三角形三边的垂直平分线及作图 精品获奖教学课件

（2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三 角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?
这样的等腰三角形有无数多个.根 据线段垂直平分线上的点到线段两个端 点的距离相等，只要作底边的垂直平分 线，取它上面除底边的中点外的任意一 点，和底边的两个端点相连接，都可以 得到一个等腰三角形． 如图所示，这些三角形不都全等．
证明：连接PA，PB，PC.
∵点P在AB，AC的垂直平分线上，
l
A
n
∴PA=PB，PA=PC
（线段垂直平分线上 的点到线段 两端距离相等）. ∴PB=PC. ∴点P在BC的垂直平分线上
B
P m C
(到线段两端距离相等的点在线段
的垂直平分线上）.
归纳总结
定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并 且这一点到三个顶点的距离相等. 应用格式：
(3)已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺 规作出等腰三角形吗？能作几个？ 这样的等腰三角形只有两个，并 且它们是全等的，分别位于已知底边 的两侧．
典例精析 例 已知：线段a，h. 求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h. 作法： a h M A
1．作BC=a；
2．作线段BC的垂直平分线MN交 BC于D点； 3．以D为圆心，h长为半径作弧交 MN于A点； 4．连接AB，AC. △ABC就是所求作的三角形. B
4.已知：线段a. 求作：△ABC，使∠ACB=90°，AC=BC=a.
作法： （1）作直线l. （2）在直线l上任取一条线段DE. （3）作线段DE的垂直平分线MN交DE于C. （4）在射线CE上截取CA=a, 在射线CM上截取CB=a. （5）连接AB. △ABC就是所求作的三角形.
课堂小结
第一章
三角形的证明
1.3 线段的垂直平分线
第2课时 三角形三边的垂直平分线及作图
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能 够运用其解决实际问题.(重点) 2.能够利用尺规作出三角形的垂直平分线.
导入新课
复习引入
1.回顾一下线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.
D N
C
试一试
1.已知直线l和其上一点P，利用尺规作 l 的垂线，使它
经过点P.
P
●
l
已知：直线 l 和 l 上一点P． 求作：PC⊥ l ． 作法： 1.以点P为圆心，以任意长为半径作弧，与直线 l 相交于点A和B． C 2．作线段AB的垂直平分线PC． 直线PC就是所求 l 的垂线．
P A B l
性质：线段垂直平分线上的点到线段两 端的距离相等.
判定：到一条线段两个端点距离相等的 点，在这条线段的垂直平分线上. A C
B
2.线段的垂直平分线的作法.
D
讲授新课
一 三角形三边的垂直平分线的性质
合作探究
画一画：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线， 完成之后你发现了什么？
发现：三角形三边的垂直平
分线交于一点．这一点到三
分线交BC于点D，DF⊥AC于点F,并与BC边上的高
AE交于G.
求证：EG＝EC.
A
G B F
D
E
C
证明:连接AD.∵点D在线段AB的垂直平分线上， ∴DA＝DB,∴∠DAB＝∠B＝22.5°, ∴∠ADE＝∠DAB＋∠B＝45°. ∵AE⊥BC,∴∠DAE＝∠ADE＝45°, ∴AE＝DE.又∵DF⊥AC, ∴∠DFC＝∠AEC＝90°, A ∴∠C＋∠CAE＝∠C＋∠CDF＝90°, ∴∠CAE＝∠CDF, F G ∴△DEG≌△AEC(ASA), B ∴EG＝EC. C D E
角形三个顶点的距离相等．
怎样证明这 个结论呢?
点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中 两条直线的交点在第三条直线上即可. 思路可表示如下：
l A n
P
l是AB的垂直平分线
m是BC的垂直平分线
PA=PB
B
m 直平分线上
C
PB=PC
PA=PC
点P在AC的垂
试试看，你会写出证明过程吗？
C.平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等
D.三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称
【解析】选D.等边三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称，
等腰三角形关于底边上的垂直平分线成轴对称，一般三角形不是 轴对称图形，D选项没有说明三角形的形状，所以D选项说法错误.
3.如图所示，在△ABC中，∠B＝22.5°,AB的垂直平
2.已知直线 l 和线外一点P，利用尺规作 l 的垂线，使它 经过点P. 作法： (1)先以P为圆心，大于点P到直线 l 的垂 直距离R为半径作圆，交直线 l 于A，B. (2)分别以A、B为圆心，大于R的长 为半径作圆，相交于C、D两点. (3)过两交点作直线 l ',此直线为 l 过P的垂线.
1.定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,
并且这一点到三个顶点的距离相等.
2.已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三
角形.
a A
c
B
P
b
C
课后作业
见《学练优》本课时练习
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∵
∴
点P 为△ABC 三边垂直平分线的交点，
PA =PB=PC．
A
P
B C
做一做
分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内； 直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上； 钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外.
二 尺规作图
做一做：（1）已知三角形的一条边及这条边上的高， 你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角 形都全等吗? 已知：三角形的一条边a和这边上的高h. 求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h.
A a D h h C B a C (D) B A1 A a C A
B
h
D
A1
A1
提示：能作出无数个这样的三角形，它们并不全等.
D C
P
●
A
B
当堂练习
1.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段
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AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则
∠CBE等于（ C ） A．80° C．60° B．70° D．50°
D
B A E
C
2.下列说法错误的是 ( D ) A.三角形三条边的垂直平分线必交于一点 B.如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点 与顶点的直线必垂直于底边