2014年初二升初三数学提优专题2(含答案)

E
C
D 图1
A
B
C
D
图2
等分面积问题
1．如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．如，平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．
（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________； （2）如图1，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，如果延长DC 到E ，使CE ＝AB ，连接AE ，那么有S 梯形ABCD ＝S △ABE ．请
你给出这个结论成立的理由，并过点A 作出梯形ABCD 的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）； （3）如图，四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，S △ADC ＞S △ABC ，过点A 能否作出四边形ABCD 的面积等
分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．
2．如图，张大爷家有一块四边形的菜地，在A 处有一口井，张大爷欲想从A 处引一条笔直的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两部分．请你为张大爷设计一种引水渠的方案，画出图形并说明理由．
3．问题探究：
(1)请你在图①中作一条．．
直线，使它将矩形ABCD
分成面积相等的两部分； （2）如图②点M 是矩形ABCD 内一点，请你在图②中过点M 作一条直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分。

问题解决
如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD 是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC ∥OB ,OB =6,CD =BC=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P （4,2）处。

为了方便驻区单位准备过点P 修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l 将直角梯形OBCD 分成面积相等的了部分，你认为直线l 是否存在？若存在求出直线l 的表达式；若不存在，请说明理由
4．问题探究
（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；
（2）如图②，M 是正方形ABCD 内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点
M ），使它们将正方形ABCD 的面积四等分，并说明理由． 问题解决
（3）如图③，在四边形ABCD 中，AB ∥CD
，AB +CD =BC ，点P 是AD 的中点，如果AB =a ，CD =b ，且a b ，那么在边BC 上是否存在一点Q ，使PQ 所在直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ 的长；若不存在，说明理由．
图①
图②
A B
B
图③
A
C
D
P
（第4题图）
A
B C D
中考操练：
1(2014年天津市)在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （﹣2，0），点B （0，2），点E ，点F 分别为OA ，OB 的中点．若正方形OEDF 绕点O 顺时针旋转，得正方形OE ′D ′F ′，记旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，当α=90°时，求AE ′，BF ′的长；
（Ⅱ）如图②，当α=135°时，求证AE ′=BF ′，且AE ′⊥BF ′；
（Ⅲ）若直线AE ′与直线BF ′相交于点P ，求点P 的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）．
2、（本题满分8分）某小区准备新建50个停车位，以解决小区停车难的问题．已知新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.5万元；新建
3个地上停车位和2个地下停车位共需1.1万元． （1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？
（2）若该小区预计投资金额超过10万元，且地上停车位要求不少于30个，问共有几种建造方案？ （3）对（2）中的几种建造方案中，哪一个方案的投资最少？并求出最少投资金额．
3．（本题10分）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上）现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y （厘米）与注水时间x （分钟）之间的关系如图2所示。

根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）图2中折线ABC 表示 槽中的深度与注水时间之间的关系，线段DE 表示 槽中的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”、或“乙”），点B 的纵坐标表示的实际意义是 ；
（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同？
（3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积；
（4）若乙槽中铁块的体积为112立方厘米（壁厚不计），求甲槽底面积（直接写结果）．
图1
图2
甲
乙
解：（1）中线所在的直线；（2分）
（2）方法一：连接BE，因为AB∥CE，AB=CE，所以四边形ABEC为平行四边形，
所以BE∥AC（3分），
所以△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，
所以有S△A B C=S△A E C，
所以S梯形A B C D=S△A C D+S△A B C=S△A C D+S△A E C=S△A E D．（5分）
方法二：设AE与BC相交于点F．
因为AB∥CE所以∠ABF=∠ECF，∠BAF=∠CEF，
又因为AB=CE，
所以△ABF≌△ECF，（4分）
所以S梯形A B C D=S△A C D+S△A B C=S△A C D+S△A E C=S△A E D．（5分）
过点A的梯形ABCD的面积等分线的画法如图所示：作DE的垂直平分线，交DE于G，连接AG．则
AG是梯形ABCD的面积等分线；
（3）能，连接AC，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．
因为BE∥AC，所以△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，所以有S△A B C=S△A E C，
所以S四边形A B C D=S△A C D+S△A B C=S△A C D+S△A E C=S△A E D．（8分）
因为S△A C D＞S△A B C，
所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线，作图如下：。