ⊥CD ． ∵DE 平分∠ADC ．∴∠EDC=∠EDF ，CE=EF ． ∵E 是BC 的中点，∴CE=BE ，∴BE=EF ．在Rt △AEB 和Rt △AEF 中，，∴Rt △AEB ≌Rt △AEF （HL ），∴∠EAB=∠EAF ，∴AE 是∠DAB 的平分线；（2）解：∵∠B=∠C=90°，∴AB ∥CD ，∴∠BAD+∠ADC=180°， ∵∠BAD=60°，平分，AE 是∠DAB 的平分线，，，，∵∠C=90° ∴ ，，90B C Ð=Ð=!E BC DE ADC ÐAE DAB Ð2cm,BAD=60CD =Ð!AD EF AD ^AEB AEF D D ≌30CED DAE Ð=Ð=°EF AD ^EB=EFAE=AE ìíîDE ADC Ð60ADE CDE Ð=Ð=°∴30DAE Ð=°A 90DE =°∠A 30D E =°∠C 30DE =°∠z.故答案为（1）详见解析；（2）8cm.【点睛】本题考查角平分线的性质，线段中点的定义，全等三角形的判定与性质的运用，含30°角的直角三角形，证明三角形全等是解（1）题的关键，掌握含30°角的直角三角形的性质是解（2）题的关键．例4．（2022秋·辽宁葫芦岛·八年级校联考期中）已知，平分，点在射线上，点在射线上，点在直线上，连接，，且．(1)如图1，当时，与的数量关系是______．(2)如图2，当是钝角时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； (3)当时，若，，请直接写出与的面积的比值．【答案】(1)(2)成立；证明见解析(3)2或4（或也行）【分析】（1）过点作于，于，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得出结论；（2）过点作于，于，证明，得到；（3）分点在射线上，点在射线的反向延长线上两种情况，仿照（2）的方法解答即可．【详解】（1）如图1，过点作于，于，四边形为矩形，，，，248AD DE CD cm \===OA MON ÐP OA B OM C ON PB PC 180MON BPC Ð+Ð=°90MON Ð=°PB PC MON Ð120MON Ð=°6OP =2OC =OBP !OCP △PB PC =2:14:1P PE OM ^E PF ON ^F PE PF =EPB FPC @!!P PE OM ^E PF ON ^F EPB FPC @!!PB PC =C ON C ON P PE OM ^E PF ON ^F 90MON \Ð=°\PEOF 90EPF \Ð=°90EPB BPF \Ð+Ð=°180MON BPC Ð+Ð=°!90MON Ð=°z，，，平分，，，，在和中，，，，故答案为．（2）解：成立，理由如下：如图2，证明：过点分别作于点，作于点．∴ ∵平分，∴∵在四边形中， ∴ 又∵∴在和中，∴∴．（3）解：如图3，过点分别作于点，作于点．平分，，与的面积的比值为2。

八年级数学上册全等三大类基础模型

全等三大类基础模型
一、平移类全等
【模型展示】
【模型解读】平移类模型，是由两个全等的三角形通过在平面内平移得到的。

【模型点睛】平移→平行
【知识链接】①三线八角②平行+平分=等腰③外角定理④公共线段
二、对称类全等
【模型展示】
【模型解读】对称类模型，是由两个全等的三角形关于某条直线翻折得到的。

【模型点睛】平移→折叠
【知识链接】①等腰三角形②公共角③八字角模型④角平分线定理
三、旋转类全等
【模型展示】
【模型解读】旋转类模型，是由两个全等的三角形关于某个点旋转得到。

