第一章第三节 古典概型—概率论与数理统计(李长青)

有 m1 m2 L mn 种不同方法.
乘法原理： 设完成 A 需要有 n 个步骤，
第 i 个步骤又包含 mi 种不同的方法，则完成过程 A 共 有 m1 m2 L mn 种不同的方法.
（1）排列数 从 n 个元素中取出 r 个进行排列：
有放回的重复排列数： 6 44 7r 个4 48 n n L n nr
(1)取到的两个球都是白球的概率;
(2)取到的两个球颜色相同的概率;
(3)取到的两个球中至少有一个是白球的概率. 解 先考虑有放回的情形，记 A = “ 取到的两个球都是白球” B = “ 取到的两个球都是红球” C = “ 取到的两个球中至少有一个是白球”
依古典概型概率计算公式有 （1）P(A) nA 4 4 4 n 66 9 (2) 首先 P(B) nB 2 2 1 n 66 9
不放回的选排列数： Anr n(n 1)(n 2)L (n r 1)
（2）组合数 从 n 个元素中选出 r 个的组合数：
Cnr
n
r
Anr r!
n(n 1)L (n r r!
1)
n! r!(n r)!
若 r1 r2 L rk n, 把 n 个不同的元素分成 k
个部分，第一部分 r1 个，第二部分 r2 个，… ，第 k
解 30个球平均分到三个盒子中，分法总数为
30! (10!10!10!).
记
A = “每盒恰有一个红球”
B = “3个红球放入同一个盒子”
（1）由组合记数公式可得
3! 27!
nA 9!9!9!
所以有
P(A) 3! 27! 30! 50 9!9!9! 10!10!10! 203
（2）由组合记数公式可得
由对称性知, Ω 中每个基本事件发生的可能性相同. 又 A1 {HTT,THT,TTH}，由此知 P(A1) 3 8.
(2) 由于 A2 {TTT}, 于是
P(A2 ) 1 P(A2 ) 11 8 7 8.
关于排列组合的计数原理
加法原理： 设完成过程A有n种不同方式， 若第i 种方式包含 mi 种不同方法，那么 完成过程 A 一共
nB
3 27! 7!10!10!
从而
P(B) 3 27!
30! 18
7!10!10! 10!10!10! 203
例4 一副扑克牌(52张)，从中任取13张，求至少有 一张“A”的概率。
解: 设A={任取的13张牌中至少一张“A”}，
并设Ai={任取的13张牌中恰有i张“A”}，i=1, 2, 3,
sin
,(
x,
)
于是
P( A) ( A) l sind
() 0 2
a 2l 2 a
由于最后的答案与 有关，因此不少人想利用它来 计算 的数值，其方法是投针 n 次，计算针与线相交
的次数 k ，再以频率值 k n 作为概率 p 的值代入上结
果，求得
2ln
ak
投针试验的历史资料
注： M 在 Ω 中均匀分布指的是: 点 M 必定落于Ω 中, 而且落在区域 A( Ω) 中的可能性大小仅与 A的度 量成正比, 而与 A 的位置与形状无关.
设 A 表示“掷点落在 A 内” 的事件，那么事件 A 的 概率为
P( A) ( A) ()
称此概率为几何概率 .
例5 (约会问题)甲、乙两人相约在某一段时间T内在 预定地点会面. 先到者等候另一人, 经过时间 t (t<T)后 即离去,求甲乙两人能会面的概率 (假定他们在T内任一 时刻到达预定点是等可能的) .
Lazzerini 1901 0.83 3408 1808 3.1415929
Reina 1925 0.5419 2520 859
3.1795
注：其中的线间距离 a 折算成 1
上述解决问题的思路：建立一个概率模型，它与某
些人们感兴趣的量----- 此处是数学常数 ----有关，然后
设计适当的随机试验，并通过这个试验的结果来确定这 些量。
现在，随机计算机技术的迅速发展，已按照上述思 路建立起一类新的方法，称为蒙特卡洛（Monte-Carlo） 方法，这种方法在数值计算、数学地质方面有着重要的 应用。
部分 rk 个. 不同的分法总数为
C C L r1 r2 n nr1
C rk nr1 r2 L rk1
n! r1 !r2 !L
rk !
