第四章平面波
第四章 海洋中的声传播理论
第四章 海洋中的声传播理论水声传播常用的方法：波动理论（简正波方法）——研究声信号的振幅和相位在声场中的变化；射线理论（射线声学）——研究声场中声强随射线束的变化，它是近似处理方法，且适用于高频，但它能有效、清晰地解决海洋中地声场问题。
4.1 波动方程和定解条件1、波动方程当介质声学特性是空间坐标的函数，则可得小振幅波的运动方程、连续性方程和状态方程：p t u -∇=∂∂ρ 0=⋅∇+∂∂u tρρρd c dp 2= 状态方程可写为：tc t p ∂∂=∂∂ρ2由状态方程和连续性方程可得：012=⋅∇+∂∂u tp c ρ 利用运动方程从上式中消去u可得0112222=∇⋅∇-∂∂-∇ρρp tp c p当介质密度是空间坐标的函数时，波动方程的形式和密度均匀介质中波动方程的形式不同。
引入新的从变量：ρϕp=，则可得0432********=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∇-∇+∂∂-∇ρρρρϕϕt c 对于简谐波，222ω-=∂∂t ，则上式可写为：()0,,22=+∇ϕϕz y x K式中，2224321⎪⎪⎭⎫⎝⎛∇-∇+=ρρρρk K 。
ϕ不是声场势函数，K 也不是波数。
在海水中，与声速相比密度变化很小，可将其视为常数，则()z y x c k K ,,ω==，于是()0,,22=+∇ϕϕz y x k ()0,,22=+∇p z y x k p如果介质中有外力作用F，例如有声源情况，则有()ρϕϕFz y x K ⋅∇=+∇,,22在密度等于常数时，有()ρϕϕFz y x k ⋅∇=+∇,,22()F p z y x k p⋅∇=+∇,,22上述赫姆霍茨方程是变系数的偏微分方程——泛定方程。
2、定解条件满足物理问题的具体条件——定解条件。
物理量在介质边界上必须满足的条件。
（1）绝对软边界绝对软边界条件：声压为零界面方程表示为()t y x z ,,η=，()()0,,,,,==t y x z t y x p ηη——不平整海面 也称为第一类齐次边界条件如果已知边界面上的压力分布，则()()s t y x z p t y x p ==,,,,,ηη，称为第一类非齐次边界条件。
第四章 第五节 正交化平面波
2
2 2 (k k 2 ) E (k ) 2m
1 2
3
V (k1 k2 )
V (k1 k3 ) V ( k 2 k3 )
V ( k 4 k3 )
3
4
V ( k3 k 2 ) V (k 4 k 2 )
这里
得到Li的合理的能谱：
对比4.2.13和4.5.13，可以看到，与平面波不同的是，现在用
有效势U替代了真是势V。 U的第一项来源于真是势V，它是负值。第二项来源于正交化 手续，它是一个正量。 由于正交化手续要求波函数必须与内层电子波函数正交，它
在离子实区域强烈振荡，动能极大。实际上起一种排斥势能
9.2x1030m-3，那么在Kmax为半径的球内空有108个倒
格式，也就是要108的平面波才能展开Ca的3s波函数。 很显然，这个计算量是不能接受的。
另外，我们从上图可以看到，同样3s的波函数，在离
核0.2Å时候，已经变得相当平缓了，此时需要的平面 波也就很少了，所以我们需要处理靠近核附近的波函 数就可以大大减少计算量。 实际上，原子内部的电子在能量上是分层分布的，大 体上可以分为芯电子和价电子两类。芯电子波函数受 外界影响很小，在晶体中形成窄带，远离费米面，保 持孤立原子性质。而价电子处于费米面附近，决定固 体的主要物理化学性质。
的作用，它在很大程度上抵消了离子实区V的吸引作用。从而， 得到矩阵元 比平面波法中的矩阵元 小很多，自然收敛性比平面波法好得多。
在正交化平面波方法基础上，人们提出了赝势方
法，也可以达到类似的目的（降低基组数目。除此之外， 还有一种更好的方法是以原子核为圆
心取一Muffin-tin球，球内采用原子轨道波函数作为基
第四章-平面波
第四章 平面波本章从麦克斯韦方程及物质的本构关系出发，研究在均匀介质中平面波的传播及其主要特征。
首先讨论线性、均匀、各向同性介质中均匀平面波的传播，再推广到各向异性介质中的情况。
比平面波更复杂的电磁波也可用平面波展开，本章对此也作了讨论。
最后讨论平面波传播的传输线模型，为以后用传输线模型求解复杂的场问题打下基础。
4.1得出电场强度E 与磁场强度H 满足的波方程，4.2从波方程得到简单介质中的平面波解，4.3、4.4讨论平面波的极化特性以及平面波在有耗介质中的传播，4.5介绍色散与群速的基本概念，4.6与4.7分别研究电各向异性介质和磁各向异性介质中平面波的传播特征。
4.8讨论髙斯波束的平面波展开，4.9证明电磁波沿某一方向传播可与特定参数传输线上电压、电流波的传播等效，即电磁波传播的传输线模型。
4.1 波方程3.4已分析过，麦克斯韦方程组中两个旋度方程是独立的。
在两个旋度方程中电场强度E 与磁场强度H 耦合在一起。
从解方程角度看，先要将E 跟H “去耦”，即从两个旋度方程消去H （或E ），然后得到只关于E （或H ）的方程。
本节讨论无源、简单介质中麦克斯韦方程的解，所谓无源，就是指所研究的区域内不存在产生电磁场的源J 与ρv 。
对于简单介质，ε、μ是常量。
在这种特定情况下，将物质的本构关系（3.4.1）、（3.4.2）代入麦克斯韦方程（3.2.8）~（3.2.11），得到 ∇⨯E =–j ωμH （4.1.1） ∇⨯H = j ωεE （4.1.2） ∇⋅E = 0 （4.1.3） ∇⋅H = 0 （4.1.4） 式（4.1.1）、（4.1.2）两个方程中，只有E 和H 两个独立的场量，但E 和H 耦合在一起。
