立体几何的探索存在性问题
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长垣一中学生课堂导学提纲 编号：高三理数 （2014.12.22） 编制：赵程晓 审核：理数组 序号：100 …………………………………装……………………………………订……………………………………线………………………………… …………………………………
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… 第2讲 导数与最值（2） 班级： _________ 姓名： ____________ 小 组：___________ 评价：___________ 【考纲解读】 了解函数单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(多项式函数一般不超过三次);了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件,会用导数求函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次)，会求在闭区间函数的最大值、最小值（多项式函数一般不超过三次)；会用导数解决某些实际问题. 【课堂六环节】 一、导——教师导入新课。（7分钟） 探索存在性问题在立体几何综合考查中是常考的命题角度，也是考生感觉较难，失分较多的问题，归纳起来立体几何中常见的探索性问题有：(1)探索性问题与空间角结合；(2)探索性问题与垂直相结合；(3)探索性问题与平行相结合 二、思——自主学习。学生结合课本自主学习，完成下列相关内容。（15分钟） 角度一 探索性问题与空间角相结合 1．(2014·哈师大附中模拟)如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱AA 1⊥底面ABC ，∠ACB ＝90°，E 是棱CC 1上的动点，F 是AB 的中点，AC ＝1，BC ＝2，AA 1＝4. (1)当E 是棱CC 1的中点时，求证：CF ∥平面AEB 1(2)在棱CC 1上是否存在点E ，使得二面角A -EB 1 -B 的余弦值是21717若存在，求CE 的长，若不存在，请说明理由 解析：(1)证明：取AB 1的中点G ，连接EG ，FG .∵F ，G 分别是棱AB ，AB 1的中点，
∴FG ∥BB 1，FG ＝12BB 1，又B 1B 綊C 1C ，EC ＝12C 1C ，∴B 1B ∥EC ，EC ＝12
B 1B . ∴FG 綊E
C .∴四边形FGEC 是平行四边形，∴CF ∥EG .∵CF ⊄平面AEB 1，EG ⊂平面AEB 1，
∴CF ∥平面AEB 1.
(2)以C 为坐标原点，射线CA ，CB ，CC 1为x ，
y ，z 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系
C -xyz ，则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0,2,4)．
设E (0,0，m )(0≤m ≤4)，平面AEB 1的法向量
n 1＝(x ，y ，z )．则1
AB ＝(－1,2,4)， AE ＝(－1,0，m )．由1AB ⊥n 1，AE ⊥n 1，
得⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋2y ＋4z ＝0，－x ＋mz ＝0.
∴CA 是平面EBB 1的一个法向量，令n 2＝CA ，
∵二面角A -EB 1-B 的余弦值为21717
， ∴21717＝cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝2m 4m 2＋(m －4)2＋4，解得m ＝1(0≤m ≤4)．∴在棱CC 1上存在点E ，符合题意，此时CE ＝1.
角度二 探索性问题与垂直相结合
2．(2014·南昌模拟)如图是多面体ABC -A 1B 1C 1和它的三视图．
(1)线段CC 1上是否存在一点E ，使BE ⊥平面A 1CC 1？若不存在，请说明理由，若存在，请找出并证明；
(2)求平面C 1A 1C 与平面A 1CA 夹角的余弦值．
解：(1)由题意知AA 1，AB ，AC 两两垂直，建立如图所
示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，A 1(0,0,2)，B (－2,0,0)，
C (0，－2,0)，C 1(－1，－1,2)，则1CC ＝(－1,1,2)，11
A C ＝(－1，－1,0)，1
AC ＝(0，－2，－2)． 设E (x ，y ，z )，则CE ＝(x ，y ＋2，z )，
设CE ＝λ1EC ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－λ－λx ，y ＋2＝－λ－λy ，z ＝2λ－λz ，
则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－λ1＋λ，－2－λ1＋λ，2λ1＋λ，BE ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2＋λ1＋λ，－2－λ1＋λ，2λ1＋λ. 由⎩⎨⎧ BE ·11A C ＝0，
BE ·1A C ＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋λ1＋λ＋2＋λ1＋λ＝0，－2－λ1＋λ＋2λ1＋λ＝0，解得λ＝2，
所以线段CC 1上存在一点E ，CE ＝21
EC ，使BE ⊥平面A 1CC 1. (2)设平面C 1A 1C 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，
则由⎩⎨⎧ m ·11A C ＝0，
m ·1A C ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
－x －y ＝0，－2y －2z ＝0. 取x ＝1，则y ＝－1，z ＝1.故m ＝(1，－1,1)，
而平面A 1CA 的一个法向量为n ＝(1,0,0)，则cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝13＝33
， 故平面C 1A 1C 与平面A 1CA 夹角的余弦值为33
. 角度三 探索性问题与平行相结合
3．(2013·江西模拟)如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，
DE ＝3AF ，BE 与平面ABCD 所成的角为60°.
(1)求证：AC ⊥平面BDE ；
(2)求二面角F -BE -D 的余弦值；
(3)设点M 是线段BD 上一个动点，试确
定点M 的位置，使得AM ∥平面BEF ，并证明你的结论．