一阶微分方程在经济学中的4个应用_王伟珠
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ｎｏｍｉｃｓ
（１）
解一阶非齐次线性微分方程，得通解为 Ｐ（ｔ）＝
Ｃｅ－ｋ（ｂ＋ｄ）ｔ ＋ｂａ＋＋ｄｃ
由 Ｐ（０）＝ Ｐ０，得 Ｃ ＝ Ｐ０ －ｂａ＋＋ｄｃ ＝ Ｐ０ －Ｐｅ， 则特解为 Ｐ（ｔ）＝ （Ｐ０ －Ｐｅ）ｅ－ｋ（ｂ＋ｄ）ｔ ＋Ｐｅ。 （３）讨论价格 Ｐ（ｔ）随时间ｔ的变化情况。
由于 Ｐ０ －Ｐｅ 为常数，ｋ（ｂ＋ｄ）＞０，故当ｔ→＋ ∞ 时，（Ｐ０－Ｐｅ）ｅ－ｋ（ｂ＋ｄ）ｔ →０，从而Ｐ（ｔ）→Ｐｅ（均衡价 格）（从数学上 讲，显 然 均 衡 价 格 Ｐｅ 即 为 微 分 方 程
１０ｅ－ｔ３
，将 上 式 代 入 微 分 方 程 （４），得ｄｄｔｙ
＝
１ｅｔ３ １０
＋５，
从 而ｙ＝１３０ｅｔ３ ＋５ｔ＋Ｃ１，由ｙ｜ｔ＝０ ＝０，得Ｃ１ ＝－１３０。
从
而
销
售
成
本
与
时
间ｔ的
函
数
关
系
为ｙ
＝
３ｅｔ３ １０
＋５ｔ
－１３０。
微分方 程 在 各 个 领 域 中 的 应 用 很 多，尤 其 是 在
ＩＳＳＮ １００９－８９８４ ＣＮ ２２－１３２３／Ｎ
王伟珠
（辽宁对外经贸学院基础教学部，辽宁 大连 １１６０５２）
摘 要 ：一 阶 微 分 方 程 的 应 用 模 型 很 多 ，尤 其 是 微 分
方 程 在 经 济 学 中 的 应 用 ，通 过 举 例 说 明 ，它 在 分 析 商
品的市场价格与需 求 量 （供 给 量）之 间 的 函 数 关 系、
１ 分析 商 品 的 市 场 价 格 与 需 求 量 （供 给 量） 之 间 的 函 数 关 系 ［１］
例１ 某 商 品 的 需 求 函 数 与 供 给 函 数 分 别 为
Ｑｄ ＝ａ－ｂＰ，Ｑｓ ＝－ｃ＋ｄＰ，（其中ａ，ｂ，ｃ，ｄ 均为正 常数）。假设商品价格 Ｐ 为时间ｔ 的 函 数，已 知 初 始
价格 Ｐ（０）＝ Ｐ０，且在任一时刻ｔ，价格 Ｐ（ｔ）的变化 率 总与这一时刻的超额需求Ｑｄ －Ｑｓ 成正比（比例常 数为ｋ ＞ ０）。（１）求 供 需 相 等 时 的 价 格 Ｐｅ（均 衡 价 格）；（２）求价格 Ｐ（ｔ）的表达式；（３）分析价格 Ｐ（ｔ）
随 时 间ｔ的 变 化 情 况 。
解 （１）由 Ｑｄ ＝ Ｑｓ 得Ｐｅ ＝ｂａ＋＋ｄｃ。
ｄｔ 售量ｘ（ｔ）及 销 售 量 接 近 于 饱 和 水 平 的 程 度 Ｎ － ｘ（ｔ）之积成 正 比 （Ｎ 为 饱 和 水 平，比 例 常 数 为ｋ ＞ ０），且当ｔ＝０时，ｘ ＝ １４Ｎ。（１）求销售量ｘ（ｔ）；（２） 求ｘ（ｔ）的增长最快的时刻 Ｔ。
王伟珠：一阶微分方程在经济学中的四个应用
经济学中，深入研究，能 解 决 更 多 的 实 际 问 题，有 待
于我们进一步的探讨。
参考文献
［１］吴 传 生．经 济 数 学 一 微 积 分 ［Ｍ］．北 京：高 等 教 育 出 版 社 ，２００３：４０３－４１０．
［２］吴赣昌．微积分（经管类）下册［Ｍ］．２版．北 京：中 国 人 民 大 学 出 版 社 ，２００７：１３２－１３５．
１２１
解
（１）由 题
意
可 知ｄｘ ｄｔ
＝ｋｘ（Ｎ
－ｘ）（ｋ ＞０）
（２）
分离 变 量，得ｘ（Ｎｄｘ－ｘ）＝ ｋｄｔ，两 边 积 分，得
Ｎ
ｘ －ｘ
＝
Ｃｅ Ｎｋｔ
，解
出
ｘ（ｔ），
得
ｘ（ｔ）＝
ＮＣｅ Ｎｋｔ Ｃｅ Ｎｋｔ ＋１
＝
Ｎ １＋Ｂｅ－Ｎｋｔ
（３）
