(完整版)三次函数专题.docx
三次函数
第28关：三次函数专题—全解全析一、定义：定义1、形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）定义2、三次函数的导数，把叫做三次函数导函数的判别式二、三次函数图象与性质的探究：1、单调性一般地，当时，三次函数在上是单调函数；当时，三次函数在上有三个单调区间（根据两种不同情况进行分类讨论）2、对称中心三次函数是关于点对称，且对称中心为点，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
证明：设函数的对称中心为（m，n）。
按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以化简得：上式对恒成立，故，得，。
所以，函数的对称中心是（）。
可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。
3、三次方程根的问题（1）当△=时，由于不等式恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。
（2）当△=时，由于方程有两个不同的实根，不妨设，可知，为函数的极大值点，为极小值点，且函数在和上单调递增，在上单调递减。
此时：①若，即函数极大值点和极小值点在轴同侧，图象均与轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。
②若，即函数极大值点与极小值点在轴异侧，图象与轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。
③若，即与中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。
4、极值点问题若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x)≥f(x) (或f(x)≤f(x))，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x为极大值点（或极小值点）。
当时，三次函数在上的极值点要么有两个。
当时，三次函数在上不存在极值点。
5、最值问题函数若，且，则：；三、三次函数与导数专题：1. 三次函数与导数例题例1. 函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在区间（1，2）是增函数，求的取值范围.解：（Ⅰ），的判别式△=36（1-a）.（ⅰ）当a≥1时，△≤0，则恒成立，且当且仅当，故此时在R上是增函数.来自QQ群3（ⅱ）当且，时，有两个根：，若，则, 当或时，，故在上是增函数；当时，，故在上是减函数；若，则当或时，，故在和上是减函数；当时，，故在上是增函数；（Ⅱ）当且时,,所以当时，在区间（1，2）是增函数.当时，在区间（1,2）是增函数，当且仅当且，解得.综上，的取值范围是.例 2. 设函数，其中。
三次函数切线专题
三次函数切线问题一、过三次函数上一点的切线问题。
设点P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切。
若点P 为三次函数图象的对称中心，则过点P 有且只有一条切线；若点P 不是三次函数图象的对称中心，则过点P 有两条不同的切线。
证明 设),(11y x P 过点P 的切线可以分为两类。
1、 P 为切点 c bx ax x f k ++==1211/123)(，切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-P 不是切点，过P 点作)(x f y =图象的切线，切于另一点Q （22,y x ）12122122313212122x x cx cx bx bx ax ax x x y y k --+-+-=--= c bx bx ax x ax ax +++++=21212122又 c bx ax x f k ++==2222/223)( （1）c bx bx ax x ax ax +++++21212122c bx ax ++=22223即0)2)((1212=++-a b x x x x ∴ abx x 22112--=代入（1）式 得 c ab bx ax k +-+=4214321212讨论：当21k k =时，=++c bx ax 12123c ab bx ax +-+421432121，得a b x 31-=，当a bx 31-=时，两切线重合，所以过点P 有且只有一条切线。
当abx 31-≠时，21k k ≠，所以过点P 有两条不同的切线。
其切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-))(42143(121211x x c ab bx ax y y -+-+=-由上可得下面结论：过三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 上异于对称中心的任一点),(111y x P 作)(x f y =图象的切线，切于另一点),(222y x P ，过),(222y x P 作)(x f y =图象的切线切于),(333y x P ，如此继续，得到点列),(444y x P ----),(n n n y x P ----，则abx x n n 2211--=+，且当+∞→n 时，点趋近三次函数图象的对称中心。
(完整版)专题三导数与三次函数
7 ∴33332222mamambbmmccm 由155fabc ∴32532mmm 6m ∴23ma，39,2122mbcm 2、若函数32111132fxxaxax在区域1,4内为减函数，在区间6,上为增函数，试求实数a的取值范围。（2004全国卷） 解：21fxxaxa 令0fx解得11x，21xa ①当11a即2a时，fx在1,上为增函数，不合题意 ②当11a即2a时，函数fx在,1上为增函数，在1,1a内为减函数，在1,a上为增函数，依题意应有： 当1,4x时，0fx，当6,x时，0fx 所以416a，解得 57a 综上，a的取值范围是5,7 3、已知函数323fxaxbxx在1x处取得极值， ⑴讨论1f和1f是函数fx的极大值还是极小值； ⑵过点0,16A作曲线yfx的切线，求此切线方程。（2004天津）
3 x ,1 －1 （－1，1） 1 1, fx ＋ 0 － 0 ＋ ()fx 极大值 极小值 ∴()fx的单调递增区间是,1和1, ()fx的单调递减区间是1,1 当1x时，fx有极大值311312faa 当1x时，fx有极小值311312faa 要使()fx有一个零点，需且只需2020aa，解得2a 要使()fx有二个零点，需且只需2020aa，解得2a 要使()fx有三个零点，需且只需2020aa，解得22a 变式五、已知函数33,0fxxxa，如果过点,2Aa可作曲线yfx的三条切线，求a的取值范围 解：设切点为00,xy，则233fxx ∴切线方程000yyfxxx 即 2300332yxxx ∵切线过点A,2a ∴23002332xax 即 320023320xaxa ∵过点,2Aa可作yfx的三条切线 ∴方程有三个相异的实数根
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三次函数专题一全解全析一、定义：定义1、形如y = a^^bx2^cx^d（a^0）的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）定义2、三次函数的导数/ = 3a? + 2Z＞x+c（a^0）,把△ = 42?-12ac叫做三次函数导函数的判別式由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。
二、三次函数图象与性质的探究：1、单调性般地，当沪-纭SO时,三次函数y = ax3 ^bx2 ^cx^d（a^0）在R上是单调函数；当沪一如＞0时，三次函数尹=ax3 +cx + N（a工0）在R上有三个单调区间（根据。
＞ 0，。
＜ 0两种不同情况进行分类讨论）2、对称中心三次函数/（x） = ax3# 0）是关于点对称，且对称屮心为点（-$,»/（-纟■）），3a 3a此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
证明：设函数/（X）= +0戏+cx + d（aM0）的对称中心为（ni, n）。
按向量了・（-加，-刃）将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以/（x+w） +/（-x +w）- 2n = 0化简得：+ +cm十d -n = 0_ b上式对x € A ffi成立，故3wa + b = 0,得w=,3aam+cM+d = /（一一）。
3a所以，函数y = ax3 +Z＞x2 +cx+rf（a^O）的对称中心是（一£，，（-冷）。
可见，y=f（x）图象的对称中心在导函数y =广（力的对称轴上，且又是两个极值点的中点, 同时也是二阶导为零的点。
3、三次方程根的问题（1）当厶=4b2-12ac＜0时，由于不等式/^）＞0恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。
（2）当厶=4沪-12ac ＞0时，由于方程/W=0有两个不同的实根心,乃，不妨设心＜乃，可知，（兀/（心））为函数的极大值点，（乃,/（乃））为极小值点，且函数y = /（z）在（一8/J和（X2，-KO）上单调递增，在［x p X2］上单调递减。
(完整版)三次函数的性质总结练习