为了从这两个方程得到只关于E 或H 的方程，对式（4.1.1）取旋度，并将式（4.1.2）代入，得到 ()()()E E H E μεωωεωμωμ2=-=⨯∇-=⨯∇⨯∇j j j利用恒等关系()()E E E 2∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇，而根据式（4.1.3），0=⋅∇E ，所以上式成为022=+∇E E μεω（4.1.5）同样对式（4.1.2）取旋度，将式（4.1.1）代入，并利用式（4.1.4）及上面的矢量运算恒等关系，得到022=+∇H H μεω（4.1.6）式（4.1.5）、（4.1.6）可合并写成 ()022=⎩⎨⎧+∇HEk（4.1.7） 式中μεω22=k（4.1.8）在自由空间或真空中，μ = μ0，ε = ε0，k 记作k 000220εμω=k（4.1.9）式（4.1.5）、（4.1.6）或（4.1.7）叫做无源简单介质中的波方程，在这个方程中E 跟H 不再耦合在一起。
物理光学第4章习题答案
• 因此，这个衍射屏具有类似透镜的性质。
• (2)对于因子exp(iar2 )：a= - k/2f1，
• 得f1 = - k/2a= -π/aλ< 0，发散；
• 对于因子 exp(-iar2)： a= k/2f2，
• 得f2 = k/2a=π/aλ> 0，汇聚；
• 对于因子1/2，1/2=1/2*e0， • 可得 f3 = ∞。
•
=∫±L (A/2i)*( ei2πu0x – e -i2πu0x )
•
*exp(-i2πux)dx
•
=∫±L (A/2i)*[ ei2π(u0-u)x – e -i2π(u0+u)x ] dx
•
=(A/4 π) *[(1/u-u0) *ei2π(u0-u)x - (1/u+u0)
*ei2π(u0+u)x ] |±L
S
D
2
sin
cos
2
而
cos l'v
D
故
S
D
2
c
os1
l ' v
v
2
2
D D D
光瞳的面积为：
SD
2
D 2
2
因此得到沿v轴的光学传递函数为：
可见沿v轴的截止频率为：
vm a x
D
l'
（2）再来计算沿u轴的光学传递函数。 在ξ轴上分开λl’u的两个光瞳的重叠面积，如下图所示：
最后得到强度分布
I (x) (x) 2
=cos2
2
u0
x
1 2
(1
cos
4
u0 x)
可见，像面上的强度分布仍是一正弦式分布，但空间频率为物分布的2倍。
电磁场-平面电磁波
入射波电场垂直于入射面 （即垂直极化）
注:入射面即y=0的平面，不是分界面
将 H 分解为界面的切线 t 向，上下边界应相等
• .
• 联解（1）（2）得到菲涅耳公式（设μ1 = μ2=μ）
• 考虑到
在介质1中合成波场的分量为：
讨论： 1）场的每一个分量都有因子 向传播，相位沿x方向变化。
，表示合成波也沿x方
第四章 平面电磁波
无线广播，通讯的载波，激光器发出的激光，都 接近正弦电磁波，称谐和波或单色场。
• 通常正弦电流用复数表示：
称为电场的 x（或y, z）分量的复振幅， 复振幅和幅角都是坐标的函数
.
• 利用复指数后，场量对时间的偏导数变得简单。
。将复数表达式代入正弦电磁场情况下的麦克斯韦方程组得：
时称为理想导体。
• （3）0.01 < < 100 称半导体， • 半导体材料对传导电流和位移 电流都必须考虑。
• .注意: 某种材料是导体还是绝缘体或半导体，
• 不但与ζ 还与工作频率 ω有关。 • 例铜的电导率ζ =5 .7x 107 S/m , 在光频以下为良导体 • 对 x射线（设波长为0.1nm）, 铜却不是良导体。
电场瞬时值表达式：
为沿 -z 方向传播的平面波
电磁波的极化
• 平面电磁波是横波，它的 E矢量可以在垂直于传 播方向（波矢 K 的方向）的任意方向振动，如 果在垂直于传播方向的平面内，E 的振动限于 某一固定的方向，则称为线偏振或平面偏振，E 的振动方向称为偏振方向或极化方向。 • 沿z轴方向传播的电磁波的电场矢量E 可以分解 为两个互相正交的分量Ex , Ey 它们的振幅分别为 E1、 E2，相位差为φ=φ1-φ2
• .良导体的条件
固体物理学：第四章 第二节 平面波法
V(K4 K2)
V (K4 K3)
实际计算只能取有限阶的行列式。比如取100个平面波叠加 ，得到100x100的行列式，得到100个线性方程组，可以求出 100个能量本征值:
n为能带序号。
平面波方法优点是简单，有较好的解析形式。而且 通过不断增加平面波数，总能得到收敛解。
其缺点是收敛较慢，特别是对于靠近原子核的芯电 子，为了展开这些震荡厉害的芯电子，需要非常多的 平面波，在对角化时候速度非常慢，甚至变得不现实。
上面波函数还可以写成上面波函数还可以写成写成狄拉克符号形式写成狄拉克符号形式其中其中kk平面波平面波所以在周期场中单电子波函数是一系列相差一所以在周期场中单电子波函数是一系列相差一个倒格矢的平面波的叠加
第四章 能带论
§4.2 平面波法
根据布洛赫定理，周期势场中的单电子波函数是一个 调幅平面波：
对调幅因子按倒格矢做傅里叶展开：
通常我们是通过设定一个最大的Kmax来确定 平面波的数目，相当于给定一个电子的最大 动能。由此我们可以定义一个平面波的截断 能量(cut-off energy):
我们以Ca的3s电子的波函数为例：
在原子核0.1埃范围内，波函数的变化非常剧烈，要用平面波来 展开这个波函数，必须要用周期小一个量级的波，即波长为 0.01埃。所以Kmax=2π/0.01埃=6.3x1012 m-1, 假设晶格常数为3埃， 那么第一布里渊区为9.2x1030m-3，在以Kmax为半径的球内，大概 有108个倒格矢，也就是要108个平面波！
上式中哈密顿量 =
周期势也可以在倒空间展开：
其中展开系数为
为平均势，通常取作0，而 为相对于平均势的起伏
用| k+K h’>齐次方程
第四章 阵列信号处理
