高中数学 1.4.2 单位圆与周期性课件1(新版)北师大版必修4
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高中数学北师大版必修4第一章《单位圆与周期函数》ppt课件
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
最新中小学教学课件
14
谢谢欣赏！
2019/8/29
最新中小学教学课件
15
课本P16练习T1(1)
公式一 sin(2k x) sin x, k z;
cos(2k x) cos x, k z.
这节课我们学了
它们能将任意角正弦Fra bibliotek数、余弦函数的三角函数化为 0º~360º角的三角函数
是周期函数， 2k (k Z, k 0)
为正弦函数、余弦函数的周期。如果函数
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
y
P(u, v),
2 x
ox M1 x
图5
由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一
三角函数的值相等，也就是
终边相同的角的正弦函数值相等，即 sin(2k x) sin x, k z; 终边相同的角的余弦函数值相等，即 cos(2k x) cos x, k z.
y=f(x)的周期是T，那么函数y=f(ωx＋φ)的周
期是
T' T
课本P20习题1—4 A组T4。
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
2019/8/29
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14
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15
课本P16练习T1(1)
公式一 sin(2k x) sin x, k z;
cos(2k x) cos x, k z.
这节课我们学了
它们能将任意角正弦Fra bibliotek数、余弦函数的三角函数化为 0º~360º角的三角函数
是周期函数， 2k (k Z, k 0)
为正弦函数、余弦函数的周期。如果函数
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
y
P(u, v),
2 x
ox M1 x
图5
由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一
三角函数的值相等，也就是
终边相同的角的正弦函数值相等，即 sin(2k x) sin x, k z; 终边相同的角的余弦函数值相等，即 cos(2k x) cos x, k z.
y=f(x)的周期是T，那么函数y=f(ωx＋φ)的周
期是
T' T
课本P20习题1—4 A组T4。
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
高中数学北师大版必修四1.4.2 教学课件 《单位圆与周期性》
R R
2
k (k
Z )
北京师范大学出版社 ︱必修四
3、确定三角函数值在各象限的符号
y
+
+
x
y
+ x
+
sin
cos
归纳： 一全正、二正弦、三正切、四余弦。
y
+ x
+ ta n
探究新知
阅读教材16页至17页，完成下列问题：
1、终边相同角的正弦、余弦函数值的关系 （1）终边相同角的正弦函数值相等，即
sin（ +2kπ)=sin,(k Z)
（2）终边相同角的余弦函数值相等，即
co（ s +2kπ)=cos,(k Z)
北京师范大学出版社 ︱必修四
北京师范大学出版社 ︱必修四
2、周期函数的定义
一般地，对于函数 f x ，如果存在 非零常数T ，对定义域内的任意一个 值，都有 f x T f x ，则称 f x 为周期函数，T 为这个函数的周期。
2
2
2
2
北京师范大学出版社 ︱必修四
【解析】
cos256π＝cos4π＋π6＝cos6π＝
3 2
答案： D
北京师范大学出版社 ︱必修四
小结：
（1）终边相同角的三角函数的关系； （2）周期函数的定义；正、余弦函数的周期，最小正周期。 （3）体会定义过程中体现的数形结合的思想。
北京师范大学出版社 ︱必修四
第一章 · 三角函数
1.4.2 单位圆与周期性
北京师范大学出版社 ︱必修四
北京师范大学出版社 ︱必修四
新课导入
高中数学北师大版必修四课件：第一章 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义-4.2 单位圆与周期性
C.第三象限
D.第四象限
解析 ∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴点P在第四象限，故选D.
解析 答案
(2)判断下列各式的符号. ①sin 145°cos(－210°)； 解 ∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0， ∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0.
跟踪训练1 已知角α的终边过点P(－3a， 4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值.
解 r＝ －3a2＋4a2＝5|a|.
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sin α＝yr＝54aa＝45，cos α＝xr＝－53aa＝－35， ∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限， sin α＝－45aa＝－45，cos α＝－ －35aa＝35，
∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.
解答
命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值 3
例2 已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋cos α 的值.
解答
反思与感悟
在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所
以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a，b)，则
所以 sin α＝ 23aa＝ 23， cos α＝2aa＝12.
若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，
Байду номын сангаас
所以 sin α＝－32aa＝－ 23，cos α＝－2aa＝－12.
