大工13秋高等数学(上)辅导资料

高等数学（上）辅导资料七
主 题：第二章 导数与微分1—2节
学习时间：2013年11月11日－11月17日 内 容：
这周我们将学习第二章导数与微分1—2节。

高等数学的主要内容是微积分，微分学则是微积分的重要组成部分。

在这一章里，将利用极限的概念来说明导数的基本概念，研究求函数的导数的方法，并由此解决求初等函数导数的问题。

本章的学习要求及需要掌握的重点内容如下：
1、深刻理解导数定义（含左导和右导）及表示方法，会用导数定义求导数。

2、了解导数的几何意义，会求曲线上一点的切线方程和法线方程
3、深刻理解可导与连续的关系，会判定初等函数的可导性。

4、牢记基本初等函数的导数公式及导数四则运算法则
5、掌握反函数的求导方法
6、掌握复合函数的求导方法 基本概念：导数概念、导数几何意义
知识点：导数的四则运行法则，基本初等函数的求导公式
知识结构图
第一节、导数的概念
一、引例
1、变速直线运动的速度
2、切线问题 二、导数的定义
定义1：设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，若
x
y
x x x f x f x x x ∆∆=--→∆→000lim )()(lim
存在，则称函数)(x f 在点0x 处可导，并称此极限为)(x f y =在点0x 的导数。

记作：0x x y ='；)(0x f '；
x x dx
dy
=；
)(x x dx
x df =
即h
x f h x f x x f x x f x y
x f y h x x x x )()(lim
)()(lim lim
)(000000000-+=∆-∆+=∆∆='='→→∆→∆= 定义2：左导数
00x x 000x /-x -x )
f(x f(x)lim
x )f(x )x f(x lim
(x)f 0-
-=∆-∆+=-→→∆
右导数
00x x 000x /x -x )
f(x f(x)lim
x )f(x )x f(x lim
(x)f 0-=∆-∆+=+
+
→→∆+
∴
A )(x f )(x f A )(x f 0/
0/-0/==↔=+ 三、导数的几何意义
1、函数)(x f y =在0x x =的导数)(0x f '就是该曲线在0x x =点处的切线斜率
k ，即)(0x f k '=，或αα,tan )(0='x f 为切线的倾角。

从而，得切线方程为))((000x x x f y y -'=-（请记住公式） 若∞=')(0x f 2
π
α=⇒或2
π-
⇒
切线方程为：0x x = 范例解析：
填空题：曲线x e x y +=在点（0,1）处的切线斜率k= 答案：2
解题思路：2)1(00=+='==x x x e y
2、过切点),(00y x P ，且与P 点切线垂直的直线称为)(x f y =在0P 点的法线。

如果0)(0≠'x f ，法线的斜率为)
(1
0x f '-。

如果0)(0='x f ，法线方程为0x x = 范例解析：
计算题：已知曲线5323-+=x x y ，求过点（-1，-3）的切线方程和法线方程。

解：x x y 632+='，由导数的几何意义，曲线在（-1，-3）点的切线的斜率
36311-=-='=-=x y k ，法线斜率3
1112=-
=k k 所以切线方程为)1(33+-=+x y ，即063=++y x
法线方程为)1(3
1
3+=+x y ，即083=--y x
四、函数的可导性与连续性的关系
可导⇔连续。

即可导是连续的充分条件，连续是可导的必要条件。

第二节、函数的求导法则
一、函数的和、差、积、商的求导法则
(1)若)()()(x v x u x f βα+=，则)(')(')('x v x u x f βα+=(βα,为常数) (2)若)()()(x v x u x f ⋅=，则)(')()()(')('x v x u x v x u x f += 推广：u c cu '=')(
''')'(uvw w uv vw u uvw ++=
(3)若)()
()(x v x u x f =
，0)(≠x v ，2
)]
([)()()()()(x v x v x u x v x u x f '-'=' 二、反函数的求导法则
设)(x f y =为)(y x ϕ=的反函数，若)(y ϕ在0y 的某邻域内连续，严格单调，
且0)(0≠'y ϕ，则)(x f 在0x （即)(0y f 即反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

范例解析：
计算题：求对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的导数。

解：因为)0(log +∞<<=x x y a 是)(+∞<<-∞=y a x y 的反函数，而y a x =在
),(+∞-∞是单调递增的连续函数，且a a a y y ln )(⋅='，所以
a
x a a x y y a ln 1
ln 1)a (1)(log =⋅='=
' 特别地，当e a =时，x
x 1
)(ln =' 三、复合函数求导法则
如果)(x u ϕ=在0x x =点可导，且)(u f y =在)(00x u u ϕ==点也可导，那么，
以
)(u f y =为外函数，以)(x u ϕ=为内函数，所复合的复合函数))((x f y ϕ=在0x x =点可导，且
)()(000
x u f dx
dy x x ϕ''==，或)()(]))(([000x u f x f x x ϕϕ''='=。

范例解析：
选择题：设x e y 3-=，则dy 等于（ ）A 、dx e x 3- B 、dx e x 3--C 、dx e x 33-- D 、dx
e x 33-答案：C
解题思路：dx e x d e e d dy x x x 3333)3()(----=-==
四、初等函数的导数
现将我们已求出的基本初等函数的导数列表如下，作为基本求导公式。

（1）0)(='c
（2）αααα()(1-='x x 为任意实数） （3）a a a x x ln )(=' （4）x x e e =')( （5）a
x x a ln 1
)(log =' （6）x
x 1)(ln =
' （7）x x cos )(sin =' （8）x x sin )(cos -=' （9）x x 2sec )(tan =' （10）x x 2csc )(cot -=' （11）x x x tan sec )(sec =' （12）x x x cot csc )(csc -=' （13）2
11)(arcsin x x -=
'
（14）2
11)(arccos x
x --='
（15）2
11
)(arctan x x +=
' （16）2
11
)cot (x
x arc +-='
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

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