通常信号的频带B比载波 ω 小很多，即s(t)变化 相对 ω 缓慢，则延时
1 c
r α <<
T
1 B
则可以认为 s (t − r α ) ≈ s (t ) 即信号包络 在各阵元上差异可忽略——窄带信号。
4.2 等距线阵与均匀圆阵
一、等距线阵 M个阵元等距排成一直线，阵元间距为d，到达波 的方向角定义为与阵列法线的夹角 θ ，称为波 达方向（DOA）。 在三维空间中还可以 θ θ 确定信源方位角 ψ
d
5
4
y
ψ
2
1
x
等距线阵（ULA）的方向向量
aULA (θ ) = [1, e = [1, e
−j 2π − j k d sin θ −j
,L, e
2π
− j k ( M −1) d sin θ T
]
λ
d sin θ
,L, e
λ
( M −1) d sin θ
]T
若有多个信源(p个),波达方向分别为 θ i (i − 1, L, p) 方向矩阵为
A = [a(θ1 ), a(θ 2 ),L, a(θ p )] = 1 ⎡ ⎢ e − j 2λπ d sin θ1 =⎢ ⎢ L ⎢ − j 2λπ ( M −1) d sin θ1 ⎣e ⎤ π − j 2λ d sin θ p ⎥ L e ⎥ ⎥ L L π − j 2λ ( M −1) d sin θ p ⎥ L e ⎦ L 1
θ
d sin θ
Vandermonde矩阵
阵列结构不允许其方向向量和空间角之间模糊， 等距线阵阵元间距不能大于 λ ，则可以保证 2 方向矩阵中各个列向量线性独立。 二、等距线阵的阵列响应与方向图 在单个信源情况下，阵列输出为各阵元信号的加 权和（不考虑噪声），
《平面电磁波》PPT课件
w E
1
B
2
2. 电磁场的能流密度 平面电磁波的能流密度
2 S EH E n E E n 1 S wn vwn wv
v为电磁波在介质中的相速。 由于能量密度和能流密度是场强的二次式，不能 把场强的复数表示直接代入。
计算和S的瞬时值时，应把实数表示代入，得
E ( x, t ) E0 e
i kx t
其中x表示坐标原点到某等相位面的距离 ，kx即为
传播这一距离所对应的相位差。
对于任意方向传播的平面波
令 k 表示一个矢量，其大小
为 k ，方向沿平面波的传播
方向。则任意一点 P 与原点
之间的相位差应为kx’，即
kx kx cos k x
真空中
值如图所示．随着时间的推移，整个波形向x轴方 向的移动速度为
vc
r r
四、电磁波的能量和能流
1. 电磁场的能量密度
1 1 2 1 2 w E D H B E B 2 2
对于平面电磁波情形
E
2
1
2
B
2
所以平面电磁波中，电场能量和磁场能量相等， 有
it
， g (t ) g 0e
it i
是f(t)和 g(t)的相位差. fg对一周期的平均值为
fg 2
2
0
dtf0 cos t g 0 cost
1 1 f 0 g 0 cos Re f * g 2 2 式中f *表示f的复共轭，Re表示实数部分。由此，
所以，一般情况下的平面表示式为
E(x, t ) E0ei k x t
电动力学第四章电磁波的传播
第四章电磁波的传播讨论电磁场产生后在空间传播的情形和特性。
分三类情形讨论：一：平面电磁波在无界空间的传播问题二. 平面电磁波在分界面上的反射与透射问题；三.在有界空间传播 -导行电磁波第一部分平面电磁波在无界空间的传播问题讨论一般均匀平面电磁波和时谐电磁波在无界空间的传播问题1时变电磁场以电磁波的形式存在于时间和空间这个统一的物理世界。
2 研究某一具体情况下电磁波的激发和传播规律，从数学上讲就是求解在这具体条件下Maxwell equations 或 wave equations 的解。
3 在某些特定条件下，Maxwell equations或wave equations可以简化，从而导出简化的模型，如传输线模型、集中参数等效电路模型等等。
4最简单的电磁波是平面波。
等相面（波阵面）为无限大平面电磁波称为平面波。
如果平面波等相面上场强的幅度均匀不变，则称为均匀平面波。
5许多复杂的电磁波，如柱面波、球面波，可以分解为许多均匀平面波的叠加；反之亦然。
故均匀平面波是最简单最基本的电磁波模式，因此我们从均匀平面波开始电磁波的学习。
§4.1波动方程 (1)§4.2无界空间理想介质中的均匀平面电磁波 (4)§4.3 正弦均匀平面波在无限大均匀媒质中的传播 (7)4.1-4.3 总结 (13)§4.4电磁波的极化 (14)§4.5电磁波的色散与波速 (16)4.4-4.5 总结 (18)§4.1 波动方程本节主要容：研究各种介质情形下的电磁波波动方程。
学习要求： 1. 明确介质分类； 2. 理解和掌握波动方程推到思路 3. 分清楚、记清楚无界无源区理想介质和导电介质区波动方程和时谐场情形下理想介质和导电介质区波动方程4.1.1介质分类：电磁波在介质中传播，所以其波动方程一定要知道介质的电磁性质方程。
一般情况下，皆知的电磁性质方程很复杂，因为反应介质电磁性质的介电参数是量。
简明大学物理第二版 复件 4-6 平面简谐波
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x t 3 2
4-6 平面简谐波
第四章 机械振动与机械波
此方程说明了每个质点振动的 周期性，即波动的时间周期性. 据此可以作出该质点的y-t振动 曲线 。
y
O
A
x x0
t
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4-6 平面简谐波
相位差和波程差
第四章 机械振动与机械波
x 波函数 y A cos t u
在同一时刻，距离原点O分别为x1和x2的两质点的相位分别为：
当Δt=T/4时，整个波形应沿传播方向平移λ/4的距离. 于是可容易地作出t=T/4时的波形曲线，如图中的虚线所示.