三次函数的性质三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d（a≠0）在高中阶段学习导数后频繁出现，同时也是其他复杂函数的重要组成部分，因此有必要对其性质有所了解，才可以做到知己知彼，百战不殆．性质一单调性以a>0为例，如图1，记Δ=b2−3ac为三次函数图象的判别式，则图1 用判别式判断函数图象当Δ⩽0时，f(x)为R上的单调递增函数；当Δ>0时，f(x)会在中间一段单调递减，形成三个单调区间以及两个极值．性质一的证明f(x)的导函数为f′(x)=3ax3+2bx+c,其判别式为4(b2−3ac)，进而易得结论．例1 设直线l与曲线y=x3+x+1有三个不同的交点A,B,C，且|AB|=|BC|=5√，求直线l的方程．解由|AB|=|BC|可知B为三次函数的对称中心，由性质一可得B(0,1)，进而不难求得直线l的方程y=2x+1．性质二对称性如图2，f(x)的图象关于点P(−b3a,f(−b3a))对称（特别地，极值点以及极值点对应的图象上的点也关于P对称）．图2 图象的对称性反之，若三次函数的对称中心为(m,n)，则其解析式可以设为f(x)=α⋅(x−m)3+β⋅(x−m)+n,其中α≠0．性质二的证明由于f(x)=a(x+b3a)3+(c−b23a)(x+b3a)−bc3a+2b327a2+d,即f(x)=(x+b3a)3+(c−b23a)(x+b3a)+f(−b3a),于是性质二得证．例2 设函数f(x)=x(x−1)(x−a)，a>1．（1）求导数f′(x)，并证明f(x)有两个不同的极值点x1，x2；（2）若不等式f(x1)+f(x2)⩽0成立，求a的取值范围．（1）解f(x)的导函数f′(x)=(x−1)(x−a)+x(x−a)+x(x−1)=3x2−2(a+2)x+a,而f′(0)f′(1)f′(a)=a>0,=1−a<0,=a(a−1)>0,于是f′(x)有两个变号零点，从而f(x)有两个不同的极值点．（2）解根据性质二，三次函数的对称中心(a+13,f(a+13))是两个极值点对应的函数图象上的点的中点．于是f(x1)+f(x2)=2f(a+13)⩽0,即2⋅a+13⋅a−23⋅−2a+13⩽0,结合a>1，可得a的取值范围是[2,+∞)．注本题为2004年高考重庆卷理科数学第20题．性质三切割线性质如图3，设P是f(x)上任意一点（非对称中心），过P作函数f(x)图象的一条割线AB与一条切线PT（P点不为切点），A、B、T均在f(x)的图象上，则T点的横坐标平分A、B点的横坐标．图3 切割线性质推论1设P是f(x)上任意一点（非对称中心），过P作函数f(x)图象的两条切线PM、PN，切点分别为M、P，如图．则M点的横坐标平分P、N点的横坐标，如图4．图4 切割线性质推论一推论2设f(x)的极大值为M，方程f(x)=M的两根为x1、x2（x1<x2），则区间[x1,x2]被−b3a和极小值点三等分．图5 切割线性质推论二性质三的证明设f(x)=ax3+bx2+cx+d（a≠0），直线PT:y=k0x+m0，直线PAB:y=kx+m，则分别将直线PT与直线PAB的方程与三次函数的解析式联立，得ax3+bx2+(c−k0)x+d−m0=0,ax3+bx2+(c−k)x+d−m=0,于是根据三次方程的韦达定理可得2x T+x P=x A+x B+x P,即x T=x A+x B2,于是命题得证．推论1和推论2的证明留给读者．例3 如图6，记三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的图象为C，若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1(x1,f(x1))处的切线交于另一点P2(x2,f(x2))，曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3,f(x3))，线段P1P2、P2P3与曲线C所围成的封闭图形的面积分别记为S1、S2．求证：S1S2是定值．图6解由性质二，任意三次函数f(x)都可以通过平移变化变成g(x)=px3+qx,然后可以作伸缩变换变成h(x)=x3+rx,而无论平移还是伸缩，题中的S1S2均保持不变，因此只需要证明命题对三次函数h(x)=x3+rx成立即可．根据题意，联立函数h(x)=x3+rx与函数h(x)在P1处的切线方程得(x−x1)2⋅(x−x2)=0,于是2x1+x2=0,即x2=−2x1.又由性质三的推论1，可得2x1=x2+x3,即x3=4x1.于是，线段P1P2与曲线C所围成的封闭图形的面积S1=∣∣∣∫x2x1(x−x1)2⋅(x−x2)d x∣∣∣=∣∣∣∫−2x1x1(x3−3x21x+2x31)d x∣∣∣=∣∣∣(14x4−32x21x2+2x31x)∣∣∣−2x1x1∣∣∣=274x41,类似的，线段P2P3与曲线C所围成图形的面积S2=274x42,于是所求的面积之比为S1S2=(x1x2)4=116.注此题即2010年高考福建卷理科数学第20题第（2）小问（第（1）小问要求证明该结论对f(x)=x3−x成立）．性质四切线条数如图7，过f(x)的对称中心作切线l，则坐标平面被切线l和函数f(x)的图象分割为四个区域，有以下结论：图7 切线条数①过区域I、III 内的点作y=f(x)的切线，有且仅有三条；②过区域II、IV 内的点以及对称中心作y=f(x)的切线，有且仅有一条；③过切线l或函数f(x)图象（除去对称中心）上的点作y=f(x)的切线，有且仅有两条．性质四的证明由性质二，不妨设f(x)=x3+mx，坐标平面内一点P(a,b)．三次函数图象上x=t处的切线方程为y=(3t2+m)(x−t)+t3+mt,即y=(3t2+m)x−3t3,切线过点P(a,b)，即b=−3t3+3at2+ma.而三次函数对称中心处的切线方程为y=mx,于是考虑直线y=b−ma与函数y=−3t3+3at2的图象公共点个数．当a=0时，无论b取何值，均为1个公共点；当a>0时，b−ma>0时为1个公共点，b−ma=0时为2个公共点，b−ma<0时为3个公共点；当a<0时，b−ma>0时为3个公共点，b−ma=0时为2个公共点，b−ma<0时为1个公共点．综上，性质四得证．在高考中，对结论①的考察最为常见，例如2007年高考全国II卷理科数学第22题（压轴题）就是证明性质四的结论①：已知函数f(x)=x3−x．（1）求曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程；（2）设a>0，如果过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线，证明：−a<b<f(a)．例4设函数f(x)=13x3−a2x2+bx+c，其中a>0．曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1．（1）确定b,c的值；（2）设曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))及(x2,f(x2))处的切线都过点(0,2)．证明：当x1≠x2时，f′(x1)≠f′(x2)；（3）若过点(0,2)可作曲线y=f(x)的三条不同切线，求a的取值范围．解（1）f(x)的导函数为f′(x)=x2−ax+b,于是该函数在x=0处的切线方程为y=bx+c,因此b=0,c=1.（2）函数f(x)在x=t处的切线方程为y=(t2−at)(x−t)+13t3−a2t2+1,当切线过点(0,2)时可得23t3−a2t2+1=0,于是x1,x2是该方程的两个不等实根．考虑f′(x1)−f′(x2)=(x21−ax1)−(x22−ax2)=(x1−x2)⋅(x1+x2−a),而⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪23x31−a2x21+1=0,23x32−a2x22+1=0,两式相减并约去x1−x2，得x21+x1x2+x22=34a2,而x21+x1x2+x22=(x1+x2)2−x1x2>(x1+x2)2−14(x1+x2)2=34(x1+x2)2,于是x1+x2≠a,进而可得f′(x1)≠f′(x2).（3）函数f(x)的对称中心为(a2,−a312+1)，于是在对称中心处的切线方程为y=−a24(x−a2)−a312+1,根据性质四的结论①，可得1<2<−a324+1,解得a>23√3,即a的取值范围是(23√3,+∞)．注此题为2010年高考湖北卷文科数学第21题（压轴题）．练习题练习1、已知函数f(x)=13x3+ax2+bx，且f′(−1)=0．（1）试用含a的代数式表示b；（2）求f(x)的单调区间；（3）令a=−1，设函数f(x)在x1,x2（x1<x2）处取得极值，记点M(x1,f(x1))，N(x2,f(x2))，证明：线段MN与曲线f(x)存在异于M、N的公共点．练习2、已知f(x)=x3+bx2+cx+d在(−∞,0)上是增函数，在(0,2)上是减函数，且方程f(x)=0有三个根，它们分别为从小到大依次为α、2、β．求|α−β|的取值范围．练习3、如图8，记原点为点P1(x1,y1)，由点P1向三次函数y=x3−3ax2+bx（a≠0）的图象（记为曲线C）引切线，切于不同于点P1的点P2(x2,y2)，再由点P2引此曲线C的切线，切于不同于点P2的点P3(x3,y3)．如此继续作下去，得到点列{P n(x n,y n)}．试回答下列问题：图8（1）求数列{x n}的递推公式与初始值；（2）求lim n→+∞x n，并指出点列{P n}的极限位置在何处？练习4、已知f(x)=x3−x，过点(x0,y0)作f(x)图象的切线，如果可以作出三条切线，当x0∈(0,1)时，求点(x0,y0)所在的区域面积．练习5、已知函数f(x)=2x3−3x．（1）求f(x)在区间[−2,1]上的最大值；（2）若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切，求t的取值范围；（3）问过点A(−1,2)，B(2,10)，C(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切？（只需写出结论）练习6、已知函数f(x)=13x3+ax2+bx，且f′(−1)=0．（1）试用含a的代数式表示b，并求f(x)的单调区间；（2）令a=−1．设函数f(x)在x1,x2（x1<x2）处取值极值，记点M(x1,f(x1))，N(x2,f(x2))，P(m,f(m))，x1<m⩽x2．请仔细观察曲线f(x)在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解答以下问题：①若对任意的m∈(t,x2]，线段MP与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，试确定t 的最小值；②若存在点Q(n,f(n))，x1⩽n<m，使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必写出求解过程）．练习题的参考答案练习1、（1）f(x)的导函数为f′(x)=x2+2ax+b,于是所求的代数表达式为b=2a−1.（2）在（1）的基础上，有f′(x)=(x+1)⋅(x+2a−1),于是当a<1时，函数f(x)的单调递增区间是(−∞,−1)和(1−2a,+∞)，单调递减区间为(−1,1−2a)；当a=1时，函数f(x)的单调递增区间是R；当a>1时，函数f(x)的单调递增区间是(−∞1−2a)和(−1,+∞)，单调递减区间是(1−2a,−1)．