三角形三边的垂直平分线及作图精品获奖教学课件

三角形三边的垂直平分线及作图

P ●
三角形三边的垂直平分线及作图
定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
尺规作图
THANKS！
归纳总结
应用格式：∵ 点P 为△ABC 三边垂直平分线的交点，∴ PA =PB=PC．
分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外.
做一做
【例1】已知：线段a，h.求作：△ABC，使来自B=AC，BC=a，高AD=h.
D
a
h
作法：1．作BC=a；
2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；
3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；
4．连接AB，AC.
△ABC就是所求作的三角形.
典例精析
1.已知直线l和其上一点P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点P.
1.3 线段的垂直平分线第2课时三角形三边的垂直平分线及作图
1.理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题.(重点)2.能够利用尺规作出三角形的垂直平分线.
学习目标
1.回顾一下线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.2.线段的垂直平分线的作法.
性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
画一画：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，完成之后你发现了什么？
发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等．
1.三角形三边垂直平分线的性质
点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可.思路可表示如下：

1.3 第2课时三角形三边的垂直平分线及作图省优精品教案

第2课时三角形三边的垂直平分线及作图1．理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题；(重点) 2．能够利用尺规作出三角形的垂直平分线．一、情境导入现在有A、B、C三个新建的小区，开发商为了方便业主需求，打算在如图所示的区域内建造一座购物中心，要求购物中心到三个小区的距离相等，你能帮购物中心选址吗？二、合作探究探究点一：三角形三边的垂直平分线【类型一】运用三角形三边的垂直平分线的性质求角度如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，点E、G分别是AB、AC的中点，DE⊥AB交BC于D，FG⊥AC交BC于F，连接AD、AF.求∠DAF的度数．解析：根据三角形内角和定理求出∠B＋∠C，根据线段垂直平分线得出AD＝BD，AF ＝CF，推出∠BAD＝∠B，∠CAF＝∠C，即可求出答案．解：在△ABC中，∵∠BAC＝110°，∴∠B＋∠C＝180°－110°＝70°.∵E、G分别是AB、AC的中点，DE⊥AB，FG⊥AC，∴AD＝BD，AF＝CF，∴∠BAD＝∠B，∠CAF＝∠C，∴∠DAF＝∠BAC－(∠BAD＋∠CAF)＝∠BAC－(∠B＋∠C)＝110°－70°＝40°.方法总结：本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用．注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．【类型二】运用三角形三边的垂直平分线的性质求线段如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝8cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点E，求MN的长．解析：首先连接AM ，AN ，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，可求得∠B ＝∠C ＝30°.又由AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点D ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点E ，易得△AMN 是等边三角形，继而求得答案．解：连接AM ，AN ，∵在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，∴∠C ＝∠B ＝30°.∵AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点D ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点E ，∴AN ＝CN ，AM ＝BM ，∴∠CAN ＝∠C ＝30°，∠BAM ＝∠B ＝30°，∴∠ANM ＝∠AMN ＝60°，∴△AMN 是等边三角形，∴AM ＝AN ＝MN ，∴BM ＝MN ＝CN .∵BC ＝8cm ，∴MN ＝83cm. 方法总结：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法．【类型三】三角形三边的垂直平分线的性质的应用某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置．解析：由三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，可得售票中心是海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐场组成三角形的三边的垂直平分线的交点．解：如图，①连接AB ，AC ，②分别作线段AB ，AC 的垂直平分线，两垂直平分线相交于点P ，则P 即为售票中心．方法总结：此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握线段垂直平分线的作法．探究点二：作图已知线段c ，求作△ABC ，使AC ＝BC ，AB ＝c ，AB 边上的高CD ＝12c .解析：由题意知，△ABC 是等腰三角形，高把底边垂直平分，且高等于底边长的一半．解：作法：1.