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4-6 平面简谐波
第四章 机械振动与机械波
由图中的两条曲线可得到坐标x=λ/4的质点在t=0、T/4时 的y值，按照这样的思路，只要平移波形曲线，就可以得到在 不同时刻质点更多的y值.于是就可以作出这个质点的振动曲线， 如图所示.
I P S wu 1 2
A u
2 2
I A 2 I
2
在SI中，能流密度的单位是瓦每平方米，符号为W·m-2
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4-6 平面简谐波
3 波的振幅
第四章 机械振动与机械波
在波动过程中，如果各处传波质点的振动状况不随时间改变， 并且振动能量也不为介质吸收，那么单位时间内通过不同波面的 总能量就相等，这是能量守恒定律要求的. 对平面波，可任取两个面积为S1、S2的波面，相应的强度 分别为I1,I2. 由于S1＝S2 ，且根据能量守恒，在单位时间有
平面波公式
平面波公式平面波是声学中的一种波，它的特征是在某一平面上的传播，它的受力形式为前后两个振幅在某一平面上的波运动，此外还伴有一些横向的分部。
由此可以看出，平面波的定义中平面的概念是十分重要的，在物理学中，这一概念是指某一方向上能够看出常数的物理参量，就像抛物线形状的圆弧一样，当抛物线旋转着某个实际情况时，它形成的便就是一个平面。
在物理学中，任何一种波都有它的波公式，这是用来描述它特有的特性的。
其中，平面波公式是推导平面波波运动的基础，也是物理学中最为基本的公式。
平面波公式有时也和平面波方程有所区别，这是因为有时候平面波公式只描述了冲击的振幅及传播的距离，而平面波方程则描述了传播过程中的变化情况，它可以利用不同的变量来表达平面波的衰减情况。
平面波的运动也可以看作是一种波的传播过程，比如水面上的波，在水面上传播的过程其实就是平面波的运动。
平面波公式的形式如下：A = Acos(ωt - ks)其中A是波的振幅，A是初始振幅；ω是频率；t是时间；k是波动数；s是波行进的距离。
平面波的传播分为三种类型：静态传播、动态传播以及不完全传播。
静态传播是指输入的振幅以恒定的速度在一定距离内不变地传播；动态传播则指通过某种形式来改变传播的距离；不完全传播是指一开始在空间中曲率明显，经过一定时间后曲率逐渐减弱，变得平坦，最后又重新曲线上升。
这三种传播形式都可以看作是平面波传播的一种状态，由此可以推导出专有的平面波公式。
平面波公式是物理学中十分重要的一个公式，它可以用来描述静态的、动态的以及不完全传播的平面波运动情况。
它是物理学与声学领域中对平面波特性的理论推导和实验研究的基础。
因此，平面波公式在物理学领域中非常重要，学习平面波公式也是物理学中一项基础而关键的知识点。
总之，平面波公式是一种十分重要的物理学公式，平面波的特性及运动过程通过它的推导得到深入的分析，这也是平面波物理学研究的一个重要组成部分。
第四章 电磁波的传播 §1. 平面电磁波§2. 电磁波在介质界面上的反射和折射§3. 有导体存在时电磁波的
知 H
E
较大，非铁磁
B
可取 = 0
(2) E k 在与 k 垂直平面上可将 E 分解成两个分量
(3) H k, 且 H E
(4)
nn ((EH22EH1)1
0 )0
即 Et E't E"t Ht H 't H"t
(5) ' ,
sin 2 sin " 1
(1 2 0 )
电磁波：迅变电磁场， 导体内 = ？
电流：J
E
电荷：
E
/
,
J
E
J
0
t
t
J
,
d dt,
t
0e
t = 0 时，导体内 = 0 ， 然后 随 t 按指数衰减 t = 时，（ = / 特征时间） = 0 / e
导体内的自由电荷分布
t = 0 时，导体内 = 0 ， 然后 随 t 按指数衰减
o
y
x
平面电磁波的特性： （证明 see next page）
(1) 电磁波是横波， E k ， B k
(2) E B ， E B 沿 k 方向
(3) E 和 B同相，振幅比 E / B = v
平面电磁波
证明平面电磁波的特性
E 0
E
E0
ei
(
k
xt
)
E0
ei
( k xt
)i(k
E"
2 1 cos
2sin "cos
E 1 cos 2 cos" sin( ")
振幅关系 Fresnel 公式
(2) E || 入射面： (Ht H )
电磁场与电磁波 第4章－平面电磁波基础
ey
1
e y ( E0 e jkz H 0 e jkz )
式中：
E0 E0 H0 H0 k
（4-18）
具有阻抗的量纲，单位为欧姆(Ω )，它的值与媒质参
数有关，因此它被称为媒质的波阻抗(或本征阻抗)。真
（4-25）
由上可见，电磁波的频率描述的是相位随时间的变化特 性，而波长描述的是相位随空间的变化特性。 均匀平面电磁波的复坡印廷矢量为：
* 2 E E 1 1 S E H * ex E0e jkz e y 0 e jkz e z 0 m 2 2 2
