平行四边形动点问题PPT课件

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初中数学平行四边形ppt课件

基础练习题
01
02
03
04
总结词：考察平行四边形的性质和判定方法
1. 给出两个平行四边形，判断它们是否全等。
2. 判断一个四边形是否为平行四边形，并给出理由。
3. 计算平行四边形的周长和面积。
进阶练习题
01
02
03
04
总结词：结合其他数学知识，深化对平行四边形的理解
1. 在一个平行四边形中，已知两条相邻边的长度和它们之间的夹角，求另外两条边的长
判定定理的应用
总结词：实践应用
详细描述：通过实例和练习题，深入理解并掌握平行四边形判定定理的应用。学会利用判定定理证明四边形是平行四边形，以及解决与平行四边形相关的问题，提高解题能力和数学思维能力。
03
平行四边形的面积与周长
面积计算公式
公式推导
通过将平行四边形分割为两个三角形，然后利用三角形面积公式（面积 = 0.5 × 底 × 高）进行推导，可以得到平行四边形的面积公式。
THANKS
感谢观看
注意事项
在使用面积计算公式时，需要注意底和高的对应关系，即底是平行四边形的底，高是垂直于该底的高。
周长计算公式
公式推导
通过将平行四边形分割为两个三角形，然后利用三角形周长公式（周长 = 三边之和）进行推导，可以得到平行四边形的周长公式。
注意事项
在使用周长计算公式时，需要注意边长的单位和测量精度，以确保计算结果的准确性。
图形变换
在几何图形中，平行四边形是实现平移、旋转等基本变换的重要工具。
平行四边形在数学问题解决中的应用
面积计算
在计算一些复杂图形的面积时，可以将这些图形划分为多个平行四边形，从而简化计算过程。

八年级四边形动点专题复习 ppt课件

∵点D在线段PQ的中垂线上
∴DQ=DP
∟G
DQ2 DP2
t 2 42 (2t 3)2
3t 2 12t 25 0
∵ △ = —156<0 ∴方程无解。 PPT上课即。件点D都不可能在线段QP的中垂线 14
3、（2009中考）如图在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接 PB、PQ,则 △ＰＢＱ周长的最小值是-----cm (结果不取近似值）
2

5
y 4 tPP2T课件4t
12
5
2.(3)是否存在某一时刻t，使△ APQ的面积与△ ABC的面积比为7︰15？若存在，求出相应的t的值；不存在说明理由。
A
S ABC

1 86 2
24
D
P
Q
B
C
计算要仔细
y
7
S ABC
15
4 t 2 4t 7 24
则PB=BC
4 B
∴7-t=4
∴t=3
PPT课件
3
如图：已知 ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°
(2)若点P从点A沿射线AB运动，速度仍是1cm/s。
当t为何值时，△PBC为等腰三角形？
D
C
4 P
A
7
B
小组合作交流讨论
PPT课件
4
D
C
4 P
A
7
B
当BP=BC时
D（钝角）
C
4
∟
30°
A
7
B 23 E
P
当CB=CP时
D
C
4
A

八年级四边形动点专题复习 ppt课件

问题：连接 PE,当' t为何值时，△ PDE为' 直角三角形？
4
A
B
A
B'
B
5
5
5
P
D4
E
6
C
D
E' E
C
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19
4
A
B
5
54 5
D4
E3
3C
A
B'
B
P
D
E'
E
C
DP=t
DE' =4 -t
A
B'
P
D
E'
E
B C
t 3 4t 5
∴t=1.5
4t 3
t
5
∴t=2.5
PPT课件
20
小结：
则PB=BC
4 B
∴7-t=4
∴t=3
PPT课件
3
如图：已知 ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°
(2)若点P从点A沿射线AB运动，速度仍是1cm/s。
当t为何值时，△PBC为等腰三角形？
D
C
4 P
A
7
B
小组合作交流讨论
PPT课件
4
D
C
4 P
A
7
B
当BP=BC时
D（钝角）
C
4
∟
30°
A
7
即点d都不可能在线段qp的中垂线15601432009中考如图在边长为2cm的正方形abcd中点q为bc边的中点点p为对角线ac上一动点连接pbpq则pbq周长的最小值是cm结果不取近如图已知在直角梯形abcd中adbcb90ad24cmbc26cm动点p从点a开始沿ad边向点d以1cm秒的速度运动动点q从点c开始沿cb向点b以3厘米秒的速度运动pq分别从点a点c同时出发当其中一点到达端点时另一点也随之停止运动设运动时间为t秒求

人教版八年级下册数学课件：18 平行四边形活动和探究(共28张PPT)

