2019-2020年高中数学第一章不等关系与基本不等式4第二课时放缩法、几何法与反证法教学案北师大版选修4-5

2019-2020年高中数学第一章不等关系与基本不等式4第二课时放缩法、几何法与反证法教学案北师大版选修4-5

1．放缩法

通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式的方法，称为放缩法．

2．几何法

通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法．

3．反证法

通过证明命题结论的否定不能成立，来肯定命题结论一定成立的方法叫做反证法，其证明的步骤是：

(1)作出否定结论的假设；

(2)进行推理，导出矛盾；

(3)否定假设，肯定结论．

[合作探究]

1．运用放缩法证明不等式的关键是什么？

提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大．有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是证明中常用方法技巧，也是放缩法中的主要形式．

2．运用几何法证明不等式的关键是什么？

提示：结合待证不等式的特征构造出几何图形，最终将待证不等式转化为几何图形的长、面积、体积等大小比较问题，从而求证．

3．用反证法证不等式应把握哪些问题？

提示：用反证法证明不等式要把握好以下三点：

(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的．

(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．

(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的．

[对应学生用书P21]

[例1] 已知a 求证：

a 1＋a ＋

b 1＋b >c

1＋c

. [思路点拨] 本题若通分去分母运算量较大，考虑到a >0，b >0，可考虑利用分式的放缩．

[精解详析] ∵a >0，b >0， ∴a 1＋a >a 1＋a ＋b ，b 1＋b >b

1＋a ＋b

. ∴

a

1＋a ＋b 1＋b >a ＋b 1＋a ＋b

. 而函数f (x )＝x 1＋x ＝1－1

1＋x

在(0，＋∞)上递增．

且a ＋b >c ， ∴f (a ＋b )>f (c )． 则

a ＋

b 1＋a ＋b >

c 1＋c

，

所以a

1＋a ＋b

1＋b >c

1＋c .

则原不等式成立．

放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处．目标往往要从证明的结论考察．常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知的绝对值不等式、平均值不等式、利用函数的性质进行放缩等．比如：

舍去或加上一些项：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34＞⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋122

；

将分子或分母放大(缩小)：1

k

2＜

1k k －，

1

k

2

＞

1k

k ＋，

1

k

＜

2

k ＋k －1

，

1

k

＞

2

k ＋k ＋1

(k ∈R ，k ＞1)等．

1．设m 是|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |>m 时，

求证：⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪a x ＋b

x

2<2.

证明：由已知m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1. 又|x |>m ，∴|x |>|a |，|x |>|b |，|x |>1，

∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋⎪⎪⎪⎪

⎪⎪b x 2 ＝

|a ||x |＋|b ||x |2<|x ||x |＋|x ||x |

2 ＝1＋1|x |<1＋|x |

|x |

＝2.

∴⎪⎪⎪⎪

⎪⎪a x ＋b x 2<2成立． 2．设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜1.

证明：由2n ≥n ＋k ＞n (k ＝1,2，…，n )， 得12n ≤1n ＋k ＜1

n

. 当k ＝1时，12n ≤1n ＋1＜1

n ；

当k ＝2时，12n ≤1n ＋2＜1

n ；

…

当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n ＜1

n

.

∴12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜n n ＝1， 即原不等式成立.

[例2] (1)若求证：(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不能同时大于1. (2)已知f (x )＝x 2

＋px ＋q ，求证： ①f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；

②|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12

.

[思路点拨] 本题考查不等式的性质及反证法在证明结论为否定形式结论也含有“至少”、“至多”等字眼命题中的应用，考查推理、求解能力，解答此题，需用反证法证明．

[精解详析] (1)(用反证法证明)假设⎩

⎪⎨

⎪

⎧

－a b >1，－b c >1，－c a >1，