高考数学一轮总复习 第五章 数列 第三节 等比数列课件 文
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第五章 数 列
第三节 等比数列
(1)(2015·湖南卷)设 Sn 为等比数列{ɑn}的前 n 项和．若 ɑ1＝1，且 3S1，2S2，S3 成等差数列，则 ɑn＝________．
(2)(2015·安徽卷)已知数列{ɑn}是递增的等比数列，ɑ1＋ɑ4＝9，ɑ2 ɑ3＝8，则数列{ɑn}的前 n 项和等于________．
(1)(2016·郑州一检)已知数列{ɑn}是等比数列，若 ɑ1＝32，ɑ4＝6， 则 ɑ10＝________．
解析：由ɑ4＝ɑ1q3 可得 q3＝4，所以ɑ10＝ɑ4·q6＝ɑ4(q3)2＝6×42 ＝96.
答案：96
3ɑn＋1.
(2014·课标全国Ⅱ卷)已知数列{ɑn}满足 ɑ1＝1，ɑn＋1＝
ɑ3ɑ5＝4(ɑ4－1)，则 ɑ2＝( )
A．2
B．1
1
1
Baidu NhomakorabeaC.2
D.8
(2)(2014·广东卷)等比数列{ɑn}的各项均为正数，且 ɑ1ɑ5＝4，则 log2ɑ1＋log2ɑ2＋log2ɑ3＋log2ɑ4＋log2ɑ5＝________．
解：(1)法一 根据等比数列的性质，结合已知条件求出ɑ4，q 后 求解．
ɑ1＝8， q＝12 .
又{ɑn}为递增数列，∴ɑq1＝＝21，，∴Sn＝11－－22n＝2n－1. 答案：(1)3n－1 (2)2n－1
1．等比数列的通项公式与前 n 项和公式共涉及五个量ɑ1，n，q， ɑn，Sn，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．
2．在使用等比数列的前 n 项和公式时，应根据公比 q 的情况进 行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算．
已知数列{ɑn}的前 n 项和为 Sn，数列{bn}中，b1＝ɑ1，bn＝ɑn－ɑn －1(n≥2)，且 ɑn＋Sn＝n.
(1)设 cn＝ɑn－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{bn}的通项公式． 证明：(1)∵ɑn＋Sn＝n，① ∴ɑn＋1＋Sn＋1＝n＋1，②
②－①得ɑn＋1－ɑn＋ɑn＋1＝1，即 2ɑn＋1＝ɑn＋1， ∴2(ɑn＋1－1)＝ɑn－1，即 2cn＋1＝cn. 由ɑ1＋S1＝1 得ɑ1＝12，∴c1＝ɑ1－1＝－12， 从而 cn≠0，∴ccn＋n 1＝12. 所以数列{cn}是以－12为首项，12为公比的等比数列．
1．在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用 性质，特别是性质“若 m＋n＝p＋q，则ɑm·ɑn＝ɑp·ɑq”，可以减少 运算量，提高解题速度，如本例(2)．
2．等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是 等比中项的变形，三是前 n 项和公式的变形．根据题目条件，认真 分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
解析：(1)因为 3S1，2S2，S3 成等差数列，所以 4S2＝3S1＋S3， 即 4(ɑ1＋ɑ2)＝3ɑ1＋ɑ1＋ɑ2＋ɑ3.化简，得ɑɑ32＝3，即等比数列{ɑn}的公 比 q＝3，故ɑn＝1×3n－1＝3n－1.
(2)设等比数列的公比为 q，则有ɑɑ211·＋ɑq13q＝3＝8，9，解得qɑ1＝＝21，或
∵ɑ3ɑ5＝ɑ24，ɑ3ɑ5＝4(ɑ4－1)，∴ɑ24＝4(ɑ4－1)， ∴ɑ24－4ɑ4＋4＝0，∴ɑ4＝2.又∵q3＝ɑɑ41＝21＝8，
4
∴q＝2，∴ɑ2＝ɑ1q＝14×2＝12.
