B样条曲线与曲面..
B样条曲线曲面1
ε
d = f ( x0 , x1 , x2 , x) dx
3.3 B样条的递推定义
de Boor-Cox递推定义
⎧1 xi < x < xi +1 Bi , 0 ( x) = ⎨ ⎩0 Otherwise
Bi ,k ( x) = −x x − xi x Bi ,k −1 ( x) + i + k +1 Bi +1,k −1 ( x) xi + k − xi xi + k +1 − xi +1
由(3.11)： ( xi + 2 − x) + − ( xi +1 − x) + ( xi +1 − x) + − ( xi − x) + − xi + 2 − xi +1 xi +1 − xi M i ,1 ( x) = xi + 2 − xi 可得： M i ,1 ( x) = 0， M i ,1 ( x) = xi + 2 − x , ( xi + 2 − xi )( xi + 2 − xi +1 ) x > xi+2 x ∈ [ xi +1 , xi + 2 ]
(3.15)
并约定
0 =0 0
3.3.1 B样条基的推导 1. 0次B样条
⎧1 xi < x < xi +1 Bi , 0 ( x) = ⎨ ⎩0 Otherwise
称之,0 ( x) “移位”可得： B
⎧ x − xi ⎪ x −x ⎪ i +1 i ⎪ xi + 2 − x Bi ,1 ( x) = ⎨ ⎪ xi + 2 − xi +1 ⎪ ⎪ 0 ⎩ xi < x < xi +1 xi +1 < x < xi + 2 Otherwise
b样条曲线曲面
B样条曲线的性质具体分析
• 1. 局部支柱性 B样条曲线与Bezier曲线的主要差别在于它 们的基函数。Bezier曲线的基函数在整个参 数变化区间内，只有一个点或者两个点处 函数值为零。而B样条的基函数是一个分段 函数，在参数变化范围内，每个基函数在tk 到tk+m的子区间内函数值不为0，在其余区 间为0，这一重要的特征称为局部支柱性。
• B样条的局部支柱性对曲线和曲面的设计有 两个方面的影响：一是第k段曲线段（p（t） 在两个相邻节点值[tk，tk+1）（m－1≤k≤n） 上的曲线段）仅仅由m个控制顶点Pk－m＋ 1，Pk－m＋2，…Pk控制。若要修改该段 曲线，仅修改这m个控制顶点即可。二是修 改控制顶点Pk对B样条曲线的影响是局部的。 对于均匀m次B样条曲线，调整一个顶点Pk 的位置只影响B样条曲线p（t）在区间[tk， tk+m）的部分，即最多只影响与该顶点有 关的m段曲线。局部支柱性是B样条最具魅 力的性质。
由于Bk,m(t)的各项分母可能为0，所以这里规定 0/0=0。m是曲线的阶参数，（m－1）是B样条曲 线的次数，曲线在连接点处具有（m－2）阶连续 性。tk是节点值，T＝（t0，t1，…tn＋m）构成了 m－1次B样条函数的节点矢量，其中的节点是非减 序列，所生成的B样条曲线定义在从节点值tm－1 到节点值tn+1的区间上，而每个基函数定义在t的 取值范围内的tk到tk＋m的子区间上。从公式可以 看出，仅仅给定控制点和参数m不足以完全表达B 样条曲线，还需要给定节点矢量来获得基函数。
B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
方法一
第七章 B样条曲线曲面基本理论
重要
方法一
第七章 B样条曲线曲面基本理论
重要
方法一
第七章 B样条曲线曲面基本理论
重要
方法二
第七章 B样条曲线曲面基本理论
重要
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论 2次B样条基函数
第七章 B样条曲线曲面基本理论 3次B样条基函数
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
பைடு நூலகம்
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
Bezier实现高速列车外形
作业2：
第一部分 自由曲面设计理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
B样条曲线曲面
第二章三维形态基本建模方法第一节形体的空间定位及表示方法一、空间、物体和结构我们每天的生活发生在三维环境中，而且充满着三维物体，我们总是看到、感到三维。