【模型点睛】平移→旋转
【知识链接】①公共角②等腰三角形③对应边的夹角相等
④8字角模型⑤外角定理
4/ 4。

全等三角形的基本模型探究1+专题复习课件+2023-2024学年浙教版数学八年级上册

例题探究
解：(2)①∵∠ACB＝∠DCE＝α，
∴∠ACB＋∠ACE＝∠ACE＋∠DCE，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中， CA＝CB，
∵ ∠ACD＝∠BCE， CD＝CE，
②∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD＝∠CBE. 又∵∠BAC＋∠ABC＝180°－α，
∴△ACD≌△BCE(SAS)， ∴∠BAM＋∠ABM＝180°－α，
例题探究
（）证明：
∵ BD 直线l，CE 直线l BDA CEA 90. ∵BAC 90， BAD CAE 90. ∵BAD ABD 90 CAE ABD. 在△ADB和△CEA中，
ABD CAE ∵BDA CEA
AB CA △ADB≌△CEA( AAS). AE BD，AD CE. DE AE AD BD CE.
∴AD＝BE.
∴∠EMD＝∠AMB＝180°－(180°－α)＝α.
例题探究
【4】一线三等角模型基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC， CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.
B C
D
A
E
例题探究
【例5】已知：在△ABC中，AB＝AC，直线l过点A．
（1）如图1,∠BAC＝90°,分别过点B,C作直线l的垂线段BD,CE，垂足分别为
∴CA＝CB，∠ACP＝∠BCP.又∵PC＝PC，
∴△ACP≌△BCP(SAS)．
∴∠CAE＝∠CBF.
∠CA E ＝∠CB F ，
(2)在△ACE 和△BCF 中，∵ AC＝BC，
∠A CE ＝∠B CF ，
∴△ACE ≌△BCF(ASA)．∴AE＝BF.
例题探究
【例3】如图，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝PC，D是AP上一点．求证： ∠BDP＝∠CDP．

浙教版初二(上)数学第三讲_全等三角形的相关模型

第三讲全等三角形的相关模型【要点梳理】要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180°（3）OA平分∠BOC变形：要点二：角平分线模型特点：由角平分线构成了的两个三角形。

结论：（1）△AFG≌△AEG （2）FG=GE变形：要点三：半角模型特点：结论：（1）MN=BM+DN （2）△CMN的周长=2AB （3）AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM变形：要点四：等腰直角三角形模型1.在斜边上任取一点的旋转全等操作过程：（1）将△ABD逆时针旋转90°，使△ACM≌△ABD，从而推出△ADM为等腰直角三角形。

（2）过点C作BC⊥MC，连AM导出上述结论2.定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等操作过程：连AD.（1）使BF=AE（或AF=CE），导出△BDF≌△ADE（2）使∠EDF+∠BAC=180°，导出△BDF≌△ADE3.将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：要点五：双垂直模型特点：图形中包含两条垂线，且有一组边或角相等。

结论：若AD=BD,则BH=AC变形：∠1=∠2，则AE=AF ∠1=∠2，∠BAP=∠DAP，则AE=AF，AP⊥CF要点六：三垂直模型特点：图形中包含三条垂线，且有一组边。

结论：（1）△ABE≌△BCD （2）ED=AE-CD变形：要点七：全等三角形问题中常见的辅助线的作法1.遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形。

2.遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形。

3.遇到角平分线：（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线；（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形；（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

全等模型：一线三等角(K字)2023-2024学年八年级数学上册常见几何模型解读(浙教版)解析版

全等模型--一线三等角（K 字）模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K 字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.一线三等角（K 型图）模型（同侧型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。