赏心悦目的摄影作品,都凝聚着设计师对黄金分割的运用,
当植物的枝干的夹角 137°28′时,通风和采光能达到最好效果, 因为
137o28 360o 137o28
≈0.618
武器装备与黄金分割
当发射子弹的步枪刚刚制造出来的时候，它的枪把和枪身的长度比例很不科学合理，很不方便于抓握和瞄准。到了1918年，一个名叫阿尔文·约克的美远征军下士，对这种步枪进行了改造，改进后的枪型枪身和枪把的比例恰恰符合0.618 的比例。
2
巴特农神庙巴特农神庙
D
C
若约矩为BC形0.6的1宽281,与这长样0.的的61比矩8
形称A之B 为黄34金矩形.
A
21×34
B
(精确到0.001)
点B把线段AC分成两部分, 如果 BC AB ,
AB AC
那么称线段AC被点B 黄金分割,
点B为线段AC 的黄金分割点,
BC与AB的比叫做黄金比 (约为0.618 ).
1.利用矩形纸片；能折出等腰三角形吗？能折出等边三角形吗？
A
DA
D
E
PF E
N
F
B
CB
C
说说折出的△ABN是等边三角形的理由．
步骤；
折纸做60°，30°，15°的角
你能行哦
（1）对折矩形纸片ABCD，使AD与BC 重合，得到折痕EF，把纸片展平.
ห้องสมุดไป่ตู้
A
D
E
F
B
C
（2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时，得到了线段BN.
黄金分割数是个无理数，列出前面一些:
0. 6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364

人教版数学八年级下册第章平行四边形课本页动点问题课件

（人1教）版求：B第、十C两八点章的平坐行标四；边形（书：第68页13题）
无从钱运之动人开脚始杆，硬使，PQ有∥钱CD之和人P骨Q头=C酥D。，分别需经过多长时间？为什么？
人教版：第十八章平行四边形（书：第68页13题）
题目来源：课本八年级下册
第十八章平行四边形（第68页13题）
从运动开始，使PQ∥CD和PQ=CD，分别需经过多长时间？为什么？
∴ 当运动时间为6s时PQ//CD和PQ=CD
八年级（下册）数学如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90°,AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm,点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；
点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向B运动.
主讲人：
题目来源：课本八年级下册
第十八章平行四边形第68页13题
AP
D
B
Q
C
如图，在四边形ABCD中，AD//BC， ∠B=90°,AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm,点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以 3cm/s的速度向B运动.规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.从运动开始，使 PQ∥CD和PQ=CD，分别需经过多长时间？为什么？
解：设运动时间为t秒（0 t 26）
3
则AP=t,PD=24-t,QC=3t,BQ=26-3t (1)如图1，若PQ//CD ∵ AD//BC
t
24-t
∴ 四边形PQCD为平行四边形 ∴ PQ=QC
即 24-t=3t 解得 t=6
26-3t
3t
∴ 当运动时间为6s时PQ//CD和PQ=CD
图1
时,另一个动点也随之停止运动.从运动开始，使人教版：第十八章平行四边形（书：第68页13题）

平行四边形的动点问题

平行四边形的动点问题
例1、如图：梯形ABCD中，AD//BC，AD=9cm,BC=6cm，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以1cm/s的速度由点C向点B运动。

(1)运动多少秒时，四边形APQB是平行四边形?
(2)运动多少秒时，四边形APQB的面积和四边形PDCQ的面积相等?
例2.直角坐标系中菱形OABC的位置如图，A点坐标（4，0），∠AOC=60°。

经过点O的一条直线a沿x轴的正方向以每秒1单位长度的速度运动，且始终保持与OC垂直.
（1）求点B的坐标。

（2）设直线运动时扫过的菱形的面积为S，运动时间为t秒，求S与t的函数关系式。

（0≤t≤12）
例3、如图已知 ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°
(1)点P从点A沿AB边向点B运动，速度为1cm/s，若设运动时间为t(s)，连接PC,当t
为何值时，△PBC为等腰三角形？
(2)若点P从点A沿 AB运动，速度仍是1cm/s，当t为何值时，△PBC为等腰三角形？（3）当t＞7时，是否存在某一时刻t,使得线段DP将线段BC三等分？
4、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC,AB=DC=5,AD=6,BC=12．动点P从 D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终C点运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动．两点同时出发，当P点到达C点时，Q点随之停止运动．
（1）梯形ABCD的面积等于；（2）当PQ∥AB时，点P离开D点的时间等于秒；
（3）当P、Q、C三点构成直角三角形时，P点离开D点多少时间？。