其中
Ｂ
＝
１，由 Ｃ
ｘ（０） ＝
１Ｎ ４
得Ｂ
＝ ３， 故
Ｆｏｕｒ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｆｉｒｓｔ ｏｒｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｎ ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ
ＷＡＮＧ Ｗｅｉ－ｚｈｕ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ Ｃｏｕｒｓｅｓ，Ｌｉａｏｎｉｎｇ
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｂｕｓｉｎｅｓｓ ａｎｄ Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，Ｄａｌｉａｎ Ｌｉａｏｎｉｎｇ １１６０５２，Ｃｈｉｎａ）
＜０。故
Ｔ
＝
ｌｎ３ Ｎｋ
时
，ｘ（ｔ）增 长
最
快。
３ 关于国民收入、储蓄与投资的关系问题
例３ 在 宏 观 经 济 研 究 中，发 现 某 地 区 的 国 民 收 入ｙ，国民储蓄Ｓ和投资Ｉ均是时间ｔ的函数。且在
任一时刻ｔ，储蓄额Ｓ（ｔ）为 国 民 收 入ｙ（ｔ）的１１０ 倍，
投
资 额Ｉ（ｔ）是
国民
收入
解 此微分方程得ｙ＝Ｃｅ１３０ｔ，由ｙ｜ｔ＝０ ＝５，得Ｃ＝
５。故国民收入函数ｙ ＝ ５ｅ１３０ｔ，而 储 蓄 函 数 和 投 资 函
数为Ｓ
＝Ｉ ＝
１ｅ１３０ｔ。 ２
４ 成本分析［２］
例４ 某商场的销售成本ｙ 和存储费用Ｓ 均是
时间ｔ的函数，随时间ｔ的 增 长，销 售 成 本 的 变 化 率
等于存储费用的倒数 与 常 数 ５ 的 和，而 存 储 费 用 的
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ａ ｌｏｔ ｏｆ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌｓ ｆｏｒ ｆｉｒｓｔ ｏｒｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ，ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ ｆｏｒ ｄｉｆ－ ｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅ，ｂｙ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｉｎｇ ｓｏｍｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ，ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｏｒｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎ－ ｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｈａｓ ｓｐｅｃｉｆｉｃ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｆｏｕｒ ａｓ－ ｐｅｃｔｓ ａｓ：ａｎａｌｙｚｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｍａｒｋｅｔ ｐｒｉｃｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｄｅｍａｎｄ ｑｕａｎｔｉｔｙ，ｐｒｅｄｉｃｔｉｎｇ ｔｈｅ ｓａｌｅｓ ｑｕａｎｔｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｇｏｏｄｓ，ａｎａｌｙｚｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅｌａ－ ｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｐｅｏｐｌｅｓ ｉｎｃｏｍｅ ＆ ｄｅｐｏｓｉｔ ａｎｄ ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ，ａｎｄ ｃｏｓｔ ａｎａｌｙｓｉｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ；ｅｃｏ－
（２）由 题 意 可 知
ｄＰ ｄｔ
＝ｋ（Ｑｄ
－Ｑｓ）（ｋ
＞ ０）
收 稿 日 期 ：２０１２－０８－２１ 作 者 简 介 ：王 伟 珠 （１９７６－ ），女 （汉 ），哈 尔 滨 ，副 教 授 ，硕 士
主要研究应用数学。
将
Ｑｄ
＝ａ－ｂＰ
，Ｑｓ
＝－ｃ＋ｄＰ
代
入上
式
，得ｄＰ ｄｔ
＋ｋ（ｂ＋ｄ）Ｐ ＝ｋ（ａ＋ｃ）
预测商品的销售量、关 于 国 民 收 入 和 储 蓄 与 投 资 的
关系问题及成本分析这４个方面的具体应用。
关 键 词 ：微 分 方 程 ；应 用 ；经 济 学
中 图 分 类 号 ：Ｏ１７５．１
文 献 标 志 码 ：Ａ
文 章 编 号：１００９－８９８４（２０１２）０３－０１２０－０２
为了研究经济变量之间的联系及其内在规律， 常需要建 立 某 一 经 济 函 数 及 其 导 数 所 满 足 的 关 系 式 ，并 由 此 确 定 所 研 究 的 函 数 形 式 ，从 而 根 据 一 些 已 知的条件来确定 该 函 数 的 表 达 式。 从 数 学 上 讲，这 就是建立微分方程并求解微分方程。一阶微分方程 的应用模型很多，尤 其 是 微 分 方 程 在 经 济 学 中 的 应 用，下面通过４个方 面 举 例 说 明 一 阶 微 分 方 程 在 经 济学中的应用。
３１／３３ １２０－１２１
长春工程学院学报 （自然科学版）２０１２年 第１３卷 第３期 Ｊ．Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ Ｉｎｓｔ．Ｔｅｃｈ．（Ｎａｔ．Ｓｃｉ．Ｅｄｉ．），２０１２，Ｖｏｌ．１３，Ｎｏ．３
ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００９－８９８４．２０１２．０３．０３１
一阶微ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方程在经济学中的４个应用
（１）的平衡解，且由于ｌｉｍＰ（ｔ）＝ Ｐｅ，故微分方程的 ｔ→＋∞
平 衡 解 是 稳 定 的 ）。
由 Ｐ０ 与 Ｐｅ 的大小还可以分为３种情况进一步 讨论：
（ａ）若 Ｐ０ ＝ Ｐｅ，则 Ｐ（ｔ）＝ Ｐｅ，即价格为 常 数， 市场无需调节达到均衡；
（ｂ）若Ｐ０ ＞Ｐｅ，因为（Ｐ０－Ｐｅ）ｅ－ｋ（ｂ＋ｄ）ｔ 总是大于 ０且趋于０，故 Ｐ（ｔ）总大于 Ｐｅ 而趋于Ｐｅ；