（3）此时f(x)=13x3−x2−3x,而f′(x)=x2−2x−3,于是M(−1,53)，N(3,−9)．根据性质二，该公共点为三次函数f(x)图象的对称中心(1,−113)．注本题为2009年高考福建卷文科数学第21题（压轴题）．练习2、根据题意，x=0为f(x)的导函数f′(x)=3x2+2bx+c的零点，于是c=0．又f(2)=0，于是8+4b+d=0,即d=−4b−8,从而f(x)=x3+bx2−(8+4b)=(x−2)⋅[x2+(b+2)x+2b+4],因此(α−β)2=(α+β)2−4α⋅β=(2−b)2−16.另一方面，由f(x)在(0,2)上是减函数得f′(2)⩽0，即12+4b⩽0,于是可得b的取值范围是b<−3.从而|α−β|的取值范围是[3,+∞)．练习3、（1）根据已知，联立P1出发的切线方程与曲线C的方程，得(x−x1)(x−x2)2=0,又x1=0，切线方程只能改变左边三次式的一次项和常数项，于是可得x2=32a.进而由性质三的推论1可得∀n⩾3∧n∈N∗,2x n=x n−1+x n−2.于是数列{x n}的递推公式与初始值为x n=x n−1+x n−22,n⩾3∧n∈N∗,x1=0,x2=32a.（2）由数列的递推公式不难得到通项∀n∈N∗,x n=a⋅[1−(−12)n−1],于是lim n→+∞x n=a.因此点列{P n}的极限位置为(a,−2a3+ab)，也就是三次函数的对称中心．练习4、函数f(x)在对称中心(0,0)处的切线方程为y=−x,于是根据性质四的结论①，我们可得所求区域面积为∫10[x3−x−(−x)]d x=∫10x3d x=14.练习5、（1）f(x)的导函数f′(x)=6x2−3,于是可得f(x)在区间[−2,1]上的最大值为max{f(−2√2),f(1)}=2√.（2）函数f(x)在对称中心(0,0)处的切线方程为y=−3x,根据性质四的结论①，可得−3<t<f(1),即−3<t<−1,于是t的取值范围是(−3,−1)．（3）根据性质四，可得过A(−1,2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切；过B(2,10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切；过C(0,2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切．注本题为2014年高考北京卷文科数学第20题（压轴题）．练习6、（1）b=2a−1；当a>1时，函数f(x)的单调递增区间为(−∞,1−2a)和(−1,+∞)，单调递减区间为(1−2a,−1)；当a=1时，函数f(x)的单调递增区间为R；当a<1时，函数f(x)的单调递增区间为(−∞,−1)和(1−2a,+∞)，单调递减区间为(−1,1−2a)．（2）①t的最小值为2，证明从略；②m的取值范围为(1,3]．注本题为2009年高考福建卷理科数学第21题（压轴题）．。
三次函数图像与性质(解析版)
专题2-2三次函数图像与性质【题型1】求三次函数的解析式【题型2】三次函数的单调性问题【题型3】三次函数的图像【题型4】三次函数的最值、极值问题【题型5】三次函数的零点问题【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题【题型7】三次函数对称中心【题型8】三次函数的切线问题【题型9】三次函数根与系数的关系1/342/34【题型1】求三次函数的解析式（1）一般式：()³²f x ax bx cx d =+++（a ≠0）（2）交点式：()123()()()f x a x x x x x x =---（a ≠0）1．若三次函数()f x 满足()()()()00,11,03,19f f f f ''====，则()3f =（）A ．38B ．171C ．460D ．965【解析】待定系数法，求函数解析式设()³²f x ax bx cx d =+++，则()232f x ax bx c '=++，由题意可得：()()()()0011031329f d f a b c d f c f a b c ⎧==⎪=+++=⎪⎨==⎪⎪=+'=⎩'+，解得101230a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，则()3210123f x x x x =-+，所以()32310312333171f =⨯-⨯+⨯=.【题型2】三次函数的单调性问题三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、零点以及与其他函数的综合应用等方面。
以下是对三次函数常见考点的详细分析：1.三次函数的定义与形式∙定义：形如f (x )=ax 3+bx 2+cx +d （其中a ≠=0）的函数称为三次函数。
∙形式：注意系数a ,b ,c ,d 的作用，特别是a 的正负决定了函数的开口方向（a >0开口向上，a <0开口向下）。
三次函数分类专题复习
三次函数分类专题复习三次函数是一种常见的函数类型，在高中数学中经常会遇到。
为了帮助大家更好地复和掌握三次函数的知识，本文将介绍三次函数的定义、性质以及常见的分类方法。
1. 三次函数的定义三次函数是以 $x$ 的三次幂为最高次幂的多项式函数。
它的一般形式可以表示为：$$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$其中 $a$、$b$、$c$、$d$ 都是实数，且 $a \neq 0$。
2. 三次函数的性质三次函数具有以下的一些性质：- 首先，三次函数的图像通常是一条平滑的曲线，且没有折点。
这与一次函数和二次函数的图像有所不同。
- 其次，三次函数的图像可能有一个局部极值点，也可能没有。
这取决于函数的系数以及其他条件。
- 此外，三次函数的图像可能会在某些 $x$ 的取值范围内与$x$ 轴相交，也可能与 $x$ 轴相切或不相交。
3. 三次函数的分类方法根据三次函数的图像特征，我们可以将三次函数分为以下几类：- 增函数：如果 $a > 0$，那么三次函数的图像会从左向右逐渐上升。
这种情况下，函数的取值随着 $x$ 的增加而增加。
增函数：如果 $a > 0$，那么三次函数的图像会从左向右逐渐上升。
这种情况下，函数的取值随着 $x$ 的增加而增加。
- 减函数：相反地，如果 $a < 0$，那么三次函数的图像会从左向右逐渐下降。
这种情况下，函数的取值随着 $x$ 的增加而减少。
减函数：相反地，如果 $a < 0$，那么三次函数的图像会从左向右逐渐下降。
这种情况下，函数的取值随着 $x$ 的增加而减少。
- 奇函数：如果三次函数满足 $f(x) = -f(-x)$，那么它是一个奇函数。
这意味着函数的图像关于原点对称。
奇函数：如果三次函数满足 $f(x) = -f(-x)$，那么它是一个奇函数。
这意味着函数的图像关于原点对称。
- 偶函数：如果三次函数满足 $f(x) = f(-x)$，那么它是一个偶函数。
三次函数的图象与性质专题
三次函数的图象与性质三次函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d(a ≠0)具有丰富的性质，利用导数研究这些性质，其例题：已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋1(a>0，b ∈R )有极值，且导函数f ′(x )的极值点是f (x )的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b 2>3a ；(3)若f (x )，f ′(x )这两个函数的所有极值之和不小于－72，求a 的取值范围．变式1设函数f(x)＝13x 3－a2x 2＋1，其中a ＞0，若过点(0，2)可作曲线y ＝f(x)的三条不同切线，求实数a 的取值范围．变式2设函数f(x)＝x(x －1)(x －a)(其中a ＞1)有两个不同的极值点x 1，x 2，若不等式f(x 1)＋f(x 2)≤0成立，求实数a 的取值范围．串讲1设f(x)＝13x 3＋x 2＋ax 有两个极值点x 1，x 2，若过两点(x 1，f(x 1))，(x 2，f(x 2))的直线l 与x 轴的交点在曲线y ＝f(x)上，求实数a 的值．串讲2已知函数f(x)＝13x 3－x 2＋ax ＋b 的图象在点P(0，f(0))处的切线方程为y ＝3x －2.(1)求实数a ，b 的值；(2)设g(x)＝f(x)＋mx －1是[2，＋∞)上的增函数．①求实数m 的最大值；②当m 取最大值时，是否存在点Q ，使得过点Q 的直线若能与曲线y ＝g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．(2018·苏州期末)已知函数f(x)＝x 3－3x 2＋(2－t)x ，f ′(x)为f(x)的导函数，其中t ∈R . (1)当t ＝2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若方程f (x )＝0有三个互不相同的根0，α，β，其中α＜β.①是否存在实数t ，使得f ′（α）β＝f ′（β）α成立？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．②若对任意的x ∈[α，β]，不等式f (x )≤16－t 恒成立，求t 的取值范围．(2018·苏锡常镇二模)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，a ，b ∈R . (1)若a 2＋b ＝0，①当a ＞0时，求函数f (x )的极值(用a 表示)；②若f (x )有三个相异零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a 的值；若不存在，请说明理由；(2)函数f (x )图象上点A 处的切线l 1与f (x )的图象相交于另一点B ，在点B 处的切线为l 2，直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，且k 2＝4k 1，求a ，b 满足的关系式．答案：(1)①1－5a 327，②存在a ＝－3311；(2)a 2＝3b .