当设计实体模型时，我们通常认为许多事情理所当然。
但在用计算机对三维场景模型化时，那么我们不得不熟悉大量的计算机软件工具，这些工具可用于模型化物体和环境。
在描述三维场景的三维模型化软件中使用的许多基本约定是基于各种行业中使用的传统约定。
例如，建筑师为了用一个简明的方法表达他们设计的空间，使用各种涉及测量、构图和定序的约定。
即使简单的矩形房间设计也要测量多次，以便于房间的所有构件放在被设计放置的地方。
此外，为了准确地按照设计师的图纸来建造，泥瓦工需要进行测量。
多年来泥瓦工和建筑师已形成约定，如何测量空间、建造物体、在结构中安装，它们的约定是精确、简洁的。
我们用类似的约定来描述用一个计算机程序模拟的三维空间中物体的尺寸、位置和次序。
让我们从定义空间或场景的边界开始三维空间的定义，最简单的方法是想象我们是在一个大立方体内工作。
可以将这个立方体当作我们的空间或环境。
在这个立方体中的物体是可见的，在其外部的物体是不可见的。
在这个空间中的主参考点称为主空间原点。
这个原点通常位于这个空间的中心。
根据模型需要和方案，该点也可放在或重新放在其他点上。
所有三维空间都有3个基本的维：宽度、高度和深度。
表达三维空间中这些维的普遍方法是使用箭头或轴。
通常用字母X表示标记三维空间宽度的轴；用Y表示标记三维空间高度的轴；用Z表示标记三维空间深度的轴。
这三个轴交叉的空间点就是主坐标原点。
直角坐标系可以用来定义三维空间中特定的位置，精确定位三维空间中物体的点。
René Descartes是一位18世纪法国的哲学家和数学家，他正式使用标记为X、Y、Z的3个轴表示三维空间中维的思想。
他推导出的坐标系称为笛卡尔坐标系，在该系统中每个轴被分成许多测量单位。
原理上，这些单位是抽象的值，它可表示不同的测量单位和维刻度。
08_B样条曲线曲面
1 2 F ( t ) ( 1 t ) 0, 2 2 将 代入 P ( t ) 1 2 F1, 2 ( t ) ( 2t 2t 1) 2 F (t ) 1 t 2 2, 2 2
重要
PF
为了使P(t)能过P(i)点，只要使
Pi ,Pi 1 ,Pi 2 重合
尖点也可通过三重节点的方法得到 Pi ,Pi 1 ,Pi 2 为了使曲线和某一直线L相切，只要取
位于L上及
ti 3
的重数不大于2。
三次B样条曲线的一些特例
节点矢量：分为三种类型：均匀的，准均匀/开放均匀的和 非均匀的；
P ( t ) Pi Fi ,n ( t )
n
t [0,1]
i 0,1,, n
叫做n次B样条曲线段。
i 0
P ( t ) Pi Fi ,n ( t )
i 0
n
t [0,1]
i 0,1,, n
1 n i j j n 其中： Fi ,n ( t ) ( 1 ) C ( t n i j ) n1 n! j 0
B样条（Spline）曲线
在实际应用中，以Bernstein基函数构造的Bezier曲线有 许多优越性，但同时也存在一些缺点，主要有两点不足 之处： （1）其一是Bezier曲线不能作局部修改，即改变某一个 控制点，对整个曲线都有影响； （2）其二是当n较大，控制点较多时，Bezier曲线使用 起来不方便，即对曲线的控制减弱。若使用分段三次 Bezier曲线代替n阶Bezier曲线，则对控制点必须附加某 些条件，拼接比较复杂，也不便于使用。其原因是调和 函数在（0，1）的整个区间内均不为零。
B样条曲面构建算法设计与实现
B样条曲面构建算法设计与实现B样条曲面是一种常用的曲面表示方法，具有较好的灵活性和平滑性，广泛应用于计算机图形学、计算机辅助设计和工业设计等领域。
B样条曲面构建算法设计与实现是其中的核心内容。
本文将简要介绍B样条曲线和曲面的基本原理，然后详细阐述B样条曲面构建算法的设计与实现。
1. B样条曲线与曲面的基本原理B样条曲线是一种由控制点和节点序列所确定的曲线，其特点是局部控制和局部变化。
B样条曲线的参数化表示为：C(u) = Σ Ni,n(u) Piu为参数，Ni,n(u)为B样条基函数，Pi为控制点。
B样条曲线的节点序列决定了曲线的形状，通常采用均匀节点序列或非均匀节点序列。
均匀节点序列是指节点之间的间隔相等，非均匀节点序列是指节点之间的间隔不等。
B样条曲面是由两个参数u和v确定的二维曲面，其参数化表示为：B样条曲面构建算法的设计主要包括节点序列的确定、控制点的确定和B样条基函数的计算。
（1）节点序列的确定节点序列的确定一般采用均匀节点序列或非均匀节点序列。