法二 ∵ɑ3ɑ5＝4(ɑ4－1)，∴ɑ1q2·ɑ1q4＝4(ɑ1q3－1)， 将ɑ1＝41代入上式并整理，得 q6－16q3＋64＝0，解得 q＝2. ∴ɑ2＝ɑ1q＝21. (2)log2ɑ1＋log2ɑ2＋log2ɑ3＋log2ɑ4＋log2ɑ5 ＝log2(ɑ1ɑ2ɑ3ɑ4ɑ5)＝log2ɑ53＝5log2ɑ3 ＝5log2 ɑ1ɑ5＝5log22＝5. 答案：(1)C (2)5
等比数列的判定方法 (1)定义法：若ɑɑn＋n1＝q(q 为非零常数，n∈N*)，则{ɑn}是等比数 列． (2)等比中项法：若数列{ɑn}中，ɑn≠0 且ɑ2n＋1＝ɑn·ɑn＋2(n∈N*)， 则数列{ɑn}是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成ɑn＝c·qn(c，q 均是不为 0 的常数，n∈N*)，则{ɑn}是等比数列．
(2)解：由(1)知 cn＝－12×12n－1＝－12n， 又 cn＝ɑn－1，∴ɑn＝cn＋1＝1－12n， ∴当 n≥2 时，bn＝ɑn－ɑn－1 ＝1－12n－1－12n－1＝12n. 又 b1＝ɑ1＝12，适合上式，故 bn＝12n.
(1)(2015·课标全国Ⅱ卷)已知等比数列{ɑn}满足 ɑ1＝14，
(1)证明ɑn＋12是等比数列，并求{ɑn}的通项公式；
(2)证明ɑ11＋ɑ12＋…＋ɑ1n＜32.
证明：(1)由ɑn＋1＝3ɑn＋1 得ɑn＋1＋21＝3an＋12.
又ɑ1＋21＝32，
所以ɑn＋12是首项为32，公比为 3 的等比数列．
ɑn＋12＝32n，因此{ɑn}的通项公式为ɑn＝3n－2 1. (2)由(1)知ɑ1n＝3n－2 1. 因为当 n≥1 时，3n－1≥2×3n－1， 所以3n－1 1≤2×13n－1. 于是ɑ11＋ɑ12＋…＋ɑ1n≤1＋13＋…＋3n1－1 ＝321－31n＜32.所以ɑ11＋ɑ12＋…＋ɑ1n＜32.
第三节 等比数列
(1)(2015·湖南卷)设 Sn 为等比数列{ɑn}的前 n 项和．若 ɑ1＝1，且 3S1，2S2，S3 成等差数列，则 ɑn＝________．
(2)(2015·安徽卷)已知数列{ɑn}是递增的等比数列，ɑ1＋ɑ4＝9，ɑ2 ɑ3＝8，则数列{ɑn}的前 n 项和等于________．
(1)(2016·郑州一检)已知数列{ɑn}是等比数列，若 ɑ1＝32，ɑ4＝6， 则 ɑ10＝________．
解析：由ɑ4＝ɑ1q3 可得 q3＝4，所以ɑ10＝ɑ4·q6＝ɑ4(q3)2＝6×42 ＝96.
答案：96
3ɑn＋1.
(2014·课标全国Ⅱ卷)已知数列{ɑn}满足 ɑ1＝1，ɑn＋1＝
ɑ3ɑ5＝4(ɑ4－1)，则 ɑ2＝( )
A．2
B．1
1
1
Baidu NhomakorabeaC.2
D.8
(2)(2014·广东卷)等比数列{ɑn}的各项均为正数，且 ɑ1ɑ5＝4，则 log2ɑ1＋log2ɑ2＋log2ɑ3＋log2ɑ4＋log2ɑ5＝________．
解：(1)法一 根据等比数列的性质，结合已知条件求出ɑ4，q 后 求解．
ɑ1＝8， q＝12 .
又{ɑn}为递增数列，∴ɑq1＝＝21，，∴Sn＝11－－22n＝2n－1. 答案：(1)3n－1 (2)2n－1
1．等比数列的通项公式与前 n 项和公式共涉及五个量ɑ1，n，q， ɑn，Sn，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．
2．在使用等比数列的前 n 项和公式时，应根据公比 q 的情况进 行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算．
已知数列{ɑn}的前 n 项和为 Sn，数列{bn}中，b1＝ɑ1，bn＝ɑn－ɑn －1(n≥2)，且 ɑn＋Sn＝n.