解答
类型二 正弦、余弦函数值符号的判断
高中数学北师大版必修4《第1章44.2单位圆与周期性》课件
关系，提升数学运算素养.
2
1．任意角的正弦、余弦函数的定义 (1)单位圆的定义 在直角坐标系中，以_坐__标__原__点__为圆心，以 _单__位__长__度___为半径的圆，称为单位圆． (2)如图所示，设 α 是任意角，其顶点与原点重合，始边与 x 轴 _非_负__半__轴__重合，终边与单位圆 O 交于点 P(u，v)，那么：
[提示] 2π，4π，6π，－2π，…等都是函数的周期．
1．已知 P(3,4)是终边 α 上一点，则 sin α 等于( )
3
4
A.4
B.3
4
3
C.5
D.5
C [∵r＝ 32＋42＝5，∴sin α＝45.]
9
2．已知角 α 的终边上一点的坐标为sin
23π，cos
23π，则角
α的
最小正值为( )
18
所以 kπ＜α＜kπ＋2π(k∈Z)． 当 k 为偶数时，设 k＝2m(m∈Z)，有 2mπ＜α＜2mπ＋π2(m∈Z)； 当 k 为奇数时，设 k＝2m＋1(m∈Z)， 有 2mπ＋π＜α＜2mπ＋32π(m∈Z)．所以 α 为第一或第三象限角．又 由 cos α＜0，可知 α 为第三象限角．
数学人教版 高中数学
4.2 单位圆与周期性
学习目标
核心素养
1.通过学习任意角的正弦、余弦 1.理解任意角的正弦、余弦的定
的定义及周期函数的定义，培养 义及其应用．(重点)
数学抽象素养． 2．掌握同角的正弦、余弦函数
2．通过正弦、余弦定义的应用 值间的关系．(重点)
及同角的正弦、余弦函数值间的 3．理解周期函数的定义．(难点)
26
＝f－π3＋fπ4
＝－fπ3＋fπ4
2
1．任意角的正弦、余弦函数的定义 (1)单位圆的定义 在直角坐标系中，以_坐__标__原__点__为圆心，以 _单__位__长__度___为半径的圆，称为单位圆． (2)如图所示，设 α 是任意角，其顶点与原点重合，始边与 x 轴 _非_负__半__轴__重合，终边与单位圆 O 交于点 P(u，v)，那么：
[提示] 2π，4π，6π，－2π，…等都是函数的周期．
1．已知 P(3,4)是终边 α 上一点，则 sin α 等于( )
3
4
A.4
B.3
4
3
C.5
D.5
C [∵r＝ 32＋42＝5，∴sin α＝45.]
9
2．已知角 α 的终边上一点的坐标为sin
23π，cos
23π，则角
α的
最小正值为( )
18
所以 kπ＜α＜kπ＋2π(k∈Z)． 当 k 为偶数时，设 k＝2m(m∈Z)，有 2mπ＜α＜2mπ＋π2(m∈Z)； 当 k 为奇数时，设 k＝2m＋1(m∈Z)， 有 2mπ＋π＜α＜2mπ＋32π(m∈Z)．所以 α 为第一或第三象限角．又 由 cos α＜0，可知 α 为第三象限角．
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4.2 单位圆与周期性
学习目标
核心素养
1.通过学习任意角的正弦、余弦 1.理解任意角的正弦、余弦的定
的定义及周期函数的定义，培养 义及其应用．(重点)
数学抽象素养． 2．掌握同角的正弦、余弦函数
2．通过正弦、余弦定义的应用 值间的关系．(重点)
及同角的正弦、余弦函数值间的 3．理解周期函数的定义．(难点)
26
＝f－π3＋fπ4
＝－fπ3＋fπ4
北师大版高中数学必修4课件1.4单位圆与周期性课件
点拨：当角
0 2π 之间时，常利用“终边相同角的三 角函数值相等”，把该角转化到 0 2 π 之间，再求值。
【自主解答】
23 π (1)sin－ π＝sin－4π＋ ＝sin 6 6
不在
π 1 ＝ 6 2
1 (2)cos 1 500° ＝cos(4×360° ＋60° )＝cos 60° ＝ 2
北京师范大学出版社 ︱必修四
第一章 · 三角函数
1.4.2 单位圆与周期性
新课导入
1、任意角的三角函数的定义过程：
直角三角形中定义锐角三角函数
s in b a b , cos , ta n r r a
b a b , cos , ta n r r a
直角坐标系中定义锐角三角函数
巩固练习
1、求下列三角函数值
(1) cos(1050 ) π 31 (2) sin 4
【解】 (1)∵－1 050° ＝－3×360° ＋30° ， ∴－1 050° 的角与 30° 的角终边相同。 3 ∴cos(－1 050)° ＝cos 30° ＝ 2 31π π (2)∵－ ＝－4×2π＋ ， 4 4 31π π ∴角－ 与角 的终边相同。 4 4
s in
单位圆中定义锐角三角函数
b s in b , c o s a , ta n a
单位圆中定义任意角的三角函数
s in y , c o s x
, tan
y x
2、三角函数的定义域、值域：
三角函数 定义域
sin cos tan
R R
sin （ +2kπ)=sin ,(k Z)
（2）终边相同角的余弦函数值相等，即
周期现象-北师大版高一数学必修4课件(共21张PPT)
02 自然界中存在丰富的周期现象
03 可以用列表、图像、解析式法刻画周期现象
04 利用函数描述周期现象时，会出现不同的自变量
时间、角度等都可以作为自变量。
完成课后习题1-1 第1，2，3题.
THANKS
θ
根据物理知识， y和的变化是周期变化的 .
y
A N
例3.右图是水车的示意图.水车上点P到水面 的距离为y.
假设水车5 min 转一圈，那么y每经5 min 就会 取相同的值，因此，距离y随时间变化的现 象也是周期现象.
1.地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象吗？
是
2.连续抛一枚质地均匀的 硬币，面值朝上我们记 为0，面值 朝下我们记为1，数字0和1是否会周期性地重复出 现？
否
3.地球同步卫星绕地球公转是周期现象吗？
是
1.如图，已知水轮每分钟 转动四圈，水轮上的点 P
相对于水面的高度 y（m）与时间 x(min) 满足函数关
系f (x)，若x 0 min 时，P在最高点，则点 P到最低
点的时间最少是
（）
A.5s
B.7.5s
C.5min
D.7.5min
P
O
2. 某摩天轮有八个座舱，标号分别为1,2,3,4,5,
本章将从周期现象出发 ，引入弧度制 ，学习三角函数的图像和 性质， 并通过实例了解三角函 数在日常生活中的简单 应用.
钱塘江潮
“八月十八潮，壮观天下无。”这是北宋大诗人苏东坡咏赞钱塘 江潮的千古名句.可见，每年出现最佳观潮时间基本是相同的，其 次，潮水大约在每一昼夜时间里会涨落两次，无论是每年的最佳 观潮时间还是潮汐现象都是每间隔一段时间会重复出现的现象.
潮汐现象、地球围绕太 阳旋转、风车扇叶的旋 转、 时钟的指针的运动等都 是周期现象 .
03 可以用列表、图像、解析式法刻画周期现象
04 利用函数描述周期现象时，会出现不同的自变量
时间、角度等都可以作为自变量。
完成课后习题1-1 第1，2，3题.
THANKS
θ
根据物理知识， y和的变化是周期变化的 .
y
A N
例3.右图是水车的示意图.水车上点P到水面 的距离为y.
假设水车5 min 转一圈，那么y每经5 min 就会 取相同的值，因此，距离y随时间变化的现 象也是周期现象.
1.地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象吗？
是
2.连续抛一枚质地均匀的 硬币，面值朝上我们记 为0，面值 朝下我们记为1，数字0和1是否会周期性地重复出 现？
否
3.地球同步卫星绕地球公转是周期现象吗？
是
1.如图，已知水轮每分钟 转动四圈，水轮上的点 P
相对于水面的高度 y（m）与时间 x(min) 满足函数关
系f (x)，若x 0 min 时，P在最高点，则点 P到最低
点的时间最少是
（）
A.5s
B.7.5s
C.5min
D.7.5min
P
O
2. 某摩天轮有八个座舱，标号分别为1,2,3,4,5,
本章将从周期现象出发 ，引入弧度制 ，学习三角函数的图像和 性质， 并通过实例了解三角函 数在日常生活中的简单 应用.