平行四边形的应用动点问题ppt课件

A
PD
∴S=
1
2BQ ·AB
= 1 (21-1.5t) ·12
2
即S=-9t+126 (0≤t≤12)
B
Q
C
合作交流，探索新知
变式2：（3）若点P从点A以1cm/s的速度沿A→D→C→B方向运动，同时点Q从点C以1.5cm/s的速度沿C→B→A→D方向运动.在P、Q运动过程中，问是否存在以点P、D、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
当PD=CQ时，四边形PQCD是平行四边形 B 则 12-t=1.5t，解得 t=4.8
QC
图①
2）若P在BC上，Q在AD上时，如图②
A
依题意得QD=45-1.5t，PC=t-27
QD
当QD=PC时，四边形QPCD是平行四边形
则 45-1.5t=t-27，解得 t=28.8
B
综上所述，存在以P、D、C、Q为顶点的四边
图② P C
形是平行四边形，其中t=4.8秒或t=28.8秒.
中考演练
如图，在四边形Βιβλιοθήκη BCD中，AB∥DC，AD＝BC＝5，DC＝7，
AB＝13，点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿AD→DC
向终点C运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度
沿BA向终点A运动.在运动期间，当四边形PQBC为平行四边
A
P
D
A
QD
B
Q
C
B
PC
图①
图②
探究动点关键：化动为静，分类讨论，关注全过程
合作交流，探索新知
解：（3）存在.
∵tp=(12+15+21) ÷1=48(秒)， tQ=(21+12+12) ÷1.5=30(秒)

平行四边形的动点问题

平行四边形的动点问题1. 平行四边形是指具有两对相对平行的边的四边形。

在这个问题中，我们关注一个动点在平行四边形内移动的情况。

2. 首先，让我们定义平行四边形的四个顶点为A、B、C和D，并假设它们按顺时针方向排列。

我们还假设动点记为P，并且它可以在平行四边形内的任意位置移动。

3. 问题的第一部分是，如果动点P从A点出发，按一定路径移动，最后回到A点，那么它经过的路径会是什么样子4. 要回答这个问题，我们需要注意到平行四边形的两对相对边分别是AB和CD，以及AD和BC。

因此，如果动点P从A点出发并回到A 点，它必定会经过平行四边形的另外两个顶点，即C和B。

5. 为了更具体地描述动点P的路径，我们可以进一步假设动点P沿着直线AC移动到顶点C，然后沿着直线CB移动到顶点B，最后沿着直线BA移动回到顶点A。

这样，动点P所经过的路径形成了一个三角形ABC。

6. 需要注意的是，这个路径并不是唯一的。

动点P可以按任意方式从A到C，再从C到B，最后从B到A。

但无论路径如何，最终的路径都是一个三角形ABC。

7. 接下来，让我们来看问题的第二部分。

如果动点P从一个顶点出发，按一定路径移动，最后回到另一个顶点，那么它经过的路径会是什么样子8. 在这种情况下，我们可以假设动点P从顶点A出发，并沿着直线AC移动到顶点C。

然后，它会继续按照平行四边形的形状，沿着直线CB移动到顶点B，并最终沿着直线BA返回到顶点A。

9. 与第一部分类似，这个路径也不是唯一的。

动点P可以从任意顶点出发，按照相应的顺序经过其他两个顶点，最后回到初始的顶点。

10. 总结起来，平行四边形的动点问题涉及动点在平行四边形内移动的路径问题。

无论是从一个顶点出发回到同一个顶点，还是从一个顶点出发回到另一个顶点，最终路径都可以看作是一个三角形。

11. 这个问题的解答可以帮助我们更好地理解平行四边形的形状和特性，以及动点在平行四边形内移动时的可能路径。

它也为我们提供了一种思考和探索几何问题的方式。

平行四边形性质及定理PPT课件

的平衡和美感。
图案设计
02
平行四边形在图案设计中也有广泛应用，如纺织品、壁纸、地
毯等的设计。
舞台布景和道具设计
03
在舞台布景和道具设计中，平行四边形也常被用于创造视觉效
果和空间感。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
一组对边平行
总结词
如果一个四边形中有一组对边平行，则该四边形是平行四边形。
详细描述
这是平行四边形的一个基本判定定理。如果一个四边形的对边平行，则这个四边形必然是平行四边形。
一组对边相等
总结词
如果一个四边形中有一组对边相等，则该四边形是平行四边形。
详细描述
这也是平行四边形的一个基本判定定理。如果一个四边形的对边相等，则这个四边形必然是平行四边形。
窗户和门的形状设计
平行四边形因其独特的对边平行和相对边相等的特性，常被用于创造空间感和视觉效果。
窗户和门的形状设计经常采用平行四边形，以实现采光和通风的最佳效果。
建筑结构的稳定性
平行四边形的对角线互相平分，这使得它在建筑结构设计中具有稳定性，如桥梁、房屋的支撑结构等。
机械设计中的应用
机械零件的形状设计
平行四边形性质及定理ppt课件
contents
目录
• 平行四边形的基本性质 • 平行四边形的判定定理 • 特殊平行四边形 • 平行四边形在实际生活中的应用
01 平行四边形的基本性质
对边平行
总结词
平行四边形的对边是平行的。
详细描述
这是平行四边形的基本性质之一，即相对的两条边是平行的，不会相交于一点。
直角三角形斜边中线定理，矩形的对角线相等
且互相平分。

《平行四边形》PPT课件共(25张PPT)