【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角直角一线三等角（“K 型图”）钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠+ CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅ ，已知：在ABC 中，【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析【分析】（1）根据AAS 可证明ADB CEA ≌，可得AE BD AD CE ==，，可得DE BD CE =+．（2）由已知条件可知180BAD CAE α∠+∠=︒−，180DBA BAD α∠+∠=︒−，可得DBA CAE ∠=∠，结合条件可证明ADB CEA ≌，同（1）可得出结论．【详解】证明：（1）如图1，∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，∴90BDA CEA ∠=∠=︒，∵90BAC ∠=︒，∴90BAD CAE ∠+∠=︒，∵90BAD ABD ∠+∠=︒，∴CAE ABD ∠=∠，在ADB 和CEA 中，BDA CEA CAE ABDAB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(AAS)ADB CEA ≌△△，∴AE BD AD CE ==，，∴DE AE AD BD CE =+=+；（2）如图2，∵BDA BAC α∠=∠=，∴180DBA BAD BAD CAE ∠∠∠∠α+=+=︒−，∴DBA CAE ∠=∠，在ADB 和CEA 中，BDA CEA CAE ABDAB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(AAS)ADB CEA ≌△△，∴AE BD AD CE ==，，∴DE AE AD BD CE =+=+．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到AE BD AD CE ==，是解题的关键．例2．（2023春·上海·七年级专题练习）在直线m 上依次取互不重合的三个点,,D A E ，在直线m 上方有AB AC =，且满足BDA AEC BAC α∠=∠=∠=．(1)如图1，当90α=︒时，猜想线段,,DE BD CE 之间的数量关系是____________；(2)如图2，当0180α<<︒时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在ABC 中，BAC ∠是钝角，AB AC =，,BAD CAE BDA AEC BAC ∠<∠∠=∠=∠，直线m 与CB 的延长线交于点F ，若3BC FB =，ABC 的面积是12，求FBD 与ACE △的面积之和．【答案】(1)DE ＝BD+CE(2)DE ＝BD+CE 仍然成立，理由见解析(3)△FBD 与△ACE 的面积之和为4【分析】（1）由∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90°得到∠BAD+∠EAC ＝∠BAD+∠DBA ＝90°，进而得到∠DBA ＝∠EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE ＝BD+CE ；（2）由∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α得到∠BAD+∠EAC ＝∠BAD+∠DBA ＝180°﹣α，进而得到∠DBA ＝∠EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE ＝BD+CE ；（3）由∠BAD ＞∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，得出∠CAE ＝∠ABD ，由AAS 证得△ADB ≌△CAE ，得出S △ABD ＝S △CEA ，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S △ABF 即可得出结果．【详解】（1）解：DE ＝BD+CE ∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90°，∴∠BAD+∠EAC ＝∠BAD+∠DBA ＝90°，∴∠DBA ＝∠EAC ，∵AB ＝AC ，∴△DBA ≌△EAC （AAS ），∴AD ＝CE ，BD ＝AE ，∴DE ＝AD+AE ＝BD+CE ，故答案为：DE ＝BD+CE ．（2）DE ＝BD+CE 仍然成立，理由如下，∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α，∴∠BAD+∠EAC ＝∠BAD+∠DBA ＝180°﹣α，∴∠DBA ＝∠EAC ，∵AB ＝AC ，∴△DBA ≌△EAC （AAS ），∴BD ＝AE ，AD ＝CE ，∴DE ＝AD+AE ＝BD+CE ；（3）解：∵∠BAD ＜∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，∴∠CAE ＝∠ABD ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴S △ABD ＝S △CAE ，设△ABC 的底边BC 上的高为h ，则△ABF 的底边BF 上的高为h ，∴S △ABC ＝12BC•h ＝12，S △ABF ＝12BF•h ，∵BC ＝3BF ，∴S △ABF ＝4，∵S △ABF ＝S △BDF+S △ABD ＝S △FBD+S △ACE ＝4，∴△FBD 与△ACE 的面积之和为4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．