(1)设 cn＝ɑn－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{bn}的通项公式． 证明：(1)∵ɑn＋Sn＝n，① ∴ɑn＋1＋Sn＋1＝n＋1，②
②－①得ɑn＋1－ɑn＋ɑn＋1＝1，即 2ɑn＋1＝ɑn＋1， ∴2(ɑn＋1－1)＝ɑn－1，即 2cn＋1＝cn. 由ɑ1＋S1＝1 得ɑ1＝12，∴c1＝ɑ1－1＝－12， 从而 cn≠0，∴ccn＋n 1＝12. 所以数列{cn}是以－12为首项，12为公比的等比数列．
1．在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用 性质，特别是性质“若 m＋n＝p＋q，则ɑm·ɑn＝ɑp·ɑq”，可以减少 运算量，提高解题速度，如本例(2)．
2．等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是 等比中项的变形，三是前 n 项和公式的变形．根据题目条件，认真 分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
解析：(1)因为 3S1，2S2，S3 成等差数列，所以 4S2＝3S1＋S3， 即 4(ɑ1＋ɑ2)＝3ɑ1＋ɑ1＋ɑ2＋ɑ3.化简，得ɑɑ32＝3，即等比数列{ɑn}的公 比 q＝3，故ɑn＝1×3n－1＝3n－1.
(2)设等比数列的公比为 q，则有ɑɑ211·＋ɑq13q＝3＝8，9，解得qɑ1＝＝21，或
∵ɑ3ɑ5＝ɑ24，ɑ3ɑ5＝4(ɑ4－1)，∴ɑ24＝4(ɑ4－1)， ∴ɑ24－4ɑ4＋4＝0，∴ɑ4＝2.又∵q3＝ɑɑ41＝21＝8，
4
∴q＝2，∴ɑ2＝ɑ1q＝14×2＝12.
法二 ∵ɑ3ɑ5＝4(ɑ4－1)，∴ɑ1q2·ɑ1q4＝4(ɑ1q3－1)， 将ɑ1＝41代入上式并整理，得 q6－16q3＋64＝0，解得 q＝2. ∴ɑ2＝ɑ1q＝21. (2)log2ɑ1＋log2ɑ2＋log2ɑ3＋log2ɑ4＋log2ɑ5 ＝log2(ɑ1ɑ2ɑ3ɑ4ɑ5)＝log2ɑ53＝5log2ɑ3 ＝5log2 ɑ1ɑ5＝5log22＝5. 答案：(1)C (2)5
等比数列的判定方法 (1)定义法：若ɑɑn＋n1＝q(q 为非零常数，n∈N*)，则{ɑn}是等比数 列． (2)等比中项法：若数列{ɑn}中，ɑn≠0 且ɑ2n＋1＝ɑn·ɑn＋2(n∈N*)， 则数列{ɑn}是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成ɑn＝c·qn(c，q 均是不为 0 的常数，n∈N*)，则{ɑn}是等比数列．
(2)解：由(1)知 cn＝－12×12n－1＝－12n， 又 cn＝ɑn－1，∴ɑn＝cn＋1＝1－12n， ∴当 n≥2 时，bn＝ɑn－ɑn－1 ＝1－12n－1－12n－1＝12n. 又 b1＝ɑ1＝12，适合上式，故 bn＝12n.
(1)(2015·课标全国Ⅱ卷)已知等比数列{ɑn}满足 ɑ1＝14，
(1)证明ɑn＋12是等比数列，并求{ɑn}的通项公式；
(2)证明ɑ11＋ɑ12＋…＋ɑ1n＜32.
证明：(1)由ɑn＋1＝3ɑn＋1 得ɑn＋1＋21＝3an＋12.
又ɑ1＋21＝32，
所以ɑn＋12是首项为32，公比为 3 的等比数列．
ɑn＋12＝32n，因此{ɑn}的通项公式为ɑn＝3n－2 1. (2)由(1)知ɑ1n＝3n－2 1. 因为当 n≥1 时，3n－1≥2×3n－1， 所以3n－1 1≤2×13n－1. 于是ɑ11＋ɑ12＋…＋ɑ1n≤1＋13＋…＋3n1－1 ＝321－31n＜32.所以ɑ11＋ɑ12＋…＋ɑ1n＜32.