观察下面的图形是平行四边形吗？
是
是
不是
是
不是
不是不是
不是
是
1.
１
练习五
２
３
（2、3、5 ）是长方形，（ 2 ）是正方形，（ 123456）是平行四边形．
说一说你是怎ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ辨认长方形和正方形的．
补充习题
1.从下面各图中找出所有正方形、长方形和 ⑩《行路难》中运用典故，借此表明自己对从政还有所期待的诗句：闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边。
前面我们已经学了生命的珍贵与独特，每个人都是独一无二的，我们都应该为自己的生命喝彩，用心的呵护生命，并且努力地让自己的生命绽放出精彩的光芒。有人说，生命如此
宝贵，守住生命，我们才能感受四季的冷暖变化，体验生活的千姿百态，追求人生幸福的种种可能。
（一）《北冥有鱼》
⑩《行路难》中运用典故，借此表明自己对从政还有所期待的诗句：闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边。
平行四边形。明月几时有？把酒问青天。不知天上宫阙，今夕是何年。
【主旨】这首咏月怀亲词运用形象的描绘和浪漫主义的想象，紧紧围绕中秋之月展开描写、抒情和议论。上片极写词人在“天上”“人间”的徘徊、矛盾，下片对月怀人，心情由郁结到
心胸开阔，把自己对兄弟的感情升华到探索人生的乐观与不幸的哲理高度。表达了词人乐观旷达的人生态度和对生活的美好祝愿以及无限热爱情。
人思念家乡和亲人情感的自然流露。颈联承上启下，自然过渡。诗人由望月怀乡自然引出对弟弟的思念，绵绵愁思中夹杂着对生离死别的焦虑和不安，语气分外沉痛，写是伤心折
肠，令人不忍卒读，同时也概括了安史之乱中人民饱经忧患丧乱的普遍遭遇。
（1）认识维护身体健康的重要意义。
（ 1）个正方形

人教版初中数学讲义八年级下册第08讲专题3 平行四边形(特殊的平行四边形)中的动点问题(解析版)