式中：
（4-5）
（4-6） 式（4-4）和（4-5）分别是 E 和 H 满足的无源空间 的复数矢量波动方程，又称为矢量齐次亥姆霍兹方程。 必须指出，式（4-4）和（4-5）的解还需要满足散度为 零的条件，即必须满足： E 0, H 0 。如果 媒质是有耗的，即介电常数和磁导率均是复数，则 k 也 相应的变为复数 k c 方程形式不变。
空中的介电常数和磁导率为： 1 0 10 9 F / m, 0 4 10 7 H / m 36 将它们代入式（4-18） ，得到电磁波在真空中的本征阻 抗为： 0
0 / 0 120 377 。
4.2.2 均匀平面电磁波的传播特性 假设均匀平面波沿 z 方向传播，电场强度只有 x 方向坐标分量 Ex ( z) 。由于无界媒质中不存在反射波， 所以正弦均匀平面电磁波的复场量可以表示为：
2
（4-2）
类似地，可推导出：
2 H H 0 2 t
2
（4-3）
式（4-2）和（4-3）是 E 和 H 满足的无源空间的瞬时值
第四章 海洋中的声传播理论
第四章 海洋中的声传播理论水声传播常用的方法：波动理论（简正波方法）——研究声信号的振幅和相位在声场中的变化；射线理论（射线声学）——研究声场中声强随射线束的变化，它是近似处理方法，且适用于高频，但它能有效、清晰地解决海洋中地声场问题。
4.1 波动方程和定解条件1、波动方程当介质声学特性是空间坐标的函数，则可得小振幅波的运动方程、连续性方程和状态方程：p t u -∇=∂∂ρ 0=⋅∇+∂∂u tρρρd c dp 2= 状态方程可写为：tc t p ∂∂=∂∂ρ2由状态方程和连续性方程可得：012=⋅∇+∂∂u tp c ρ 利用运动方程从上式中消去u可得0112222=∇⋅∇-∂∂-∇ρρp tp c p当介质密度是空间坐标的函数时，波动方程的形式和密度均匀介质中波动方程的形式不同。
引入新的从变量：ρϕp=，则可得0432********=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∇-∇+∂∂-∇ρρρρϕϕt c 对于简谐波，222ω-=∂∂t ，则上式可写为：()0,,22=+∇ϕϕz y x K式中，2224321⎪⎪⎭⎫⎝⎛∇-∇+=ρρρρk K 。
ϕ不是声场势函数，K 也不是波数。
在海水中，与声速相比密度变化很小，可将其视为常数，则()z y x c k K ,,ω==，于是()0,,22=+∇ϕϕz y x k ()0,,22=+∇p z y x k p如果介质中有外力作用F，例如有声源情况，则有()ρϕϕFz y x K ⋅∇=+∇,,22在密度等于常数时，有()ρϕϕFz y x k ⋅∇=+∇,,22()F p z y x k p⋅∇=+∇,,22上述赫姆霍茨方程是变系数的偏微分方程——泛定方程。
2、定解条件满足物理问题的具体条件——定解条件。
物理量在介质边界上必须满足的条件。
（1）绝对软边界绝对软边界条件：声压为零界面方程表示为()t y x z ,,η=，()()0,,,,,==t y x z t y x p ηη——不平整海面 也称为第一类齐次边界条件如果已知边界面上的压力分布，则()()s t y x z p t y x p ==,,,,,ηη，称为第一类非齐次边界条件。
平面波的基本性质
p(t,x)paej(tkx)
v(t,
x)
1
0
pdt x
v(t,x)vaej(tkx)
pa ej(tkx) 0c0
一、平面波波动方程的解
C0代表单位时间内波阵面传播的距离，也就是声传播速度，简称 为声速。
一、平面波波动方程的解
声波在传播过程中，等相位面是平面，所以通常就 称为平面波。
一、平面波波动方程的解
二、声波传播速度
理想气体中的小振幅声波
c
2 0
P0 0
对空气 ＝1.4，0＝1.293kg/m3，P0=1.013 × 105Pa，得 空气中的声速为 c0=331.6m/s.
声速与媒质温度的关系（理想气体）
二、声波传播速度
对理想气体有 PV M RT （克拉柏龙公式）
则声速公式变为 c0
p(t,x)paej(tkx)
v(t,x) pa ej(tkx)
0c0
原因：理想媒质；平面波 平面声场中任何位置处，声压和质点速度都是同相位的。
一、平面波波动方程的解
④ 质点的位移
vdt va ej(tkx)
j
vaej(kx02)ejt aej(t)
二、声波传播速度
二、声波传播速度
如，对20摄氏度的空气，其特性阻抗为 0c0415Pa.s/m
对20摄氏度的水，其特性阻抗为 0c01.48106Pa.s/m
平波声波的声阻抗率数值上恰好等于媒质的特性阻抗，即平面 声波处除与媒质的特性阻抗相匹配。
dP dP
ds dVVs
1s
绝热体积压缩系数：s
(dV V)s dP
对于水，20oC时，0＝998 kg/m3，βs=45.8×10-11m2/N， 得水中的声速为 c0 (20 oC) =1480 m/s.