作线段AB ＝c ；2．作线段AB 的垂直平分线EF ，交AB 于D ；3．在射线DF 上截取DC ＝12c ，连接AC ，BC ，则△ABC 即为所求作的三角形，如图所示．方法总结：已知底边长作等腰三角形时，一般可先作底边的垂直平分线，再结合等腰三角形底边上的高确定另一个顶点的位置．三、板书设计1．三角形三边的垂直平分线三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．2．作图本节课学习了用尺规作三角形，作图时要学会分析．一般先画一个满足题目已知条件的草图，有时结合基本作图和已知条件可作一个与求作三角形相关联的三角形，然后应用有关条件结合基本作图作出其余的图形.3．1图形的平移第1课时平移的认识1．理解并掌握平移的定义及性质；(重点)2．能够根据平移的性质进行简单的平移作图．一、情境导入观察下列图片，你能发现图中描绘的运动的共同点吗？二、合作探究探究点一：平移的定义下列各组图形可以通过平移互相得到的是()A. B.C. D.解析：根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是C，故选C.方法总结：本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．探究点二：平移的性质【类型一】利用平移的性质进行计算如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1，若BC＝32，△ABC与△A1B1C1重叠部分面积为2，则BB1等于()A．1 B. 2 C. 3 D．2解析：设B1C＝2x，根据等腰直角三角形和平移的性质可知，重叠部分为等腰直角三角形，则B1C边上的高为x，∴12×x×2x＝2，解得x＝2(舍去负值)，∴B1C＝22，∴BB1＝BC－B1C＝ 2.故选B.方法总结：本题考查了等腰直角三角形的性质和平移的性质．关键是判断重叠部分图形为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和重叠部分面积列出方程，求重叠部分的长．【类型二】平移性质的综合应用如图，原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC方向平移线段BE的距离，就得到此图形，下列结论正确的有()①AC∥DF；②HE＝5；③CF＝5；④阴影部分面积为552.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：根据平移的性质得出对应点所连的线段平行且相等，对应角相等，对应线段平行且相等，阴影部分和三角形面积之间的关系，结合图形与所给的结论即可得出答案．①对应线段平行可得AC∥DF，正确；②对应线段相等可得AB＝DE＝8，则HE＝DE－DH＝8－3＝5，正确；③平移的距离CF＝BE＝5，正确；④S四边形HDFC＝S梯形ABEH＝12(AB＋EH)·BE＝12×(8＋5)×5＝652，错误．故选C.方法总结：本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．本题关键要找到平移的对应点．探究点三：简单的平移作图将如图方格中的图形向右平移4格，再向上平移2格，在方格中画出平移后的图形．解析：按照题目要求：向右平移4格，再向上平移2格，先作各个关键点的对应点，再连接即可．解：方法总结：作平移图形时，找关键点的对应点是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．三、板书设计1．平移的定义在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．2．平移的性质一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等，对应线段平行(或在一条直线上)且相等，对应角相等．3．简单的平移作图教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，学生经历将实际问题抽象成图形问题，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力，使得学生能将所学知识灵活运用到生活中.第2课时一元一次不等式的应用1．会在实际问题中寻找数量关系列一元一次不等式并求解； 2．能够列一元一次不等式解决实际问题．(重点，难点)一、情境导入如果你要分别购买40元、80元、140元、160元的商品，应该去哪家商店更优惠？二、合作探究探究点：一元一次不等式的应用【类型一】商品销售问题某商品的进价是120元，标价为180元，但销量较小．为了促销，商场决定打折销售，为了保证利润率不低于20%，那么最多可以打几折出售此商品？解析：由题意可知，利润率为20%时，获得的利润为120×20%＝24元；若打x 折该商品获得的利润＝该商品的标价×x 10－进价，即该商品获得的利润＝180×x10－120，列出不等式，解得x 的值即可．解：设可以打x 折出售此商品，由题意得：180×x10－120≥120×20%，解得x ≥8.答：最多可以打8折出售此商品．方法总结：商品销售问题的基本关系是：售价－进价＝利润．读懂题意列出不等式求解是解题关键．【类型二】竞赛积分问题某次知识竞赛共有25道题，答对一道得4分，答错或不答都扣2分．小明得分要超过80分，他至少要答对多少道题？解析：设小明答对x 道题，则答错或不答的题目为(25－x )道，根据得分要超过80分，列出不等关系求解即可．解：设小明答对x 道题，则他答错或不答的题目为(25－x )道．根据他的得分要超过80分，得：4x －2(25－x )＞80，解得x ＞2123.因为x 应是整数而且不能超过25，所以小明至少要答对22道题．答：小明至少要答对22道题．方法总结：竞赛积分问题的基本关系是：得分－扣分＝最后得分．本题涉及到不等式的整数解，取整数解时要注意关键词如“至多”“至少”等．【类型三】安全问题采石场爆破时，点燃导火线后工人要在爆破前转移到400米外的安全区域．导火线燃烧速度是每秒1厘米，工人转移的速度是每秒5米，导火线至少要多少米？解析：根据时间列不等式，导火线燃烧时间＞工人要在爆破前转移到400米外的安全区域时间．解：设导火线的长度需要x 米，1厘米/秒＝0.01米/秒，由题意得x 0.01>4005，解得x ＞0.8.答：导火线至少要0.8米．【类型四】分段计费问题小明家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元，小明家每月用水量至少是多少？