第08讲专题3平行（特殊平行）四边形中的动点问题类型一：平行四边形中的动点问题类型二：矩形中的动点问题类型三：菱形中的动点问题类型四：正方形中的动点问题类型一：平行四边形中的动点问题1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝6，BC＝9，点P从点A出发，沿射线AD以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点C出发，沿CB方向以每秒1个单位长度的速度向点B 运动．当点Q到达点B时，点P，Q停止运动，设点Q运动时间为t秒．在运动的过程中，当t＝2或6时，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？【解答】解：由题意知，可分两种情况：①当CD为平行四边形的边，则P在D点左侧，PD＝6﹣2t，CQ＝t，∵PD＝CQ，∴6﹣2t＝t，解得t＝2；②当CD为平行四边形的对角线，P在D点右侧，PD＝2t﹣6，CQ＝t，∵PD＝CQ，∴2t﹣6＝t，解得t＝6，综上所述，当t＝2或6时，以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形．故答案为：2或6．2．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒2.5cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为t s，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴PD∥BQ．若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ．设运动时间为t．当0＜t≤4时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝2.5t，BQ＝10﹣2.5t，∴10﹣t＝10﹣2.5t，1.5t＝0，∴t＝0（舍去）；当4＜t≤8时，AP＝t，PD＝10﹣t，BQ＝2.5t﹣10，∴10﹣t＝2.5t﹣10，解得：t＝；当8＜t≤10时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝2.5t﹣20，BQ＝30﹣2.5t，∴10﹣t＝30﹣2.5t，解得：t＝（舍去）；综上所述，t的值为时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形．故选：B．3．如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（）A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s【解答】解：在▱ABCD中，CD＝AB＝22cm，AD＝BC＝8cm，如图，过点D作DG⊥AB于点G，∵∠A＝45°，∴△ADG是等腰直角三角形，∴AG＝DG＝AD＝8，过点F作FH⊥AB于点H，得矩形DGHF，∴DG＝FH＝8cm，DF＝GH，∵EF＝10cm，∴EH＝＝6cm，由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm，∴GE＝AE＝AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE+EH＝（2t﹣8）+6＝（2t﹣2）cm，∴2t﹣2＝22﹣t，解得t＝8，当F点在E点左侧时，由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm，∴GE＝AE﹣AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE﹣EH＝（2t﹣8）﹣6＝（2t﹣14）cm，∴2t﹣14＝22﹣t，解得t＝12，∵点E到达点B时，两点同时停止运动，∴2t≤22，解得t≤11．∴t＝12不符合题意，舍去，∴EF的长为10cm时点E的运动时间是8s，故选：C．4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A 出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（）A．B．3C．3或D．或【解答】解：①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝9+3t﹣12，解得t＝，②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝12﹣9﹣3t，解得t＝，综上所述，t＝或时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．故选：D．5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B 运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为（）秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形A．1B．1.5C．1或3.5D．1.5或2【解答】解：∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝BC＝8，由题意可知：AP＝t，则DP＝6﹣t，CQ＝3t，①当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，∴3t﹣8＝6﹣t，解得：t＝3.5；②当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，∴8﹣3t＝6﹣t，解得：t＝1，∴当运动时间t为1秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，故选：C．6．如图，在▱ABCD中，BD为对角线，EF垂直平分BD分别交AD、BC的于点E、F，交BD于点O．（1）试说明：BF＝DE；（2）试说明：△ABE≌△CDF；（3）如果在▱ABCD中，AB＝5，AD＝10，有两动点P、Q分别从B、D两点同时出发，沿△BAE和△DFC各边运动一周，即点P自B→A→E→B停止，点Q自D→F→C→D停止，点P运动的路程是m，点Q运动的路程是n，当四边形BPDQ是平行四边形时，求m与n满足的数量关系．