固体物理学：第四章 第五节 正交化平面波法
比如Li，它的电子组态是1s2 2s1，内层电子只有一个带，如果 取一个正交化平面波取构造导带电子的布洛赫波，得到 这里
得到Li的合理的能谱：
对比4.2.13和4.5.13，可以看到，与平面波不同的是，现在用 有效势U替代了真是势V。
U的第一项来源于真是势V，它是负值。第二项来源于正交化 手续，它是一个正量。
1940年，赫令（Herring）提出了一种克服平面波方法收敛性差 的方案。原则上，固体能带可分为两类：一类是内层电子的能 带，它是一种窄带。内层电子的状态可以用紧束缚波函数来描 述：
用狄拉克符号写为：
它满足
H是晶格哈密顿量，Ec是内层电子能带，c表示内层电子波函 数的量子数。 另一类是外层电子的能带，是一种宽带。 我们把最高被电子占满的能带称为价带，而最低空带或者半满 带称为导带。 固体的物理性质主要决定于价带和导带中的电子。
第四章 能带论
§4.5 正交化平面波法
Orthogonalized plane wave
前面讨论了平面波方法，它是一种严格求解周期势 场中单电子波函数的方法，物理图像也很清楚。但 平面波有个致命的弱点，即收敛性差，要求解的本 征值行列式阶数很高。
这是因为固体中价电子的波函数，在离子实区域以 外是平滑函数，而在离子实区有较大的振荡，以保 证与内层电子波函数正交，要描述这种振荡波函数， 就需要大量的平面波。
导带和价带电子，离子实区和离子实区域外是两种性质不同 的区域。在离子实区，电子感受到弱的势场作用，波函数是 平滑的，很像平面波。
而在离子实区域，由于强烈的局域势作用，波函数急剧震荡， 和平面波相差很多。
因此最好用平面波
和壳层能带波函数
的线性组合来描述价带和导带电子的布洛赫波函数：
第四章 各向异性介质中的光波
Ei = ( E1 E1 Ei = E2 E 3
E2
E3 )
D与E的关系
r D
z
r E
r r r D = ε E = ε 0ε r E Dx Ex D = ε ε E 0 r y y Dz Ez
ε0
ρ P − 束缚电荷，与介质极化有关
4.2.3 数学表示（晶体的介电张量）
背景知识 晶体的介电张量
背景知识
张量：用来描述晶体状态或性质的物理量。
零阶张量（标量）-温度T、密度ρ等（只有数值，没有方向— —单一数值，仅有一个分量） r r r r 一阶张量（矢量）-力 F 、速度 v ，位移 s 、电场强度 E 、电 r 位移矢量 D 等（由坐标轴上的三个分量决定）
π
2
即 ( no − ne )d =
λ
4
λ / 2 波片 2π 当 ∆ϕ = λ ( no − ne )d = π
即 ( no − ne )d = 2
λ
全波片： 当 ∆ϕ =
2π
λ
( no − ne )d = 2π
即 ( no − ne )d = λ
思考：其它入射角时？ 入射角：45度
思考：其它入射角时？
线偏振光
iB
n1 = 1
iB
（2）可测不透明媒质折射率
n2 = n
tgiB = n
（3）利用偏振片调光强（如镜头前加偏振片、偏光 望远镜等）。
由反射和折射产生的偏振光
应用举例： （4）利用玻璃片堆从透射光可获得较强线偏振光
iB
• • • • • • •
由二向色性产生偏振光
N
光轴方向
高等物理光学课件-平面波
衍射现象遵循惠更斯-菲涅尔原理，即波前上的每一点都可看作是新的波源，发出次波。这些次波在空间中叠加， 形成衍射现象。衍射规律包括衍射角与波长、障碍物尺寸的关系等。在实际应用中，衍射现象对于光学仪器的分 辨率、成像质量等方面具有重要影响。
03 平面波在晶体中传播特性
晶体结构对平面波影响
晶体结构周期性
应用前景
随着信息社会的不断发展，人们对通信速度 和容量的需求不断提高。光纤通信技术作为 未来通信发展的主要方向之一，将在宽带接 入、数据中心、物联网等领域发挥越来越重 要的作用。同时，随着新材料、新工艺和新 技术的不断涌现，光纤通信技术的性能和应
用范围也将不断拓展。
06 总结与展望
平面波在物理光学领域重要性
平面波特点
平面波的等相位面是平面，等相位面上各点振动相位相同，振幅相等，传播方 向垂直于等相位面。
波动方程与解析式
波动方程
描述平面波传播的数学表达式称为波动方程。对于单色平面波，其波动方程可表示 为∇²E - (1/c²)∂²E/∂t² = 0，其中E为电场强度矢量，c为光速。
解析式
平面波的解析式可表示为E(x,y,z,t) = E₀cos(ωt - k·r + φ₀)，其中E₀为振幅矢量，ω 为角频率，k为波矢，r为位置矢量，φ₀为初相位。
振幅、频率、波长等参数
01
02
03
振幅
平面波的振幅表示波的振 动强度，通常用电场强度 矢量的模来表示。振幅越 大，波的振动越强。
频率
平面波的频率表示单位时 间内波振动的次数，用赫 兹（Hz）表示。频率越高， 波的振动越快。
波长
平面波的波长表示波在一 个振动周期内传播的距离， 用米（m）表示。波长越 长，波的传播速度越快。
Chap4 第四章 导波光学中的倏逝场1
( 4 .6 )
rC if x ≥ 0 exp(− rx ) 2 n 0 −j q (− C sin qx + D cos qx ) Ez = if 0 ≥ x ≥ −2a ωε 0 n0 2 p if − 2a ≥ x n 2 (C cos 2aq − D sin 2aq )exp[ p( x + 2a )] 0 对应的本征值方程为
其中，n1n2 为芯径和皮层的折射率，Jv 为 v 阶一类 Bessel 函数；Kv 为一类 v 阶修正 Bessel 函数。 同样可以得到 Hz （r） 的类似表达式。 其它分量可以用 Maxwell 方程推导出来。 芯层外的皮层里面对应着该模式的倏逝波成分。 Fig.4.11,Fig.4.12 ， Fig.4.13 给出了 TM01、TM02、TM21 模式的 Ez 和 Hz。V 为归一化的频率