钱塘江潮
“八月十八潮，壮观天下无。”这是北宋大诗人苏东坡咏赞钱塘 江潮的千古名句.可见，每年出现最佳观潮时间基本是相同的，其 次，潮水大约在每一昼夜时间里会涨落两次，无论是每年的最佳 观潮时间还是潮汐现象都是每间隔一段时间会重复出现的现象.
潮汐现象、地球围绕太 阳旋转、风车扇叶的旋 转、 时钟的指针的运动等都 是周期现象 .
高中数学第一章三角函数441单位圆与任意角的正弦函数余弦函数的定义42单位圆与周期性课件北师大版必
一、预习教材·问题导入 1．正弦、余弦函数是怎样定义的？
2．正弦、余弦函数在各象限的符号是什么？ 3．周期函数的定义是什么？ 4．正弦、余弦函数的周期性怎样？
二、归纳总结·核心必记
1．正弦、余弦函数的定义 (1)对于任意角 α，使角 α 的顶点与原点重合，始边与 x 轴非负 半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点 P(u，v)，那么点 P 的
3．[变设问]本例(2)条件不变，设问变为α2终边在第几象限？ 解：由 sin α＞0，cos α＜0 知 α 的终边在第二象限，即 2kπ ＋π2＜α＜2kπ＋π(k∈Z)，∴kπ＋π4＜α2＜kπ＋π2(k∈Z)，∴α2终 边在第一、三象限．
考点三 利用 2kπ＋α(k∈Z)的正、余弦公式求值
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)终边相同的角的同名三角函数值相等
( √)
(2)若 sin α＞0，则 α 是第一、二象限角
(× )
(3)函数 f(x)＝|x|满足 f(－1＋2)＝f(－1)，则这个函数的周期
为－1
(× )
(4)若 T 是函数 ƒ(x)的周期，则 kT，k∈N*也是函数 f(x)的周期．
解：∵f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－fx＋1 3＝－－11 ＝f(x)， fx
∴f(x)是周期函数，且 6 是它的一个周期．
结束
语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油。
(1)点 P 的坐标； (2)∠AOQ 的正弦函数值、余弦函数值．
[解] (1)设点 P 的坐标为(x，y)，则 x＝cos∠AOP＝cosπ3＝12，
2．正弦、余弦函数在各象限的符号是什么？ 3．周期函数的定义是什么？ 4．正弦、余弦函数的周期性怎样？
二、归纳总结·核心必记
1．正弦、余弦函数的定义 (1)对于任意角 α，使角 α 的顶点与原点重合，始边与 x 轴非负 半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点 P(u，v)，那么点 P 的
3．[变设问]本例(2)条件不变，设问变为α2终边在第几象限？ 解：由 sin α＞0，cos α＜0 知 α 的终边在第二象限，即 2kπ ＋π2＜α＜2kπ＋π(k∈Z)，∴kπ＋π4＜α2＜kπ＋π2(k∈Z)，∴α2终 边在第一、三象限．
考点三 利用 2kπ＋α(k∈Z)的正、余弦公式求值
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)终边相同的角的同名三角函数值相等
( √)
(2)若 sin α＞0，则 α 是第一、二象限角
(× )
(3)函数 f(x)＝|x|满足 f(－1＋2)＝f(－1)，则这个函数的周期
为－1
(× )
(4)若 T 是函数 ƒ(x)的周期，则 kT，k∈N*也是函数 f(x)的周期．
解：∵f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－fx＋1 3＝－－11 ＝f(x)， fx
∴f(x)是周期函数，且 6 是它的一个周期．
结束
语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油。
(1)点 P 的坐标； (2)∠AOQ 的正弦函数值、余弦函数值．
[解] (1)设点 P 的坐标为(x，y)，则 x＝cos∠AOP＝cosπ3＝12，
1.4.2单位圆与周期性 课件高中数学必修4(北师大版)
综上所述，对于任意角 α，都有 sin2α＋cos2α＝1.