增
长 率ｄｙ ｄｔ
的
１ ３
倍
。ｔ＝０时
，
国 民 收 入 为 ５（亿 元 ）。设 在 时 刻ｔ的 储 蓄 额 全 部 用 于
投 资 ，试 求 国 民 收 入 函 数 。
解
由题意可知Ｓ
＝
１１０ｙ，Ｉ ＝
１ ３
ｄｙ ｄｔ
由假设，时刻ｔ的储蓄全部用于投资，那么 Ｓ ＝
Ｉ，于 是 有
１１０ｙ
＝
１ ３
ｄｙ， ｄｔ
（ｃ）若Ｐ０ ＜Ｐｅ，则Ｐ（ｔ）总是小于Ｐｅ 而趋于Ｐｅ。 由以上讨论可知，在价格 Ｐ（ｔ）的表达 式 中 的 ２ 项：Ｐｅ 为均衡价格，而（Ｐ０ －Ｐｅ）ｅ－ｋ（ｂ＋ｄ）ｔ 就 可 理 解 为 均衡偏差。
２ 预测商品的销售量
例２ 假设某产品的销售量ｘ（ｔ）是时间ｔ的可 导函数，如果商品的销售量对时间的增长率ｄｘ 与销
变
化率
为
存储
费用
的
－
１ ３
倍
。若 当ｔ＝０时
，销 售
成
本ｙ ＝０，存储费用Ｓ ＝１０。试求销售 成 本 与 时 间ｔ 的函数关系及存储费用与时间ｔ 的函数关系。
解
由 已 知ｄｙ ｄｔ
＝
１ Ｓ
＋５
（４）
ｄＳ ｄｔ
＝－
１３Ｓ
（５）
解微分方程（５）得 Ｓ ＝ Ｃｅ－ｔ３ ，由ｓ｜ｔ＝０ ＝１０得
Ｃ ＝ １０，故 存 储 费 用 与 时 间ｔ 的 函 数 关 系 为Ｓ ＝
ｘ（ｔ）＝
Ｎ １＋３ｅ－Ｎｋｔ
（２） 由 于
ｄｘ ｄｔ
＝
３ Ｎ２ｋｅ－Ｎｋｔ ， ｄ２ ｘ （１＋３ｅ－Ｎｋｔ ）２ ｄｔ２
＝
－３ Ｎ３ｋ２ｅ－Ｎｋｔ （１－３ｅ－Ｎｋｔ ） （１＋３ｅ－Ｎｋｔ ）３
令ｄｄｔ２ ｘ２ ＝０，得 Ｔ ＝ｌＮｎｋ３。
当ｔ＜Ｔ
时
，ｄ２ ｘ ｄｔ２
＞０；ｔ＞
Ｔ
时
，ｄ２ ｘ ｄｔ２
（１）
解一阶非齐次线性微分方程，得通解为 Ｐ（ｔ）＝
Ｃｅ－ｋ（ｂ＋ｄ）ｔ ＋ｂａ＋＋ｄｃ
由 Ｐ（０）＝ Ｐ０，得 Ｃ ＝ Ｐ０ －ｂａ＋＋ｄｃ ＝ Ｐ０ －Ｐｅ， 则特解为 Ｐ（ｔ）＝ （Ｐ０ －Ｐｅ）ｅ－ｋ（ｂ＋ｄ）ｔ ＋Ｐｅ。 （３）讨论价格 Ｐ（ｔ）随时间ｔ的变化情况。
由于 Ｐ０ －Ｐｅ 为常数，ｋ（ｂ＋ｄ）＞０，故当ｔ→＋ ∞ 时，（Ｐ０－Ｐｅ）ｅ－ｋ（ｂ＋ｄ）ｔ →０，从而Ｐ（ｔ）→Ｐｅ（均衡价 格）（从数学上 讲，显 然 均 衡 价 格 Ｐｅ 即 为 微 分 方 程
１０ｅ－ｔ３
，将 上 式 代 入 微 分 方 程 （４），得ｄｄｔｙ
＝
１ｅｔ３ １０
＋５，
从 而ｙ＝１３０ｅｔ３ ＋５ｔ＋Ｃ１，由ｙ｜ｔ＝０ ＝０，得Ｃ１ ＝－１３０。
从
而
销
售
成
本
与
时
间ｔ的
函
数
关
系
为ｙ
＝
３ｅｔ３ １０
＋５ｔ
－１３０。
微分方 程 在 各 个 领 域 中 的 应 用 很 多，尤 其 是 在
ＩＳＳＮ １００９－８９８４ ＣＮ ２２－１３２３／Ｎ
王伟珠
（辽宁对外经贸学院基础教学部，辽宁 大连 １１６０５２）
摘 要 ：一 阶 微 分 方 程 的 应 用 模 型 很 多 ，尤 其 是 微 分
方 程 在 经 济 学 中 的 应 用 ，通 过 举 例 说 明 ，它 在 分 析 商
品的市场价格与需 求 量 （供 给 量）之 间 的 函 数 关 系、
１ 分析 商 品 的 市 场 价 格 与 需 求 量 （供 给 量） 之 间 的 函 数 关 系 ［１］
例１ 某 商 品 的 需 求 函 数 与 供 给 函 数 分 别 为
Ｑｄ ＝ａ－ｂＰ，Ｑｓ ＝－ｃ＋ｄＰ，（其中ａ，ｂ，ｃ，ｄ 均为正 常数）。假设商品价格 Ｐ 为时间ｔ 的 函 数，已 知 初 始