均匀节点序列的确定比较简单，只需根据控制点数量和阶数确定节点个数和间隔即可。
非均匀节点序列的确定需要根据曲线或曲面的需要来决定。
通常采用的方法是将控制点均匀分布在参数空间，并根据需要将节点向重心区域移动，以实现对曲线或曲面局部细节的调控。
控制点的确定需要根据实际需求来决定。
一般情况下，控制点的数量和位置会影响曲线或曲面的形状。
在进行控制点的确定时，可以根据需要先构造一条初步的曲线或曲面，然后通过调整控制点的位置和数量来达到期望的效果。
（3）B样条基函数的计算B样条基函数的计算是B样条曲线和曲面构建算法中的关键步骤。
B样条基函数的计算可以采用递归方法或矩阵方法。
递归方法是一种简单直观的计算方法，其基本思想是利用递归关系式来计算B样条基函数的值。
B样条曲面构建算法的实现主要分为离散算法和连续算法两种。
离散算法是将曲面离散化为网格，然后通过调整网格顶点的位置来实现对曲面形状的调控。
B样条曲线----曲线曲面
B样条曲线的适用范围
对于特征多边形的逼近性
二次B样条曲线优于三次B样条曲线 三次Bezier曲线优于二次Bezier曲线 •
相邻曲线段之间的连续性
二次B样条曲线只达到一阶导数连续 三次B样条曲线则达到二阶导数连续
•
角点的修改对曲线形状的影响
Bezier曲线：修改一个角点将影响整条曲线的形状。
• 贝塞尔曲面表达式如下：
n m
P(u,v)=∑ ∑bi,jBi,n(u)Bj,m(v)
i=0 j=0
0≤u,v≤1
• 贝塞尔曲面中应用最广泛的是双3次贝塞尔曲面， 它由给出的4*4个网格点唯一决定.
赤峰学院计算机系 计算机图形学 08-09第二学期
一般称 Pij为 P(u , v) 的控制顶点，把由 Pi 0 , Pi1 , , Pim (i 0,1, , n) 和 P0 j , P , Pnj( j 0,1, , m) 组成的网格 1j , 称为 P(u , v) 的控制网格，记为{Pij } ,如图9.15所示。
赤峰学院计算机系 计算机图形学 08-09第二学期
在以上表达式中： Fk,n( t )为n次B样条基函数，也称Ｂ 样条分段混合函数。其表达式为：
1 nk j j n Fk ,n (t ) (1) Cn1 (t n k j ) n! j 0
n! C 式中： ０≤t ≤ 1 r ! ( n r )! k = 0, 1, 2, …, n
Q1
Q0
P0
Q2
赤峰学院计算机系
计算机图形学
08-09第二学期
• 四角点共线
若要使B样条曲线段之间切接入一段直线，可运用四 角点共线的方法。 Q5 Q1 Q2 P0 P2 P3
第11-12讲 非均匀有理B样条曲线与曲面
上课内容
区间非零
次数p=2
顶点数n+1=4+1 M=n+p+1=4+2+1节点数m+1=8次数p=3
顶点数n+1=6+1
M=n+p+1=6+3+1
节点数m+1=11
9/17
11/17
例题:
三、NURBS 曲线形状的修改
（1）NURBS 曲线形状是由那些因素决定的？实际应用中，若要对NURBS 曲线作局部修改，一般可采取什么办法？
（2）如题图所示，由顶点V 0、V 1、V 2、V 3、V 4、V 5构造NURBS 曲线，改变顶点V 3所对应的权因子ω3得到的三条不同形状的曲线，B ，N ，B i 分别是ωi =0，ωi =1，ωi ≠{0,1}的对应曲线上的点。
1) 请写出ω3与点B ，N ，B i 及V 3四点之间的关系。
2) 定性分析ωi 对曲线形状的影响。
12/17圆锥曲线、圆弧及圆的NURBS 表示
CSF=ω2/ωω,
优弧、半圆可以利用重节点将两段、三段劣弧拼接组成。
内部重节点的一种给法：采用二重节点（端点仍为三重）
18/17。
空间结构蒙皮算法
空间结构蒙皮算法
空间结构蒙皮算法是计算机图形学中的一个概念，它用于将一个复杂的三维物体表面（通常是由三角形或其他多边形组成）用一个连续的、光滑的表面表示。
这种表面通常被称为“蒙皮”或“曲面”。
蒙皮算法有多种，其中一些常见的包括以下几种：
贝塞尔曲线/曲面蒙皮：贝塞尔曲线和曲面是一种通过控制点来定义的数学曲线和曲面。
通过调整控制点的位置，可以实现平滑的曲线和曲面，用于蒙皮复杂的物体。
B样条曲线/曲面蒙皮：B样条是一种数学曲线和曲面的表示方法，它也可以通过调整控制点来实现平滑的表面。
NURBS蒙皮：非均匀有理B样条（NURBS）是一种广泛用于计算机图形学和CAD的表示方法。