解析：(1)①由f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 及a 2＋b ＝0，得f ′(x )＝3x 2＋2ax －a 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝a3或x ＝－a .2分由a ＞0知，x ∈(－∞，－a )，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，x ∈⎝⎛⎭⎫－a ，a3，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，x ∈⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，因此，f (x )的极大值为f (－a )＝1＋a 3，f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫a 3＝1－5a327.4分 ②当a ＝0时，b ＝0，此时f (x )＝x 3＋1不存在三个相异零点；当a ＜0时，与①同理可得f (x )的极小值为f (－a )＝1＋a 3，f (x )的极大值为f ⎝⎛⎭⎫a 3＝1－5a 327.要使f (x )有三个不同零点，则必须有(1＋a 3)⎝⎛⎭⎫1－527a 3＜0，即a 3＜－1或a 3＞275.6分不妨设f (x )的三个零点为x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0，f (x 1)＝x 13＋ax 12－a 2x 1＋1＝0，①，f (x 2)＝x 23＋ax 22－a 2x 2＋1＝0，②，f (x 3)＝x 33＋ax 32－a 2x 3＋1＝0，③，②－①得(x 2－x 1)(x 22＋x 1x 2＋x 12)＋a (x 2－x 1)(x 2＋x 1)－a 2(x 2－x 1)＝0，因为x 2－x 1＞0，所以x 22＋x 1x 2＋x 12＋a (x 2＋x 1)－a 2＝0，④，同理x 32＋x 3x 2＋x 22＋a (x 3＋x 2)－a 2＝0，⑤，⑤－④得x 2(x 3－x 1)＋(x 3－x 1)(x 3＋x 1)＋a (x 3－x 1)＝0，因为x 3－x 1＞0，所以x 2＋x 3＋x 1＋a ＝0，又x 1＋x 3＝2x 2，所以x 2＝－a3.9分所以f ⎝⎛⎭⎫－a 3＝0，即29a 2＋3a ＝－a 2，即a 3＝－2711＜－1，因此，存在这样实数a ＝－3311满足条件.12分(2)设A (m ，f (m ))，B (n ，f (n ))，则k 1＝3m 2＋2am ＋b ，k 2＝3n 2＋2an ＋b ，又k 1＝f （m ）－f （n ）m －n ＝（m 3－n 3）＋a （m 3－n 2）＋b （m －m ）m －n ＝m 2＋mn ＋n 2＋a (m ＋n )＋b ，由此可得3m 2＋2am ＋b ＝m 2＋mn ＋n 2＋a (m ＋n )＋b ，化简得n ＝－a －2m ，因此，k 2＝3(－a －2m )2＋2a (－a －2m )＋b ＝12m 2＋8am ＋a 2＋b ，所以，12m 2＋8am ＋b ＋a 2＝4(3m 2＋2am ＋b )，所以a 2＝3b .16分例题1答案：(1)b ＝2a 29＋3a ，定义域为(3，＋∞)；(2)略；(3)(3，6]．解析：(1)由f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，得f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 32＋b －a 23.∴x ＝－a3时，f ′(x)有极小值， ∵f′(x)的极值点是f(x)的零点，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 33＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 32＋ b ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＋1＝0，化简得b ＝29a 2＋3a ，又∵函数f(x)有极值，∴f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b 中Δ＝4a 2－12b ＞0，即a 2＞3b ，即a 2＞23a 2＋9a .a ＞0，解得a ＞3，于是b ＝2a 29＋3a，定义域为(3，＋∞)．(2)证法1：设g(a)＝b 2－3a ＝481a 4－53a ＋9a 2＝181a 2(4a 3－27)(a 3－27)，∵a ＞3，∴g(a)＞0，即b 2＞3a ；证法2：由(1)知ba ＝2a a 9＋3a a，令t ＝a a ，设g(t)＝2t 9＋3t ，则g ′(t)＝29－3t 2＝2t 2－279t 2，当t∈⎝ ⎛⎭⎪⎫362，＋∞ 时，g ′(t)＞0，从而g(t)在⎝ ⎛⎭⎪⎫362，＋∞上单调递增，∵a ＞3，∴a a ＞33，∴g(a a)＞g(33)＝3，即b a＞3，即b 2＞3a ；(3)设x 1，x 2为f(x)的两个极值点，令f′(x)＝0得x 1x 2＝b 3，x 1＋x 2＝－2a3，解法1：f(x 1)＋f(x 2)＝x 13＋x 23＋a(x 12＋x 22)＋b(x 1＋x 2)＋2＝(x 1＋x 2)[(x 1＋x 2)2－3x 1x 2]＋a[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋b(x 1＋x 2)＋2＝427a 3－23ab ＋2＝427a 3－23a ⎝ ⎛⎭⎪⎫29a 2＋3a ＋2＝0.记f(x)，f ′(x)所有极值之和为S(a)，f(x 1)＋f(x 2)＝0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝b －a 23，则S(a)＝f(x 1)＋f(x 2)＋f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝b －a 33＝3a －a 29≥－72，∵S(a)＝－a 29＋3a ，∴S ′(a)＝－2a 9－3a 2＜0对a∈(3，＋∞)恒成立，∴S(a)＝－a 29＋3a 在a∈(3，＋∞)上单调递减，且S(6)＝－72，故3＜a≤6.解法2：首先证明f(x)的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3中心对称，f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 23⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 3＋1－ab 3＋2a 327＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 33＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 23⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 3＋ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，所以 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3－x ＋ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＋x ＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝0，所以f(x 1)＋f(x 2)＝0， 下同法一．说明：利用三次函数的对称中心，可使解题有的放矢，事半功倍．变式联想变式1答案：(324，＋∞)．解析：∵f′(x)＝x 2－ax ，设切点为(t ，f(t))，切线方程为y ＝(t 2－at)(x －t)＋13t3－a 2t 2＋1，代入(0，2)化简可得23t 3－a 2t 2＋1＝0，设g(t)＝23t 3－a 2t 2＋1，令g′(t)＝0，有t 1＝0，t 2＝a2＞0.∵过点(0，2)可以作曲线y ＝f(x)的三条切线，∴g(t)＝0有三个不同的根，故⎩⎪⎨⎪⎧g （0）＞0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＜0，解得a ＞324，∴实数a 的取值范围是(324，＋∞)．变式2答案：[2，＋∞)．解法1由f(x 1)＋f(x 2)≤0得x 13＋x 23－(a ＋1)(x 12＋x 22)＋a(x 1＋x 2)≤0，此不等式化为(x 1＋x 2)[(x 1＋x 2)2－3x 1x 2]－(a ＋1)[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋a(x 1＋x 2)≤0.又f(x)＝x(x －1)(x －a)，所以f′(x)＝3x 2－2(1＋a)x ＋a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4（a 2－a ＋1）＞0，x 1＋x 2＝2（1＋a ）3，x 1x 2＝a 3，代入上述不等式并化简得2a 2－5a ＋2≥0，解得a≥2，即实数a 的取值范围为[2，＋∞)．解法2由例题的过程可得出如下结论：函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d(a≠0)是中心对称图形，其对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 3a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 3a ，若f(x)有极值点x 1，x 2，则它的对称中心就是(x 1，f(x 1))和(x 2，f(x 2))的中点，即f （x 1）＋f （x 2）2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 3a (读者可自行证明)．应用此结论，得到如下解法：f(x 1)＋f(x 2)≤0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≤0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 3≤0，即a ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋13－1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋13－a ≤0，解得a≥2，即实数a 的取值范围为[2，＋∞)． 