价格 Ｐ（０）＝ Ｐ０，且在任一时刻ｔ，价格 Ｐ（ｔ）的变化 率 总与这一时刻的超额需求Ｑｄ －Ｑｓ 成正比（比例常 数为ｋ ＞ ０）。（１）求 供 需 相 等 时 的 价 格 Ｐｅ（均 衡 价 格）；（２）求价格 Ｐ（ｔ）的表达式；（３）分析价格 Ｐ（ｔ）
随 时 间ｔ的 变 化 情 况 。
解 （１）由 Ｑｄ ＝ Ｑｓ 得Ｐｅ ＝ｂａ＋＋ｄｃ。
ｄｔ 售量ｘ（ｔ）及 销 售 量 接 近 于 饱 和 水 平 的 程 度 Ｎ － ｘ（ｔ）之积成 正 比 （Ｎ 为 饱 和 水 平，比 例 常 数 为ｋ ＞ ０），且当ｔ＝０时，ｘ ＝ １４Ｎ。（１）求销售量ｘ（ｔ）；（２） 求ｘ（ｔ）的增长最快的时刻 Ｔ。
王伟珠：一阶微分方程在经济学中的四个应用
经济学中，深入研究，能 解 决 更 多 的 实 际 问 题，有 待
于我们进一步的探讨。
参考文献
［１］吴 传 生．经 济 数 学 一 微 积 分 ［Ｍ］．北 京：高 等 教 育 出 版 社 ，２００３：４０３－４１０．
［２］吴赣昌．微积分（经管类）下册［Ｍ］．２版．北 京：中 国 人 民 大 学 出 版 社 ，２００７：１３２－１３５．
１２１
解
（１）由 题
意
可 知ｄｘ ｄｔ
＝ｋｘ（Ｎ
－ｘ）（ｋ ＞０）
（２）
分离 变 量，得ｘ（Ｎｄｘ－ｘ）＝ ｋｄｔ，两 边 积 分，得
Ｎ
ｘ －ｘ
＝
Ｃｅ Ｎｋｔ
，解
出
ｘ（ｔ），
得
ｘ（ｔ）＝
ＮＣｅ Ｎｋｔ Ｃｅ Ｎｋｔ ＋１
＝
Ｎ １＋Ｂｅ－Ｎｋｔ
（３）
其中
Ｂ
＝
１，由 Ｃ
ｘ（０） ＝
１Ｎ ４
得Ｂ
＝ ３， 故
Ｆｏｕｒ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｆｉｒｓｔ ｏｒｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｎ ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ
ＷＡＮＧ Ｗｅｉ－ｚｈｕ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ Ｃｏｕｒｓｅｓ，Ｌｉａｏｎｉｎｇ
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｂｕｓｉｎｅｓｓ ａｎｄ Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，Ｄａｌｉａｎ Ｌｉａｏｎｉｎｇ １１６０５２，Ｃｈｉｎａ）
＜０。故
Ｔ
＝
ｌｎ３ Ｎｋ
时
，ｘ（ｔ）增 长
最
快。
３ 关于国民收入、储蓄与投资的关系问题
例３ 在 宏 观 经 济 研 究 中，发 现 某 地 区 的 国 民 收 入ｙ，国民储蓄Ｓ和投资Ｉ均是时间ｔ的函数。且在
任一时刻ｔ，储蓄额Ｓ（ｔ）为 国 民 收 入ｙ（ｔ）的１１０ 倍，
投
资 额Ｉ（ｔ）是
国民
收入
解 此微分方程得ｙ＝Ｃｅ１３０ｔ，由ｙ｜ｔ＝０ ＝５，得Ｃ＝
５。故国民收入函数ｙ ＝ ５ｅ１３０ｔ，而 储 蓄 函 数 和 投 资 函
数为Ｓ
＝Ｉ ＝
１ｅ１３０ｔ。 ２
４ 成本分析［２］
例４ 某商场的销售成本ｙ 和存储费用Ｓ 均是
时间ｔ的函数，随时间ｔ的 增 长，销 售 成 本 的 变 化 率
等于存储费用的倒数 与 常 数 ５ 的 和，而 存 储 费 用 的