它可以用来创建平滑的曲线和曲面，同时支持有理控制点，使得可以更好地表示各种形状。
Marching Cubes算法：这是一种用于从体数据（通常
是医学影像数据等）中生成三维模型的算法。
它将体数据分割成小立方体，并根据立方体内外的数值来确定三角形的生成。
隐式曲面蒙皮：这种方法通过定义一个隐式函数来表示曲面，函数的零交叉点对应于曲面上的点。
这种方法在实现一些复杂的形状时非常有用。
细分曲面：这是一种逐步逼近的方法，通过细分原始的多边形来逐渐生成更加平滑的曲面。
这些蒙皮算法在计算机图形学和计算机辅助设计中都有广泛的应用，用于生成具有真实感和平滑外观的三维模型。
不同的算法适用于不同的应用场景和需求。
无序B样条曲线的曲面拟合算法
无序B样条曲线的曲面拟合算法1.引言-简要介绍无序B样条曲线-论述无序B样条曲线的曲面拟合问题-描述研究的主要问题和目标2. 相关研究-介绍曲面拟合算法的发展历程-论述其他曲面拟合算法的优缺点-简单介绍无序B样条曲线拟合算法的前置知识3.算法设计-描述无序B样条曲线的定义和性质-详细阐述无序B样条曲线的曲面拟合算法-主要包括控制点的选择、权重函数的设计和优化策略的实现4.实验与结果-利用自己实现的算法，对高维数据集进行实验-对比不同算法的效果，分析无序B样条曲线曲面拟合算法的优点和局限性-通过实例来展示算法的应用5.结论和展望-对论文进行总结，强调无序B样条曲线曲面拟合算法在实际应用中的重要性-提出进一步研究无序B样条曲线算法的方向和可能的改进方案第一章：引言无序B样条曲线是一种广泛应用于计算机图形学和计算几何领域中的数学工具。
与传统Bezier曲线相比，B样条曲线的控制点可以增删、移动，具有更强的灵活性和变形能力。
因此，B样条曲线被广泛应用于CAD设计、工程制图、物理仿真等领域。
曲面拟合是B样条曲线的一个重要应用，也是本文研究的主题。
曲面拟合的目标是根据给定的数据点集，构建一个能够尽可能地代表原始数据点的曲面模型。
通常，数据点集是从真实物体的点云数据中获得的，因此它们往往是不规则、噪声较大的。
曲面拟合算法的目标是以尽可能少的控制点构建合适的曲面模型，以逼近给定的点云数据。
B样条曲线的曲面拟合算法也分为有序B样条曲线拟合和无序B样条曲线拟合两种。
有序B样条曲线是指曲线上的控制点以固定顺序连接，控制点的顺序和其位置决定了曲线的形状和拟合精度。
而无序B样条曲线对控制点的顺序和位置没有限制，因此拟合出的曲线可以更好地与原始点云数据相匹配。
本文主要研究无序B样条曲线的曲面拟合算法，旨在解决无序B样条曲线拟合算法复杂性高、精度难以控制等问题，提升曲面拟合的效率和精度。
本论文内容包括5个章节。
第一章是引言，对无序B样条曲线的曲面拟合做了简要介绍。
B样条
1 Bi ,1 ( t ) = 0
ti Bi,2(t) ti+1 Bi,3(t) ti+1 ti+2 Bi+1,2(t) ti+2 Bi+1,3(t) ti+3 ti+4 ti+3 ti+4
t i <= t < t i +1 其他
1
B i（ = ， 2 t）
t − ti t −t Bi ,1 (t ) + i + 2 Bi +1,1 (t ) t i +1 − t i t i + 2 − t i +1
(ti , ti + k ) 上不为零，
所以曲线 P (t ) 在区间 (ti , ti +1 ) (k − 1 ≤ i ≤ n)
，
Pi 有关。 上的部分只与控制顶点 Pi −k +1 Pi −k + 2 反过来，如果只变动某一个控制顶点 Pi ( 0 ≤ i ≤ n) 曲线上只有局部形状发生变化，其他部分均 不发生变化。
，…，
P1 P4 P7
P2
P6
P′4 P0 P3
P5 P″4
图8-16 B样条曲线的局部支柱性
(2) 仿射不变性 B样条曲线和Bézier曲线一样，也具有仿射不 变性，即曲线 P (t ) 的形状和位置与坐标系的选择 无关。 (3) 分段参数多项式 P (t )在每一区间 [ti , ti +1 ](k-1≤i≤n)上都是次数不高 于k-1次的参数t的多项式曲线，所以 P (t ) 在 [tk −1 , tn +1 ] 上是关于参数t的分段多项式曲线。 (4)连续性 P (t ) 在L重节点 ti(k≤i≤n)处的连续阶不低于 k-1-L。整条曲线 P (t ) 的连续阶不低于 k − 1 − lmax ,其 中 lmax 表示位于区间 [tk −1 , tn+1 ]内节点的最大重数。
第7讲-B样条曲线曲面
...