本 课 时 栏 目 开 关
1.4.2
探究点三 正、余弦函数的周期性 由任意角的三角函数的定义可以知道， 终边相同的角的同一 三角函数值相等 .由此得到正弦函数和余弦函数的周期性 . sin(k· 360° ＋ α)＝ sin α ，cos(k· 360° ＋α)＝ cos α ，k∈Z. 或者： sin(2kπ＋ α)＝ sin α， cos(2kπ＋α)＝ cos α，k∈ Z. 这组公式的作用是将求任意角的三角函数值转化为求 0° ～ 360° 的三角函数值 .
本 课 时 栏 目 开 关
1.4.2
1.三角函数线 如图， 设单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A， 与角 α 的终边交 于 P 点.过点 P 作 x 轴的垂线 PM，垂足为 M.单位圆中的有 向线段 MP 、OM .分别叫作角 α 的正弦线、余弦线.记作： sin α＝ MP ，cos α＝ OM .
本 课 时 栏 目 开 关
作垂线，垂足为 M，则由垂足 M 指向点 P 的有向线段 MP 就叫作 α 的正弦线，位于 x 轴上，由原点指向垂足 M 的有 向线段 OM 就是 α 的余弦线.
过点 A(1,0)作单位圆的切线，切线与角 α 的终边或其反向延 长线交于点 T，则由 A 指向交点 T 的有向线段 AT 就叫角 α 的正切线.
本 课 时 栏 目 开 关
问题 4 若 α 为第一象限角，证明 sin α＋cos α>1.
证明 设角 α 的终边与单位圆交于点 P， 过 P 作 PM⊥x 轴， 垂足为 M，则 sin α＝MP，cos α＝OM，OP＝1. 在 Rt△OMP 中，由两边之和大于第三边得 MP＋OM>OP， 即 sin α＋cos α>1.
本 课 时 栏 目 开 关
1.4.2
探究点三 正、余弦函数的周期性 由任意角的三角函数的定义可以知道， 终边相同的角的同一 三角函数值相等 .由此得到正弦函数和余弦函数的周期性 . sin(k· 360° ＋ α)＝ sin α ，cos(k· 360° ＋α)＝ cos α ，k∈Z. 或者： sin(2kπ＋ α)＝ sin α， cos(2kπ＋α)＝ cos α，k∈ Z. 这组公式的作用是将求任意角的三角函数值转化为求 0° ～ 360° 的三角函数值 .
本 课 时 栏 目 开 关
1.4.2
1.三角函数线 如图， 设单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A， 与角 α 的终边交 于 P 点.过点 P 作 x 轴的垂线 PM，垂足为 M.单位圆中的有 向线段 MP 、OM .分别叫作角 α 的正弦线、余弦线.记作： sin α＝ MP ，cos α＝ OM .
本 课 时 栏 目 开 关
作垂线，垂足为 M，则由垂足 M 指向点 P 的有向线段 MP 就叫作 α 的正弦线，位于 x 轴上，由原点指向垂足 M 的有 向线段 OM 就是 α 的余弦线.
过点 A(1,0)作单位圆的切线，切线与角 α 的终边或其反向延 长线交于点 T，则由 A 指向交点 T 的有向线段 AT 就叫角 α 的正切线.
本 课 时 栏 目 开 关
问题 4 若 α 为第一象限角，证明 sin α＋cos α>1.
证明 设角 α 的终边与单位圆交于点 P， 过 P 作 PM⊥x 轴， 垂足为 M，则 sin α＝MP，cos α＝OM，OP＝1. 在 Rt△OMP 中，由两边之和大于第三边得 MP＋OM>OP， 即 sin α＋cos α>1.
高中数学第一章三角函数1.4.2单位圆与周期性1.4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质课件北师大版必修4
1.4.2 单位圆与周期性 1.4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的
基本性质
【知识提炼】 1.终边相同的角的正、余弦函数 (1)sin(x+k·2π)=_s_i_n_x_; (2)cos(x+k·2π)=_c_o_s_x_,k∈Z.
2.周期性 (1)条件: ①对于函数f(x)存在_非__零__常__数__T; ②对于定义域内的任意一个x值都有f(x+T)= _f_(_x_)_. (2)结论: ①函数f(x)为周期函数; ②_T_为函数的周期.
(3)对于正弦函数与余弦函数来说,它们的定义域均是全体实数,但并 不能说它们是增函数或减函数,而只能说在某个区间内是增加的或减 少的. (4)正弦函数的最值在单位圆与y轴的交点处取得,而余弦函数的最值 则在单位圆与x轴的交点处取得,要注意区分.