例2 一口袋装有6个球, 其中4个白球、2个红球, 从 袋中取球两次, 每次随机地取一个. 考虑两种取球方式: (a)放回抽样, (b)不放回抽样. 试分别就上面两种情况求
第三节 等可能概型（古典概型）
一、等可能概型
定义4：设随机试验E满足如下条件: (1) 试验的样本空间只有有限个样本点，即
1,2,L n
(2) 每个样本点的发生是等可能的，即
P(1 ) P(2 ) P(n )
则称试验为古典概型，也称为等可能概型。
概率计算公式
P( A)
k n
A
中所含的基本事件数 基本事件总数
P(A) nA 43 2 n 65 5
P(B) nB 21 1 n 65 15
P(AU B) P(A) P(B) 2 1 7 5 15 15
P(C) P(B) 1 P(B) 14 15
例3 袋中装有30个球, 其中白球27个, 红球3个.现将 球取出, 随机地放入三个盒子中,每盒10个, 求 (1) 每盒恰有一个红球的概率; (2) 3个红球放入同一个盒子的概率.
例1 将一枚均匀硬币抛掷三次.
(1) 设事件 A1 为“恰有一次出现正面”, 求 P(A1); (2) 设事件A2 为“至少有一次出现正面”, 求 P(A2). 解 (1) 记 H 表示出现正面, T 表示出现反面, 则样
本空间可表示为
{HHH, HHT, HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT}
P( A) 1 P( A) 1 C4183 0.696 C5123
二、几何概率
定义 设Ω是一个几何体(它可以是一维、二维、三
维或者任意 n 维的)且具有有限的度量(对一维情形是区 间长度, 二维情形是面积, 三维情形是体积等). 向 Ω中投 掷一质点 M , 如果 M 在 Ω 中均匀分布,则称该随机试验 是几何型的.
又因为
“取到的两个球颜色相同” A U B, 且 AB .
从而
P(AU B) P(A) P(B) 4 1 5 99 9
(3) 因为 “取到的两个球中至少有一个是白球”的对立事件是 “取到的两个球没有一个是白球”
因此有 C B, 从而 P(C) P(B) 1 P(B) 8 9
不放回的情形与上述计算类似，其结果为
解：设甲乙两人在时间T内到达预定点的时刻 分别为x和y,则它们可以取[0,T ]内的任一值,
即0 x T , 0 y T , 而两人会面的充要条件是
xy t
每一个 x 和每一个 y 便构成平面 T
上的一个点 ( x, y ),
它就是一个基本结果. 因此， t
样本空间为
T
O
t
{(x, y) 0 x T,0 y T}
A
4
A1
A2
A3
A4 ,
且
A1, A2 , A3, A4
两两互斥，
又
P( Ai
)
C4i C4183i C5123
i 1,2,3,4
4
4
因此P( A) P( Ai )
i 1
i 1
C4i C4183 i C5123
0.696
换一种方法来计算这一概率：
从而
P( A)
C13 48
C13 52
实验者 年份 针长 投掷次数 相交次数 的实验值
Wolf 1850 0.8 5000 2532 3.1596
Smith 1855 0.6 3204 1218.5 3.1554
De Morgan,C. 1860 1.0
600
382.5 3.137
Fox
1884 0.75 1030 489
3.1595
解： 以M 表示落下后针的中点，x 表示 M 与最近一
平行线的距离， 表示针与此线的夹角.
0 x a ,0
2
决定了xo平面上一矩形区域, 这就是样本空间. 针与平行线相交的充要条件为 x l sin
2
M x
ax
2
x l sin 2
将针与平行线相交这一事件记为A
A
( x,
)
x
l 2
设 A 表示事件 “ 甲乙两人能够会面 ”，则
A {(x, y) x y t, 0 x T , 0 y T}
于是
P(A)
( A)
T2
T
t 2wk.baidu.com
1 (1
t
)2
()
T2
T
例6 蒲丰(Buffon)投针问题. 平面上画有等距离为 a 的一些平行线，向平面上任意投一长为l(l<a)的针, 试求针与平行线相交的概率.