解析：当每月用水5立方米时，花费5×1.8＝9元，则可知小明家每月用水超过5立方米．设每月用水x 立方米，则超出(x －5)立方米，根据题意超出部分每立方米收费2元，列一元一次不等式求解即可．解：设小明家每月用水x 立方米． ∵5×1.8＝9＜15，∴小明家每月用水超过5立方米．则超出(x －5)立方米，按每立方米2元收费，列出不等式为5×1.8＋(x －5)×2≥15，解不等式得x ≥8.答：小明家每月用水量至少是8立方米．方法总结：分段计费问题中的费用一般包括两个部分：基本部分的费用和超出部分的费用．根据费用之间的关系建立不等式求解即可．【类型五】调配问题有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排多少人种甲种蔬菜？解析：设安排x 人种甲种蔬菜，则种乙种蔬菜为(10－x )人．甲种蔬菜有3x 亩，乙种蔬菜有2(10－x )亩．再列出不等式求解即可．解：设安排x 人种甲种蔬菜，则种乙种蔬菜为(10－x )人．根据题意得0.5×3x ＋0.8×2(10－x )≥15.6，解得x ≤4.答：最多只能安排4人种甲种蔬菜．方法总结：调配问题中，各项工作的人数之和等于总人数．【类型六】方案决策问题为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备．现有A 、B 两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表．经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．(1)请你设计该企业有几种购买方案；(2)若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案．解析：(1)设购买污水处理设备A 型x 台，则B 型为(10－x )台，列出不等式求解即可，x 的值取整数；(2)如图表列出不等式求解，再根据x 的值选出最佳方案．解：(1)设购买污水处理设备A 型x 台，则B 型为(10－x )台．12x ＋10(10－x )≤105，解得x ≤2.5，∵x 取非负整数，∴x 可取0，1，2，有三种购买方案：购A 型0台，B 型10台；A 型1台，B 型9台；A 型2台，B 型8台； (2)240x ＋200(10－x )≥2040，解得x ≥1， ∴x 为1或2.当x ＝1时，购买资金为12×1＋10×9＝102(万元)；当x ＝2时，购买资金为12×2＋10×8＝104(万元)．答：为了节约资金，应选购A 型1台，B 型9台．方法总结：此题将现实生活中的事件与数学思想联系起来，属于最优化问题，在确定最优方案时，应把几种情况进行比较．三、板书设计应用一元一次不等式解决实际问题的步骤：实际问题――→找出不等关系设未知数列不等式―→解不等式―→结合实际问题确定答案本节课通过实例引入，激发学生的学习兴趣，让学生积极参与，讲练结合，引导学生找不等关系列不等式．在教学过程中，可通过类比列一元一次方程解决实际问题的方法来学习，让学生认识到列方程与列不等式的区别与联系.3．1图形的平移第1课时平移的认识1．理解并掌握平移的定义及性质；(重点)2．能够根据平移的性质进行简单的平移作图．一、情境导入观察下列图片，你能发现图中描绘的运动的共同点吗？二、合作探究探究点一：平移的定义下列各组图形可以通过平移互相得到的是()A. B.C. D.解析：根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是C，故选C.方法总结：本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．探究点二：平移的性质【类型一】利用平移的性质进行计算如图，将等腰直角△ABC沿BC 方向平移得到△A1B1C1，若BC＝32，△ABC与△A1B1C1重叠部分面积为2，则BB1等于()A．1 B. 2 C. 3 D．2解析：设B1C＝2x，根据等腰直角三角形和平移的性质可知，重叠部分为等腰直角三角形，则B1C边上的高为x，∴12×x×2x ＝2，解得x＝2(舍去负值)，∴B1C＝22，∴BB1＝BC－B1C＝ 2.故选B.方法总结：本题考查了等腰直角三角形的性质和平移的性质．关键是判断重叠部分图形为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和重叠部分面积列出方程，求重叠部分的长．【类型二】平移性质的综合应用如图，原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC方向平移线段BE的距离，就得到此图形，下列结论正确的有()①AC∥DF；②HE＝5；③CF＝5；④阴影部分面积为552.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：根据平移的性质得出对应点所连的线段平行且相等，对应角相等，对应线段平行且相等，阴影部分和三角形面积之间的关系，结合图形与所给的结论即可得出答案．①对应线段平行可得AC∥DF，正确；②对应线段相等可得AB＝DE＝8，则HE＝DE－DH＝8－3＝5，正确；③平移的距离CF＝BE＝5，正确；④S四边形HDFC＝S梯形ABEH＝12(AB＋EH)·BE＝12×(8＋5)×5＝652，错误．故选C.方法总结：本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．本题关键要找到平移的对应点．探究点三：简单的平移作图将如图方格中的图形向右平移4格，再向上平移2格，在方格中画出平移后的图形．解析：按照题目要求：向右平移4格，再向上平移2格，先作各个关键点的对应点，再连接即可．解：方法总结：作平移图形时，找关键点的对应点是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．三、板书设计1．平移的定义在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．2．平移的性质一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等，对应线段平行(或在一条直线上)且相等，对应角相等．3．简单的平移作图教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，学生经历将实际问题抽象成图形问题，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力，使得学生能将所学知识灵活运用到生活中.。