串讲激活串讲1答案：0或23或34.解析：∵f′(x)＝x 2＋2x ＋a ，设x 1，x 2为f′(x)＝0的两个根，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝a ，直线l 的斜率k ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＝23(a －1)，直线过(x 1，f(x 1))，(x 2，f(x 2))．则必过对称中心⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23－a ，则直线l 的方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫23－a ＝23(a －1)(x ＋1)．令y ＝0，则x ＝a 2（a －1），又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2（a －1），0在曲线上，代入得13⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2（a －1）3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2（a －1）2＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2（a －1）＝0，解得a 的值为0或23或34.串讲2答案：(1)a ＝3，b ＝－2；(2)①3；②存在Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13. 解法1(1)由f′(x)＝x 2－2x ＋a 及题设可得⎩⎪⎨⎪⎧f′（0）＝3，f （0）＝－2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2.(2)①∵g(x)＝13x 3－x 2＋3x －2＋m x －1，得g′(x)＝x 2－2x ＋3－m （x －1）2，∵g(x)是[2，＋∞)上的增函数，∴g ′(x)≥0对x∈[2，＋∞)恒成立，即x 2－2x ＋3－m （x －1）2≥0对x∈[2，＋∞)恒成立，设t ＝(x －1)2∈[1，＋∞)，即t ＋2－m t ≥0对t∈[1，＋∞)恒成立，当m≤0时，t ＋2－m t ≥0对t∈[1，＋∞)恒成立；当m ＞0时，设φ(t)＝t ＋2－mt，t ∈[1，＋∞)，∵φ′(t)＝1＋m t 2＞0，∴函数φ(t)＝t ＋2－mt 在[1，＋∞)上单调递增，∴φ(t)min＝3－m≥0，即m≤3，又m ＞0，故0＜m≤3，综上，m 的最大值为3.②由①得g(x)＝13x 3－x 2＋3x －2＋3x －1，其图象关于点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13成中心对称，证明如下：∵g(x)＝13x 3－x 2＋3x －2＋3x －1，∴g(2－x)＝13(2－x)3－(2－x)2＋3(2－x)－2＋32－x －1＝－13x 3＋x 2－3x ＋83＋31－x ，∴g(x)＋g(2－x)＝23，此式表明，若点A(x ，y)为函数g(x)在图象上的任意一点，则点B ⎝⎛⎭⎪⎫2－x ，23－y 也一定在函数g(x)的图象上，而线段AB 中点恒为点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13，即函数g(x)的图象关于点Q 成中心对称．这也就表明，存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13，使得过点Q 的直线若能与函数g(x)的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等．解法2(1)由f′(x)＝x 2－2x ＋a 及题设可得⎩⎪⎨⎪⎧f′（0）＝3，f （0）＝－2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，(2)①∵g(x)＝13x 3－x 2＋3x －2＋m x －1，得g′(x)＝x 2－2x ＋3－m （x －1）2，∵g(x)在[2，＋∞)上的增函数，∴g ′(x)≥0对x∈[2，＋∞)恒成立，即x 2－2x ＋3－m （x －1）2≥0对x∈[2，＋∞)恒成立，设t ＝(x －1)2∈[1，＋∞)，即t ＋2－m t ≥0对t∈[1，＋∞)恒成立，∴m ≤t 2＋2t 对t∈[1，＋∞)恒成立，令h(t)＝t 2＋2t ，t ∈[1，＋∞)，可得h(t)min ＝3，故m≤3，即m 的最大值为3.②由①得g(x)＝13x 3－x 2＋3x －2＋3x －1，将函数g(x)的图象向左平移1个长度单位，再向下平移13个长度单位，所得图象相应的函数解析式为G(x)＝13x 3＋2x ＋3x ，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵G(－x)＝－G(x)，∴G(x)为奇函数，故G(x)的图象关于坐标原点成中心对称，由此即得函数g(x)的图象关于点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13成中心对称，这也表明，存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13，使得过点Q 的直线若能与函数g(x)的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等．新题在线答案：(1)增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间为(0，2)；(2)①不存在；②⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，2∪(2，11]．解析：(1)当t ＝2时，f ′(x)＝3x 2－6x ，令f′(x)＝3x 2－6x ＞0，得x ＞2或x ＜0，∴f(x)的单调增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)；令f′(x)＝3x 2－6x ＜0，得0＜x ＜2，∴f(x)的单调减区间为(0，2)．(2)①由题意知α，β是方程x 2－3x ＋(2－t)＝0的两个实根，∴Δ1＝(－3)2－4(2－t)＞0，得t ＞－14.且α＋β＝3，αβ＝2－t ，α2＋β2＝5＋2t ，由f′（α）β＝f′（β）α成立得，af ′(α)＝βf′(β)，得3(α2＋αβ＋β2)－6(α＋β)＋(2－t)＝0，代入得3(5＋2t ＋2－t)－6×3＋(2－t)＝0，即5＋2t ＝0，解得t ＝－52，因为t ＞－14，∴这样的实数t 不存在．②因为对任意的x∈[α，β]，f(x)≤16－t 恒成立．由α＋β＝3，αβ＝2－t ，α＜β，1°当－14＜t ＜2时，有0＜α＜β，∴对x∈[α，β]，f (x)≤0，∴0≤16－t ，解得t≤16.∴－14＜t ＜2.2°当t ＞2时，有α＜0＜β，f ′(x)＝3x 2－6x ＋(2－t)中Δ＝(－6)2－12(2－t)＝12(t ＋1)＞0.由f′(x)＞0，得x ＜3－3（t ＋1）3或x ＞3＋3（t ＋1）3，此时f(x)存在极大值点x 1∈(α，0)，且x 1＝3－3（t ＋1）3.由题意得f(x 1)＝x 13－3x 12＋(2－t)x 1≤16－t ，将x 1＝3－3（t ＋1）3代入化简得(t ＋1)3（t ＋1）≤72，解得t≤11.∴2＜t≤11.综上，t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，2∪(2，11]．。
三次函数和周长问题专题
三次函数和周长问题专题
简介：
本文档将介绍三次函数以及与周长问题相关的内容。
一、三次函数的定义和性质
1.1 定义：三次函数是指最高次项为三次的多项式函数。
1.2 性质：三次函数的图像可以是开口向上或开口向下的，并且可以经过抛物线的顶点。
二、三次函数的图像
2.1 对称轴：三次函数的对称轴是通过抛物线的顶点和平行于y 轴的直线。
2.2 函数的图像：通过确定顶点和两个其他点的坐标，可以绘制出三次函数的图像。
三、周长问题与三次函数的关系
3.1 问题描述：一些周长问题可以用三次函数来解决，例如求解一个矩形的最大周长。
3.2 解决方法：通过设定适当的变量和约束条件，可以建立一个包含三次函数的数学模型，并使用求极值的方法得到最优解。
四、例题分析
4.1 例题1：已知一块长为x，宽为y的矩形，求其最大周长。
解析：设周长为P，由题可知P = 2x + 2y，要求最大周长，即求P的极值。
建立模型：P = 2x + 2y，约束条件为xy = S（S为矩形的面积）。
利用约束条件，得到二元一次方程y = S/x。
将二元一次方程代入P，得到函数P = 2x + 2(S/x)。
求导并令导数为零，求得x的值，再将x的值代入P得到最大周长。
五、总结
三次函数是一种最高次项为三次的多项式函数，它具有一些特定的性质和图像。
与周长问题相关的三次函数可以帮助我们求解某些问题的最优解。
建立数学模型并使用求极值的方法是解决这类问题的一种常见方法。
以上是关于三次函数和周长问题专题的介绍，希望对您有所帮助。
三次函数专题1---讲义+习题
（Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线 y （f x）的三条不同切线，求 a 的取值范围。
7
例 3、已知函数 f (x) 1 x3 ax2 bx ,且 f '(1) 0 3
(1) 试用含 a 的代数式表示 b,并求 f (x) 的单调区间；
（2）令 a 1 ,设函数 f (x) 在 x1, x2 (x1 x2 ) 处取得极值，记点 M ( x1 , f (x1) )，N( x2 , f (x2 ) )，P( m, f (m) ),
。
4、已知函数 f x ax3 bx2 3x 在 x 1处取得极值。
（Ⅰ）求函数 f(x)的解析式；
（Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值 x1 , x2 ，都有 f x1 f x2 4 ；
（Ⅲ）若过点 A（1，M）（M≠－2）可作曲线 y=f(x)的三条切线，求实数 M 的取值范围.