( 4 .2 )
0 ≥ x ≥ −2 a if − 2a ≥ x
其中 p、q 和 r 是传输常数
q 2 = n1 k 2 − β 2
2
p 2 = β 2 − n22k 2 r 2 = β 2 − n 23k 2
其中 k = ω (µ 0ε 0 )
1/ 2
(4.4)
。由连续性条件得到本征值方程为
tan (2aq ) =
if x≥0 A exp(− rx ) E y = A cos qx + B sin qx if 0 ≥ x ≥ −2a ( A cos 2aq − B sin 2aq )exp[ p(x + 2a )] if − 2a ≥ x − A exp(− rx ) −j Hz = − q (− A sin qx + B cos qx ) ωµ 0 p ( A cos 2aq − B sin 2aq )exp[ p( x + 2a )] if if x≥0 (4.3)
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第四章 平面波本章从麦克斯韦方程及物质的本构关系出发，研究在均匀介质中平面波的传播及其主要特征。
首先讨论线性、均匀、各向同性介质中均匀平面波的传播，再推广到各向异性介质中的情况。
比平面波更复杂的电磁波也可用平面波展开，本章对此也作了讨论。
最后讨论平面波传播的传输线模型，为以后用传输线模型求解复杂的场问题打下基础。
4.1得出电场强度E 与磁场强度H 满足的波方程，4.2从波方程得到简单介质中的平面波解，4.3、4.4讨论平面波的极化特性以及平面波在有耗介质中的传播，4.5介绍色散与群速的基本概念，4.6与4.7分别研究电各向异性介质和磁各向异性介质中平面波的传播特征。
4.8讨论髙斯波束的平面波展开，4.9证明电磁波沿某一方向传播可与特定参数传输线上电压、电流波的传播等效，即电磁波传播的传输线模型。
4.1 波方程3.4已分析过，麦克斯韦方程组中两个旋度方程是独立的。
在两个旋度方程中电场强度E 与磁场强度H 耦合在一起。
从解方程角度看，先要将E 跟H “去耦”，即从两个旋度方程消去H （或E ），然后得到只关于E （或H ）的方程。
本节讨论无源、简单介质中麦克斯韦方程的解，所谓无源，就是指所研究的区域内不存在产生电磁场的源J 与ρv 。
对于简单介质，ε、μ是常量。
在这种特定情况下，将物质的本构关系（3.4.1）、（3.4.2）代入麦克斯韦方程（3.2.8）~（3.2.11），得到 ∇⨯E =–j ωμH （4.1.1） ∇⨯H = j ωεE （4.1.2） ∇⋅E = 0 （4.1.3） ∇⋅H = 0 （4.1.4） 式（4.1.1）、（4.1.2）两个方程中，只有E 和H 两个独立的场量，但E 和H 耦合在一起。
为了从这两个方程得到只关于E 或H 的方程，对式（4.1.1）取旋度，并将式（4.1.2）代入，得到 ()()()E E H E μεωωεωμωμ2=-=⨯∇-=⨯∇⨯∇j j j利用恒等关系()()E E E 2∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇，而根据式（4.1.3），0=⋅∇E ，所以上式成为022=+∇E E μεω（4.1.5）同样对式（4.1.2）取旋度，将式（4.1.1）代入，并利用式（4.1.4）及上面的矢量运算恒等关系，得到022=+∇H H μεω（4.1.6）式（4.1.5）、（4.1.6）可合并写成 ()022=⎩⎨⎧+∇HEk（4.1.7） 式中μεω22=k（4.1.8）在自由空间或真空中，μ = μ0，ε = ε0，k 记作k 000220εμω=k（4.1.9）式（4.1.5）、（4.1.6）或（4.1.7）叫做无源简单介质中的波方程，在这个方程中E 跟H 不再耦合在一起。
μεω=k 叫做传播常数，其物理意义以后会深入讨论。
式（4.1.7）在形式上与传输线上电压V 电流I 满足的波方程类似。
（V 、I ）是标量，而（E 、H ）是矢量，所以式（4.1.7）叫做矢量波方程。
4.2 平面电磁波要从无源、简单介质中E 和H 满足的波方程得到具体电磁问题的解，还要给出特定的边界条件。
本节研究边界趋于无穷远的情况。
传输线理论告诉我们，趋于无穷远的均匀传输线上只有入射波，没有反射波。
由此可推论，在边界趋于无穷远的情况下，均匀介质中不存在从无穷远反射回来的波。
在直角坐标系中E 、H 可表示为()()()()000,,,,,,,,z y x E z y x E z y x E z y x E z y x z y x ++= （4.2.1） ()()()()000,,,,,,,,z y x H z y x H z y x H z y x H z y x z y x ++=（4.2.2）将上述E 、H 表达式代入波方程（4.1.7）()()()()[]()()()[]0,,,,,,,,,,,,00000022=⎪⎩⎪⎨⎧+++++∇z y x z y x z y x H z y x H z y x H z y x E z y x E z y x E k z y xz y x（4.2.3）要使上式成立，只有等式左边每个分量都等于零，即()()()0,,,,,,)(22=⎪⎩⎪⎨⎧+∇z y x E z y x E z y x E k zy x（4.2.4a ）()()()0,,,,,,)(22=⎪⎩⎪⎨⎧+∇z y x H z y x H z y x H k zy x（4.2.4b ）所以对式（4.2.3）的求解归结为解标量波方程()0,,)(22=Φ+∇z y x k（4.2.5）式（4.2.5）可用熟知的分离变量法求解。