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ａ ｌｏｔ ｏｆ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌｓ ｆｏｒ ｆｉｒｓｔ ｏｒｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ，ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ ｆｏｒ ｄｉｆ－ ｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅ，ｂｙ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｉｎｇ ｓｏｍｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ，ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｏｒｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎ－ ｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｈａｓ ｓｐｅｃｉｆｉｃ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｆｏｕｒ ａｓ－ ｐｅｃｔｓ ａｓ：ａｎａｌｙｚｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｍａｒｋｅｔ ｐｒｉｃｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｄｅｍａｎｄ ｑｕａｎｔｉｔｙ，ｐｒｅｄｉｃｔｉｎｇ ｔｈｅ ｓａｌｅｓ ｑｕａｎｔｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｇｏｏｄｓ，ａｎａｌｙｚｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅｌａ－ ｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｐｅｏｐｌｅｓ ｉｎｃｏｍｅ ＆ ｄｅｐｏｓｉｔ ａｎｄ ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ，ａｎｄ ｃｏｓｔ ａｎａｌｙｓｉｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ；ｅｃｏ－
（２）由 题 意 可 知
ｄＰ ｄｔ
＝ｋ（Ｑｄ
－Ｑｓ）（ｋ
＞ ０）
收 稿 日 期 ：２０１２－０８－２１ 作 者 简 介 ：王 伟 珠 （１９７６－ ），女 （汉 ），哈 尔 滨 ，副 教 授 ，硕 士
主要研究应用数学。
将
Ｑｄ
＝ａ－ｂＰ
，Ｑｓ
＝－ｃ＋ｄＰ
代
入上
式
，得ｄＰ ｄｔ
＋ｋ（ｂ＋ｄ）Ｐ ＝ｋ（ａ＋ｃ）
预测商品的销售量、关 于 国 民 收 入 和 储 蓄 与 投 资 的
关系问题及成本分析这４个方面的具体应用。
关 键 词 ：微 分 方 程 ；应 用 ；经 济 学
中 图 分 类 号 ：Ｏ１７５．１
文 献 标 志 码 ：Ａ
文 章 编 号：１００９－８９８４（２０１２）０３－０１２０－０２