【题型探究】
类型一 函数周期性的应用
【典例】1.(2015·南安高一检测)cos 1 110°的值为 ( )
【解析】因为f(x)是周期为4的函数,所以f(-3)=f(-3+4)
=f(1)= 1 . 2
答案: 1 2
【知识探究】 知识点1 周期函数 观察图形,回答下列问题:
问题1:周期函数的定义域有什么特点? 问题2:周期函数的函数值、图像有什么样的特征?
【总结提升】 对于周期函数的四点认识 (1)对于定义域内的任意x,都有x+T属于定义域; (2)并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,不一定有最 小正周期; (3)如果T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,且n≠0)也是函数的周期. (4)每相隔周期的整数倍,图像要重复出现.
3.函数y=2sinx在区间 [ , 5 ] 上的值域是________.
【解析】当x∈
基本性质
【知识提炼】 1.终边相同的角的正、余弦函数 (1)sin(x+k·2π)=_s_i_n_x_; (2)cos(x+k·2π)=_c_o_s_x_,k∈Z.
2.周期性 (1)条件: ①对于函数f(x)存在_非__零__常__数__T; ②对于定义域内的任意一个x值都有f(x+T)= _f_(_x_)_. (2)结论: ①函数f(x)为周期函数; ②_T_为函数的周期.
(3)对于正弦函数与余弦函数来说,它们的定义域均是全体实数,但并 不能说它们是增函数或减函数,而只能说在某个区间内是增加的或减 少的. (4)正弦函数的最值在单位圆与y轴的交点处取得,而余弦函数的最值 则在单位圆与x轴的交点处取得,要注意区分.
【题型探究】
类型一 函数周期性的应用
【典例】1.(2015·南安高一检测)cos 1 110°的值为 ( )
【解析】因为f(x)是周期为4的函数,所以f(-3)=f(-3+4)
=f(1)= 1 . 2
答案: 1 2
【知识探究】 知识点1 周期函数 观察图形,回答下列问题:
问题1:周期函数的定义域有什么特点? 问题2:周期函数的函数值、图像有什么样的特征?
【总结提升】 对于周期函数的四点认识 (1)对于定义域内的任意x,都有x+T属于定义域; (2)并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,不一定有最 小正周期; (3)如果T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,且n≠0)也是函数的周期. (4)每相隔周期的整数倍,图像要重复出现.
3.函数y=2sinx在区间 [ , 5 ] 上的值域是________.
【解析】当x∈
北师大版高中数学必修四第1章三角函数1.4.1-1.4.2单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义课件
-5-
4.1 单位圆与任意角的正 弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性
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(2)定义 2. 利用角 α 终边上任意一点的坐标定义三角函数. 如图 ②, 设 α 是一个任意角, α 的终边上任意一点 P 的坐标是(x,y), 它与原 点的距离是 r(r= ������ 2 + ������ 2 > 0), 那么: ①比值 ������ 叫作������的正弦函数, 记作 sin ������, 即 sin ������ = ������ ; ②比值 ������ 叫作������的余弦函数, 记作 cos ������ , 即 cos ������ = ������ .
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2.任意角的正弦函数、余弦函数的定义
图① (1)定义1:如图①,在直角坐标系中,作以坐标原点为圆心的单位 圆,对于任意角α,使角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重 合,终边与单位圆交于唯一的点P(u,v),那么点P的纵坐标v定义为角 α的正弦函数,记作v=sin α;点P的横坐标u定义为角α的余弦函数,记 作u=cos α.
答案:C
1 1 3 3 D. − 2 2
11π 6
=(
)
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4.1 单位圆与任意角的正 弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性
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5.周期函数 (1)定义:一般地,对于函数f(x),如果存在非零实数T,对定义域内的 任意一个x值,都有f(x+T)=f(x),我们就把f(x)称为周期函数,T称为这 个函数的周期. (2)规定:对于周期函数来说,如果所有的周期中存在着一个最小 的正数,就称它为最小正周期.今后提到的函数的周期,如未特别指 明,一般都是指它的最小正周期. 名师点拨若函数y=f(x)是周期函数,T是一个周期,则(1)定义域中含 有无限个实数;(2)对定义域内的任意x,均有f(x+kT)=f(x),其中 k∈Z;(3)f(x)的图像每隔一个周期重复出现一次. (3)正弦函数和余弦函数的周期性 正弦函数和余弦函数都是周期函数,它们的最小正周期都是2π.