北师大版八年级数学下册三角形三边的垂直平分线PPT精品课件

能作出无数个所作出的三角形不全等
北师大版八年级数学下册课件：1.3 第2课时三角形三边的垂直平分线
(3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?
能作出2个在底边的两侧
所作出的三角形全等
hh北师大版八年级源自学下册课件：1.3 第2课时三角形三边的垂直平分线
北师大版八年级数学下册课件：1.3 第2课时三角形三边的垂直平分线
①锐角三角形三边的垂直平分线交于三角形内部一点
②直角三角形三边的垂直平分线交于三角形斜边中点处
③钝角三角形三边的垂直平分线交于三角形外部一点
猜想：三角形的三条边上的垂直平分线交于一点
已知：如图,在△ABC中，边AB的垂直平分
线与边AC的垂直平分线相交于点P.
l
A n
求证：边BC的垂直平分线经过点P，
2
线③连接MN，分别以M、N为圆心，以大于 MN为半径画圆，两圆相交于E、F，连接EF，1 则直线EF即为线段MN的垂直平
2
分线；
④直线EF与直线AD相交于点O，则点O即为所求点．
同法点O′也满足条件．
北师大版八年级数学下册课件：1.3 第2课时三角形三边的垂直平分线
故答案为O或O′处．
北师大版八年级数学下册课件：1.3 第2课时三角形三边的垂直平分线
北师大版八年级数学下册课件：1.3 第2课时三角形三边的垂直平分线
5. 如图，在△ABC中，∠BAC＝52°，O为AB，AC的垂直平分线的交点，连接OB，OC，那么∠OCB＝__3_8_°__．
北师大版八年级数学下册课件：1.3 第2课时三角形三边的垂直平分线
北师大版八年级数学下册课件：1.3 第2课时三角形三边的垂直平分线

北师版初中数学八年级下册精品教学课件第一章三角形的证明 3线段的垂直平分线第2课时

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4.已知点O是等边三角形ABC内的一点,且OA=OB=OC,则∠BOC的度数
是
.
答案:120°
解析:∵OA=OB=OC, ∴点O是等边三角形ABC三边垂直平分线的交点. 由三线合一知点O也是每个角的平分线的交点,
∴∠BOC=180°-30°-30°=120°.
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5.如图,已知O为△ABC三边垂直平分线的交点,点O到顶点A的距离平面上不共线三点A,B,C的距离相等的点( ). A.没有 B.只有一个 C.有两个 D.有三个或三个以上答案:B
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2.已知△ABC(AC<AB<BC),用尺规在线段BC上确定一点P,使得 PA+PC=BC,则符合要求的作图痕迹是( ).
答案:D
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3.等腰三角形的顶角为100°,两腰的垂直平分线交于点P,则( ). A.点P在三角形内 B.点P在三角形底边上 C.点P在三角形外 D.点P的位置与三角形的边长有关答案:C
三角形的证明
3 线段的垂直平分线第2课时
快乐预习·感知
1.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等 . 2.作三角形三边垂直平分线的交点,至少需要作两条边的垂直平分线. 3.已知三角形的一边及这边上的高,能画出无数个三角形. 4.已知等腰三角形的底边及底边上的高,能画出 1 个三角形.
则AO+BO+CO=
cm.
答案:9
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本课结束

