专题04 “用好零点”,确定参数的最值或取值范围-2121年高考数学压轴题之函数零点问题(原卷版)

专题四“用好零点”，确定参数的最值或取值范围

函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕利用函数零点，确定参数的最值或取值范围问题，例题说法，高效训练.

【典型例题】

例1.【山东省淄博市2019届高三3月模拟】已知函数.

（1）若是的极大值点，求的值；

（2）若

在

上只有一个零点，求的取值范围.

例2.【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟】已知函数（为自然对数的底数），.

（1）当时，求函数的极小值；

（2）若当

时，关于的方程

有且只有一个实数解，求的取值范围.

例3.已知函数()()ln 1ax

f x e x =+，其中a R ∈.（1）设()()ax

F x e

f x -='，讨论()F x 的单调性；

（2）若函数()()g x f x x =-在()0,+∞内存在零点，求a 的范围.例4．【广东省广州市天河区2019届高三综合测试（一)】设函数．

若函数在

处的切线与直线

垂直，求实数a 的值；

讨论函数的单调区间与极值；

若函数

有两个零点，求满足条件的最小整数a 的值．

【规律与方法】

根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；

（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；

（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

（4）如果导函数的解析式具有分式特征,且容易判断出分母是正数,此时往往将分子看成一个新的函数,进而对该函数进行研究从而得到相应的结论.

（5）参变分离法、构造函数法、数形结合法等，均应灵活运用.

【提升训练】

1.【四川省高中2019届高三二诊】已知．

求的极值；

若

有两个不同解，求实数的取值范围．

2．【陕西省咸阳市2019年高考模拟（二)】已知函数.

（1）当，求证

；

（2）若函数

有两个零点，求实数的取值范围.

3.【湖南省怀化市2019届高三3月一模】设函数.

（1）若是的极大值点，求的取值范围；（2）当

，

时，方程

（其中

）有唯一实数解，求的值.

4.【安徽省马鞍山市2019届高三高考一模】已知函数在

上是增函

数．

求实数的值；若函数

有三个零点，求实数的取值范围．

5.【吉林省长春市普通高中2019届高三监测（二)】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若方程

有两个实数根，求实数的取值范围.

6.设函数()()()2

2ln 11f x x x =---.（1）求函数()f x 的单调递减区间；

（2）若关于x 的方程()2

30f x x x a +--=在区间[]

24，内恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范围.

7.已知函数()()21x

f x e a x b =---，其中e 为自然对数的底数.

（1）若函数()f x 在区间[]

0,1上是单调函数，试求实数a 的取值范围；

（2）已知函数()()2

11x

g x e a x bx =----，且()10g =，若函数()g x 在区间[]

0,1上恰有3个零点，求

实数a 的取值范围．

8．已知函数()()2

2

ln R f x a x x ax a =-+∈.

（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）当0a >时，若()f x 在()1,e 上有零点，求实数a 的取值范围.9．已知()()()3

2

31ln ,2

x

f x x e e x

g x x x a =--=-+

+．（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若存在()10,x ∈+∞及唯一正整数2x ，使得()()12f x g x =，求a 的取值范围．10．设函数()ln f x x =，()b

g x ax c x

=+

-（,,a b c R ∈）.（1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值；

（2）当3b a =-时，若对任意()01,x ∈+∞和任意()0,3a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得

()()()120g x g x f x ==，求c 的最小值；

（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于()11,,A x y ()2212,()B x y x x <两点．求证：

122121x x x b x x x -<<-.