为函数的极大值点，(x2 , f (x2 )) 为极小值点，且函数 y f (x) 在 (, x1) 和 (x2 ,) 上单调递增，在 x1, x2 上
单调递减。
1
此时：
①若 f (x1) f (x2 ) 0 ，即函数 y f (x) 极大值点和极小值点在 x 轴同侧，图象均与 x 轴只有一个交点，所以
(1) 试用含 a 的代数式表示 b,并求 f (x) 的单调区间； （2）令 a 1 ,设函数 f (x) 在 x1, x2 (x1 x2 ) 处取得极值，记点 M ( x1 , f (x1) )，N( x2 , f (x2 ) )，P( m, f (m) ), x1 m x2 ,请仔细观察曲线 f (x) 在点 P 处的切线与线段 MP 的位置变化趋势，并解释以下问题： （I）若对任意的 M ( x1 , x 2 )，线段 MP 与曲线 f(x)均有异于 M,P 的公共点，试确定 t 的最小值，并证明你的结
三次函数专题——含参三次函数题型汇总
三次函数专题——含参三次函数题型汇总三次函数专题——含参三次函数完整版题型汇总引言三次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握了三次函数的性质和应用，可以帮助我们解决各种实际问题。
本文档将汇总一些常见的含参三次函数题型及解题方法，以帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
1. 含参三次函数的定义含参三次函数的一般形式为：$y = ax^3 + bx^2 + cx + d$，其中$a$、$b$、$c$、$d$为常数，$a \neq 0$。
2. 含参三次函数的基本性质- 含参三次函数的图像是一条平滑的曲线，通常呈现出S型的形状；- 当$a > 0$时，函数图像的开口朝上；当$a < 0$时，函数图像的开口朝下；- 当$x$趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于正无穷大或负无穷大；- 函数的极值点、拐点等特殊点可以通过求导数来确定。
3. 含参三次函数的应用题型3.1 顶点坐标与开口方向的确定题目描述：已知含参三次函数 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ 的图像通过点$(1, 2)$，求$a$的取值范围，以及图像的开口方向。
解题步骤：1. 由已知条件可得 $2 = a + b + c + d$；2. 由函数的开口方向可以得到 $a$ 的取值范围。
3.2 函数与直线的位置关系题目描述：已知含参三次函数 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ 的图像与直线 $y = mx + n$ 相交于两个不同的点，求函数的表达式以及参数 $a$、$b$、$c$、$d$。
解题步骤：1. 将函数与直线的表达式联立，解方程组求解参数；2. 根据参数的取值确定函数的表达式。
3.3 函数在某点的导数值题目描述：已知含参三次函数 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ 在点$x = 1$ 的导数值为2，求函数的表达式以及参数 $a$、$b$、$c$、$d$。
解题步骤：1. 根据求导的规则，求得函数的导数；2. 将导数值和点的坐标代入，解方程组求解参数。
三次函数专题——含参三次函数完整版题型汇总
三次函数专题——含参三次函数完整版题
型汇总
引言
本文档旨在汇总和总结含参三次函数的各种题型，以帮助读者更好地理解和应用相关概念。
题型一：确定三次函数的基本性质
该题型要求确定给定含参三次函数的基本性质，如定义域、值域、单调性、奇偶性等。
题型二：求解含参三次函数的零点
该题型要求求解含参三次函数的零点，即使函数取零值的横坐标。
题型三：推导含参三次函数的导函数
该题型要求推导给定含参三次函数的导函数，以进一步研究函数的变化趋势和极值情况。
题型四：分析含参三次函数的图像
该题型要求根据参数的取值范围，分析含参三次函数图像的特点，如拐点、极值等，以帮助理解函数图像的形态。
题型五：解决实际问题
该题型以实际问题为背景，要求利用含参三次函数模型求解实际问题，如生物生长模型、经济发展模型等。
题型六：探究含参三次函数的性质
该题型要求探究含参三次函数的某一性质，如函数的对称性、零点的个数等，通过数学推导和分析得出结论。
结论
本文档涵盖了含参三次函数的各种题型，旨在帮助读者全面了解和掌握这一部分内容。
通过熟练掌握各种题型，并结合实际问题的应用，读者将能够更好地理解和运用含参三次函数的知识。
三次函数 性质大全
三次函数)0(≠a d cx bx ax x f +++=23)(性质大全本文从三个专题（专题一 三次函数的图象及单调性，专题二 三次函数的对称性，专题三 三次函数切线问题）来介绍三次数的性质，对同学们学习三次函数大有帮助，可以解绝三次函数涉及到的高考题，是能够充分准备，应对高考。
专题一 三次函数的图象及单调性c bx ax x f ++='23)(2,当01242≤-=∆ac b 时，函数是单调增函数，或单调减函数，当时042>-=∆ac b ，设0)(='x f 的两根分别为,,21x x 则原函数0>a 时函数)(x f 图象 （先上升） 0<a 时函数)(x f 图象（先下降）1.0>a 时)(x f 在),(1x x -∞∈或),(2+∞∈x x 单调递增；)(x f 在),(21x x x ∈单调递减在1x x =处)(x f 取得极大值)(1x f ，在2x x =处)(x f 取得极小值)(2x f ．2.0<a 时)(x f 在),(1x x -∞∈或),(2+∞∈x x 单调递减；)(x f 在),(21x x x ∈单调递增在1x x =处)(x f 取得极小值)(1x f ，在2x x =处)(x f 取得极大值)(2x f ．注意：三次函数f(x)有极值导函数(x)f '的判别式0>∆3.一般地d cx bx ax x f +++=23)()0(>a 在导数023)(2=++='c bx ax x f 有两根,,21x x 且21x x <时，在1x 处有1()()f x f x M ==极大值；在2x 处有2()()f x f x m ==极小值，4 .三次方程根的个数问题，由三次函数图象极易得到以下结论:若()y f x =为三次函数,其导数为()y f x '=,则: ⑴若()0f x '≥或()0f x '≤恒成立,则()0f x =仅有一实数解。
三次函数公式
三次函数公式（原创版）目录1.引言：介绍三次函数的定义和重要性2.三次函数的一般形式3.三次函数的图像特征4.三次函数的性质与应用5.结论：总结三次函数的公式及其作用正文1.引言三次函数是数学中的一种基本函数形式，它在各个领域的应用非常广泛，如物理、工程、生物学等。
了解和掌握三次函数的公式及性质，有助于我们更好地应对各种实际问题。
2.三次函数的一般形式三次函数是指形如 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d（其中 a、b、c、d 为常数，且 a≠0）的函数。
在这个公式中，a、b、c、d 分别代表三次项系数、二次项系数、一次项系数和常数项。
3.三次函数的图像特征三次函数的图像通常具有以下特征：- 奇偶性：当 b=c=0 时，三次函数 f(x) = ax^3 + d 为奇函数或偶函数。
- 开口方向：当 a>0 时，函数图像开口向上；当 a<0 时，函数图像开口向下。
- 顶点位置：函数的顶点位于 x=-b/3a 处，其 y 值为 f(-b/3a) =d - b^2/27a。
4.三次函数的性质与应用三次函数具有以下性质：- 在一定区间内，三次函数最多有三个实根（包括重根）。
- 当 a<0 时，函数有一个局部极小值；当 a>0 时，函数有一个局部极大值。
三次函数在实际应用中的例子有很多，例如：- 经济学中的生产函数：描述生产过程中投入与产出之间的关系。
- 物理学中的运动方程：描述物体在重力作用下的运动状态。
- 生物学中的生长函数：描述生物体在一定条件下的生长过程。
5.结论三次函数是数学中非常重要的函数形式，它在各个领域的应用非常广泛。
(完整版)三次函数专题
三次函数专题一、定义：定义1、形如32(0)y ax bx cx d a =+++≠的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。
定义2、三次函数的导数232(0)y ax bx c a '=++≠，把2412b ac ∆=-叫做三次函数导函数的判别式。
由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。
二、三次函数图象与性质的探究： 1、单调性。
一般地，当032≤-ac b 时，三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在R 上是单调函数；当032>-ac b 时，三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在R 上有三个单调区间。
（根据0,0<>a a 两种不同情况进行分类讨论） 2、对称中心。
三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称，且对称中心为点))3(,3(abf a b --，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