三角形三条内角的平分线精品获奖教学课件

∠ABE, 且AC=6cm, 那么线段BE是∠ABC
的角平分线，AE+DE= 6cm
E
A D B
.
C
3. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ C ）
A.△ABC 的三条中线的交点
B.△ABC 三边的中垂线的交点
A
M
想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ A
D
点P在∠A的平分线上.
B
N
P
F
M
C
E
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到
三边的距离相等.
例1.如图,在△ABC中,已知AC=BC, ∠C=90°, AD是△ABC的角平分
A E C B
线,DE⊥AB,垂足为E.
A
B
O
P
D M
C
例3 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC
三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( A ) A．110° B．120° C．130° D．140°
解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是内心，即三条角平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线，
第一章
三角形的证明
1.4 角平分线
第2课时三角形三条内角的平分线
导入新课讲授新课当堂练习课堂小结
学习目标 1．会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”.(重点） 2.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．(难点）
导入新课
情境引入
量，每组垂线段，你发现了什么？

三角形三边的垂直平分线及作图【一等奖教学设计】

第2课时三角形三边的垂直平分线及作图1．理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题；(重点)2．能够利用尺规作出三角形的垂直平分线．一、情境导入现在有A、B、C三个新建的小区，开发商为了方便业主需求，打算在如图所示的区域内建造一座购物中心，要求购物中心到三个小区的距离相等，你能帮购物中心选址吗？二、合作探究探究点一：三角形三边的垂直平分线【类型一】运用三角形三边的垂直平分线的性质求角度如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，点E、G分别是AB、AC的中点，DE⊥AB交BC于D，FG⊥AC交BC于F，连接AD、AF.求∠DAF的度数．解析：根据三角形内角和定理求出∠B ＋∠C，根据线段垂直平分线得出AD＝BD，AF＝CF，推出∠BAD＝∠B，∠CAF＝∠C，即可求出答案．解：在△ABC中，∵∠BAC＝110°，∴∠B＋∠C＝180°－110°＝70°.∵E、G 分别是AB、AC的中点，DE⊥AB，FG⊥AC，∴AD＝BD，AF＝CF，∴∠BAD＝∠B，∠CAF＝∠C，∴∠DAF＝∠BAC－(∠BAD＋∠CAF)＝∠BAC－(∠B＋∠C)＝110°－70°＝40°.方法总结：本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用．注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．【类型二】运用三角形三边的垂直平分线的性质求线段如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝8cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点E，求MN的长．解析：首先连接AM，AN，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，可求得∠B＝∠C＝30°.又由AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点E，易得△AMN是等边三角形，继而求得答案．解：连接AM，AN，∵在△ABC中，AB ＝AC，∠A＝120°，∴∠C＝∠B＝30°.∵AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点E，∴AN＝CN，AM＝BM，∴∠CAN＝∠C＝30°，∠BAM＝∠B＝30°，∴∠ANM＝∠AMN＝60°，∴△AMN是等边三角形，∴AM＝AN＝MN，∴BM＝MN＝CN.∵BC＝8cm，∴MN＝83cm.方法总结：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法．【类型三】三角形三边的垂直平分线的性质的应用某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置．解析：由三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，可得售票中心是海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐场组成三角形的三边的垂直平分线的交点．解：如图，①连接AB ，AC ，②分别作线段AB ，AC 的垂直平分线，两垂直平分线相交于点P ，则P 即为售票中心．方法总结：此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握线段垂直平分线的作法．探究点二：作图已知线段c ，求作△ABC ，使AC ＝BC ，AB ＝c ，AB 边上的高CD ＝12c .解析：由题意知，△ABC 是等腰三角形，高把底边垂直平分，且高等于底边长的一半．解：作法：1.作线段AB ＝c ； 2．作线段AB 的垂直平分线EF ，交AB 于D ；3．在射线DF 上截取DC ＝12c ，连接AC ，BC ，则△ABC 即为所求作的三角形，如图所示．方法总结：已知底边长作等腰三角形时，一般可先作底边的垂直平分线，再结合等腰三角形底边上的高确定另一个顶点的位置．