为了研究经济变量之间的联系及其内在规律， 常需要建 立 某 一 经 济 函 数 及 其 导 数 所 满 足 的 关 系 式 ，并 由 此 确 定 所 研 究 的 函 数 形 式 ，从 而 根 据 一 些 已 知的条件来确定 该 函 数 的 表 达 式。 从 数 学 上 讲，这 就是建立微分方程并求解微分方程。一阶微分方程 的应用模型很多，尤 其 是 微 分 方 程 在 经 济 学 中 的 应 用，下面通过４个方 面 举 例 说 明 一 阶 微 分 方 程 在 经 济学中的应用。
３１／３３ １２０－１２１
长春工程学院学报 （自然科学版）２０１２年 第１３卷 第３期 Ｊ．Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ Ｉｎｓｔ．Ｔｅｃｈ．（Ｎａｔ．Ｓｃｉ．Ｅｄｉ．），２０１２，Ｖｏｌ．１３，Ｎｏ．３
ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００９－８９８４．２０１２．０３．０３１
一阶微ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方程在经济学中的４个应用
（１）的平衡解，且由于ｌｉｍＰ（ｔ）＝ Ｐｅ，故微分方程的 ｔ→＋∞
平 衡 解 是 稳 定 的 ）。
由 Ｐ０ 与 Ｐｅ 的大小还可以分为３种情况进一步 讨论：
（ａ）若 Ｐ０ ＝ Ｐｅ，则 Ｐ（ｔ）＝ Ｐｅ，即价格为 常 数， 市场无需调节达到均衡；
（ｂ）若Ｐ０ ＞Ｐｅ，因为（Ｐ０－Ｐｅ）ｅ－ｋ（ｂ＋ｄ）ｔ 总是大于 ０且趋于０，故 Ｐ（ｔ）总大于 Ｐｅ 而趋于Ｐｅ；
增
长 率ｄｙ ｄｔ
的
１ ３
倍
。ｔ＝０时
，
国 民 收 入 为 ５（亿 元 ）。设 在 时 刻ｔ的 储 蓄 额 全 部 用 于
投 资 ，试 求 国 民 收 入 函 数 。
解
由题意可知Ｓ
＝
１１０ｙ，Ｉ ＝
１ ３
ｄｙ ｄｔ
由假设，时刻ｔ的储蓄全部用于投资，那么 Ｓ ＝
Ｉ，于 是 有
１１０ｙ
＝
１ ３
ｄｙ， ｄｔ
（ｃ）若Ｐ０ ＜Ｐｅ，则Ｐ（ｔ）总是小于Ｐｅ 而趋于Ｐｅ。 由以上讨论可知，在价格 Ｐ（ｔ）的表达 式 中 的 ２ 项：Ｐｅ 为均衡价格，而（Ｐ０ －Ｐｅ）ｅ－ｋ（ｂ＋ｄ）ｔ 就 可 理 解 为 均衡偏差。
２ 预测商品的销售量
例２ 假设某产品的销售量ｘ（ｔ）是时间ｔ的可 导函数，如果商品的销售量对时间的增长率ｄｘ 与销
变
化率
为
存储
费用
的
－
１ ３
倍
。若 当ｔ＝０时
，销 售
成
本ｙ ＝０，存储费用Ｓ ＝１０。试求销售 成 本 与 时 间ｔ 的函数关系及存储费用与时间ｔ 的函数关系。
解
由 已 知ｄｙ ｄｔ
＝
１ Ｓ
＋５
（４）
ｄＳ ｄｔ
＝－
１３Ｓ
（５）
解微分方程（５）得 Ｓ ＝ Ｃｅ－ｔ３ ，由ｓ｜ｔ＝０ ＝１０得
Ｃ ＝ １０，故 存 储 费 用 与 时 间ｔ 的 函 数 关 系 为Ｓ ＝
ｘ（ｔ）＝
Ｎ １＋３ｅ－Ｎｋｔ
（２） 由 于
ｄｘ ｄｔ
＝
３ Ｎ２ｋｅ－Ｎｋｔ ， ｄ２ ｘ （１＋３ｅ－Ｎｋｔ ）２ ｄｔ２
＝
－３ Ｎ３ｋ２ｅ－Ｎｋｔ （１－３ｅ－Ｎｋｔ ） （１＋３ｅ－Ｎｋｔ ）３
令ｄｄｔ２ ｘ２ ＝０，得 Ｔ ＝ｌＮｎｋ３。
当ｔ＜Ｔ
时
，ｄ２ ｘ ｄｔ２
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时
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