（画出示意图）【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ODE＝∠OBF，∵EF垂直平分BD，∴OB＝OD，在△OBF和△ODE中，，∴△BOF≌△DOE（ASA），∴BF＝DE；（2）∵四边新ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠A＝∠C，AD＝BC，∵BF＝DE，∴AE＝CF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），（3）解：∵EF垂直平分BD，∴BF＝DF，∵△ABE≌△CDF，∴DF＝BE，AE＝CF，∴△DFC的周长是DF+CF+CD＝BF+CF+CD＝BC+CD＝15，△ABE的周长也是15，①当P在AB上，Q在CD上，∵AB∥CD，∴∠BPO＝∠DQO，∵∠POB＝∠DOQ，OB＝OD，∴△BPO≌△DQO，∴BP＝DQ，∴m+n＝BP+DF+CF+CQ＝DF+CF+CQ+DQ＝DF+CF+CD＝15②当P在AE上，Q在CF上，∵AD∥BC，∴∠PEO＝∠QFO，∵△EOD≌△FOB，∴OE＝OF，∵∠PEO＝∠QFO，∠EOP＝∠FOQ，∴△PEO≌△QFO，∴PE＝QF，∵AE＝CF，∴CQ＝AP，m+n＝AB+AP+DF+PQ＝CD+CQ+DF+FQ＝DF+CF+CD＝15；③当P在BE上，Q在DF上，∵AD＝BC，AE＝CF，∴DE＝BF，∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE＝DF，BE∥DF，∴∠PEO＝∠FQO，∵∠EOP＝∠FOQ，OE＝OF，∴△PEO≌△FQO，∴PE＝FQ，∴m+n＝AB+AE+PE+DQ＝CD+CF+QF+DQ＝DF+CF+CD＝15．类型二：矩形中的动点问题7．如图，在长方形ABCD中，AD＝16cm，AB＝8cm．点P从点A出发，沿折线A﹣B﹣C方向运动，速度2cm/s；点Q从点B出发沿线段BC方向向点C运动，速度4cm/s；点P、Q同时出发，当一方到达终点时，另一方同时停止运动，设运动时间是t（s）．下列说法错误的是（）A．点P运动路程为2tcmB．CQ＝（16﹣4t）cmC．当时，PB＝BQD．运动中，点P可以追上点Q【解答】解：A．由点P的速度为2cm/s，时间为t（s），得点P运动路程为2tcm，正确，故本选项不符合题意；B．由点Q的速度为4cm/s，时间为t（s），得点Q运动路程为4tcm，则CQ＝（16﹣4t）cm，正确，故本选项不符合题意；C．当t＝时，PB＝8﹣2t＝8﹣2×＝，BQ＝4t＝4×＝，则PB＝BQ正确，故本选项不符合题意；D．假设运动中点P可以追上点Q，则2t﹣4＝4t，解得：t＝﹣2，假设不成立，原表述错误，故本选项符合题意；故选：D．8．在平面直角坐标系中，长方形ABCD按如图所示放置，O是AD的中点，且A、B、C的坐标分别为（5，0），（5，4），（﹣5，4），点P是BC上的动点，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则点P的坐标为（﹣2，4）或（﹣3，4）或（3，4）．【解答】解：如图，∵A、B、C的坐标分别为（5，0），（5，4），（﹣5，4），∴OD＝OA＝5，AB＝CD＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠CDO＝90°，设BC与y轴交于E，当DP＝DO＝5，∴CP＝＝3，∴PE＝2，∴P（﹣2，4），当OD＝OP＝5时，PE＝＝3，∴P（﹣3.4）或（3，4），综上所述，点P的坐标为（﹣2，4）或（﹣3，4）或（3，4），故答案为：（﹣2，4）或（﹣3，4）或（3，4）．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F．求PE+PF＝．【解答】解：连接OP，如图所示：∵矩形ABCD的两边AB＝3，BC＝4，＝AB•BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝5，∴S矩形ABCD＝S矩形ABCD＝3，OA＝OD＝，∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF）＝×（PE+PF）＝3，∴S△AOD∴PE+PF＝，故答案为：．10．如图，在长方形ABCD中，AB＝DC＝3cm，BC＝AD＝2cm，现有一动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿长方形的边A→B→C→D→A运动，到达点A时停止；点Q在边DC上，DQ＝BC，连接AQ．设点P的运动时间为t s，则当t＝1或2或7s时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与△ADQ 全等．（不考虑两个三角形重合的情况）【解答】解：当t＝1s时，AP＝1cm，则BP＝2cm，如图1，在△AQD和△CPB中，，∴△AQD≌△CPB（SAS）；当t＝2时，AP＝2cm，如图2，∴AP＝DQ，在△AQD和△DPA中，，∴△AQD≌△DPA（SAS）；当t＝7时，AB+BC+CP＝7cm，如图3，∴CP＝2cm，∴DQ＝CP，在△AQD和△BPC中，，∴△AQD≌△BPC（SAS）；故答案为：1或2或7．11．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB 于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②∠BFG＝∠ADE；③DE⊥FG；④FG的最小值为2．其中正确结论的有①②③④．（填序号）【解答】解：如图所示，连接BE，交FG于点O，∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠EFB＝∠EGB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴四边形EFBG为矩形，∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE，∴DE＝FG，即①正确；∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE，∵OB＝OF，∴∠OFB＝∠ABE，∴∠BFG＝∠ADE，即②正确，延长DE，交FG于M，交FB于点H，由①得，∠ABE＝∠ADE，∵OB＝OF，∴∠OFB＝∠ABE，∴∠OFB＝∠ADE，∵∠BAD＝90°，∴∠ADE+∠AHD＝90°，∴∠OFB+∠AHD＝90°，即∠FMH＝90°，∴DE⊥FG，即③正确；∵E为对角线AC上的一个动点，∴当DE⊥AC时，DE最小，∵AB＝AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，∴AC＝＝4，∴DE＝AC＝2，由①知，FG＝DE，∴FG的最小值为2，即④正确，综上，①②③④正确，故答案为：①②③④．12．已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连接DE．（1）动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？（2）若动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请求出t的值；否则，说明理由．