【答案】（1）△ACP 与△BPQ 全等，理由见解析；（2）PC ⊥PQ ，证明见解析；（3）存在，当t ＝1s ，x ＝2cm/s或t ＝94s ，x ＝289cm/s 时，△ACP 与△BPQ 全等．【分析】（1）利用SAS 定理证明ACP BPQ ∆≅∆；（2）根据全等三角形的性质判断线段PC 和线段PQ 的位置关系；（3）分ACP BPQ ∆≅∆，ACP BQP ∆≅∆两种情况，根据全等三角形的性质列式计算．【详解】（1）△ACP 与△BPQ 全等，理由如下：当t ＝1时，AP ＝BQ ＝2，则BP ＝9﹣2＝7，∴BP ＝AC ，又∵∠A ＝∠B ＝90°，在△ACP 和△BPQ 中，AP BQ A B CA PB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△BPQ （SAS ）；（2）PC ⊥PQ ，证明：∵△ACP ≌△BPQ ，∴∠ACP ＝∠BPQ ，∴∠APC+∠BPQ ＝∠APC+∠ACP ＝90°．∴∠CPQ ＝90°，即线段PC 与线段PQ 垂直；（3）①若△ACP ≌△BPQ ，则AC ＝BP ，AP ＝BQ ，∴9﹣2t ＝7，解得，t ＝1（s ），则x ＝2（cm/s ）；②若△ACP ≌△BQP ，则AC ＝BQ ，AP ＝BP ，则2t ＝12×9，解得，t ＝94（s ），则x ＝7÷94＝289（cm/s ），故当t ＝1s ，x ＝2cm/s 或t ＝94s ，x ＝289cm/s 时，△ACP 与△BPQ 全等．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分类讨论思想的灵活运用是解题的关键．例4．（2022·贵州铜仁·三模）（1）探索发现：如图1，已知Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 过点C ，过点A 作AD l ⊥，过点B 作BE l ⊥，垂足分别为D 、E ．求证：CD BE =．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N 的坐标为()4,2，求点M 的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线44y x =−+与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45︒后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．【答案】（1）见详解；（2）点M 的坐标为（1，3）；（3）R （203，0）【分析】（1）先判断出∠ACB=∠ADC ，再判断出∠CAD=∠BCE ，进而判断出△ACD ≌△CBE ，即可得出结论；（2）过点M 作MF ⊥y 轴，垂足为F ，过点N 作NG ⊥MF ，判断出MF=NG ，OF=MG ，设M （m ，n ）列方程组求解，即可得出结论；（3）过点Q 作QS ⊥PQ ，交PR 于S ，过点S 作SH ⊥x 轴于H ，先求出OP=4，由y=0得x=1，进而得出Q （1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ ，即可判断出OH=5，SH=OQ=1，进而求出直线PR 的解析式，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵∠ACB ＝90°，AD ⊥l ，∴∠ACB ＝∠ADC ．∵∠ACE ＝∠ADC+∠CAD ，∠ACE ＝∠ACB+∠BCE ，∴∠CAD ＝∠BCE ，∵∠ADC ＝∠CEB ＝90°，AC ＝BC ．∴△ACD ≌△CBE ，∴CD ＝BE ，（2）解：如图2，过点M 作MF ⊥y 轴，垂足为F ，过点N 作NG ⊥MF ，交FM 的延长线于G ，由已知得OM ＝ON ，且∠OMN ＝90°，∴由（1）得△OFM ≌△MGN ，∴MF ＝NG ，OF ＝MG ，设M （m ，n ），∴MF ＝m ，OF ＝n ，∴MG ＝n ，NG ＝m ，∵点N 的坐标为（4，2）∴42m n n m +=⎧⎨−=⎩解得13m n =⎧⎨=⎩∴点M 的坐标为（1，3）；（3）如图3，过点Q 作QS ⊥PQ ，交PR 于S ，过点S 作SH ⊥x 轴于H ，对于直线y ＝﹣4x+4，由x ＝0得y ＝4，∴P （0，4），∴OP ＝4，由y ＝0得x ＝1，∴Q （1，0），OQ ＝1，∵∠QPR ＝45°，∴∠PSQ ＝45°＝∠QPS ．∴PQ ＝SQ ．∴由（1）得SH ＝OQ ，QH ＝OP ．∴OH ＝OQ+QH ＝OQ+OP ＝4+1＝5，SH ＝OQ ＝1．∴S （5，1），设直线PR 为y ＝kx+b ，则451b k b =⎧⎨+=⎩，解得435b k =⎧⎪⎨=−⎪⎩．∴直线PR 为y ＝35-x+4．由y ＝0得，x ＝203，∴R （203，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．模型2.一线三等角（K 型图）模型（异侧型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。