4.1 单位圆与任意角的正 弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性
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(2)定义 2. 利用角 α 终边上任意一点的坐标定义三角函数. 如图 ②, 设 α 是一个任意角, α 的终边上任意一点 P 的坐标是(x,y), 它与原 点的距离是 r(r= ������ 2 + ������ 2 > 0), 那么: ①比值 ������ 叫作������的正弦函数, 记作 sin ������, 即 sin ������ = ������ ; ②比值 ������ 叫作������的余弦函数, 记作 cos ������ , 即 cos ������ = ������ .
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2.任意角的正弦函数、余弦函数的定义
图① (1)定义1:如图①,在直角坐标系中,作以坐标原点为圆心的单位 圆,对于任意角α,使角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重 合,终边与单位圆交于唯一的点P(u,v),那么点P的纵坐标v定义为角 α的正弦函数,记作v=sin α;点P的横坐标u定义为角α的余弦函数,记 作u=cos α.
答案:C
1 1 3 3 D. − 2 2
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4.1 单位圆与任意角的正 弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性
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5.周期函数 (1)定义:一般地,对于函数f(x),如果存在非零实数T,对定义域内的 任意一个x值,都有f(x+T)=f(x),我们就把f(x)称为周期函数,T称为这 个函数的周期. (2)规定:对于周期函数来说,如果所有的周期中存在着一个最小 的正数,就称它为最小正周期.今后提到的函数的周期,如未特别指 明,一般都是指它的最小正周期. 名师点拨若函数y=f(x)是周期函数,T是一个周期,则(1)定义域中含 有无限个实数;(2)对定义域内的任意x,均有f(x+kT)=f(x),其中 k∈Z;(3)f(x)的图像每隔一个周期重复出现一次. (3)正弦函数和余弦函数的周期性 正弦函数和余弦函数都是周期函数,它们的最小正周期都是2π.
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解•析B：．当角有的的终边角落正在Y弦轴上线时、，正余切线弦不线存在和，正故
选切D. 线都不存在 ppt精选
11
预习测评
• 2．如果 MP 和 OM 分 7别8 是
D
角 A .M P O M 0 的正B .弦O M 线0 和M 余P弦 线，C .那O M 么M 下P 列0结D 论. M 中P 正0 确O M 的
y
tanAT
α
M A(1,ห้องสมุดไป่ตู้)
O
x
PT
(Ⅳ)
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α的终边
9
自主探究
4.当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的几何含
义如何？
y
P
P
Ox
当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点； 当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在.
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预习测评
•1．对三角函数线，下列说D法正确 的是( ) •A．对任何角都能作出正弦线、 余弦线和正切线
2．有向线段的概念：____带___有__方___向___的线段称为有向线段．
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4
自学导引
3.设任意角α 的顶点在原点 ，始边与 轴非负半轴重合 ，终边与单位圆相交与点P ，过P 作 X轴的垂线 ，垂 足为M ；过点 A（1，0）作 单位圆的切线，它与角 的α终边或其反向延长线交与点 T. 当角α 的终边不在坐标轴上时，我们就分别称有向线 段 MP、OM、AT 为正弦线、余弦线、正切线，统称 为三角函数线.
与 O P 的 反 向 延 长 线 交 于 T 点 ， 则
2 3 的 正 弦 线 为 M P , 余 p弦 pt精选线 为 O M ,正 切 线 为 A T 21
点评：根据三角函数线的定义作出三角函数线，有向线 段 MP、OM、AT为正弦线、余弦线、正切线.关键是作 出各个点，O点为坐标原点，点A(1,0)为单位圆与X正半 轴的交点，点P为任意角α 的终边与单位圆的交点P(x,y) ，过P作X 轴的垂线 ，垂足为M ；过点A(1,0)作 单位圆 的切线，它与角α 的终边或其反向延长线交与点T .