三、板书设计1．三角形三边的垂直平分线三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．2．作图本节课学习了用尺规作三角形，作图时要学会分析．一般先画一个满足题目已知条件的草图，有时结合基本作图和已知条件可作一个与求作三角形相关联的三角形，然后应用有关条件结合基本作图作出其余的图形.第2课时平行四边形的判定定理3与两平行线间的距离1．复习并巩固平行四边形的判定定理1、2；2．学习并掌握平行四边形的判定定理3，能够熟练运用平行四边形的判定定理解决问题；(重点)3．根据平行四边形的性质总结出求两条平行线之间的距离的方法，能够综合平行四边形的性质和判定定理解决问题．(重点，难点)一、情境导入小明的父亲的手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？你能想出几种办法？二、合作探究探究点一：对角线互相平分的四边形是平行四边形【类型一】利用平行四边形的判定定理(3)判定平行四边形已知，如图，AB 、CD 相交于点O ，AC ∥DB ，AO ＝BO ，E 、F 分别是OC 、OD 中点．求证：(1)△AOC ≌△BOD ； (2)四边形AFBE 是平行四边形．解析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC ≌△BOD ；(2)此题已知AO ＝BO ，要证四边形AFBE 是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE ＝OF 就可以了．证明：(1)∵AC ∥BD ，∴∠C ＝∠D .在△AOC 和△BOD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝OB ，∠AOC ＝∠BOD ，∠C ＝∠D ，∴△AOC ≌△BOD (AAS)；(2)∵△AOC ≌△BOD ，∴CO ＝DO .∵E 、F 分别是OC 、OD 的中点，∴OF ＝12OD ，OE ＝12OC ，∴EO ＝FO ，又∵AO ＝BO ，∴四边形AFBE 是平行四边形．方法总结：在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．熟练掌握平行四边形的判定定理是解决问题的关键．【类型二】利用平行四边形的判定定理(3)证明线段或角相等如图，在平行四边形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，点E ，F 分别是OA ，OC 的中点，请判断线段BE ，DF 的位置关系和数量关系，并说明你的结论．解析：根据平行四边形的对角线互相平分得出OA ＝OC ，OB ＝OD ，利用中点的意义得出OE ＝OF ，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE 是平行四边形，从而得出BE ＝DF ，BE ∥DF .解：BE ＝DF ，BE ∥DF .因为四边形ABCD 是平行四边形，所以OA ＝OC ，OB ＝OD .因为E ，F 分别是OA ，OC 的中点，所以OE ＝OF ，所以四边形BFDE 是平行四边形，所以BE ＝DF ，BE ∥DF .方法总结：平行四边形的性质也是证明线段相等或平行的重要方法．探究点二：平行线间的距离如图，已知l 1∥l 2，点E ，F 在l 1上，点G ，H 在l 2上，试说明△EGO 与△FHO 的面积相等．解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．证明：∵l 1∥l 2，∴点E ，F 到l 2之间的距离都相等，设为h .∴S △EGH ＝12GH ·h ，S △FGH ＝12GH ·h ，∴S △EGH ＝S △FGH ，∴S △EGH －S △GOH ＝S △FGH －S △GOH ，∴S △EGO ＝S △FHO .方法总结：解题的关键是明确三角形的中线把三角形的面积等分成了相等的两部分，同底等高的两个三角形的面积相等．探究点三：平行四边形判定和性质的综合如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC ，∠B ＝90°，AG ∥CD 交BC 于点G ，点E 、F 分别为AG 、CD 的中点，连接DE 、FG .(1)求证：四边形DEGF 是平行四边形； (2)如果点G 是BC 的中点，且BC ＝12，DC ＝10，求四边形AGCD 的面积．解析：(1)求出平行四边形AGCD ，推出CD ＝AG ，推出EG ＝DF ，EG ∥DF ，根据平行四边形的判定推出即可；(2)由点G 是BC 的中点，BC ＝12，得到BG ＝CG ＝12BC＝6，根据四边形AGCD 是平行四边形可知AG ＝DC ＝10，根据勾股定理得AB ＝8，求出四边形AGCD 的面积为6×8＝48.解：(1)∵AG ∥DC ，AD ∥BC ，∴四边形AGCD 是平行四边形，∴AG ＝DC .∵E 、F 分别为AG 、DC 的中点，∴GE ＝12AG ，DF ＝12DC ，即GE ＝DF ，GE ∥DF ，∴四边形DEGF 是平行四边形；(2)∵点G 是BC 的中点，BC ＝12，∴BG ＝CG ＝12BC ＝6.∵四边形AGCD 是平行四边形，DC ＝10，AG ＝DC ＝10，在Rt △ABG 中，根据勾股定理得AB ＝8，∴四边形AGCD 的面积为6×8＝48.方法总结：本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的面积，掌握定理是解题的关键．三、板书设计 1．平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形；2．平行线的距离；如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离．3．平行四边形判定和性质的综合．本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行，在探究两条平行线间的距离时，要让学生进行合作交流．在解决有关平行四边形的问题时，要根据其判定和性质综合考虑，培养学生的逻辑思维能力.。