浙教版数学八年级上册1.5《三角形全等的判定》(第3课时)教学设计

浙教版数学八年级上册1.5《三角形全等的判定》（第3课时）教学设计一. 教材分析浙教版数学八年级上册1.5《三角形全等的判定》（第3课时）的内容主要包括SSS、SAS、ASA、AAS四种三角形全等的判定方法。

这部分内容是学生学习全等三角形的后续，对于学生理解和掌握全等三角形的概念，以及后续证明和计算具有重要的意义。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了全等三角形的概念，对于图形的变换和推理也有一定的基础。

但是，学生在理解和运用全等三角形的判定方法方面还存在一定的困难，需要通过实例和练习来进一步巩固。

三. 教学目标1.理解SSS、SAS、ASA、AAS四种三角形全等的判定方法。

2.能够运用全等三角形的判定方法判断两个三角形是否全等。

3.提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：SSS、SAS、ASA、AAS四种三角形全等的判定方法。

2.教学难点：理解和运用全等三角形的判定方法。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过问题引导学生思考，案例分析让学生理解全等三角形的判定方法，小组合作学习促进学生之间的交流和合作。

六. 教学准备1.PPT课件2.相关案例和练习题3.小组合作学习分组七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习全等三角形的概念，引导学生思考如何判断两个三角形是否全等。

2.呈现（10分钟）呈现SSS、SAS、ASA、AAS四种三角形全等的判定方法，通过实例分析让学生理解每种判定方法的含义和应用。

3.操练（10分钟）让学生通过PPT上的练习题，运用全等三角形的判定方法进行判断。

教师巡回指导，解答学生的问题。

4.巩固（10分钟）小组合作学习，让学生通过PPT上的案例，分析并判断两个三角形是否全等。

教师参与小组讨论，引导学生正确运用判定方法。

5.拓展（10分钟）让学生通过PPT上的拓展题，运用全等三角形的判定方法解决问题。

教师巡回指导，解答学生的问题。

浙教版八年级上册全等三角形的多种模型

OFECB A A F COBEDHABCDO EFG HDEC B A 全等三角形的多种模型题型一：手拉手模型“手拉手”数学模型：例1．如图，△ADC 与△EDC 都为等腰直角三角形，连接AG 、CE ，相交于点H ，问：（1）AG 与CE 是否相等？（2）AG 与CE 之间的夹角为多少度？例2．如图，直线AB 的同一侧作△ABD 和△BCE 都为等边三角形，连接AE 、CD ，二者交点为H 。

求证：（1）△ABE ≌△DBC ；（2）AE=DC ；（3）∠DHA=60°；（4）△AGB ≌△DFB ；（5）△EGB ≌△CFB ；（6）连接GF ，GF ∥AC ；（7）连接HB ，HB 平分∠AHC 。

例题精讲O H GA BC DO GFEC B A1.如图，等边三角形ABC ∆与等边DEC ∆共顶点于C 点．求证：AE BD =．2、如图，正方形BAFE 与正方形ACGD 共点于A ，连接BD 、CF ，求证：BD =CF 并求出∠DOH 的度数.3、如图，等边三角形ABE 与等边三角形AFC 共点于A ，连接BF 、CE ，求证：BF =CE 并求出∠EOB 的度数.4、如图，在△ABC 外面作正方形ABEF 与ACGH ，AD 为△ABC 的高，其反向延长线交FH 于M ，求证：(1)BH CF =;(2)MF MH =DECBA典题精练OHGDFECBA M EF HG D CBA题型二：垂直+角平分线模型模型介绍：(1)如图1：DA 平分∠EAF ，根据角平分线的性质，可得DE =DF ；DE ，DF 是两条常用的辅助线. (2)如图2：DA 平分∠EAF ，易得△ADF ≌△ADE ；DE 是一条常用的辅助线. (3)如图3：DA 平分∠EAF ，易得△ADF ≌△ADE ；这是角分线常构的一组全等.例1．如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线．求证：BC =AB +AD ．例2.在ABC △中，90∠=BAC °，⊥AD BC 于D ，BF 平分∠ABC 交AD 于E ，交AC 于F . 求证：AE=AF .1.如图，已知ABC △中，90ACB ∠=°，CD AB ⊥于D ，ABC ∠的角平分线BE 交CD 于G ，交AC 于E ，GF AB ∥交AC 于F ．求证：AF CG =．54321A BCDE F例题精讲典题精练54321G F E DC BA2、已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。