设),,(z y x Φ可分离成：())()()(,,z Z y Y x X z y x =Φ（4.2.6）将式（4.2.6）代入式（4.2.5）得到 0)()()()(2222222=+∂∂+∂∂+∂∂z Z y Y x X k zy x 或0)()()()()()()()()()()()(2222222=+∂∂+∂∂+∂∂z Z y Y x X k y Y x X zz Z z Z x X y y Y z Z y Y x x X 等式两边除以)()()(z Z y Y x X 得到0)()()()()()(2222222=+∂∂+∂∂+∂∂k z Z z z Z y Y y Y x X x x X （4.2.7）等式左边第一、二、三项分别只是x 、y 、z 的函数，要使它们加起来为常数–2k ，只能是每一项都等于某一待定常数222,,x y z k k k ---，即0)()(222=+x X k dx x X d x（4.2.8a ）0)()(222=+y Y k dyy Y d y（4.2.8b ） 0)()(222=+z Z k dzz Z d z （4.2.8c ） 以及 μεω22222==++k k k k z y x（4.2.9）式（4.2.8a 、b 、c ）的解分别为 x jk x e x X -~)( yjk y ey Y -~)(z jk z e z Z -~)(x jk x e -等表示沿x 方向传播到无穷远的波，另一个解x jk x e 等表示逆x 方向由无穷远传播来的波，因为假定边界趋于无穷远，不存在反射波，这个解可以不予考虑。
根据式（4.2.6），可得r k ⋅-++-=Φj z k y k x k j e e z y x z y x )(~)..(（4.2.10） 式中 000z y x k z y x k k k ++=（4.2.11）000z y x r z y x ++=k 叫做波矢，其绝对值k 叫做传播常数，k 2满足的方程（4.2.9）叫做介质的色散方程。
所以电场E 和磁场H 在均匀介质中每一分量的解为z y x i e E z y x E j i i ,,,),,(0==⋅-r k ， z y x i e H z y x H j i i ,,,),,(0==⋅-r k进一步得到r k r k r k z y x E r E ⋅-⋅-⋅-++==j z j y j x e E e E e E z y x 000000),,()(rk E ⋅-=j e 0（4.2.12） 式中 0000000z y x E z y x E E E ++=（4.2.13） 同理 rk H H r H ⋅-==j e z y x 0),,()(（4.2.14） 式中 0000000z y x H z y x H H H ++= （4.2.15） 计及时间因子tj e ω后，其解为)(0),(r k E r E ⋅-=t j e t ω （4.2.16）)(0),(r k H r H ⋅-=t j e t ω（4.2.17）这里我们省略了取实部的运算符号Re ，以后遇到类似情况不再特别说明。
从形式上看式（4.2.12）、（4.2.14）表示电场E 和磁场H 的解是一个常数矢量E 0、H 0与一个指数函数rk ⋅-j e的乘积。
即方向由常数矢量E 0、H 0决定，大小由标量函数rk ⋅-j e 决定。
这个解我们以后把它叫做平面波。
在深入讨论其物理意义之前，熟悉对式（4.2.12）、（4.2.14）所表示的场量进行散度、旋度运算是十分必要的。
【例4-1】求场量rk E E ⋅-=j e 0的E ⋅∇与E ⨯∇、E 2∇。
解：因为()()()()000000x y zx y z j k x k y k z j j k x k y k z x y z j e e xy z j k k k e j e -++-⋅-++-⋅⎛⎫∂∂∂∇=++ ⎪∂∂∂⎝⎭=-++=-k r k rx y z x y z k（4.2.18）再利用矢量运算恒等关系（1.5.50）、（1.5.51）得到()()()E k E k E E E E rk 0r k r k r k ⋅-=⋅-=⋅∇+∇⋅=⋅∇=⋅∇⋅-⋅-⋅-⋅-j ej e e e j j j j 000（4.2.19）()()Ek E k E E E E rk 0r k r k r k ⨯-=⨯-=⨯∇+⨯∇=⨯∇=⨯∇⋅-⋅-⋅-⋅-j e j e e e j j j j 000（4.2.20）()()E E E E r k r k 2020k e e j j -=∇=∇⋅∇=∇⋅∇⋅-⋅-（4.2.21）波方程的解（4.2.12）、（4.2.14）有丰富的内涵：1．E 、H 、k 三者相互垂直，且构成右手螺旋关系，模|E |与|H |之比为一常数，叫做波阻抗。
将式（4.2.12）、（4.2.14）代入麦克斯韦方程组中两个旋度方程可得到001E k H ⨯=ωμ（4.2.22）001H k E ⨯-=ωε（4.2.23）引入单位波矢κ0使得κ0·κ0=1，k =k κ0 则式（4.2.22）、（4.2.23）成为 H 0 = Y κ0⨯E 0 （4.2.24）E 0 = –Z κ0⨯H 0 （4.2.25） 式中εμωεωμ///1====k k YZ （4.2.26）Z 、Y 叫做均匀介质中平面波的本征阻抗或本征导纳。
本征阻抗也叫波阻抗，习惯上也用η表示。
对于自由空间，波阻抗为00/εμ= 377Ω，习惯上用η0表示。
由两个散度方程0 ,0=⋅∇=⋅∇H E 及式（4.2.24）、（4.2.25）还可得到E 0，H 0，κ 0三者正交。
κ0·H 0=0（4.2.27a ）κ0·E 0=0 （4.2.27b ） E 0·H 0=0（4.2.27c ） 因此我们可以选择一个特定的坐标系使得 E 0 = E 0x 0 （4.2.28a ） H 0 = H 0y 0 （4.2.28b ） k = k z 0（4.2.28c ）在这个特定坐标系中，电场、磁场、波矢各只有一个分量。