⎥ ⎥
⎢ ⎢
B2
⎥ ⎥
⎥⎢
⎥
⎢ ⎢
P2
⎥ ⎥
⎢
⎥
⎢
...
⎢
⎥ ⎢ ... ⎥ = 6 ⎢ ... ⎥
⎥⎢
⎥⎢
⎥
⎢
...
⎥⎢
⎥⎢
⎥
⎢ ⎢
141
⎥ ⎥
⎢ ⎢
B
n−
2
⎥ ⎥
⎢ ⎢
Pn
−
2
⎥ ⎥
⎢
1 4 1 ⎥ ⎢ B n −1 ⎥
⎢ Pn −1 ⎥
⎢⎣
1
5 ⎥⎦
⎢ ⎣
Bn
⎥ ⎦
⎢ ⎣
Pn
⎥ ⎦
用追赶法解上式
B
n
−
2
⎥ ⎥
⎢ ⎢
Pn
−
2
⎥ ⎥
⎢
1 4 1 ⎥ ⎢ B n −1 ⎥
⎢ Pn −1 ⎥
⎢⎣
1 4 ⎥⎦ ⎢⎣ B n ⎥⎦
⎢⎣ P n ⎥⎦
B样条曲线的节点插入与升阶
节点插入
具有较高的理论价值，在曲线曲面设计中广泛使用，优点： 简单证明B样条曲线的变差缩减性； 改善B样条曲线的局部性质，提高曲线形状控制的潜在灵活性 求出曲线上的点； 生成曲线的Bezier点，得到B样条曲线的分段Bezier表示； 实现对曲线的分割； 生成曲面时，使不相同的节点矢量统一起来
用追赶法解上式，将结果带入（2）式中求出Bi （i=-1,0,1，…n+1)即可。
B. 自由端点条件
一般取
B −1 = B 0 B n +1 = B n
联立式（1）（4）构成三对角线型方程组
计算机形学曲线与曲面的生成与绘制算法
计算机形学曲线与曲面的生成与绘制算法计算机形学中的曲线与曲面生成与绘制算法是图形学领域中的关键技术之一。
利用算法可以生成各种各样的曲线与曲面，用于创建、编辑和渲染三维模型。
本文将介绍几种常见的曲线与曲面生成与绘制算法。
一、贝塞尔曲线与贝塞尔曲面算法贝塞尔曲线与贝塞尔曲面是计算机形学中最常用的曲线与曲面表示方法之一。
贝塞尔曲线与曲面基于一组控制点，通过调整这些控制点的位置和权重，可以生成平滑且可控制形状的曲线与曲面。
1. 贝塞尔曲线算法贝塞尔曲线算法通过使用插值多项式来定义曲线。
一阶贝塞尔曲线由两个控制点定义，而二阶贝塞尔曲线则需要三个控制点。
一般而言，n阶贝塞尔曲线需要n+1个控制点。
通过调整控制点的位置和权重，可以生成不同形状的贝塞尔曲线。
2. 贝塞尔曲面算法贝塞尔曲面算法是在二维情况下的推广，可以用于生成三维曲面。
类似于贝塞尔曲线，贝塞尔曲面也是通过在空间中插值来生成的。
通过调整控制点的位置和权重，可以创造出各种形状的曲面。
贝塞尔曲面常用于建模和渲染三维物体。
二、B样条曲线与曲面算法B样条曲线与曲面是另一种重要的曲线与曲面表示方法。
与贝塞尔曲线相比，B样条曲线具有更高的灵活性和平滑性。
B样条曲线通过使用基函数的加权和来定义曲线。
不同的基函数产生不同的曲线形状。
1. B样条曲线算法B样条曲线算法中，每个控制点都有一个与之关联的基函数，通过调整控制点的位置和权重，可以改变曲线的形状。
B样条曲线可以用于在三维空间中创建平滑的曲线，被广泛应用于计算机辅助设计和动画制作等领域。
2. B样条曲面算法B样条曲面算法是在二维情况下的推广，可以用于生成三维曲面。
B样条曲面通过在两个方向上使用基函数的加权和来定义曲面。
通过调整控制点的位置和权重，可以实现曲面的形状调整。
B样条曲面广泛应用于计算机辅助设计、虚拟现实和游戏开发等领域。
三、其他曲线与曲面生成与绘制算法除了贝塞尔曲线和B样条曲线，还存在其他一些曲线和曲面生成与绘制算法，如NURBS曲线与曲面算法、Catmull-Rom曲线与曲面算法等。