北师大版八年级数学下册1.3第2课时三角形三边的垂直平分线及作图教学课件.ppt

∴ PA =PB=PC．
A
P
B
C
做一做
分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外.
二尺规作图
做一做：（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，
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THANKS!
感谢聆听请多指点
GF
∴EG＝EC.
B
D
EC
4.已知：线段a. 求作：△ABC，使∠ACB=90°，AC=BC=a.
作法：（1）作直线l. （2）在直线l上任取一条线段DE. （3）作线段DE的垂直平分线MN交DE于C. （4）在射线CE上截取CA=a, 在射线CM上截取CB=a. （5）连接AB. △ABC就是所求作的三角形.
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STRENGTHS
S
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北师大版八年级数学下册《线段的垂直平分线》三角形的证明PPT课件(第2课时)

实践探究，交流新知
解：(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，能作出三角形，并且能作出无数多个，如图所示． (2)已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有无数多个． (3)如果等腰三角形的底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形应该只有两个，它们是全等的，且分别位于已知底边的两侧，如图所示．
北师大版八年级下册第一章三角形的证明
线段的垂直平分线（第2课时）
前言
学习目标
1.会证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，并解决相关的问题． 2.会用尺规作已知线段的垂直平分线，培养尺规作图的技能．
学习重点
掌握三角形三条边的垂直平分线的性质，能利用尺规作出符合条件的三角形.
(1)教材第26页随堂练习． (2)教材第26页习题1.8第1，2题.
同学们，下课！
． 39°
3．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角． (1)画出边BC上的中线AD； (2)画出边BC上的高AH.
第1题
第2题
第3题
课堂小结，整体感知
1.课堂小结：请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？（1）三角形三条边的垂直平分线的性质（2）尺规作线段的垂直平分线、等腰三角形
2.布置作业：
学习难点
三角形三条边的垂直平分线性质的证明及应用.
创设情境，导入新课
1.问题提出：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作图完成后你发现了什么？ 2.问题探究： ①三角形三边的垂直平分线交于一点； ②这一点到三角形三个顶点的距离相等．
创设情境，导入新课
3.问题解决：如图，剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，上述结论是否成立？ 4.问题思考：以上结论都是通过眼睛观察得到的，那么该结论一定成立吗？我们还需运用已学过的公理和定理进行推理证明，这样，此发现才更有意义．

1.三角形三条角平分线的性质教学课件北师大版数学八年级下册

练习2. 如图，在△ABC中，AP平分∠BAC，BD平分 ∠ABC，AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4.
(1)点O到△ABC三边的距离和为___1__2____；
(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
B
O
P
A
DM
C
解：（2）连接OC.
从这道题中，你能归纳出一个求面积的公式吗？
交于三角形内一点到三角形三边的距离相等
（2）∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴∠ACE=∠AED=90°（三角形内角和180°）在Rt△ACD 和 Rt△AED中，
AD=AD CD=DE ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)∴AC=AE（全等三角形对应边相等）
又∵BE=DE=CD ∴AB=AE+BE=AC+CD．
A
D
N
F
P
M
C E
议一议
三角形中垂线与角平分线的区分
三角形
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
交点性质
三边垂直平分线
三条角平分线
交于三角形内一点
交于三角形外一点交于斜边的中点到三角形三个顶点的距离相等
交于三角形内一点到三角形三边的距离相等
练一练
练习1. 如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD 是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．（1）已知 CD=4cm，求AC的长；
BC，CA的距离相等.
A
D
N
F
P
M
B
C
E
思路：
PB平分∠ABC PD⊥AB PE⊥BC
PC平分∠ACB PE⊥BC PF⊥AC

