B样条曲线与曲面..
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
四、B 样条曲线与曲面
Bezier 曲线具有很多优越性，但有二点不足：
1）特征多边形顶点数决定了它的阶次数，当n 较大时，不仅计算量增大，稳定性降低，且控制顶点对曲线的形状控制减弱；
2）不具有局部性，即修改一控制点对曲线产生全局性影响。
1972年Gordon 等用B 样条基代替Bernstein 基函数，从而改进上述缺点。 Ｂ样条曲线的数学表达式为：
∑=+⋅=
n
k n k k
i n i u N P
u P 0
,,)
()(
在上式中，0 ≤ u ≤ 1； i= 0, 1, 2, …, m 所以可以看出：Ｂ样条曲线是分段定义的。如果给定 m+n+1 个顶点 Pi ( i=0, 1, 2,…, m+n)，则可定义 m+1 段 n 次的参数曲线。
在以上表达式中：
N k,n (u) 为 n 次B 样条基函数，也称Ｂ样条分段混合函数。其表达式为：
∑
-=+--+⋅⋅-=k
n j n
j n j n k j k n u C n u N 0
1,)()1(!1)(
式中：0 ≤ u ≤1
k = 0, 1, 2, …, n
1．均匀B 样条曲线
1
一次均匀B 样条曲线的矩阵表示
空间n+1个顶点
i P （i = 0，1，…，n ）定义n 段一次（k ＝0,1，n=1）均匀B 样条曲线，即每
相邻两个点可构造一曲线段P i （u ），其定义表达为：
[]10 ;,...,1 0111 1)(1≤≤=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-u n i u u P i i i P P
＝（1－u ）P i －1 ＋ u P i
＝ N 0，1（u ）P i －1 ＋ N 1，1（u ）P i
第i 段曲线端点位置矢量：i i i i P P P P ==-)1(
,)0(1，且一次均匀B 样条曲线就是控制多边形。
2 二次均匀B 样条曲线的
空间n+1个顶点的位置矢量
i P （i=0，1，…，n ）定义n －1段二次（k ＝0,1,2， n=2）均匀
B 样条曲线，每相邻三个点可构造一曲线段P i （u ）（i=1，…，n －1），其定义表达为：
[
]
10 ;1,...,1 011022121 12
1)(112
≤≤-=⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=
+-u n i u u u P i i i i P P P
＝ !21（1 － 2 u ＋ u 2）P i －1 ＋ !21（1 ＋ 2 u － 2u 2）P i ＋ !21
u 2 P i ＋1
＝ N 0，2（u ）P i －1 ＋ N 1，2（u ）P i ＋ N 2，2（u ）P i ＋1
端点位置矢量：
)(5.0)0(1i i i P P P +=-，)(5.0)1(
1++=i i i P P P ，即曲线的起点和终点分别位于控制多边形P i-1P i 和P i P i+1的中点。若1-i P 、i P 、1+i P 三个顶点位于同一条直线上，)(u P i 蜕
化成
1-i P i P 1+i P 直线边上的一段直线。
端点一阶导数矢量：
1
)0(--=i i i P P P ，
i i i P P P -=+1)1(
，i i i P P P -='+1)0(，12)1(++-='i i i P P P ，即曲线的起点切矢和终点切矢分别和二边重合，且相邻两曲线段在节点处
具有一阶导数连续。
二阶导数矢量：
)
()1(2)0(11t P P P i i i i i i ''=''=+-=''+-P P P ，即曲线段内任何点
处二阶导数相等，且相邻两曲线段在节点处二阶导数不连续。
3
三次均匀B 样条曲线
空间n+1个顶点的位置矢量
i P （i=0，1，
。。。，n ）构造n －2段三次（k ＝0,1,2,3，四阶n=3）
均匀B 样条曲线段，每相邻四个点可定义一曲线段P i （u ）（i=1，。。。，n －2），其定义表达为：
[
]
10 ;2,...,1 0141
030303631331 16
1)(2112
3
≤≤-=⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡----=
++-u n i u u u u P i i i i i P P P P
＝ !31（1－u ）3 P i －1＋!31（4－6u 2＋3u 3）P i ＋!31（1＋3u ＋3u 2－3u 3）P i ＋1＋!31
u 3
P i ＋2
＝ N 0，3（u ）P i －1 ＋ N 1，3（u ）P i ＋ N 2，3（u ）P i ＋1＋ N 3，3（u ）P i ＋2
端点位置矢量：)4(61)0(11+-++=i i i i P P P P ，)
4(61)1(21++++=i i i i P P P P ，即起点位于
三角形∆P i-1P i P i+1中线P i M 1的1/3处，终点位于三角形∆P i P i ＋1P i+2中线P i ＋1M 2的1/3处。可见B 样条曲线的端点并不通过控制点。
端点一阶导数矢量：
2/)()0(11-+-='i i i P P P ，)0(2/)()1(12++'=-='i i i i P P P P ，即曲线起
点的切矢平行于∆P i-1P i P i+1的底边P i-1P i+1，其模长为底边P i-1P i+1长的1/2，同样曲线终点的切矢平行于∆P i P i+1P i+2的底边P i P i+2，其模长也为底边P i P i+2长的1/2。且相邻两曲线段具有一阶导数连续
（因)0()1(1'
='+i i P P ）。