第7讲-B样条曲线曲面-NURBS曲线曲面
P(u, v)
i0 j0 mn
Pij Ri, p; j,q (u, v)
ij Ni, p (u)N j,q (v) i0 j0
i0 j0
u, v [0,1]
Ri, p; j,q (u, v)
m
ij Ni, p (u)N j,q (v)
n
rs Nr, p (u)Ns,q (v)
r0 s0
19
8
NURBS曲线曲面
B样条曲线、Bezier曲线都不能精确表示出抛物 线外的二次曲线，B样条曲面、Bezier曲面都 不能精确表示出抛物面外的二次曲面，而只能 给出近似表示。
提出NURBS方法，即非均匀有理B样条方法主要 是为了找到与描述自由型曲线曲面的B样条方 法既相统一、又能精确表示二次曲线弧与二次 曲面的数学方法。
n
i Pi Ni,k (t) nP(t) Fra biblioteki0 n
Pi Ri,k (t)
i Ni,k (t) i0
i0
Ri,k (t)
i Ni,k (t)
n
j N j,k (t)
j0
12
NURBS曲线---性质
Ri,k(t)具有k阶B样条基函数类似的性质：
局部支承性：Ri,k(t)=0，t[ti, ti+k]
P67-68
9
NURBS曲线曲面
NURBS方法的主要优点
既为标准解析形状(初等曲线曲面)，又为自由型曲线 曲面的精确表示与设计提供了一个公共的数学形式。
修改控制顶点和权因子，为各种形状设计提供了充分 的灵活性。
具有明显的几何解释和强有力的几何配套技术。 对几何变换和投影变换具有不变性。 非有理B样条、有理与非有理Bezier方法是其特例。
三次B样条曲线
所以，根据式：
P(t )
PB
i 0 i
n
i ,n
(t )
二次 Bezier 曲线的表达形式为：
P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t 2 P2 （０≤t ≤ 1)
根据 Bezier 曲线的总体性质，可讨 论二次 Bezier 曲线的性质： P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2 P2 P’(t)=2(t-1)P0+2(1-2t)P1+2tP2 P(1/2)=1/2[P1+1/2(P0+P2)] P(0)=2(P1-P0) P(1)=2(P2-P1) P(1/2)=P2-P0
' '
同理可得，当 t=1 时
P (1) n( Pn明：Bezier曲线在两端 点处的切矢方向与特征多边形的第一 条边和最后一条边相一致。
２.二次和三次Bezier曲线 (1) 三个顶点：P0,P1,P2 可定义一条 二次(n=2) Bezier曲线： 其相应的混合函数为：
B (t ) n[Bi 1,n1 (t ) Bi,n1 (t )]
' i ,n
得：
P ' (t ) n P i [ Bi 1, n 1 (t ) Bi , n 1 (t )]
i 0 n 1
讨论：
(n 1)! Bi 1, n 1 (t ) t i 1 (1 t ) n 1i (i 1)! ( n i )! (n 1)! Bi , n 1 (t ) t i (1 t ) n 1i i!( n 1 i )!
