24离散时间线性非时变系统与差分方程

n
x[n]T{[k-n]}
n
x[n]h[k-n]
n
x[k]*h[k]
y[k]x[k]h[k]
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当任意输入x(n)用前式表示时，则系统输出为 因为系统是线性非移变的，所以
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通常把上式称为离散卷积或线性卷积。 这一关系常用符号“*”表示：
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二、离散卷积满足以下运算规律：
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例 y(n)＝T[x(n)]=5x(n)+3所表示的系统不是线性系统。
计算T[ax1(n)+bx2(n)]=5[ax1(n)+bx2(n)]+3， 而ay1(n)+by2(n)＝5ax1(n)+5bx2(n)+3(a+b)
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• (2) 系统的非移变特性
时不变(Time-Invatiance)
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(5)对于(n-6)>4，即n>10时：
x
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综合以上结果，y(n)可归纳如下：
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卷积结果y(n)如图2. 16所示
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三.系统的稳定性与因果性
• (1) 稳定性 对于一个系统，当输入序列是有界时， 其输出也是有界的，则称它是稳定系统。用
由于
T{x[k-n]}= x[Mk-n]
x[Mk-n] y[k-n] 故系统是时变的。
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56
x1[k] 3 4
2
1
k
-1 0 1 2 3 4 5
5
3
y1[k]x1[2k]
1
k
-1 0 1 2 3 4 5
6
x2[k]x1[k-13] 4 5
2
1
k
-1 0 1 2 3 4 5 56
x3[k]x1[k-2]3 4
与
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的线性卷积。
计算线性卷积时，一般要分几个区间分别 加以考虑，下面举例说明。
例 已知x(n)和h(n)分别为：
和
试求x(n)和h(n)的线性卷积。
解 参看图2. 15，分段考虑如下：
(1)对于n<0：
(2)对于0≤n≤4：
(3)对于n>4，且n-6≤0，即4<n≤6时：
(4)对于n>6，且n-6≤4，即6<n≤10时：
– 一.离散线性非移变系统及卷积运算
(1) 系统的线性特性
满足叠加原理的系统具有线性特性，
即若对两个激励x1(n)和x2(n)有 T [ a 1 ( n ) x b 2 ( n ) x a ][ x 1 ( n T ) b ][ x 2 ( T n )]
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注意： 齐次性 叠加性
例: 设一系统的输入输出关系为 y[k]=x2[k] 试判断系统是否为线性？ 解：输入信号x [k]产生的输出信号T{x [k]}为
T{x [k]}=x2[k] 输入信号ax [k]产生的输出信号T{ax [k]}为
T{ax [k]}= a2x2[k] 除了a=0,1情况，T{ax [k]} aT{x [k]}。故系统 不满足线性系统的的定义，所以系统是非线 性系统。
如果 则
｜x(n)｜＜∞对于一切n ｜y(n)｜＜∞对于一切n
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• 因为
y(n) h(k)x(n-k)
k-
h(k)x(n-k)M h(k)
k-
k-
• 其中假设｜x(n)｜≤M。
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2．因果性
• 一个系统如果其输出变化不会发生在 输入变化之前，则称它是因果的。这就是 说对于因果系统，如果取n0 ,当n< n0时， x1(n) = x2(n),则n< n0时，y1(n)=y2(n)。一个 线性非移变系统当n<0时的因果充要条件是 其单位取样响应等于零,即
单位取 图2-24 线性非移变系统模型 样响应
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单位脉冲（取样）响应 （Impulse response）
定义： h[k]T{[k]}
例：累加器:
Βιβλιοθήκη Baidu
k
y[k] x[n] n-
h[k]u[k]
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LTI系统对任意输入的响应
T {x[k]} T { x[n][k-n]}
2.4离散时间线性非时变系统与 差分方程
– 离散系统的定义 离散系统在数学上定义为将输入序列x(n) 映射成输出序列y(n)的惟一性变换或运算 。亦即将一个序列变换成另一个序列的系 统
y(n)=T［x(n)］
通常将上式表示成图2-20所示的框图。
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图2-20 离散系统的模型
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例： 证明y(n)＝T[x(n)]＝nx(n)不是非移变系统。
计算：
T[x(n-k)]=nx(n-k)，而y(n-k)=(n-k)x(n-k)。
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例: 已知抽取器的输入和输出关系为
y[k]=x[Mk] 试判断系统是否为时不变的？
解：输入信号x[k]产生的输出信号y[k]为
y[k]=T{ x[k]}= x[Mk] 输入信号x[k-n]产生的输出信号T{x[k-n]}为
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离散卷积的计算
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▪计算卷积的步骤如下： (1)折叠：先在哑变量坐标轴k上画出x(k)和h(k)，将
h(k)以纵坐标为对称轴折叠成 h(-k)。 (2)移位：将h(-k)移位n，得h(n-k)。当n为正数时，
右移n；当n为负数时，左移n。 (3)相乘：将h(n-k)和x(k)的对应取样值相乘。 (4)相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。 上图为：
2 1
k
-1 0 1 2 3 4 5
6 4
2
y2[k]x2[2k] k
-1 0 1 2 3 4 5 5
3
1
y3[k]x3[2k]
-1 0 1 2 3 4
k
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抽取器时变特性的图示说明
(3) 线性非移变系统：
•线性时不变系统，简称为：LTI
线性非移变系统就是既满足迭加原理 又具有非移变特性的系统，将其描绘 如图2-24所示。
• 系统的非移变是指系统的参数不随时间而
T［x(n－n0)］=y(n－n0)
• 即不管输入信号作用的时间先后，输出信号 响应的形状均相同，仅是出现的时间不同， 如图2-22 所示。
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图2-22 离散系统的非移变特性
在n表示离散时间的情况下，“非移变” 特性就是“非时变”特性。
(1)交换律
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(2)结合律
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(3)分配律
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(4) 线性卷积（离散卷积）
• 计算线性卷积有4 • ① 利用两个序列的解析式直接计算。 • ② 利用两个序列的移位求和，即先把一 个序列倒置。每次将它向下移一步，求出两 序列重叠部分乘积之和。 • ③ 用作图法求。 • ④ 卷积的Matlab实现