23
题型二 利用三角函数线比较函数值的大小
例2.利用三角函数线比较三角函数值的大小
(1) s i n 5 与 s i n 7 (2) c o s 5 与 c o s 7(3) t a n 5 与 t a n 7
46
46
46
y
解：
T1
M2 M1
P2
o
T2
Ax
(1)
sin5
4
sin7
6
(2) cos5 cos7
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要点阐释
3.三角函数线的正负： 三条有向线段与 Y轴或X 轴同向的为正值，与 Y轴或 X 轴反向的为负值.
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17
要点阐释
• 4．正切线 • 正切线AT的作法：过定点A（ 1,0） 作单位圆的切线，它与角α 的终边或其反向延长线交与点T ． • 当角α 是第一p、pt精选四象限角时， 18
再比较两条余弦线的长度，故选B.
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要点阐释
• 1．单位圆的定义 • 圆心在坐标原点 ，半径等于 单位长度的圆叫做单位圆．
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要点阐释
2.三角函数线的位置： 正弦线为α 的终边与单位圆的交点到X 轴的垂直线段 ；余弦 线在X 轴上； 正切线在 过单位圆与 X轴正方向的交点的切线上， 三条有向线段中两条在单位 圆内，一条在单位圆外.
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5
自主探究
1.在初中，我们知道锐角三角函数可以看成线段 的比，那么，任意角的三角函数是否也可以看 成是线段的比呢？
不能，因为任意角的三角函数有正负.
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自主探究
2.在三角函数定义中，是否可以在角 α的终边上 取一个特殊点使得三角函数值的表达式更为简 单？ 可以，特殊点取角α的终边与单位圆的交点.
(2 ) - 3 4
y
P
M
o
x
A
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T
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解 ： ( 1 ) 在 直 角 坐 标 系 中 作 单 位 圆 如 图 示
以 x 轴 的 正 半 轴 为 始 边 作 出 2 的 角 ，
3 其终边与单位圆交于P点，作PMx轴，
垂足为M，由单位圆与x轴的正半轴的交
点A作x轴的垂线,
s in 2 3 ＝ M P , c o s2 3 O M , t a n 2 3 A T
4
6
P1
(3) tan5 tan7
4
6
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点评：三角函数线是一个角的三角函数直观体现，从 三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是 三角函数值的绝对值．因此，比较两个三角函数值的大小，
解析：作出角 7 的正弦线和余弦线，根据
是图（形可知，M）P为正值8，OM为负值，故选D.
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预习测评
cos64, cos46
3．利用余弦线，比较
A.
cos64cosC4 . 6
的大小关系为（ ）.
B
B.
D. 无法比较
cos64=cos46
cos64cos46
解析：分别作出两个角的余弦线，方向都是正方向，
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1．角α（0<α<2π）的正、余弦线的长 度相等，且正、余弦符号相异．那么α的
值为（ ）
A．
B．
C．
DD． 或
3
7
7 3
4
4
4
4
4
解析：角α（0<α<2π）的正、余弦线的长度相等,可
知角α终边为象限角平分线，再根据正、余弦符号相
异可得角α终边为第二、四象限角平分线，故选D.
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要点阐释
5.根据三角函数线比较三角函数值的大小 根据三角函数线比较三角函数值的大小，一般先根据有向线 段的方向判断正负，再比较有向线段的长度.有向线段与坐标轴方
向同向的为正值，反向的为负值.
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典例剖析 题型一 作已知角的三角函数线
例1、分别作出下列角的正弦线、余弦线、正切线.
(1) 2 3
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7
自主探究
3.如何作正弦线、余弦线、正切线？
有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线
，余弦线，正切线.
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8
自主探究
α的终边 y P α
MO
x
A(1,0)
(Ⅱ)
M
P α的终边
T
y
T
α
x
O A(1,0)
(Ⅲ)
y α的终边 PT
α x sinMP
O M A(1,0)
(Ⅰ) cosOM
第一章 三角函数
§4.2 单位圆与周期性
ppt精选
2
学习要求
1．明确正弦线、余弦线、正切线的画法． 2．能够作出已知角α的正弦线、余弦线和正切线．
3. 能够利用三角函数线比较函数值的大小.
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3
自学导引
1．单位圆的定义：在直角坐标系中，我们称以为原__点___O___圆心 ，___单__位___长___度_为半径的圆为单位圆．