法国的 Bezier 为此提出了一种新的 参数曲线表示方法，因此称为Bezier 曲线。后来又经过 Gordon、Forrest 和 Riesenfeld等人的拓广、发展， 提出了Ｂ样条曲线。 这两种曲线都因能较好地适用于 外形设计的特殊要求而获得了广泛的 应用。
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四、B 样条曲线与曲面Bezier 曲线具有很多优越性，但有二点不足：1）特征多边形顶点数决定了它的阶次数，当n 较大时，不仅计算量增大，稳定性降低，且控制顶点对曲线的形状控制减弱；2）不具有局部性，即修改一控制点对曲线产生全局性影响。
1972年Gordon 等用B 样条基代替Bernstein 基函数，从而改进上述缺点。
Ｂ样条曲线的数学表达式为：∑=+⋅=nk n k ki n i u N Pu P 0,,)()(在上式中，0 ≤ u ≤ 1； i= 0, 1, 2, …, m 所以可以看出：Ｂ样条曲线是分段定义的。
如果给定 m+n+1 个顶点 Pi ( i=0, 1, 2,…, m+n)，则可定义 m+1 段 n 次的参数曲线。
在以上表达式中：N k,n (u) 为 n 次B 样条基函数，也称Ｂ样条分段混合函数。
其表达式为：∑-=+--+⋅⋅-=kn j nj n j n k j k n u C n u N 01,)()1(!1)(式中：0 ≤ u ≤1k = 0, 1, 2, …, n1．均匀B 样条曲线1一次均匀B 样条曲线的矩阵表示空间n+1个顶点i P （i = 0，1，…，n ）定义n 段一次（k ＝0,1，n=1）均匀B 样条曲线，即每相邻两个点可构造一曲线段P i （u ），其定义表达为：[]10 ;,...,1 0111 1)(1≤≤=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-u n i u u P i i i P P＝（1－u ）P i －1 ＋ u P i＝ N 0，1（u ）P i －1 ＋ N 1，1（u ）P i第i 段曲线端点位置矢量：i i i i P P P P ==-)1(,)0(1，且一次均匀B 样条曲线就是控制多边形。
2 二次均匀B 样条曲线的空间n+1个顶点的位置矢量i P （i=0，1，…，n ）定义n －1段二次（k ＝0,1,2， n=2）均匀B 样条曲线，每相邻三个点可构造一曲线段P i （u ）（i=1，…，n －1），其定义表达为：[]10 ;1,...,1 011022121 121)(112≤≤-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+-u n i u u u P i i i i P P P＝ !21（1 － 2 u ＋ u 2）P i －1 ＋ !21（1 ＋ 2 u － 2u 2）P i ＋ !21u 2 P i ＋1＝ N 0，2（u ）P i －1 ＋ N 1，2（u ）P i ＋ N 2，2（u ）P i ＋1端点位置矢量：)(5.0)0(1i i i P P P +=-，)(5.0)1(1++=i i i P P P ，即曲线的起点和终点分别位于控制多边形P i-1P i 和P i P i+1的中点。
若1-i P 、i P 、1+i P 三个顶点位于同一条直线上，)(u P i 蜕化成1-i P i P 1+i P 直线边上的一段直线。
端点一阶导数矢量：1)0(--=i i i P P P ，i i i P P P -=+1)1(，i i i P P P -='+1)0(，12)1(++-='i i i P P P ，即曲线的起点切矢和终点切矢分别和二边重合，且相邻两曲线段在节点处具有一阶导数连续。
二阶导数矢量：)()1(2)0(11t P P P i i i i i i ''=''=+-=''+-P P P ，即曲线段内任何点处二阶导数相等，且相邻两曲线段在节点处二阶导数不连续。
3三次均匀B 样条曲线空间n+1个顶点的位置矢量i P （i=0，1，。
，n ）构造n －2段三次（k ＝0,1,2,3，四阶n=3）均匀B 样条曲线段，每相邻四个点可定义一曲线段P i （u ）（i=1，。
，n －2），其定义表达为：[]10 ;2,...,1 0141030303631331 161)(21123≤≤-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=++-u n i u u u u P i i i i i P P P P＝ !31（1－u ）3 P i －1＋!31（4－6u 2＋3u 3）P i ＋!31（1＋3u ＋3u 2－3u 3）P i ＋1＋!31u 3P i ＋2＝ N 0，3（u ）P i －1 ＋ N 1，3（u ）P i ＋ N 2，3（u ）P i ＋1＋ N 3，3（u ）P i ＋2端点位置矢量：)4(61)0(11+-++=i i i i P P P P ，)4(61)1(21++++=i i i i P P P P ，即起点位于三角形∆P i-1P i P i+1中线P i M 1的1/3处，终点位于三角形∆P i P i ＋1P i+2中线P i ＋1M 2的1/3处。
可见B 样条曲线的端点并不通过控制点。
端点一阶导数矢量：2/)()0(11-+-='i i i P P P ，)0(2/)()1(12++'=-='i i i i P P P P ，即曲线起点的切矢平行于∆P i-1P i P i+1的底边P i-1P i+1，其模长为底边P i-1P i+1长的1/2，同样曲线终点的切矢平行于∆P i P i+1P i+2的底边P i P i+2，其模长也为底边P i P i+2长的1/2。
且相邻两曲线段具有一阶导数连续（因)0()1(1'='+i i P P ）。