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一、手拉手模型：1手的判别：判断左右，将等腰三角形顶角顶点朝上，左边为左手顶点，右边为右手顶点。

2手拉手的定义两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。

求证：（1）MN=MB+DN ；（2）点A 到MN 的距离等于正方形的边长；（3）CMN 的周长等于正方形ABCD 边长的2倍；（4）=ABCD CMN S 2ABS MN；（5）若∠MAB =20°，求∠AMN ；（6）若()∠=ααMAB 045，求∠AMN ；（7）=+222EFEB DF ；（8）AEN 与AFM 是等腰三角形；（9）=AEF AMNS 1S2。

NM DCBANMC D BA NMD CBA三、三垂直模型（一线三等角）（K型）1、常见的一线三垂直的模型。

例1：如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．求证：AE=BF．变式训练：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，AF⊥BD于点E，交BC于点F，连接DF，求证：∠1=∠2。

例2：.如图，点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A．B重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F．连接BE、DF。

求证：∠ADP=∠EPB；求∠CBE的度数；例3：等腰直角△ABC，其中AB=AC，∠BAC=90°，过B、C作经过A点直线L的垂线，垂足分别为M、N．（1）你能找到一对三角形的全等吗？并说明．（2）BM，CN，MN之间有何关系？若将直线l旋转到如图2的位置，其他条件不变，那么上题的结论是否依旧成立？A、例题已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC中点，AF⊥BD于点E，交BC于F，连接DF .求证：∠ADB＝∠CDF .变式1、已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AM＝CN，AF⊥BM于E，交BC于F，连接NF .求证：（1）∠AMB＝∠CNF；（2）BM＝AF＋FN .NMOABP 2图4321ACP BDABC图1变式2、在变式1的基础上，其他条件不变，只是将BM 和FN 分别延长交于点P ，求证：（1）PM ＝PN ；（2）PB ＝PF ＋AF .四、角平分线模型 1、角平分线的性质模型如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。

结论：PB=PA例1：（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D 到直线AB 的距离是；（2）如图②，∠1=∠2，∠3=∠4。

求证：AP 平分∠BAC 。

AB DCPA B DCPO NMBA例2：如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点 P，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。

例3：．如图，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=DC，BD平分∠ABC。

求证：∠BAD+∠BCD=180°。

2、翻折全等（对称）如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB。

结论：△OPB≌△OPA。

两个图形辅助线都是在射线ON上取点B，使OB＝OA，从而使△OAC≌△OBC .A、例题1、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB ＋BP＝BQ＋AQ .2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由.B、模型巩固1、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）.求证：AB－AC＞PB－PC .2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D，求证：AD＋BD＝BC .3、如图，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D，求证：AC＋CD＝AB .PONMBAE DCBA3、角平分线+垂线→等腰（三线合一）如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP ⊥OP 于P 点，延长AP 于点B 。

结论：△AOB 是等腰三角形。

例1：如图，已知等腰直角三角形ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ， CE ⊥BD ，垂足为E 。

求证：BD=2CE 。

21E DCBA例2：如图，在△ABC 中，BE 是角平分线，AD ⊥BE ，垂足为D 。

求证：∠2=∠1+∠C 。

例3：（1）如图①，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分，过点A 作AD ⊥BD 、 AE ⊥CE ，垂足分别为D 、E ，连接DE 。

求证：(1)AB+AC+BC=MN（2）如图②，BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分，其它条件不变。

上述结论是否成立？成立请说明理由，若不成立，那MN 与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并进行证明。

（3）如图③，BD 是△ABC 的内角平分，CE 是△ABC 的外角平分，其它条件不变。

MN 与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并进行证明。

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