圆锥曲线的统一定义(精)

的最大值；
（2）求 AM 2 MF2 的最小值。
x2 y2 1 内一点， F2 例3．已知点A (2, 3) 为椭圆 16 12 为其右焦点，M为椭圆上一动点，
（2）求 AM 2 MF2 的最小值.
y
M
A 2,
3
分析： MF2 e 1
d
MA 2 MF2
K N
2

1 cos F1 PF2的最小值为 . 9
(Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程;
(Ⅱ)若已知点 D(0,3),点 M、N 在动点 P 的轨迹上且 DM DN ,求实数 的取值范
围.
当点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直 a2 c 线l:x= 的距离的比是常数 (c>a>0)时,这个 c a 2 2 x y 点的轨迹是双曲线,方程为 2 - 2 =1(其中b2 a b =c2 -a2 ),这个常数就是双曲线的离心率.
这样，圆锥曲线可以统一定义为:
平面内到一定点F 与到一条定直线l ( 点F 不 在直线l 上）的距离之比为常数 e 的点的轨迹:
2 2
x2 y2 例3．已知点A (2, 3)为椭圆 1内一点， F2 16 12 为其右焦点，M为椭圆上一动点，
（1）求
Hale Waihona Puke Baidu
AM MF2
的最大值；
x2 y2 1 内一点， F2 例3．已知点A (2, 3) 为椭圆 16 12 为其右焦点，M为椭圆上一动点，
（1）求
y
AM MF2
2 2
变1: 已知动点P(x,y) 满足
5 (x 1) ( y 2) 3x 4y -11
2 2
则P的轨迹是直线 ＿＿＿
变2: 已知动点P(x,y) 满足 m ( x 1) ( y 2) 3x 4y 12 m5 此方程表示的轨迹是椭圆，则m的范围为＿＿＿ 分析： （x - 1) ( y 2) 5 3x 4 y 12 m 5
学习椭圆、双曲线、抛物线存在 一些困惑？
1、椭圆、双曲线定义相似，抛物线的定义与椭 圆、双曲线的定义区别较大
2、离心率：椭圆0＜e＜1 ，双曲线 e＞1, 抛 物线有没有离心率？什么曲线的离心率等于1？
圆锥曲线的统一定义
平面内到一定点F的距离和到一定 直线l (F不在l上）的距离比等于1 的动点P 的轨迹是抛物线。 平面内到一定点F的距离和到一定直 线l(F不在l上）的距离比为常数（不 等于1）的动点P 的轨迹是什么？
y l
2
P
· O F
x
当点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直 a c 线l:x= 的距离的比是常数 (a>c>0)时,这个 c a 2 2 x y 点的轨迹是椭圆,方程为 2 + 2 =1(其中b2 a b =a 2 -c2 ),这个常数就是椭圆的离心率.
2
若(a>c>0)变为(c>a>0)呢?
(2)椭圆
x2 y 2 1 25 9
的左右焦点分别为F1、F2
90° 60 ° , 求ΔF1PF2的面积. P为椭圆上一点,且∠F1PF2=90
例2 :已知动点P(x,y) 满足
抛物线 则P的轨迹是＿＿＿
5 (x 1) ( y 2) 3x 4y 12
2 2
分析：
（x - 1)2 ( y 2) 2 1 3x 4 y 12 5
F2
F1
1 MA 2 d 2 x
MA d AN
10
小结： 1、一个定义：圆锥曲线 的统一定义；
2、两个思想：分类讨论思想；数形结合思想；
3、重点难点：圆锥曲线的统一定义的应用。
x2 y 2 已知动点 P 与双曲线 1 的 两 个 焦 点 F1 、 F2 的 距 离 之 和 为 定 值 ， 且 2 3
在推导椭圆的标准方程时,我 们曾经得到这样一个式子
a cx a ( x c) y
2 2 2
( x c) y 将其变形为 2 a x c
2
2
c a
你能解释这个式子的几何意义吗?
已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直 a c 线l:x= 的距离的比是常数 (a>c>0),求点P的轨迹 c a
的最大值；
分析： MF 2a MF 2 1
M
A 2,
3

F2
F1
MA MF2 MA MF1 2a x AF1 2a
3 8
x2 y2 1 内一点， F2 例3．已知点A (2, 3) 为椭圆 16 12 为其右焦点，M为椭圆上一动点，
（1）求
AM MF2
当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. 当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线. 当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.
其中e是圆锥曲线的离心率, 定点F是圆锥曲线的焦点, 定直线l是圆锥曲线的准线.
例1:(1)已知双曲线
左焦点的距离为14，求P点到右准线的距离.
x2 y2 上一点P到 1 64 36