【解答】解：（1）若△ABP与△DCE全等，∴BP＝CE或AP＝CE，当BP＝CE＝3时，则t＝3÷1＝3，当AP＝CE＝3时，则t＝（6+6+4﹣3）÷1＝13，∴当t为3或13时，△ABP和△DCE全等；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，CD⊥BC，在Rt△DCE中，CE＝3，∴DE＝＝5，若△PDE为等腰三角形，则PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE，当PD＝DE时，∵PD＝DE，DC⊥BE，∴PC＝CE＝3，∵BP＝BC﹣CP＝3，∴t＝3÷1＝3，当PE＝DE＝5时，∵BP＝BE﹣PE，∴BP＝9﹣5＝4，∴t＝4÷1＝4，当PD＝PE时，∴PE＝PC+CE＝3+PC，∴PD＝3+PC，在Rt△PDC中，DP2＝CD2+PC2．∴（3+PC）2＝16+PC2，∴PC＝，∵BP＝BC﹣PC，∴BP＝，∴t＝÷1＝，综上所述：当t＝3或4或时，△PDE为等腰三角形．类型三：菱形中动点问题13．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点E是BD上不与点B和点D重合的一个动点，过点E分别作AB和AD的垂线，垂足为F，G，则EF+EG的值为（）A．B．2C．D．4【解答】解：连接AC交BD于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠BAD＝60°，AB＝AD＝4，∵AB＝4，∴AO＝AB＝2，∴AC＝2AO＝4，OB＝＝2，∴，连接AE，＝S△ABE+S△ADE，∴S△ABD∴，∴EF+EG＝2，故选：A．14．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F同时从O点出发在线段AC上以1cm/s的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），设运动时间为t s．连接DE，DF，BE，BF，已知△ABD是边长为6cm的等边三角形，当t＝3s时，四边形DEBF为正方形．【解答】解：由题意得OE＝OF＝t cm，∴EF＝2t cm，∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OB＝OD，AC⊥BD，∴四边形DEBF是菱形，∴当EF＝BD时，四边形DEBF是正方形，∵△ABD是边长为6cm的等边三角形，∴BD＝6cm，∴由EF＝BD得2t＝6，解得t＝3，∴当t＝3s时，四边形DEBF是正方形，故答案为：3．15．如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB 方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（）A．B．C．D．【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠ADB＝∠ADC＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD，又∵△DEF是等边三角形，∴∠EDF＝∠DEF＝60°，又∵∠ADB＝60°，∴∠ADE＝∠BDF，在△ADE和△BDF中，，∴△ADE≌△BDF（ASA），∴AE＝BF，∵AE＝t，CF＝2t，∴BF＝BC﹣CF＝5﹣2t，∴t＝5﹣2t∴t＝，故选：D．16．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝16，BD＝12，则EF的最小值为（）A．8B．6C．4.8D．2.4【解答】解：连接OP，作OH⊥AB于点H，∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝×16＝8，OB＝OD＝BD＝×12＝6，∴∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝10，，∵AB•OH＝OA•OB＝S△AOB∴×10OH＝×8×6，解得OH＝4.8，∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠PEO＝∠PFO＝∠EOF＝90°，∴四边形PEOF是矩形，∴EF＝OP，∴OP≥OH，∴EF≥4.8，∴EF的最小值为4.8，故选：C．17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝12cm，AB＝18cm，CD＝23cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线B﹣C﹣D 向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）用含t的式子表示PB．（2）当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？（3）只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形PBCQ为菱形，则点Q的运动速度应为多少？【解答】解：（1）由于P从A点以1cm/s向B点运动，∴t s时，AP＝t×1＝t cm，∵AB＝18cm，∴BP＝AB﹣AP＝（18﹣t）cm；（2）过B点作BN⊥CD于N点，∵AB∥CD，∠ADC＝90°，∴四边形ACNB是矩形，∴BN＝AD＝12cm，AD＝DN＝18cm，∵CD＝23cm，∴CN＝CD﹣CN＝5cm，∴Rt△BNC中，根据勾股定理可得：BC＝＝＝13cm，则Q在BC上运动时间为13÷2＝6.5s，∵BC+CD＝23+13＝36cm，∴Q运动时间最长为36÷2＝18s，∴6.5s≤t≤18s时，Q在CD边上，此时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况：①四边形PQCB是平行四边形，如图所示：∵AB∥CD即PB∥CQ，∴只需PB＝CQ即可，由（1）知：PB＝（18﹣t）cm，∵Q以2cm/s沿沿折线B﹣C﹣D向终点D运动，∴运动时间为t s时，CQ＝2t﹣BC＝（2t﹣13）cm，∴18﹣t＝2t﹣13，解得：t＝s；②四边形ADQP是平行四边形，如图所示：同理∵AP∥DQ，∴只需AP＝DQ，四边形ADQP是平行四边形，由（1）知：AP＝t cm，点DQ＝CD+CB﹣2t＝（36﹣2t）cm，∴36﹣2t＝t，解得：t＝12s，综上所述：当t＝s或12s时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形；（3）设Q的速度为x cm/s，由（2）可知：Q在CD边上，此时四边形PBCQ可为菱形，∵PB∥CQ，∴只需满足PB＝BC＝CQ即可，由（1）知：PB＝（18﹣t）cm，由（2）知：CQ＝（xt﹣13）cm，BC＝1cm，∴18﹣t＝13，xt﹣13＝13，解得：t＝5s，x＝5.2cm/s，∴当Q点的速度为5.2cm/s时，四边形PBCQ为菱形．类型四：正方形中动点问题18．如图，在正方形ABCD中，AB＝3cm，延长BC到点E，使CE＝1cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE 全等时，t的值为2或7．