证明：设函数的对称中心为（m ，n ）。
按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以化简得：上式对恒成立，故，得，。
所以，函数的对称中心是（）。
可见，y ＝f(x)图象的对称中心在导函数y ＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。
3、三次方程根的问题。
（1）当△=01242≤-ac b 时，由于不等式0)(≥'x f 恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。
（2）当△=01242>-ac b 时，由于方程0)(='x f 有两个不同的实根21,x x ，不妨设21x x <，可知，))(,(11x f x 为函数的极大值点，))(,(22x f x 为极小值点，且函数)(x f y =在),(1x -∞和),(2+∞x 上单调递增，在[]21,x x 上单调递减。
三次函数求根公式高中.docx
三次函数求根公式高中标题：三次函数求根公式在高中数学中的实际应用引言：在高中数学中，我们学习了各种函数和方程，并且通过解方程的方法来解决实际问题。
其中，三次函数是一个非常重要的概念，它在数学和科学领域有着广泛的应用。
本文将阐述三次函数求根公式在高中数学中的实际应用。
一、三次函数与其求根公式的概念1.1 三次函数的定义三次函数是指次数为3的多项式函数，通常表示为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d。
其中，a、b、c、d是实数，而x是自变量。
三次函数的图像通常是一个弯曲的曲线，具有很多特性和性质。
1.2 求根公式的定义求根公式是指用数学方法解三次函数方程的公式。
对于一般的三次函数方程f(x) = 0，可以通过求根公式来求解方程的根。
二、高中数学中的实际应用2.1 物理学中的牛顿运动定律牛顿运动定律是物理学中的基本定律之一，它描述了物体在外力作用下的运动规律。
在求解牛顿运动方程中，经常会出现三次函数方程，通过求根公式可以得到方程的实根，从而求解出物体的位置和速度等信息。
2.2 经济学中的需求与供给在经济学中，需求与供给是两个基本概念，它们关系到社会的经济发展和资源的分配。
通过建立数学模型，可以用三次函数来描述需求与供给的关系，通过求根公式可以确定平衡点，从而得到市场均衡时的价格和数量。
2.3 生态学中的物种数量动态生态学研究物种的数量动态与生态系统的平衡。
生态学家通过观测和实验，建立了各种模型来描述物种数量与环境因素的关系。
很多模型中都存在三次函数方程，通过求根公式可以确定物种数量的平衡点，从而分析生态系统的稳定性和变化趋势。
三、解决实际问题的思考对于高中生来说，学习三次函数求根公式不仅仅是为了应对考试，更重要的是培养批判性思维和解决实际问题的能力。
通过应用数学知识，我们可以在生活和学习中更好地理解和分析现象，解决实际问题。
结论：三次函数求根公式在高中数学中具有重要的实际应用，尤其在物理学、经济学和生态学等领域中。
三次函数性质大全
三次函数)0(≠a d cx bx ax x f +++=23)(性质大全本文从三个专题（专题一 三次函数的图象及单调性，专题二 三次函数的对称性，专题三 三次函数切线问题）来介绍三次数的性质，对同学们学习三次函数大有帮助，可以解绝三次函数涉及到的高考题，是能够充分准备，应对高考。
专题一 三次函数的图象及单调性c bx ax x f ++='23)(2,当01242≤-=∆ac b 时，函数是单调增函数，或单调减函数，当时042>-=∆ac b ，设0)(='x f 的两根分别为,,21x x 则原函数0>a 时函数)(x f 图象 （先上升） 0<a 时函数)(x f 图象（先下降）1.0>a 时)(x f 在),(1x x -∞∈或),(2+∞∈x x 单调递增；)(x f 在),(21x x x ∈单调递减在1x x =处)(x f 取得极大值)(1x f ，在2x x =处)(x f 取得极小值)(2x f ．2.0<a 时)(x f 在),(1x x -∞∈或),(2+∞∈x x 单调递减；)(x f 在),(21x x x ∈单调递增在1x x =处)(x f 取得极小值)(1x f ，在2x x =处)(x f 取得极大值)(2x f ． 注意：三次函数f(x)有极值导函数(x)f '的判别式0>∆3.一般地d cx bx ax x f +++=23)()0(>a 在导数023)(2=++='c bx ax x f 有两根,,21x x且21x x <时，在1x 处有1()()f x f x M ==极大值；在2x 处有2()()f x f x m ==极小值， 4 .三次方程根的个数问题，由三次函数图象极易得到以下结论:若()y f x =为三次函数,其导数为()y f x '=,则: ⑴若()0f x '≥或()0f x '≤恒成立,则()0f x =仅有一实数解。
(完整版)三次函数的所有题型-分析练习
由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决,故以三次函数为例来研究根的情况,设三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 其导函数为二次函数：)0(23)(2/≠++=a c bx ax x f ，判别式为：△=)3(412422ac b ac b -=-，设0)(/=x f 的两根为1x 、2x ,结合函数草图易得: （1) 若032≤-ac b ，则0)(=x f 恰有一个实根；（2） 若032>-ac b ,且0)()(21>⋅x f x f ，则0)(=x f 恰有一个实根； （3) 若032>-ac b ,且0)()(21=⋅x f x f ，则0)(=x f 有两个不相等的实根； （4） 若032>-ac b ,且0)()(21<⋅x f x f ，则0)(=x f 有三个不相等的实根。
说明：（1）（2)0)(=x f 含有一个实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴只相交一次，即)(x f 在R 上为单调函数（或两极值同号），所以032≤-ac b （或032>-ac b ，且0)()(21>⋅x f x f ）;(3)0)(=x f 有两个相异实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以032>-ac b ,且0)()(21=⋅x f x f ;(4）0)(=x f 有三个不相等的实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴有三个公共点，即)(x f 有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以032>-ac b 且0)()(21<⋅x f x f .【例题1】：设函数13-31)(23++=x x x x f ，求函数)(x f 的单调区间。
解析：)(x f 的定义域为R ，3-2)(2x x x f +=′03-2)(2>+=′x x x f ⇒），或（∞1,-3)∞-(+∈x ，此时为)(x f 的单调递增区间; 03-2)(2<+=′x x x f ⇒-3,1)(∈x ，此时为)(x f 的单调递减区间。
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三次函数专题一、定义：定义 1、形如y ax3bx2cx d (a 0) 的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。
定义 2、三次函数的导数y 3ax22bx c(a 0) ，把4b212ac 叫做三次函数导函数的判别式。
由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。
二、三次函数图象与性质的探究：1、单调性。
一般地，当 b 23ac 0 时，三次函数y ax3bx 2cx d (a0) 在R上是单调函数；当 b23ac 0 时，三次函数y ax3bx 2cx d ( a0) 在R上有三个单调区间。
（根据 a 0, a0 两种不同情况进行分类讨论）2、对称中心。
三次函数 f ( x) ax 3bx 2cx d (a0) 是关于点对称，且对称中心为点b b(, f ()) ，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
3a3a证明：设函数的对称中心为（m， n）。
按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以化简得：上式对恒成立，故，得，。
所以，函数的对称中心是（）。
可见， y＝ f(x) 图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。
3、三次方程根的问题。
（ 1）当△ = 4212ac 0时，由于不等式f(x)0 恒成立，函数是单调递增的，所以原b方程仅有一个实根。