3 三角形三边的垂直平分线及作图大赛获奖课件公开课一等奖课件

由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
探究发现
如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上
的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，
P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，…
到点A 与点B 的距离之间的数量关系．
P3
P1A _＝___P1B P2A __＝__ P2B
A
B
(3)过两交点作直线 l ',此直线为
l 过P的垂线.
D
当堂练习
1.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段 AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则 ∠CBE等于（ C ）
A．80° C．60°
B．70° D．50°
A
DE
B
C
2.下列说法错误的是 ( D )
A.三角形三条边的垂直平分线必交于一点 B.如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边 C.平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等 D.三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称
A
GF
B
D
EC
证明:连接AD.∵点D在线段AB的垂直平分线上，
∴DA＝DB,∴∠DAB＝∠B＝22.5°,
∴∠ADE＝∠DAB＋∠B＝45°.
∵AE⊥BC,∴∠DAE＝∠ADE＝45°,
∴AE＝DE.又∵DF⊥AC,
∴∠DFC＝∠AEC＝90°,
∴∠C＋∠CAE＝∠C＋∠CDF＝90°,
A
∴∠CAE＝∠CDF, ∴△DEG≌△AEC(ASA),
（2）当点P在线段AB外时，如右图所示. ∵PA=PB， ∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C， ∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC.

钝角三角形三边的垂直平分线精品PPT课件

如图,在△ABC中,
∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线(已知),
∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角形三条 c
边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三
个顶点的距离相等).
B
aA b
P
C
1．分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人：XXXXXX 时间：XX年XX月XX日
作法：1．作BC=a； 2．作线段BC的垂直平分线MN交
BC于D点； 3．以D为圆心，h长为半径作弧
交MN于A点； 4．连接AB、AC
∴△ABC就是所求作的三角形
a h
M A
B
DC
N
1.已知线段a，求作以a为底，以a/2为高的等腰三角形。
a 这个等腰三角形有什么特征? 温馨提示: 先分析,作出示意图形,再按要求去作图.
(3)你对上述建议有何评论?你对选址有什么建议？
1.证明了定理:三角形三条边的垂
直平分线相交于一点,并且这一
点到三个顶点的距离相等。
c 2.已知等腰三角形的底边和底边
上的高作等腰三角形
B
aA b
PC
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More

3 三角形中的垂直平分线 (2) 公开课一等奖课件

交OB于点P，则小猫在点P处抓住老鼠
【综合运用】 15．(12分)如图，牧童在点A处放牛，其家在点B处，点A，B到
河岸的距离分别为AC，BD，且AC＝BD，若点A到河岸CD中点的
距离是250 m. (1)牧童从点A处把牛牵到河边饮水再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？ (2)最短路程是多少？解：(1)先作点A关于CD的对称点A1，再连
3．(8分)如图，有A，B，C三个村庄，为解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学P，且使学校到三个村庄的距离相等，请在图中用尺规作出点P.(不写作法，保留作图痕迹) 连接AB，BC，作AB，BC的垂直平分线，两线交点即为点P，图略
4．(8分)如图，直线l是线段AB的垂直平分线，若有一点C在直线l 上，则由垂直平分线的性质可知： CA＝CB.现有一点P在直线l的右
A．AC，BC两边高线的交点处 B．AC，BC两边中线的交点处 C．AC，BC两边垂直平分线交点处 D．∠A，∠B的角平分线交点处
二、填空题(每小题5分，共10分) 10．如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是点P关于OA，OB的对称
点，P1P2交OA于点M，交OB于点N，若P1P2＝10 cm，则△PMN的周
一、选择题(每小题5分，共10分) 8．过直线l外一点P作l的垂线，先在直线l上取两点A，B，使PA＝PB，再作( D )
A．线段AB的垂线
C．∠PBA的平分线
B．∠PAB的平分线
D．∠APB的平分线
9．如图，在A， B，C三个小区中间拟建一个供休息的凉
亭，使凉亭到三个小区距离相等，则凉亭应建在( C )
线l，交直线l于点Q，则线段PQ就是所
要修的公路的位置
13．(10分)如图，已知线段a，b，求作△ABC，使AB＝AC＝a，底边BC上的中线为b. 略

三角形三边的垂直平分线及作图 精品获奖教学课件