【解答】解：∵△DCE是直角三角形，∴△PBC为直角三角形，∴点P只能在AB上或者CD上，当点P在AB上时，有BP＝CE，∴BP＝CE＝1，∴AP＝2，∴t＝2÷1＝2，当点P在CD上时，有CP＝CE＝1，∴t＝（3+3+1）÷1＝7，故答案为：2或7．19．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点P，则∠APD的度数为90°；连接CP，线段CP的最小值为﹣1．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADE＝∠DCF＝90°，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠DAE＝90°，∴∠APD＝90°，取AD的中点O，连接OP，则OP＝AD＝×2＝1（不变），根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO＝＝＝，所以，CP＝CO﹣OP＝﹣1．故答案为：90°，﹣1．20．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE交BC于点H，过H作GH⊥BD于G，连结AH．以下四个结论中：①AF＝HE；②∠HAE＝45°；③；④△CEH的周长为12．正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①连接FC，延长HF交AD于点L，如图1，∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ADB＝∠CDF＝45°．∵AD＝CD，DF＝DF，∴△ADF≌△CDF（SAS）．∴FC＝AF，∠ECF＝∠DAF．∵∠ALH+∠LAF＝90°，∴∠LHC+∠DAF＝90°．∵∠ECF＝∠DAF，∴∠FHC＝∠FCH，∴FH＝FC．∴FH＝AF，∵FH⊥AE，∴FH＜EH，∴AF＜EH，故①错误；∵FH⊥AE，FH＝AF，∴∠HAE＝45°，故②正确；∵F是动点，∴FG的长度不是定值，不可能，故③错误；④延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，如图2，则四边形LHCI为平行四边形，∴LI＝HC，∵HL⊥AE，CI∥HL，∴AE⊥CI，∴∠DIC+∠EAD＝90°，∵∠EAD+∠AED＝90°，∴∠DIC＝∠AED，∵ED⊥AM，AD＝DM，∴EA＝EM，∴∠AED＝∠MED，∴∠DIC＝∠DEM，∴180°﹣∠DIC＝180°﹣∠DEM，∴∠CIM＝∠CEM，∵CM＝MC，∠ECM＝∠CMI＝45°，∴△MEC≌△CIM（AAS），∴CE＝IM，∵E，F，H共圆，∠HFE＝90°，∴HE为直径，∵∠HCF＝90°，∴点C在以HE为直径的圆上，∴∠FHE＝∠FCE，∵∠FCE＝∠FAD，∴∠FAD＝∠FHE，∵∠AFL＝∠HFE，AF＝HF，∴△AFL≌△FHE（ASA），∴AL＝HE，∴HE+HC+EC＝AL+LI+IM＝AM＝12．故△CEH的周长为12，④正确．综上所述，②④正确．故选：B．21．如图，正方形ABCD的边长为2cm，E是边AD的中点，P为对角线BD上一动点，连接PA、PE，当点P移动到使∠BPA＝∠DPE时，AP+PE的值为（）A．B．C．D．【解答】解：取CD的中点F．∵正方形ABCD的边长为2cm，E是边AD的中点，∴∠ADB＝∠CDB，DE＝DF＝1cm，∵DP＝DP，∴△DPE≌△DPF，∴∠DPF＝∠DPE，PE＝PF，∴AP+PE＝AP+PF．∵∠BPA＝∠DPE，∴∠DPF＝∠BPA．∵∠BPA+∠APE+∠DPE＝180°，∴∠DPE+∠APE+∠DPE＝180°，∴A，P，F共线，∴AP+PE＝AP+PF＝AF．∵，∴．故选：B．22．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E为AB上一动点．连接OE，作OF⊥OE交BC于点F，已知AB＝2，则四边形EBFO的面积为（）A．1B．2C．D．4【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝2，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠ABC＝∠BCD＝90°，AC⊥BD，∴AC＝BD＝2，∠ABO＝∠OBC＝∠BCO＝∠ACD＝45°，∴OB＝OC＝OD＝OA＝，∵AC⊥BD，∴∠AOB＝∠BOC＝90°，∴∠AOE+∠BOE＝90°，∠COF+∠BOF＝90°，∵OF⊥OE，∴∠BOE+∠BOF＝90°，∴∠BOE＝∠COF，在△BOE和△COF中，，∴△BOE≌△COF（SAS），＝S△COF，∴S△BOE＝S△COF+S△DOF＝S△DOC，∴S四边形EBFO∵AB＝2，＝4，∴S正方形ABCD＝1，∴S S正方形ABCD∴四边形EBFO的面积为1．故选：A．23．如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从点B出发，以2cm/s的速度、沿B→C→D方向，向点D运动；动点Q从点A出发，以1cm/s的速度、沿A→B方向，向点B运动．若P、Q两点同时出发，运动时间为ts．（1）连接PD、PQ、DQ，求当t为何值时，△PQD的面积为11cm2；（2）当点P在BC上运动时，是否存在这样的t，使得△PQD是以PD为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当点P在BC上时，即0≤t≤2，如图1，AQ＝t，BQ＝4﹣t，BP＝2t，PC＝4﹣2t，＝S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△BPQ﹣S△CPD，∵S△PDQ∴16﹣•4•t﹣•（4﹣t）•2t﹣•4•（4﹣2t）＝11，整理得t2﹣2t﹣3＝0，解得t1＝﹣1，t2＝3，都不合题意舍去；当点P在CD上时，即2＜t≤4，AQ＝t，DP＝8﹣2t，＝BC•DP，∵S△PDQ∴•4（8﹣2t）＝11，解得t＝（不合题意舍去），∴不存在t的值，使△PQD的面积为11cm2；（2）存在．如图2，AQ＝t，BQ＝4﹣t，BP＝2t，PC＝4﹣2t（0≤t≤2），当DP＝DQ时，∵DC＝DA∴Rt△DPC≌Rt△DAQ，∴PC＝AQ，即4﹣2t＝t，解得t＝；当PD＝PQ时，在Rt△PBQ中，PQ2＝PB2+BQ2＝（2t）2+（4﹣t）2，在Rt△PBCD中，PD2＝PC2+CD2＝（4﹣2t）2+42，∴（2t）2+（4﹣t）2＝（4﹣2t）2+42，整理得t2+8t﹣16＝0，解得t1＝﹣4﹣4（舍去），t2＝4﹣4，∴t＝或4﹣4时，△PQD是以PD为一腰的等腰三角形．。

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人教版初中数学讲义八年级下册第08讲 专题3 平行四边形(特殊的平行四边形)中的动点问题(解析版)

人教版八年级下册数学课件：18 平行四边形活动和探究(共28张PPT)

人教版初中数学讲义八年级下册第08讲专题3 平行四边形(特殊的平行四边形)中的动点问题(解析版)