（ 2 ）当△ = 4b212ac0 时，由于方程f(x)0 有两个不同的实根x1 , x2，不妨设x1 x2，可知， (x1, f (x1 )) 为函数的极大值点，( x2 , f (x2 )) 为极小值点，且函数 y f (x)在 ( , x1 ) 和 ( x2 , ) 上单调递增，在x1 , x2上单调递减。
此时：①若 f (x1 ) f ( x2 ) 0 ，即函数y f (x) 极大值点和极小值点在x 轴同侧，图象均与x 轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。
②若 f ( x1 ) f ( x2 ) 0 ，即函数 y f (x) 极大值点与极小值点在x 轴异侧，图象与 x轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。
③若f (x1) f ( x2 ) 0 ，即 f (x1 ) 与 f ( x2 ) 中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。
4、极值点问题。
若函数 f(x) 在点 x0的附近恒有 f(x 0) ≥ f(x) ( 或 f(x 0) ≤f(x)) ，则称函数 f(x) 在点 x0处取得极大值（或极小值），称点 x0为极大值点（或极小值点）。
当0 时，三次函数y f x 在,上的极值点要么有两个。
当0 时，三次函数y f x 在,上不存在极值点。
5、最值问题。
函数若，且，则：f max x f m , f x0, f n；。
三、例题讲解：例 1、（函数的单调区间、极值及函数与方程的）已知函数32f （ x） =x -3ax+3x+1。
（Ⅰ）设 a=2，求 f （ x）的单调期间；（Ⅱ）设 f （ x）在区间（ 2,3 ）中至少有一个极值点，求 a 的取值范围。
解：555 5①式无解，②式的解为 4a因此 a 的取值范围是4，3 ， 3 .例 2、 已知函数 f (x) 满足 f ( x) x3f ' 2x 2x C （其中 C 为常数）．3（ 1）求函数 f (x) 的单调区间；（ 2）若方程 f (x) 0 有且只有两个不等的实数根，求常数C ；1 （ 3）在（ 2）的条件下，若 f0 ，求函数 f (x) 的图象与 x 轴围成的封闭3图形的面积．解：（ 1）由 f ( x) x3f ' 2x2x C ，得 f '( x) 3x22 f ' 2x 1 ．332，得 f '222222取 x3 2 f ' 1 ，解之，得 f ' 1 ，33 3333 ∴ f x x 3x 2x C．( )从而 f '( x)3x 22x 13 x 1 x1 ，3 列表如下：x(, 1)1 ( 1, 1) 1(1,)f ' ( x)333＋－ 0＋f (x)↗有极大值↘有极小值↗∴ f ( x) 的 增区 是( ,1) 和 (1 ,) ； f ( x) 的 减区 是3( 1,1) ．3（2）由（ 1）知， [ f ( x)] 极大值f13321 C [ f ( x)] 极小值 f (1) 1 1 1 C31 251 1 C C ； 3 3 3 27．∴ 方 程 f (x)0 有且 只有 两 个不 等的 数 根， 等价 于 [ f ( x)] 极大值0 或[ f (x)] 极小值0 ． ⋯⋯⋯ 8 分∴常数 C5或 C 1．27（3）由（ 2）知， f ( x)x 3 x 2x5 或 f (x) x 3x 2 x 1．27 而 f1 0 ，所以 f ( x)x 3x 2 x1 ．3令 f ( x)x 3 x 2 x 1 0 ，得 ( x 1) 2 ( x1) 0 ， x 11， x 21 ．11 x 41 x 31 x 214 ．∴所求封 形的面x2x1 dxxx 3143213例 3、（恒成立问题） 已知函数 f ( x)1 x 3 1 x2 cx d 有极 ．（ 1）求 c 的取 范 ；32（ 2）若 f (x) 在 x2 取得极 ， 且当 x0 ， f (x)1 d2 2d 恒成立，求 d 的6取 范 ．解：（ 1）∵ f (x)1 x 3 1 x2 cx d ，∴ f ( x) x 2 x c ，3 2 x 2要使 f ( x) 有极 ， 方程 f ( x) x c 0 有两个 数解，从而△＝ 1 4c 0 ，∴ c1 ． （ 2）∵ f ( x) 在 x2 取得极 ，4∴ f (2) 4 2 c 0 ，∴ c 2 ．∴ f ( x)1 x 3 1 x2 2x d ，3 2∵ f ( x) x 2 x 2 ( x2)( x 1) ，∴当 x ( , 1] ， f (x) 0 ，函数 增，当 x ( 1,2] ， f (x) 0 ，函数 减．∴ x 0 ， f (x) 在 x1 取得最大7d ，6∵ x0 ， f (x)1 d2 2d 恒成立，∴7d1 d2 2d ，即 (d 7)( d1) 0 ，66∴ d 7 或 d 1 ，即 d 的取值范围是 (, 7) U (1, ) ．例 4、（信息迁移题） 对于三次函数f (x)ax 3 bx 2cx d (a 0) 。
定义：（1） f (x)的导数f(x) （也叫 f( x)一阶导数）的导数 f( x)为f (x)的二阶导数，若方程f (x)0 有实数解 x 0 ，则称点 (x 0 , f ( x 0 )) 为函数 y f ( x) 的“拐点”；定义：（2）设 x 0为常数，若定义在 R 上的函数yf (x)对于定义域内的一切实数x，都有f ( x 0 x) f ( x 0x) 2 f ( x 0 ) 恒成立，则函数 yf ( x) 的图象关于点 (x 0 , f ( x 0 )) 对称。
（ 1）己知f ( x)x 3 3x 22x2 ，求函数f ( x)的“拐点” A 的坐标；（ 2）检验（ 1）中的函数f (x)的图象是否关于“拐点”A对称 ;（ 3）对于任意的三次函数 f (x) ax 3bx 2cxd (a0)写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）。
解：（1）依题意，得：f ( x)3x 2 6x2 ，f ( x)6x 6 。
由 f( x)0 ，即6x6 0 。
∴ x1，又f (1)2 ，∴f (x) x 33x 2 2x2 的“拐点”坐标是 (1, 2) 。
（ 2）由 (1)知“拐点”坐标是(1, 2)。
而f (1 x) f (1 x) = (1 x)33(1 x) 22(1 x) 2 (1 x)3 3(1 x) 22(1 x) 2=26x26 6x24 4 4 =2 f (1)，由定义 (2)知：fxx 3 3x 2 2x2关于点 (1, 2) 对称。
（ 3 ） 一 般 地 ， 三 次 函 数f x ax 3bx 2 cx d (a 0) 的 “ 拐 点 ” 是b , f ( b )，它就是 f ( x)的对称中心。
3 a3 a或者：任何一个三次函数都有拐点； 任何一个三次函数都有对称中心； 任何一个三次函数平移后可以是奇函数.例 5、（与线性规划的交汇问题） 设函数,其中,是的导函数 .(1) 若, 求函数的解析式;(2) 若, 函数的两个极值点为满足.设,试求实数的取值范围.解 :( Ⅰ) 据题意 ,由知 ,是二次函数图象的对称轴又,故是方程的两根.设, 将代入得比较系数得 :故为所求 .另解：，据题意得解得故为所求 .(2) 据题意 ,, 则又是方程的两根,且则则点的可行区域如图的几何意义为点 P与点 的距离的平方 . 观察图形知点， A 到直线的距离的平方 为 的最小值故 的取值范围是例 6：（ 1）已知函数 f(x)=x 3-x , 其图像记为曲线 C.（ i ）求函数 f(x) 的单调区间；（ ii ）证明：若对于任意非零实数x, 曲线 C 与其在点 P （ x ,f(x 1) ）处的切111线交于另一点 P 2（ x 2,f(x 2) ），曲线 C 与其在点 P 2 处的切线交于另一点P 3（ x ,f(x) ），线段 P P 2,P P 与曲线 C 所围成封闭图形的面积分别记为33123S 11 2为定值；S 2320), 请给出类似于（Ⅰ） （ ii ）的（ 2）对于一般的三次函数 g(x)=ax +bx +cx+d(a 正确命题，并予以证明。
解法一：（ 1）（i ）有 f(x)=x3-x 得 f ’ (x)=3x 2-1=3(x-3)(x+3).33当 x(,3 ) 和( 3 ， ) 时， f ’(x)>0;3 3当 x(3 ， 3) 时， f ’ (x)<0 。
3 3（ⅱ）曲线 C 在点 P 1 处的切线方程为y=(3x2)+x 3 -x ，1-1)(x-x11 1即 y=(3x 12-1)x-2 x13.由得 x 3-x=(3x12-1)x-2 x 1 3即（ x-x 1） 2(x+2x 1)=0,解得 x=x 11或 x=-2x ,故 x 2=-2x 1.进而有用 x 代替 x , 重复上述计算过程，可得x = -2x和 S =2744x 2 。
21322又 x =-2x0，所以 27 16 4 0 , 因此有 s 111224s 2 16（ 2）记函数 g(x)=ax 3+bx 2+cx+d （ a 0）的图像为曲线 C ’，类似于（Ⅰ） （ ii ）的正确命题 为：若对于任意不等于b 的实数 x 1, 曲线 C ’与其在点 P 1（ x 1, g(x 1) ）处的切线交于另一3a点 P （ x ,g(x ) ）, 曲线 C ’与其在点 P 处的切线交于另一点P （ x , g(x ) ），线段 P P 、P P22223 3 3 1 2 2 3与曲线 C ’所围成封闭图形的面积分别记为S 1， S 2，则S 1为定值。