二阶导数矢量：112)0(+-+-=''i i i i P P P P ，)0(2)1(121+++''=+-=''i i i i i P P P P P ，即曲线段在端点处的二阶导数矢量等于相邻两直线边所形成的平行四边形的对角线，且两曲线段在节点处具有二阶导数连续（因)0()1(i i P P ''=''）。
若1-i P 、i P 、1+i P 三个顶点位于同一条直线上，三次均匀B 样条曲线将产生拐点；若1-i P 、i P 、1+i P 、2+i P 四点共线，则)(u P i 变成一段直线；若1-i P 、i P 、1+i P 三点重合，则)(u P i 过iP 点。
思考：用作图法绘制下图均匀三次B 样条曲线。
B 样条曲线段与段之间具有天然的连续性，具有整体的光滑特性，而Bezier 曲线段与段之间必须光滑拼接。
因此在商用系统中B 样条方法应用更为广泛。
2．B 样条曲线的性质1局部性空间n+1个控制顶点i P （i=0，1，…，n ）构造（n －k ＋1）段k 次（k ＋1阶）B 样条曲线段，且每一曲线段i P （u ）（i = 1，…，n －k ＋1）由1-i P 、i P 、…、1-+k i P 等k ＋1个控制顶点确定，与其它控制点无关。
2整体性和连续性一般情况下（即无重节点、重顶点），n+1个控制顶点所构造的（n －k ＋1）段k 次（k ＋1阶）B 样条曲线段组成一完整的B 样条曲线，曲线段与段之间具有C k －1阶函数连续性（或G k －1阶几何连续性），当有K 重顶点时，将可能产生尖点（前面已介绍），虽然仍满足函数连续，但不满足几何连续。
4几何不变性改变坐标系不改变曲线形状。
5变差缩减性与Bezier 曲线性质相同。
（5）造型的灵活性由于其良好的局部特性，可以方便构造低次的复杂曲线，且编辑顶点对曲线形状的改变是局部的；由于其整体性和连续性，曲线具有整体的光滑性。
正因如此，B 样条曲线比Bezier 应用更为广泛，为商用系统普遍采用。
缺点：首末两端点不通过控制顶点，与其优点比较微不足道。
3．均匀双二次B 样条曲面已知曲面的控制点)2,1,0,(=j i ij P ，参数w u ,，且[]10,,∈w u ，2==l k ，构造步骤是：a 、沿w 向构造均匀二次B 样条曲线，即有：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=02010002010020 011022-121 1P P P WM P P P P w w w )(经转置后：[]TTB w W M P P P P 0201000=)(同上可得：[]TT B w W M P P P P 1211101=)(，[]TTB w W M P P P P 2221202=)(。
b 、再沿u 向构造均匀二次B 样条曲线，即可得到均匀二次B 样条曲面：TT B B B w w w w u W M P P P P P P P P P UM P P P UM S ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=222120121110020100210)()()(),(简记为：TT B B w u W PM UM S =),(。
4．均匀双三次B 样条曲面已知曲面的控制点)3,2,1,0,(=j i j i P ，参数w u ,，且[]10,,∈w u ，3==l k ，构造双三次B 样条曲面的步骤同上述。
a 、沿w 向构造均匀三次B 样条曲线，有：[]T TB w W M P P P P P 030201000=)(，[]TTB w W M P P P P P 131211101=)(， []TT B w W M P P P P P 232221202=)(，[]TT B w W M P P P P P 333231303=)(b 、再沿u 向构造均匀三次B 样条曲线，此时可认为顶点沿滑动，每组顶点对应相同的，当值由0到1连续变化，即形成均匀双三次B 样条曲面。
此时表达式为：T T BB B w w w w w u W PM UM P P P P UM S =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()(),(3210，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=33323130232221201312111003020100P P P P P P P P P P P P P P P P P ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=014103030363133161B M上式也可表达为：S （u,w ）= [N 0,3(u) N 1,3(u) N 0,3(u) N 0,3(u) ] [ P i j ]4x4 [N 0,3(w) N 1,3(w) N 2,3(w) N 3,3(w) ]T对于由控制点),...,1,0,,...,1,0(n j m i ==j i P 组成的均匀双三次B 样条曲面其定义如下：[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++++++++++++++++++++++++)()()()()()()()(),(3,33,23,13,03,32,31,3,33,22,21,2,23,12,11,1,13,2,1,,3,33,23,13,0,w N w N w N w N P P P P P P P P P P P P P P P P u N u N u N u N w u S j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i ji j i j i j i j i j i即任意单张均匀双三次B 样条曲面片S i,j (u ，w)是由P k,l (k = i, ... , i+3, l = j, … , j+3)等16个控制点定义而成。