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三次函数专题

一、定义：

定义 1、形如y ax3bx2cx d (a 0) 的函数，称为“三次函数”（从函数解析式

的结构上命名）。

定义 2、三次函数的导数y 3ax22bx c(a 0) ，把4b212ac 叫做三次函数

导函数的判别式。

由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。

二、三次函数图象与性质的探究：

1、单调性。

一般地，当 b 23ac 0 时，三次函数y ax3bx 2cx d (a0) 在R上是单调函数；当 b23ac 0 时，三次函数y ax3bx 2cx d ( a0) 在R上有三个单调区间。（根据 a 0, a0 两种不同情况进行分类讨论）

2、对称中心。

三次函数 f ( x) ax 3bx 2cx d (a0) 是关于点对称，且对称中心为点

b b

(, f ()) ，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。

3a3a

证明：设函数的对称中心为（m， n）。

按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以

化简得：

上式对恒成立，故，得，

。

所以，函数的对称中心是（）。

可见， y＝ f(x) 图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的

中点，同时也是二阶导为零的点。

3、三次方程根的问题。

（ 1）当△ = 4212

ac 0

时，由于不等式f(x)0 恒成立，函数是单调递增的，所以原

b

方程仅有一个实根。

（ 2 ）当△ = 4b212ac0 时，由于方程f(x)0 有两个不同的实根x1 , x2，不妨设

x1 x2，可知， (x1, f (x1 )) 为函数的极大值点，( x2 , f (x2 )) 为极小值点，且函数 y f (x)

在 ( , x1 ) 和 ( x2 , ) 上单调递增，在x1 , x2上单调递减。

此时：

①若 f (x1 ) f ( x2 ) 0 ，即函数y f (x) 极大值点和极小值点在x 轴同侧，图象均与x 轴

只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。

②若 f ( x1 ) f ( x2 ) 0 ，即函数 y f (x) 极大值点与极小值点在x 轴异侧，图象与 x

轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。

③若f (x1) f ( x2 ) 0 ，即 f (x1 ) 与 f ( x2 ) 中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个

实根，其中两个相等。

4、极值点问题。

若函数 f(x) 在点 x0的附近恒有 f(x 0) ≥ f(x) ( 或 f(x 0) ≤f(x)) ，则称函数 f(x) 在点 x0处取得极大值（或极小值），称点 x0为极大值点（或极小值点）。

当0 时，三次函数y f x 在,上的极值点要么有两个。

当0 时，三次函数y f x 在,上不存在极值点。

5、最值问题。

函数若，且

，则：f max x f m , f x0, f n；

。

三、例题讲解：

例 1、（函数的单调区间、极值及函数与方程的）已知函数

32

f （ x） =x -3ax+3x+1。

（Ⅰ）设 a=2，求 f （ x）的单调期间；

（Ⅱ）设 f （ x）在区间（ 2,3 ）中至少有一个极值点，求 a 的取值范围。解：

5

5

5 5

①式无解，②式的解为 4

a

因此 a 的取值范围是

4

，

3 ， 3 .

例 2、 已知函数 f (x) 满足 f ( x) x

3

f ' 2

x 2

x C （其中 C 为常数）．

3

（ 1）求函数 f (x) 的单调区间；

（ 2）若方程 f (x) 0 有且只有两个不等的实数根，求常数

C ；

1 （ 3）在（ 2）的条件下，若 f

0 ，求函数 f (x) 的图象与 x 轴围成的封闭

3

图形的面积．

解：（ 1）由 f ( x) x

3

f ' 2

x

2

x C ，得 f '( x) 3x

2

2 f ' 2

x 1 ．

3

3

2

，得 f '

2

22

2

2

2

取 x

3 2 f ' 1 ，解之，得 f ' 1 ，

3

3 3

3

3

3 ∴ f x x 3

x 2

x C

．

( )

从而 f '( x)

3x 2

2x 1

3 x 1 x

1 ，

3 列表如下：

x

(

, 1)

1 ( 1

, 1) 1

(1,

)

f ' ( x)

3

3

3

＋

－ 0

＋

f (x)

↗

有极大值

↘

有极小值

↗